研究生数值分析(13)---插值与逼近

③
a0 a1xn a2 xn2 an xnn yn
这是关于 a0 , a1,
其系数行列式
, an 的n+1元线性方程组
1 x0 x02 x0n
D
1
x1
x12
x1n
1 xn xn2 xnn
是n+1阶范德蒙德（Vandermonde）行列式， 由线性代数知识
D
(xi x j )
y1 y0 x1 x0
x
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
若令
l0 (x)
x x1 x0 x1
, l1(x)
x x0 x1 x0
则有 P1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
这里的 l0 (x) 和 l1(x) 可以分别看作满足
插值条件 及
l0 (x0 ) 1, l0 (x1) 0
例如，函数组{2+x,1-x,x+x2}在点集{1,2,3,4}上线性无关。
又如，函数组 {sinx,sin2x,sin3x} 在点集 {0,π/3,2π/3,π}上 线性无关。
2、插值问题的概念 定义1 设函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上有定义，
且已知在点 a x0 x1 xn b 上的值为 y0 , y1, , yn ，若存在一个简单的函数p(x) ，使 P(xi ) yi , (i 0,1, , n) 成立，则称 p(x) 为 f (x) 的插值函数。
a0 a0
a1x0 a1x1
a2 x02 a2 x12
a0 a1xn a2 xn2
an x0n y0 an x1n y1
an xnn yn
的系数 ai , (i 0,1, , n) 来确定插值多项式
Pn ( x) a0Baidu Nhomakorabea a1x an xn
由于这种求法计算工作量大，而且不能获得简 明的表达式，给理论研究和应用带来不便。通常我 们采用的是构造方法，直接构造一个满足条件
为 a0 y0 因而
当n=1时，为
P0 (x) a0 y0
aa00
a1x0 a1x1
y0 y1
解得
y0 x0
1 y0
a0
y1 1
1
x1 x1 y0 x0 y1
x0
x1 x0
x1
1 a1 1
1
y1 y1 y0 x0 x1 x0 x1
因而
P1 ( x)
a0
a1x
x1 y0 x0 y1 x1 x0
3、插值多项式的存在唯一性 从插值多项式的定义可知，要求满足插值
条件式 ② Pn (xi ) yi 的 n 次插值多项式①
Pn (x) a0 a1x an xn
只要把②代入①，即可得 (n+1) 个方程
a0 a0
a1x0 a1x1
a2 x02 a2 x12
an x0n y0 an x1n y1
P(xi ) yi , (i 0,1, , n) 的 n 次插值多项式。
下面，我们介绍这种简便实用的方法。
5、基本插值多项式
当n=0时
a0 a0
a1x0 a1x1
a2 x02 a2 x12
a0 a1xn a2 xn2
an x0n y0 an x1n y1
an xnn yn
l1(x0 ) 0, l1(x1) 1
ni j0
因节点互异，故D≠0 ，方程组有唯一解。
于是有
定理1 当插值节点互异时，满足插值条件②
Pn (xi ) yi , (i 0,1, , n) 的 n 次插值多项式 ①
Pn (x) a0 a1x
存在且唯一。
an xn
4、插值多项式的求法
我们在讨论插值多项式的存在唯一性时，已经 提供了一种求插值多项式的方法，即通过求解线性 方程组
使它通过已知的 (n+1)个点 (xi , yi ), P(xi ) yi
并取 P(x) f (x)
根据不同要求，可以选择不同的插值函数。
其中最简单的一类是多项式插值。
多项式插值的基础问题是：根据给出的函数
表，求一个不高于 n 次的代数多项式
Pn (x) a0 a1x an xn ①
使 Pn ( xi ) yi (i 0,1, , n)
②
满足插值条件②的多项式①，称为函数f(x)在节点
xi , (i 0,1, , n) 上的 n 次插值多项式。
特别当 n =1时，所求的一次插值多项式为通 过两点的直线，称相应的插值问题为线性插值；
当 n=2时，所求的二次插值多项式为通过三点 的抛物线，称相应的插值问题为抛物线插值。
函数插值是计算方法的重要工具，我们常 常借助于插值函数 P (x) 来计算被插值函数 f (x) 的函数值、零点和积分等的近似值。
这种求P(x)的方法称为插值法。
定义 设有m+1个互异的实数 x0，x1，…，xm和n+1个实值函 数φ0(x)，φ1(x)，…，φn(x)，其中n≤m。若向量组
k (0 (x0 ), 1(x1), ,k (xm ))T , k (0,1, , n) 线性无关，
则称函数组 {φk(x)，k=0,1,…,n} 在点集 {xi，(i=0,1,…,m)}上 线性无关；否则称为线性相关。
到具体的解析表达式，往往只能通过测量或者观
察，获得一张数据表，即
x
x0 x1 x2
xn
y
y0
y1 y2
yn
这种用表格形式给出的函数，无法求出不在表 中的点的函数值，也不能进一步研究函数的分析性 质，如函数的导数及积分等。为了解决这些问题， 我们设法通过这张表格求出一个简单的函数P(x)
使 P(xi ) yi , (i 0,1, , n)
其中 , [a,b]为插值区间； f(x)为被插值函数; xi , (i 0,1, , n) 为插值节点； P(xi ) yi , (i 0,1, , n) 为插值条件；
如图
y
y f (x)
y P(x)
0 a x0
x1 x2
xn1 xn b x
从几何上说，插值法就是求一条曲线 y = P(x)
数值分析 第5章 插值与逼近
第5章 插值与逼近
插值与逼近都是指用某个简单函数在满足一 定条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复 杂或者解 析表达式未给出的函数，以便于对后者 的各种计算或揭示后者的某些性质。
§1 代数插值
1、问题的提出 在科学研究和工程计算中，经常要研究变量
之间的函数关系，但是在很多情况下，又很难找