解答 运筹学 第一章 线性规划及其单纯形法习题
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学习题
运筹学复习题第一章 线性规划及单纯形法一、单选题1. 线性规划具有无界解是指A. 可行解集合无界B. 有相同的最小比值C. 存在某个检验数0k λ>，且0(1,2,,)ik a i m ≤=D. 最优表中所有非基变量的检验数非零 2. 线性规划具有唯一最优解是指A. 最优表中非基变量检验数全部非零B. 不加入人工变量就可进行单纯形法计算C. 最优表中存在非基变量的检验数为零D. 可行解集合有界 3. 线性规划具有多重最优解是指A. 目标函数系数与某约束系数对应成比例B. 最优表中存在非基变量的检验数为零C. 可行解集合无界D. 基变量全部大于零 4. 使函数Z=-x 1+x 2+2x 3 减小最快的方向是A. (-1,1,2)B. (1,-1,-2)C. (1,1,2)D. (-1,-1,-2) 5. 当线性规划的可行解集合非空时一定 A. 包含点X =(0,0,···,0) B. 有界 C. 无界 D. 是凸集 6. 线性规划的退化基可行解是指A. 基可行解中存在为零的非基变量B. 基可行解中存在为零的基变量C. 非基变量的检验数为零D. 所有基变量不等于零 7. 线性规划无可行解是指A. 第一阶段最优目标函数值等于零B. 进基列系数非正C. 用大M 法求解时，最优解中还有非零的人工变量D. 有两个相同的最小比值 8. 若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算A. 一定有最优解B. 一定有可行解C. 可能无可行解D. 全部约束是小于等于的形式 9. 设线性规划的约束条件为123124222401234 (,,,)jx x x x x x x j ⎧++=⎪++=⎨⎪≥=⎩ 则非退化基本可行解是A. (2， 0，0， 0)B. (0，2，0，0)C. (1，1，0，0)D. (0，0，2，4) 10. 设线性规划的约束条件为123124222401234 (,,,)jx x x x x x x j ⎧++=⎪++=⎨⎪≥=⎩ 则非可行解是A. (2，0，0， 0)B. (0，1，1，2)C. (1，0，1，0)D. (1，1，0，0) 11. 线性规划可行域的顶点一定是A. 可行解B. 非基本解C. 非可行解D. 是最优解 12. 1234min z x x =+1212124220,x x x x x ⎧+≥⎪+≤⎨⎪≥⎩ A. 无可行解 B.有唯一最优解 C.有无界解 D.有多重最优解13. 12122124432450,max z x x x x x x =-⎧+≤⎪≤⎨⎪≥⎩A. 无可行解B. 有唯一最优解C. 有多重最优解D. 有无界解 14. X 是线性规划的基本可行解则有A. X 中的基变量非负，非基变量为零B. X 中的基变量非零，非基变量为零C. X 不是基本解D. X 不一定满足约束条件 15. X 是线性规划的可行解，则错误的结论是A. X 可能是基本解B. X 可能是基本可行解C. X 满足所有约束条件D. X 是基本可行解 16. 下例错误的说法是A. 标准型的目标函数是求最大值 B 标准型的目标函数是求最小值 C. 标准型的常数项非正 D. 标准型的变量一定要非负 17. 为什么单纯形法迭代的每一个解都是可行解？答：因为遵循了下列规则 A. 按最小比值规则选择换出变量B. 先进基后出基规则C. 标准型要求变量非负规则D. 按检验数最大的变量选择换入变量 18. 线性规划标准型的系数矩阵A m×n ，要求A. 秩(A )=m 并且m <nB. 秩(A )=m 并且m <=nC. 秩(A )=m 并且m =nD. 秩(A )=n 并且n <m 19. 下例错误的结论是A. 检验数是用来检验可行解是否是最优解的数B. 检验数是目标函数用非基变量表达的系数C. 不同检验数的定义其检验标准也不同D. 检验数就是目标函数的系数 20. 对取值为无约束的变量j x ，通常令'''j j j x x x =-，其中''',0j j x x ≥；在用单纯形法求得的解中不可能出现A. '0j x =,''0j x ≥ B. '0j x =,''0j x = C. '0j x >,''0>j x D. '0j x >,''0j x =21．运筹学是一门A. 定量分析的学科B. 定性分析的学科C. 定量与定性相结合的学科D. 定量与定性相结合的学科，其中分析与应用属于定性分析，建立模型与求解属于定量分析二、设某种动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。
运筹学思考练习题答案
5 2
1 2
}
b1
Min{
5 2
(
1 6
)}
，即
5
b1
15
，则 0
b1
20
(4)以单价 2.5 购入第一种资源是值得的，因其小于该资源“影子价格”（即 2.5<4），可盈利；
第二种资源应要价至少为 2（影子价格），否则不如自己组织生产。
4
SafetyuprvisonBh'mldcg,bwkqPC".F():TXJA12Izj
答案：
SafetyuprvisonBh'mldcg,bwkqPC".F():TXJA12Izj
基解：X⑴、X⑵、X⑷、X⑺，可行解：X⑴、X⑶、X⑹、X⑺，基可行解：X⑴、X⑺，非．基．可行解： X⑶、X⑹(或非．基可行解：X⑵、X⑶、X⑷、X⑸、X⑹)。 三、求解下列线性规划问题：
MinZ 5x1 4x2
或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；(✓)
(9) 若线性规划问题中的 bi，cj 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与 对偶问题均为非可行解的情况；()
(10)在线性规划问题的最优解中，如某一变量 xj 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它 在目标函数中的系数 cj 或在各约束中的相应系数 aij，反映到最终单纯形表中，除该列数字有 变化外，将不会引起其他列数字的变化。(✓)
第一章 L.P 及单纯形法练习题答案
一、判断下列说法是否正确
1. 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件， 可行域的范围一般将扩大。(✓)
2. 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。() 3. 如线性规划问题存在某个最优解，则该最优解一定对应可行域边界上的一个点。(✓) 4. 单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个基可行解中至少有
运筹学第一章线性规划及其单纯形法习
x6
x7
-M
-M
6 3 2 0 0 -1 0 1
2 3
Cj
比值
CB
XB
b
检验数j
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
-2 -3 -1 0 0 -M -M
x2
x7
-3
-M
2 1/4 1 1/2 -1/4 0 1/4 0
2 5/2 0 -1 1/2 -1 -1/2 1
8 4/5
Cj
0.03
B1
6
8
4000
0.06
B2
4
11
7000
0.11
B3
7
4000
0.05
原料费
0.25
0.35
0.50
售价
1.25
2.00
2.80
设备
产品
设备有效台时
设备加工费
I
II
III
A1
5
10
6000
0.05
A2
7
9
12
10000
0.03
B1
6
8
4000
0.06
B2
4
11
7000
0.11
B3
7
4000
i=5, j=5, k=-3/2, l=0
01
02
综上所述：
设 是线性规划问题 的最优解。若目标函数中用 代替 C后，问题的最 优解变为
求证：
证明：因为
将（2）－（1）有
设备
产品
设备有效台时
设备加工费
I
II
1 3 第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性规划与单纯形
1 3 第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性规划与单纯形13第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性规划与单纯形法复习思考题1. 试述线性规划数学模型的结构及各要素的特征。
2. 求解线性规划问题时可能出现哪几种结果?哪些结果反映建模时有错误?3. 什么是线性规划问题的标准形式?如何将一个非标准型的线性规划问题转化为标准形式?4. 试述线性规划问题的可行解、基解、基可行解、最优解的概念以及上述解之间的相互关系。
5. 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解?6. 如果线性规划的标准型变换为求目标函数的极小化min z，则用单纯形法计算时如何判别问题已得到最优解?7. 在确定初始可行基时，什么情况下要在约束条件中增添人工变量?在目标函数中人工变量前的系数为(-M)的经济意义是什么?8. 什么是单纯形法计算的两阶段法?为什么要将计算分成两个阶段进行,如何根据第一阶段的计算结果来判定第二阶段的计算是否需要继续进行?9. 简述退化的含义及处理退化的勃兰特规则。
10. 举例说明生产和生活中应用线性规划的可能案例，并对如何应用进行必要描述。
11. 判断下列说法是否正确:(a) 图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的;(b) 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大;(c) 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点;(d) 如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点;(e) 对取值无约束的变量xj，通常令xj=x′j-x″j，其中x′j?0，x″j?0，在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现x′j,0，x″j,0;(f) 用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与σj,0对应的变量都可以被选作换入变量; (g) 单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负;(h) 单纯形法计算中，选取最大正检验数σk对应的变量xk作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长;(i) 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果;(j) 线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示; (k)若X1，X2分别是某一线性规划问题的最优解，则X=λ1X1+λ2X2也是该线性规划问题的最优解，其中λ1、λ2可以为任意正的实数;(l) 线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为minz=?ixai(xai为人工变量)，但也可写为min z=?ikixai,只要所有ki均为大于零的常数;(m)对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为Cmn个; (n) 单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解; (o) 线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解; (p) 若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解;(q) 线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优;(r) 将线性规划约束条件的“?”号及“?”号变换成“=”号，将使问题的最优目标函数值得到改善;(s) 线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值;(t) 一个企业利用3种资源生产4种产品，建立线性规划模型求解得到的最优解中，最多只含有3种产品的组合;(u) 若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解; (v) 一个线性规划问题求解时的迭代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系相对较小。
运筹学习题
第一章. 线形规划及单纯形法习题1. 某炼油厂根据计划每季度需供应合同单位汽油15万吨，煤油12万吨，重油12万吨.该厂从A ，B 两处运回原油提炼，已知两处原油成分如下表所示。
又如从A 处采购原油每吨价格（包括运费,下同）为200元，B 处原油每吨为300元.试求：1)选择该炼油厂采购原油的最优决策；2）如A 处价格不变,B 处降为290元/吨，则最2万元。
2)改为每季度从A 处采购15万吨，从B 处采购30万吨，总费用11700万元。
2. 已知线性规划问题： 213m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+=++=+40,,34210215.515242131x x x x x x x x x st下表中所列的解(a ）— （f ）均满足约束条件1—3，试指出表中哪些是可行解，哪些是3. 已知某线性规划问题的约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=---+=-+=-+)5,,1(0852********.54321421321 j x x x x x x x x x x x x st j判断下列各点是否为该线性规划问题可行域的凸集的顶点：（a ）），，，，（0200155=X（b ） ），，，，（80079=X (c ） ），，，，（0010515=X答:该线性规划问题中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4121p⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7312p⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1013p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2104p⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1005p （a ） 因有0421=++-p p p ，故不是凸集顶点；（b ） （9,7，0，0，8）为非可行域的点（c ） 因321,,p p p 线性相关，故非凸集的顶点。
4. 在单纯形法迭代中，任何从基变量中替换出来的变量在紧接着的下一次迭代中会不会立即再进入基变量，为什么？答：不可能，因刚从基中被替换出来的变量在下一个单纯形表中,其检验数一定为负.5. 求解线性规划问题当某一变量jx 的取值无约束时，通常用'''j j jx x x -=来替换，其中0'≥j x ，0''≥j x 。
运筹学习题解答(chap1 线性规划及单纯形法)
第一章 线性规划及单纯形法一、写出下列线性规划的标准形式，用单纯形法求解，并指出其解属于哪种情况。
1、P55,1.3(a)21510m ax x x Z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0x ,x 8x 2x 59x 4x 3.t .s 212121 解：将模型化为标准型21510x x Z Max +=⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++0,,,825943..4321421321x x x x x x x x x x t s 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)2,1(*=X ，最优目标值为2。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
2、 P55,1.3(b)21x x 2Z m ax +=s.t⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,524261552121212x x x x x x x解：将模型化为标准型21x x 2Z Max +=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++=+0x ,...,x ,x ,5x x x ,24x x 2x 6,15x x 552152142132 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)0,0,2,2,2(X *=，最有目标值为217。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
3、3212x x x Z Min -+=，t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤+-≤-+0,,,5,822,422321321321321x x x x x x x x x x x x 解：将模型化为标准型：3212x x x Z Min -+=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=++-=+-+0,,,5,822,422321632153214321x x x x x x x x x x x x x x x 用单纯形法迭代最优解为（0，0，4），最优值为-4。
4、43213x x x x Z Min +++=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++-0,,,,,63,4224321421321x x x x x x x x x x 解：因为所有检验数均已非负，故已是最优解，最优解为（0，2，0，4），--10分最优目标值：6Z =*。
运筹学习题
习题一1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
(1) min z ＝6x1＋4x2(2) max z ＝4x1＋8x2st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤103x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8x1, x2≥0 x1, x2≥0(3) max z ＝x1＋x2(4) max z ＝3x1－2x2st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤14x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥42x2≥4 x1, x2≥0x1, x2≥0(5) max z ＝3x1＋9x2(6) max z ＝3x1＋4x2st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8－x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12x2≤6 2x1＋x2≤162x1－5x2≤0 x1, x2≥0x1, x2≥01.2. 在下列线性规划问题中，找出所有基本解，指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。
(1) max z ＝3x1＋5x2(2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3st. x1＋x3＝4 st. x1＋3x3－x4＝32x2＋x4＝12 2x2＋2x3－x5＝53x1＋2x2＋x5＝18 x j≥0 （j＝1, (5)x j≥0 （j＝1, (5)1.3. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
(1) max z ＝10x1＋5x2st. 3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8x1, x2≥0(2) max z ＝100x1＋200x2st. x1＋x2≤500x1≤2002x1＋6x2≤1200x1, x2≥01.4. 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类：(1) max z ＝4x1＋5x2＋x3(2) max z ＝2x1＋x2＋x3st. 3x1＋2x2＋x3≥18 st. 4x1＋2x2＋2x3≥42x1＋x2≤4 2x1＋4x2≤20x1＋x2－x3＝5 4x1＋8x2＋2x3≤16x j≥0 （j＝1,2,3）x j≥0 （j＝1,2,3）(3) max z ＝ x 1＋ x 2 (4) max z ＝x 1＋2x 2＋3x 3－x 4 st. 8x 1＋6x 2≥24 st. x 1＋2x 2＋3x 3＝154x 1＋6x 2≥－12 2x 1＋ x 2＋5x 3＝202x 2≥4 x 1＋2x 2＋ x 3＋ x 4＝10x 1, x 2≥0 x j ≥0 （j ＝1, (4)(5) max z ＝4x 1＋6x 2 (6) max z ＝5x 1＋3x 2＋6x 3 st. 2x 1＋4x 2 ≤180 st. x 1＋2x 2＋ x 3≤183x 1＋2x 2 ≤150 2x 1＋ x 2＋3x 3≤16 x 1＋ x 2＝57 x 1＋ x 2＋ x 3＝10x 2≥22 x 1, x 2≥0，x 3无约束 x 1, x 2≥01.5 线性规划问题max z ＝CX ，AX ＝b ，X ≥0，如X*是该问题的最优解，又λ＞0为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化：（1） 目标函数变为max z ＝λCX ；（2） 目标函数变为max z ＝（C ＋λ）X ；（3） 目标函数变为max z ＝C X ，约束条件变为AX ＝λb 。
运筹学习题答案(第一章)
无穷多最优解， x 1 1, x 2 1 3 , Z 3 是一个最优解
max Z 3 x 1 2 x 2 (2) 2 x1 x 2 2 st . 3 x 1 4 x 2 12 x , x 0 2 1
该问题无解
page 3 15 June 2013
page 6 15 June 2013
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
min Z 2 x 1 2 x 2 3 x 3 (2) x1 x 2 x 3 4 st 2 x1 x 2 x 3 6 x 0 , x 0 , x 无约束 2 3 1
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
max Z 3 x 1 x 2 2 x 3 12 x 1 3 x 2 6 x 3 3 x 4 9 8 x 1 x 2 4 x 3 2 x 5 10 st 3 x x6 0 1 x j 0（ j 1, , 6） , (1)
x1
x2
基可行解 x3
x4
Z
0 0 2/5
page 10 15 June 2013
0.5 0 0
2 1 11/5
0 1 0
5 5 43/5
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划 问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
max Z 10 x 1 5 x 2 (1) 3 x1 4 x 2 9 st . 5 x 1 2 x 2 8 x ,x 0 1 2
解答 运筹学 第一章 线性规划及其单纯形法习题
解题技巧
明确目标函数和约束条件 画出线性规划图找出可行域 利用单纯形法求解最优解 注意变量的取值范围和约束条件的有效性
ห้องสมุดไป่ตู้意事项
线性规划问题需要满足线性约束条件 单纯形法需要满足可行域条件 注意线性规划问题的最优解可能不存在 注意单纯形法的迭代次数和收敛速度
感谢您的观看
汇报人：
判断是否达到最 优解
如果没有达到最 优解则进行迭代 计算直到达到最 优解
复杂线性规划问题的求解
线性规划问题的定 义和分类
单纯形法的基本原 理和步骤
单纯形法的应用实 例：求解复杂线性 规划问题
单纯形法的优缺点 和适用范围
线性规划问题的实际应用
资源分配：合理分配资源以 最大化收益或最小化成本
生产计划：确定最优的生产 计划以最小化成本或最大化 利润
线性约束条件：约束条件是线性的 即约束条件中的变量和常数的系数 都是常数。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
线性目标函数：目标函数是线性的 即目标函数中的变量和常数的系数 都是常数。
线性规划问题的解：线性规划问题 的解是满足所有约束条件的一组变 量值使得目标函数达到最大值或最 小值。
线性规划问题的几何解释
线性规划问题的标准形式
目标函数：线性 函数表示要最大 化或最小化的目 标
约束条件：线性 不等式或不等式 组表示决策变量 的取值范围
决策变量：表示 问题的未知数可 以是连续的或离 散的
线性规划问题的解： 满足所有约束条件 的最优解可以是唯 一的或无穷多个
单纯形法的基本原理
第三章
单纯形法的概念
单纯形法是一种解决线性规划 问题的方法
单纯形法的基本原 理是通过迭代求解 线性规划问题的最 优解
运筹学第1章习题
运筹学第1章习题运筹学第1章线性规划与单纯形法习题详解(习题)1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）max z x1 x25x1+10x2≤50x1+x2≥1x2≤4x1，x2≥0（2）min z=x1+1.5x2x1+3x2≥3x1+x2≥2x1，x2≥0（3）max z=2x1+2x2x1-x2≥-1-0.5x1+x2≤2x1，x2≥0（4）max z=x1+x2x1-x2≥03x1-x2≤-3x1，x2≥01.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
（1）min z=-3x1+4x2-2x3+5x4运筹学4x1-x2+2x3-x4=-2x1+x2+3x3-x4 14-2x1+3x2-x3+2x4 2x1，x2，x3 0，x4无约束（2）max snmzkpkzk aikxiki 1k 1xk 1mik 1(i 1,...,n)xik 0 (i=1。
n; k=1,。
,m)1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。
指出哪些是基可行解，并代入目标函数，确定最优解。
（1）max z=2x1+3x2+4x3+7x42x1+3x2-x3-4x4=8x1-2x2+6x3-7x4=-3x1,x2,x3,x4 0（2）max z=5x1-2x2+3x3-6x4x1+2x2+3x3+4x4=72x1+x2+x3+2x4=3x1x2x3x4 01.4分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并指出单纯形迭代每一步相当于图形的哪一点。
（1）max z=2x1+x23x1+5x2 15运筹学6x1+2x2 24x1，x2 0（2）max z=2x1+5x2x1 42x2 123x1+2x2 18x1，x2 01.5以1.4题（1）为例，具体说明当目标函数中变量的系数怎样变动时，满足约束条件的可行域的每一个顶点，都可能使得目标函数值达到最优。
运筹学习题精选
运筹学习题精选第一章线性规划及单纯形法选择1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为……………………………………………………( C )A．多余变量 B．松弛变量 C．自由变量 D．人工变量2．约束条件为0AX的线性规划问题的可行解集b,≥=X 是………………………………………( B )A．补集 B．凸集 C．交集 D．凹集3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（ C）上达到。
A．内点 B．外点 C．顶点 D．几何点4．线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是…………………………………………………( B)A．正数 B．非负数 C．无约束 D．非零的5．线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D 的………………………………………………( D)A．外点 B．所有点 C．内点 D．极点6．基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得……………………………( B ) A．基本解 B．退化解 C．多重解 D．无解7．满足线性规划问题全部约束条件的解称为…………………………………………………( C )A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解8．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（B ）代换。
A．和 B．差 C．积 D．商9．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得………………………( A )A ．多重解B ．无解C ．正则解D ．退化解 10．若线性规划问题有最优解，则必定存在一个( D )是最优解。
A ．无穷多解 B. 基解 C. 可行解 D. 基可行解 填空计算 1． 某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示,求使该厂获利最大的生产计划。
2． 目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量，表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g 的值，并判断是否→j c 0 0 0 28 1 2B C 基 b 1x 2x 3x 4x5x 6x 2 6x A 3 0 -14/3 0 1 1 0 2x 5 6 D 2 0 5/2 0 28 4x 0 0 E F 1 0 0 j j z c - B C 0 0 -1 G3． 某工厂生产A 、B 两种产品，已知生产A 每公斤要用煤6吨、电4度、劳动力3个；生产B 每公斤要用煤4吨、电5度、劳动力10个。
运筹学_第1章_线性规划习题
第一章线性规划习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。
依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即ma x z=50x1+100x2且称z=50x1+100x2为目标函数。
同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250且称上述三式为约束条件。
此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x1≥0、x2≥0。
这样有ma x z=50x1+100x2x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250x1、x2≥0习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。
两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。
从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。
环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。
两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。
解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。
则问题的目标可描述为min z =1000x 1+800x 2 约束条件有第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求 (2－x 1)/500 ≤0.2% 第二段河流（工厂2以下河段）环保要求 [0.8(2－x 1) +(1.4－x 2)]/700≤0.2% 此外有x 1≤2； x 2≤1.4 化简得到min z =1000x 1+800x 2 x 1 ≥1 0.8x 1 + x 2 ≥1.6 x 1 ≤2 x 2≤1.4 x 1、x 2≥0习题1.3ma x z =50x 1+100x 2x 1 + x 2≤300 2x 1 + x 2≤400x 2≤250图1—1 x 2x1、x2≥0用图解法求解。
运筹学习题答案(第一章)
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
对下述线性规划问题找出所有基解， 1.3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪 些是基可行解，并确定最优解。 些是基可行解，并确定最优解。
max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x − 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 − x 6 = 0 x j ≥ 0（ j = 1, L , 6） ,
page 6 9 April 2011
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
(2) min st x 1 Z = 2 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x1 + x 2 + x 3 = 4 − 2 x1 + x 2 − x 3 ≤ 6 ≤ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 无约束
page 12 9 April 2011
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
l.5 上题 中，若目标函数变为 上题(1)中 若目标函数变为max Z = cx1 + dx2， 讨论c,d的值如何变化 的值如何变化， 讨论 的值如何变化，使该问题可行域的每个顶点依 次使目标函数达到最优。 次使目标函数达到最优。 得到最终单纯形表如下： 解：得到最终单纯形表如下： Cj→ CB d c 基 x2 x1 σj
page 4 9 April 2011
School of Management
运筹学教程
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-线性规划与单纯形法(圣才出品)
约束条件应引入（ ）。[北京交通大学 2010 研]
A．可控变量
B．环境变量
C．人工变量
D．松弛变量
【答案】D
【解析】约束方程为“≥”不等式，则可在“≥”不等式左端减去一个非负剩余变量（也
可称松弛变量）。
2．单纯形法中，关于松弛变量和人工ห้องสมุดไป่ตู้量，以下说法正确的是（ ）。[中山大学 2008 研]
A．在最后的解中，松弛变量必须为 0，人工变量不必为 0 B．在最后的解中，松弛变量不必为 0，人工变量必须为 0 C．在最后的解中，松弛变量和人工变量都必须为 0 D．在最后的解中，松弛变量和人工变量都不必为 0 【答案】B 【解析】如果人工变量不为 0，则原问题无可行解。
【答案】√ 【解析】基解且可行才有可能是最优解。
6．若 X1，X2 分别是某一线性规划问题的最优解，则 X=λ1X1+λ2X2 也是该线性规划问 题的最优解，其中 λ1，λ2 为正实数。[南京航空航天大学 2011 研]
【答案】×
【解析】 1，2 不但应该是正实数，还应该满足 1+2 =1
7．如果线性规划问题有最优解，则它一定是基可行解。[东北财经大学 2008 研] 【答案】√ 【解析】基解且可行才有可能是最优解。
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
是
C
m n
个。[暨南大学
2011
研]
【答案】×
【解析】其基解的个数最多是
C
m n
个，且一般情况下，基可行解的数目小于基解的个数。
5．若线性规划问题的可行解为最优解，则该可行解必定是基可行解。[南京航空航天大 学 2011 研]
【答案】C
【解析】当某些 σj＞0 时，xj 增加则目标函数值还可以增大，这时要将某个非基变量 xj
运筹学第1章线性规划及单纯形法复习题
max (min)
Z = CX
AX ≤ ( = , ≥ ) b X ≥ 0
3、线性规划的标准形式 、
ma0
4、线性规划问题的解 、 （一）求解方法
一 般 有 两种方法 图 解 法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
适用于任意多个变量、 适用于任意多个变量、但需将 一般形式变成标准形式
（二）线性规划问题的解
1、解的概念 可行解：满足约束条件② 的解为可行解。 ⑴ 可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 最优解： 达到最大值的可行解。 ⑵ 最优解：使目标函数①达到最大值的可行解。 ⑶ 基：B是矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵 是矩阵A ≠0）， ），则 是一个基。 （∣B∣≠0），则B是一个基。
§2 图 解 法
例一、 例一、 max
Z = 2 x 2 x 2 x 4 x
2 2 1
+ 3 x
2
2 x1 + x + 1 4 x1 x1 ≥
≤ 12 ≤ 8 ≤ 16 ≤ 12
2
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
2
0, x
≥ 0
max
Z = 2 x1 + 3 x 2 x 2 x
2 2
当xj=0时, 必有 j=zj=0, 因此 时 必有y
∑P x = ∑P y = ∑P z
j =1
r
r
r
r
j
j
j =1
j
j
j =1
j
j
=b
∑(y
j =1
j
− z j ) Pj = 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
√ √ √ √ √ √
基解
√ √ √ √ √ √
是否为基可行解
(-4, 11/2, 0 , 0) (2/5, 0, 11/5 , 0) (-1/3, 0, 0, 11/6) (0, 1/2, 2, 0) (0, -1/2, 0, 2) (0, 0, 1, 1)
×
√
×
√
×
√
4、已知线性规划问题 :
max Z x1 3x2 x1 x 2 x 1 2 st. x2 x1 ... x3 x4 x5 x5 0 5 10 4
检验数j
Cj CB -3 -M XB x2 2
-2
-3
x2 1
-1
0
0
x5
-M
x6 1/4
3 3 M 2 4
-M
x7 0
b
2
2M 6
x1 1/4
x3 x4
比 值 8
1/2 -1/4 0
x7
5/2
5 5 M 2 4
0
0
-1
M 1 2
1/2 -1 -1/2
M 3 2 4 M
-2
-3 x2 4Leabharlann -100 x5 0
-M x6 1
-M x7 0
b
6
0
x1 1
x3 x4 2 -1
比 值
3
-2
2
-3
0
-1
0
0
-1
0
0
1
检验数j
-M -M
Cj CB -M -M XB x6 x7 8 6
-2
-3 x2 4 2
-1
0
0 x5 0 -1
-M x6 1 0
0
-M x7 0 1
0
b
x1 1 3
min Z 5 x1 2 x2 3x3 2 x4 x1 2 x2 3x3 4 x4 7 s.t. 2 x1 2 x2 x3 2 x4 3 x 0( j 1,...., 4) j
关键：判断2个列向量线性相关性，若线性无关，则成为基
无穷多最优解
max Z x1 x 2 6 x1 10 x 2 120 s.t. 5 x1 10 3 x2 8
X*=(10, 6) 唯一解
max Z 5 x1 6 x 2 2 x1 x 2 2 s.t. 2 x1 3x 2 2 x1, x 2 0
课后练习（二）
1、分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并 指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一 个顶点
max Z 10 x1 5 x2 3 x1 4 x2 9 st. 5 x1 2 x2 8 x ,x 0 1 2
max Z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 st. x1 x2 5 x1 , x2 0
max Z 6 x1 2 x2 10 x3 8 x4 6 x2 4 x3 4 x4 20 5 x1 3x 3x2 2 x3 8 x4 25 1 st. 2 x2 x3 3x4 10 4 x1 x j 0 ( j 1, 2,3, 4)
1
0
4/5
检验数j
Cj
CB -3 -2 XB x2 x1
-2
-3
-1
0
0
-M
-M
b
9/5
x1
0
x2
1
x3 x4
x5
x6
x7
比 值
3/5 -3/10 1/10 3/10 -1/10
4/5
7
1
0
0
0
-2/5 1/5 -2/5 -1/5 2/5
0 1 2 1 1 1 M M 2 2 2
Cj CB 0 0 XB x3 x4
b
9 8 0 21/5 8/5
10 x1 3 5 10 0 1
5 x2 4 2 5 14/5 2/5
0 x3 1 0 0 1 0
0 x4 0 1 0 -3/5 1/5
比 值
9/3=3 8/5
检验数j 0 x3
3/2 4
10
x1
检验数j -80/5
5 10 x2 x1 3/2 1
2 1 0 1 3 0 4 7 1
X (9, 7, 0, 0, 0)
2 1 1 0 0 A 1 3 0 1 0 4 7 1 2 1
2 1 1 1 3 0 X (15,5,10, 0, 0) 不是基，故 4 7 1 不是基解，更不可能是基可行解
Cj CB 0 0 0 XB x4 b 60 10 20
2
x1 3 1 1
-1
x2 1 -1 1
1
x3 1 2 -1
0
x4 1 0 0
0
x5 0 1 0
0
x6 0 0 1
比 值
60/3=20
x5
x6
10/1=10
20/1=20
检验数j
0 2 0 x4 x1 x6
0
30 10
2
0 1
-1
4 -1
1
1
2 3 4
下表中所列的解均满足约束条件1-3，试指出表中哪些是可行 解，哪些是基解，哪些是基可行解。
序号 A X1 2 X2 4 X3 3 X4 0 X5 0
B
C D E F
10
3 1 0 0
0
0 4.5 2 4
-5
2 4 5 5
0
7 0 6 2
4
4 -0.5 2 0
可行解有(a), (c), (e), (f); p1 p2 p3 p4 p5
0 1 0
1
0 0 1
-3
1 1/2 -3/2
0
1 0 0
-2
-1 1/2 -1/2
0
-2 1/2 1/2
x1
x2
检验数j
-25
0
0
-3/2
0
-3/2
-1/2
同理： （2）为无界解
3 用单纯形法中的大M法求解下列线性规划问题，并指出属 那一类解
min Z 2 x1 3 x2 x3 x1 st. 3 x1 x , 1 4 x2 2 x2 x2 , 2 x3 x3 0 8 6
课后练习（一）
1 用图解法求下列线性规划问题，并指出问题具有唯一 最优解、无穷多最优解、无界界还是无可行解。
max Z 3 x1 2 x 2 2 x1 x 2 2 s.t. 3 x1 4 x 2 12 x1, x 2 0 无可行解
min Z 2 x1 3 x 2 4 x1 6 x 2 6 s.t 4 x1 2 x 2 4 x1, x 2 0
1 2 3 4 A 2 2 1 2
p1 p2 p3 p4
1 2 3 4 A 2 2 1 2
序号 1 2 3 4 5 6 序号 1 2 3 4 5 6 向量组 p1 p2 p1 p3 p1 p4 p2 p3 p2 p4 p3 p4 基 p1 p1 p1 p2 p2 p3 p2 p3 p4 p3 p4 p4 是否线性无关 是否为基
x3 x4 2 -1 0 0
比 值
检验数j
14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M
Cj CB -M -M XB
-2
-3 x2
4 2
-1
0
0 x5
0 -1
-M x6
1 0
0
-M x7
0 1
0
b
8 6
x1
1 3
x3 x4
2 -1 0 0
比 值 2
x6 x7
3
检验数j
14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M
化为标准式有
max Z 2 x1 3 x2 x3 0 x4 0 x5 Mx6 Mx7 4 x2 x1 st. 3x1 2 x2 x 0 1~7 2 x3 x4 x5 x6 x7 8 6
Cj
CB -M -M XB x6 x7 8
X3 X1
2 a
Cj-Zj
(1)a~g的值
X1 c d b
X2 0 e -1
X3 1 0 f
x4 1/5 1 g
(2) 表中给出的解是否为最优解
因为目标函数值为10，而Z=5x1+3x2,由单纯形表可知 x1=a, x2=0， 故a = 2 因为x1、x2为基变量，所以因当满足高斯消元的形式 (proper form from Gaussian elimination), 故c=0, d=1, b=0; f=0 由检验数的定义可知： j c j －1＝3 －（0×0 ＋e×5）
检验数j
4、求解线性规划问题当某一变量的取值无约束时，通 常用 x j
x x
' j
'' j
来替换，其中
。 x'j 0 ，x''j 0
试说明，能否在基变量中同时出现，为什么？
不可能。因为 P P
' j
'' j
故
P P 0
' j '' j
5、 下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线 性规划的目标函数为 max Z 5x1 3x2约束形式为 x3、x4为松弛变量，表中解代入目标函数后得Z=10
无界解