解答 运筹学 第一章 线性规划及其单纯形法习题

√ √ √ √ √ √
基解
√ √ √ √ √ √
是否为基可行解
(-4, 11/2, 0 , 0) (2/5, 0, 11/5 , 0) (-1/3, 0, 0, 11/6) (0, 1/2, 2, 0) (0, -1/2, 0, 2) (0, 0, 1, 1)
×
√
×
√
×
√
4、已知线性规划问题 :
max Z x1 3x2 x1 x 2 x 1 2 st. x2 x1 ... x3 x4 x5 x5 0 5 10 4
检验数j
Cj CB -3 -M XB x2 2
-2
-3
x2 1
-1
0
0
x5
-M
x6 1/4
3 3 M 2 4
-M
x7 0
b
2
2M 6
x1 1/4
x3 x4
比 值 8
1/2 -1/4 0
x7
5/2
5 5 M 2 4
0
0
-1
M 1 2
1/2 -1 -1/2
M 3 2 4 M
-2
-3 x2 4Leabharlann -100 x5 0
-M x6 1
-M x7 0
b
6
0
x1 1
x3 x4 2 -1
比 值
3
-2
2
-3
0
-1
0
0
-1
0
0
1
检验数j
-M -M
Cj CB -M -M XB x6 x7 8 6
-2
-3 x2 4 2
-1
0
0 x5 0 -1
-M x6 1 0
0
-M x7 0 1
0
b
x1 1 3
min Z 5 x1 2 x2 3x3 2 x4 x1 2 x2 3x3 4 x4 7 s.t. 2 x1 2 x2 x3 2 x4 3 x 0( j 1,...., 4) j
关键：判断2个列向量线性相关性，若线性无关，则成为基
无穷多最优解
max Z x1 x 2 6 x1 10 x 2 120 s.t. 5 x1 10 3 x2 8
X*=(10, 6) 唯一解
max Z 5 x1 6 x 2 2 x1 x 2 2 s.t. 2 x1 3x 2 2 x1, x 2 0
课后练习（二）
1、分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并 指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一 个顶点
max Z 10 x1 5 x2 3 x1 4 x2 9 st. 5 x1 2 x2 8 x ,x 0 1 2
max Z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 st. x1 x2 5 x1 , x2 0
max Z 6 x1 2 x2 10 x3 8 x4 6 x2 4 x3 4 x4 20 5 x1 3x 3x2 2 x3 8 x4 25 1 st. 2 x2 x3 3x4 10 4 x1 x j 0 ( j 1, 2,3, 4)
1
0
4/5
检验数j
Cj
CB -3 -2 XB x2 x1
-2
-3
-1
0
0
-M
-M
b
9/5
x1
0
x2
1
x3 x4
x5
x6
x7
比 值
3/5 -3/10 1/10 3/10 -1/10
4/5
7
1
0
0
0
-2/5 1/5 -2/5 -1/5 2/5
0 1 2 1 1 1 M M 2 2 2
Cj CB 0 0 XB x3 x4
b
9 8 0 21/5 8/5
10 x1 3 5 10 0 1
5 x2 4 2 5 14/5 2/5
0 x3 1 0 0 1 0
0 x4 0 1 0 -3/5 1/5
比 值
9/3=3 8/5
检验数j 0 x3
3/2 4
10
x1
检验数j -80/5
5 10 x2 x1 3/2 1
2 1 0 1 3 0 4 7 1
X (9, 7, 0, 0, 0)
2 1 1 0 0 A 1 3 0 1 0 4 7 1 2 1
2 1 1 1 3 0 X (15,5,10, 0, 0) 不是基，故 4 7 1 不是基解，更不可能是基可行解
Cj CB 0 0 0 XB x4 b 60 10 20
2
x1 3 1 1
-1
x2 1 -1 1
1
x3 1 2 -1
0
x4 1 0 0
0
x5 0 1 0
0
x6 0 0 1
比 值
60/3=20
x5
x6
10/1=10
20/1=20
检验数j
0 2 0 x4 x1 x6
0
30 10
2
0 1
-1
4 -1
1
1
2 3 4
下表中所列的解均满足约束条件1-3，试指出表中哪些是可行 解，哪些是基解，哪些是基可行解。
序号 A X1 2 X2 4 X3 3 X4 0 X5 0
B
C D E F
10
3 1 0 0
0
0 4.5 2 4
-5
2 4 5 5
0
7 0 6 2
4
4 -0.5 2 0
可行解有(a), (c), (e), (f); p1 p2 p3 p4 p5
0 1 0
1
0 0 1
-3
1 1/2 -3/2
0
1 0 0
-2
-1 1/2 -1/2
0
-2 1/2 1/2
x1
x2
检验数j
-25
0
0
-3/2
0
-3/2
-1/2
同理： （2）为无界解
3 用单纯形法中的大M法求解下列线性规划问题，并指出属 那一类解
min Z 2 x1 3 x2 x3 x1 st. 3 x1 x , 1 4 x2 2 x2 x2 , 2 x3 x3 0 8 6
课后练习（一）
1 用图解法求下列线性规划问题，并指出问题具有唯一 最优解、无穷多最优解、无界界还是无可行解。
max Z 3 x1 2 x 2 2 x1 x 2 2 s.t. 3 x1 4 x 2 12 x1, x 2 0 无可行解
min Z 2 x1 3 x 2 4 x1 6 x 2 6 s.t 4 x1 2 x 2 4 x1, x 2 0
1 2 3 4 A 2 2 1 2
p1 p2 p3 p4
1 2 3 4 A 2 2 1 2
序号 1 2 3 4 5 6 序号 1 2 3 4 5 6 向量组 p1 p2 p1 p3 p1 p4 p2 p3 p2 p4 p3 p4 基 p1 p1 p1 p2 p2 p3 p2 p3 p4 p3 p4 p4 是否线性无关 是否为基
x3 x4 2 -1 0 0
比 值
检验数j
14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M
Cj CB -M -M XB
-2
-3 x2
4 2
-1
0
0 x5
0 -1
-M x6
1 0
0
-M x7
0 1
0
b
8 6
x1
1 3
x3 x4
2 -1 0 0
比 值 2
x6 x7
3
检验数j
14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M
化为标准式有
max Z 2 x1 3 x2 x3 0 x4 0 x5 Mx6 Mx7 4 x2 x1 st. 3x1 2 x2 x 0 1~7 2 x3 x4 x5 x6 x7 8 6
Cj
CB -M -M XB x6 x7 8

X3 X1
2 a
Cj-Zj
(1)a~g的值
X1 c d b
X2 0 e -1
X3 1 0 f
x4 1/5 1 g
(2) 表中给出的解是否为最优解
因为目标函数值为10，而Z=5x1+3x2,由单纯形表可知 x1=a, x2=0， 故a = 2 因为x1、x2为基变量，所以因当满足高斯消元的形式 (proper form from Gaussian elimination), 故c=0, d=1, b=0; f=0 由检验数的定义可知： j c j －1＝3 －（0×0 ＋e×5）
检验数j
4、求解线性规划问题当某一变量的取值无约束时，通 常用 x j
x x
' j
'' j
来替换，其中
。 x'j 0 ，x''j 0
试说明，能否在基变量中同时出现，为什么？
不可能。因为 P P
' j
'' j
故
P P 0
' j '' j
5、 下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线 性规划的目标函数为 max Z 5x1 3x2约束形式为 x3、x4为松弛变量，表中解代入目标函数后得Z=10
无界解
2、将下述线性规划问题化成标准形式
min Z 2 x1 2 x2 3 x3 x1 x2 x3 4 st. 2 x1 x2 x3 6 x 0, x 0, x 无约束 2 3 1
解：
' '' max Z ' 2 x1' 2 x2 3( x3 x3 ) 0 x4
Cj
CB -3 -M XB x2 2 2
2M 6
-2
-3 x2
1 0
0
-1
0
0 x5
-M x6
1/4
3 3 M 2 4
-M x7
0 1
0
b
x1
1/4 5/2
5 5 M 2 4
x3 x4
-1
M 1 2
比 值
8 4/5
1/2 -1/4 0
M 3 2 4 M
x7
1/2 -1 -1/2
c a
i 1
m
i ij
e=4/5
g=0－（0×1/5＋1×5） g=－5
综上所述： a=2, b=0, c=0, d=1, e=4/5, f=0, g=-5 由于所有检验非正，故该解是最优解 这个表格为最终单纯形表
1 0 1 0 0 A 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1
1 1 0
1 1 0
0 2 1
1 0 0
1 0 0
0 0 1
是基
0 2 1
1 0 0
0 1 是基 0
是基
基解有(a), (b), (f); 基可行解有(a) (f).
0
0 1 0
1
1 0 0
0
-2
5/14 -3/14 -1/7 2/7
-5/14 -25/14
检验数j -175/10
同理： （2） X*=(3.5, 1.5, 7.5, 0, 0) Z*=8.5
2 用单纯形法求解下列线性规划问题 max Z 2 x1 x2 x3
x2 x3 60 3x1 x x2 2 x3 10 1 st. x2 x3 20 x1 x j 0 ( j 1, 2,3)
2 1 1 0 0 A 1 3 0 1 0 4 7 1 2 1
2 1 0 1 3 1 4 7 2
不是基，故 X (5,15, 0, 20, 0)
不是基解，更不可能是基可行解 是基，故 X (9, 7, 0, 0,8) 是基解 又由于其每个分量非负，故为基可行解 为非可行域上的点，故不是
-5 2
0
1 0
0
-3 1
0
0 0
30/4=7.5 -
10
0
2
-3
0
-1
1
10/2=5
检验数j
-20
0
1
-3
0
-2
0
0 2 0
x4 x1 x6
30 10
0 1
4 -1
-5 2
1 0
-3 1
0 0
30/4=7.5 -
10
0
2
-3
0
-1
1
10/2=5
检验数j
0 2 -1 x4
-20
10 15 5
0
x1' st. 2 x1' x' 0 1
x2 x2 x2 0
' '' ( x3 x3 ) ' '' ( x3 x3 ) ' '' x3 , x3 0
x4 x4 0
4 6
3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出那些是基可行 解，并确定最优值。
5 已知某线性规划问题的约束条件为
25 2 x1 x2 x3 x 3 x x4 30 1 2 st. 4 x1 7 x2 x3 2 x4 x5 85 x1 x2 x3 x4 x5 0
判断下列各点是否为该线性规划问题可行域上的顶点：
X (5,15, 0, 20, 0) X (9, 7, 0, 0,8) X (15,5,10, 0, 0)