辽宁省沈阳市第120中学2019-2020学年度下学期高三年级第九次质量监测文科数学试题及答案

21.已知函数 f(x) = x2 − aex − 1．
(1)若 f(x)有两个不同的极值点x1，x2，求实数 a 的取值范围；
(2)在(1)的条件下，求证：ex1
+
ex2
>
4．
a
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
22. [选修 4－4：坐标系与参数方程]
因此可得：A、B 的体积不相等，必然：A、B 在等高处的截面积不恒相等．
即 p ⇒ q，反之不成立．
∴ p 是 q 的充分不必要条件．
故选 A．
3.解：∵数列 1，a1，a2，9 是等差数列，
∴ a1 + a2 = 1 + 9 = 10，
∵数列 1，b1，b2，b3，9 是等比数列， ∴ b22 = 1 × 9， 再由题意可得b2 = 1 × q2 > 0 (q 为等比数列的公比)，
(2)若射线θ
=
α(0
<
α
<
π 2
)与直线
l
交于点
M，与曲线C2交于点
N(与原点不重合)，求||OOMN||
的最大值．
23. [选修 4－5：不等式选讲]
已知 f(x) = |x − 1| + |ax + 1|，g(x) = |x + 1| + 2．
(Ⅰ)若
a
=
1，求不等式
2
f(x)
<
2
的解集；
(Ⅱ)设关于 x 的不等式 f(x) ≤ g(x)的解集为 A，若集合(0,1] ⊆ A，求 a 的取值范围．
= 2 (‫݅ ݏ‬2 + ʹ‫ݏ‬2)2 + 4 ʹ‫ݏ‬22
= 2|sin2 + cos2| + 2|cos2|，
∵
π 2
<
2
<
π，∴
2
是第二象限角，
∴ cos2 < 0，sin2 + cos2 =
2sin(2
+
π 4
)，
∵
0
<
2
+
π 4
<
π，∴
sin2
+
cos2
=
2sin(2 + π ) > 0
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
8.已知 M 是抛物线y2 = 2x 上一点，N 是圆x2 + (y − 2)2 = 1 关于直线 x − y = 0 对称的曲线 C
上任意一点，则|MN|的最小值为( )
A. 3 1
B . 3 1
C.1
D.2
9.若函数 ()
在区间(
1 2
,2)内存在单调递增区间，则实数
∴
b2
=
3，则a1b+2a2
=
3，
10
故选 B．
4.解：设
z
=
a
+
bi(a,b
∈
R)，则1z
=
1 a+bi
=
aa2−+bbi2，若复数
z
满足1
z
∈
R，则
b
=
0，则
z
∈
R，
故命题p1为真命题；
p2：复数 z = i 满足z2 =− 1 ∈ R，则 z ∉ R，故命题p2为假命题；
p3：若复数z1 = i，z2 = 2i 满足z1z2 ∈ R，但z1 ≠ z−2，故命题p3为假命题；
2.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说两个同高的几何体，如在等高处的截面
积恒相等，则体积相等．设 A、B 为两个同高的几何体，p：A、B 的体积不相等，q：A、B
在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是 q 的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
−
y2 b22
=
1(a2 > 0,b2 > 0)有公共的焦点F1，F2，P 是它们在第一象限的交点，且∠F1PF2 = 60°，则
e 12 + e 22的最小值为( )
A. 3
2
B. 1+ 3
2
C. 2+ 3
2
D. 3+ 3
2
12.已知函数
f(x)
=
1 4
x2
+
1 2
x
+
a(x
<
0)，g(x)
=
lnx(x
p4：若复数
z
∈
R，则
−
z
∈
R．
其中的真命题为( )
A. p1，p3
B. p1，p4
C. p2，p3
D. p2，p4
5.下列命题中，错误的是( ) A. 圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形 B. 圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 C. 圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 D. 当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆
15.已知首项为 3 的正项数列{an}满足(an+1 + an)(an+1 − an) = 3(an + 1)(an − 1)，记数列 {log2(an2 − 1)}的前 n 项和为Sn，则使得Sn > 440 成立的 n 的最小值为______．
16.已知球 O 是正三棱锥 A-BCD 的外接球，BC = 3，AB = 2 3，点 E 在线段 BD 上，且 BD = 3BE， 过点 E 作球 O 的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是______．
沈阳市第 120 中学 2019-2020 学年度下学期
高三年级第九次质量监测
数学试题
满分：150 分
考试时间：150 分钟
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.图中阴影表示的集合是( ) A. (P ∪ Q) ∩ ∁ US B. (P ∩ Q) ∪ ∁ US C. (P ∩ Q) ∩ ∁ US D. (P ∪ Q) ∪ ∁ US
1.解：依题意，由图知，
阴影部分对应的元素 a 具有性质 a ∈ P，a ∈ Q，a ∈ ∁US， 所以阴影部分所表示的集合是(P ∩ Q) ∩ ∁US， 选择 C．
2.解：设 A、B 为两个同高的几何体，p：A、B 的体积不相等，q：A、B 在等高处的截面积不
恒相等．
由“A、B 在等高处的截面积恒相等”，由祖暅原理，可得：A、B 的体积相等．
6.化简 2 1 + sin4 + 2 + 2cos4的结果是( )
A. 2cos 2
B. 2sin 2
C. 4sin 2 + 2cos2
D. 2sin 2 + 4cos2
7.已知 O 是三角形 ABC 内部一点，且OA + 2OB + OC = 0，则△ OAB 的面积与△ OAC 的面 积之比为( )
， n
i=1
(
xi−x−)(yi−y−)
n i=1
(
xi−x−)2
n i=1
(
yi−y−)2
n i=1
(
xi
−
x−)2
=
10，
n i=1
( yi
−
y−)2
=
1.3，
13
≈
3.6056，
b=
， a in=1in=(1xi(−xx−i)−(x−y)i2−y−)
=
−
y
−
bx−．
19.已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前 n 项和，且a10 = 19，S10 = 100，数列{bn}对任 意 n ∈ N∗ ，总有b1·b2·b3…bn−1·bn = an + 2 成立． (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式； (Ⅱ)记cn = ( − 1)n (42nn·+1b)n2，求数列{cn}的前 n 项和Tn．
18.为了了解 A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：
年份 x
2014
2015
2016
2017
2018
足球特色学校 y(百个) 0.30
0.60
1.00
1.40
1.70
(Ⅰ)根据上表数据，计算 y 与 x 的相关系数 r，并说明 y 与 x 的线性相关性强弱(已知：0.75 ≤
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.在△ ABC 中，a =
3，b
=
1，∠A
=
π，则
3
cosB
=________.
14.2020 年年初，新冠肺炎疫情袭击全国．口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应， 某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续 5 天生产的口罩数依次为x1， x2，x3，x4，x5(单位：十万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为 1.44，且x12，x22， x32，x42，x52的平均数为 4，则该工厂这 5 天平均每天生产口罩______十万只．
4
∴原式= 2(sin2 + cos2) − 2cos2 = 2sin2． 故选 B．
沈阳市第 120 中学 2019-2020 学年度下学期
高三年级第九次质量监测
数学答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.C 2.A 3.B 4.B 5.C 6.B 7.A 8.A 9.D 10.C 11.C 12.A
|r| ≤ 1，则认为 y 与 x 线性相关性很强；0.3 ≤ |r| < 0.75，则认为 y 与 x 线性相关性一般；
|r| ≤ 0.25，则认为 y 与 x 线性相关性较弱)；
(Ⅱ)求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 A 地区 2020 年足球特色学校的个数(精确到个)．
参考公式：r =
>
0)，其中
a
∈
R.若
f(x)的图象在点
A(x1,f(x1))处的切线与 g(x)的图象在点 B(x2,g(x2))处的切线重合，则 a 的取值范围是( )
A. ( − 1 + ln2, + ∞)
B. ( − 1 − ln2, + ∞)
C. ( − 3 , + ∞)
4
D. (ln2 − ln3, + ∞)
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x y
= =
1 3
−t +t
(t
为参数)，以
O
为极点，x
轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ = 2cosφ，点 P 是曲线C1上的动点，
点 Q 在 OP 的延长线上，且|PQ| = 3|OP|，点 Q 的轨迹为C2．
(1)求直线 l 及曲线C2的极坐标方程；
a
的取值范围是
A. ,2 B. 2,
C. 2, 1 8
D. 2,
10.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改 造自然的象征.如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点 A 3 3, − 3 出发，沿圆周按逆时 针方向匀速旋转，且旋转一周用时 60 秒.经过 t 秒后，水斗旋转到 P 点，设 P 的坐标为 x,y ， 其纵坐标满足 y = f t = Rsin ωt + φ t ≥ 0,ω > 0, φ < π .则下列叙述错误的是( )
，
∴当圆锥轴截面的顶角为钝角，则当θ
=
π时，过顶点的截面中面积最大，故
2
C
错误；
对于 D，球心到平面的距离小于球面半径时，球被平面分成两部分，截面为圆，故 D 正确． 故选 C． 6.解：2 1 + sin4 + 2 + 2cos4 = 2 sin22 + 2sin2cos2 + cos22 + 2 + 2(2cos22 − 1)
20. 已知圆 A：x2 + y2 + 2x − 15 = 0 和定点 B(1,0)，M 是圆 A 上任意一点，线段 MB 的垂直 平分线交 MA 于点 N，设点 N 的轨迹为 C． (Ⅰ)求 C 的方程； (Ⅱ)若直线 y = k(x − 1)与曲线 C 相交于 P，Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在定点 R，使当 k 变化时，总有∠ORP = ∠ORQ？若存在，求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由．
3.已知数列
1，a1，a2，9
是等差数列，数列
1，b1，b2，b3，9
是等比数列，则 b2
a1+a2
=
wenku.baidu.com
( )
A. − 3
10
B. 3
10
C. ± 3
10
D. 9
10
4.设有下面四个命题：
p1：若复数
z
满足1
z
∈
R，则
z
∈
R；
p2：若复数 z 满足z2 ∈ R，则 z ∈ R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2 ∈ R，则z1 = z−2；
p4：若复数
z
∈
R，则
−
z
=
z
∈
R，故命题p4为真命题．
故选 B．
5.解：对于 A，圆锥的轴截面都是以母线为腰，以底面直径为底边的等腰三角形，故 A 正确； 对于 B，圆柱过母线的截面为矩形，一边为圆柱的高，另一边为圆柱底面圆的弦， ∴当另一半为底面直径时截面最大，故 B 正确；
对于 C，设圆锥任意两条母线的夹角为θ，则过此两母线的截面三角形面积为
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 17.如图，在正三棱柱 ABC − A1B1C1中，AB = 4，BB1 = 10，D，E 分别是线段 BB1，AC1的中 点． （1）求证：DE//平面 ABC； （2）求三棱锥 A − DCE 的体积．
2
A.
R
=
6,ω
=
π 30
,φ
=−
π 6
B. 当 t = 20 时，点 P 第一次到达最高点
C. 当 t ∈ 10,25 时，函数 y = f t 单调递减
D. 当 t = 20 时， PA = 6 3
11.已知离心率为e1的椭圆C1：xa212
+
y2 b12
=
1(a1
>
b1
>
0)和离心率为e2的双曲线C2：xa222