最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案7-6

同济大学第六版高等数学上下册课后习题

答案7-6

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习题7-6

1. 求过点(4, -1, 3)且平行于直线5

1123-==-z y x 的直线方程. 解 所求直线的方向向量为s =(2, 1, 5), 所求的直线方程为

5

31124-=+=-z y x . 2. 求过两点M 1(3, -2, 1)和M 2(-1, 0, 2)的直线方程.

解 所求直线的方向向量为s =(-1, 0, 2)-(3, -2, 1)=(-4, 2, 1), 所求的直线方程为

1

12243-=+=--x y x . 3. 用对称式方程及参数方程表示直线⎩

⎨⎧=++=+-421z y x z y x . 解 平面x -y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, -1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为 k j i k j i n n s 321

1211121++-=-=⨯=. 在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中, 令y =0, 得⎩

⎨⎧=+=+421z x z x , 解得x =3, z =-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点.

所求直线的对称式方程为 3

2123+==--z y x ; 参数方程为

x =3-2t , y =t , z =-2+3t .

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4. 求过点(2, 0, -3)且与直线⎩

⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.

解 所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量, 即 k j i k j i n 1114162

53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=. 所平面的方程为

-16(x -2)+14(y -0)+11(z +3)=0,

即 16x -14y -11z -65=0.

5. 求直线⎩⎨⎧=+-=-+-02309335z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=-++=+-+0

188302322z y x z y x 的夹角的余弦.

解 两直线的方向向量分别为 k j i k j i s -+=--=431

233351, k j i k j i s 105101

831222+-=-=. 两直线之间的夹角的余弦为 ||||) ,cos(2121^21s s s s s s ⋅⨯=

010

)5(10)1(4310)1()5(4103222222=+-+-++⨯-+-⨯+⨯=. 6. 证明直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线⎩

⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 平行.

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解 两直线的方向向量分别为 k j i k j i s 531

121211++=--=, k j i k j i s 15391

123632---=---=. 因为s 2=-3s 1, 所以这两个直线是平行的.

7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行的直线方程.

解 因为两平面的法线向量n 1=(1, 0, 2)与n 2=(0, 1, -3)不平行, 所以两平面相交于一直线, 此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s , 即 k j i k j i s ++-=-=323

10201. 所求直线的方程为 1

4322-=-=-z y x . 8. 求过点(3, 1, -2)且通过直线1

2354z y x =+=-的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线1

2354z y x =+=-的方向向量s 1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为

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4112521--=-=⨯=. 所求平面的方程为

8(x -3)-9(y -1)-22(z +2)=0,

即 8x -9y -22z -59=0.

9. 求直线⎩

⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面x -y -z +1=0的夹角. 解 已知直线的方向向量为 )2(22421

11311)1 ,1 ,1()3 ,1 ,1(k j i k j i k j i s -+=-+=--=--⨯=, 已知平面的法线向量为n =(1, -1, -1).

因为

s ⋅n =2⨯1+4⨯(-1)+(-2)⨯(-1)=0,

所以s ⊥n , 从而直线⎩

⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面x -y -z +1=0的夹角为0. 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系: (1)3

7423z y x =-+=-+和4x -2y -2z =3; 解 所给直线的方向向量为s =(-2, -7, 3), 所给平面的法线向量为n =(4, -2, -2).

因为s ⋅n =(-2)⨯4+(-7)⨯(-2)+3⨯(-2)=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(-3, -4, 0)不满足平面方程4x -2y -2z =3, 所以所给直线不在所给平面上. (2)7

23z y x =-=和3x -2y +7z =8;