林寿数学史第九讲：19世纪的几何与分析I

欧氏几何
若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角, 那么把 两直线无限延长, 它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交.
平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)
欧几里得
普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819) 勒让德(法, 1752-1833) A+B+C=2π
欧氏几何
勒让德(法, 1752-1833) 《几何学原理》：这条关于三角 形的三个内角和的定理应该认为是那些基本真理之一。这 些真理是不容争论的，它们是数学永恒真理的不朽的例子。 (1832)
微分几何
1760年欧拉(瑞, 1707-1783) 《关于曲面上曲线的研究》：曲率、 绕率，建立了曲面理论
1771年欧拉(瑞, 1707-1783)关于可展曲面，1771和1775年蒙日 (法, 1746-1818)关于可展曲面与直纹面
1795年蒙日(法, 1746-1818) 《关于分析的几何应用的活页论文》 借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究
普吕克(德, 1801-1868)
射影几何
1847年施陶特(德, 1798-1867)的《位置几何学》 凯莱(英, 1821-1895)在射影几何基础上建立欧氏几 何和非欧几何
施陶特(德, 1798-1867)
凯莱(英, 1821-1895)
蒙日: 1792年任法兰西共和国海军部部长, 签署了 处决路易十六的报告书, 1800年任元老院议长, 1808 年封爵, 波旁王朝复辟后被革职 1794年组建巴黎综合工科学校 , 1795年设立巴黎 高等师范学校 培养一批优秀学生: 泊松、刘维尔、傅里叶、柯西
蒙日(法, 1746-1818)
惠更斯(荷, 1629-1695)
洛比塔(法, 1661-1704)
微分几何
1186世97纪年的约空翰间•伯曲努线利、(曲瑞面, 1理66论7-1748)提出的测地线问题 1731年克莱罗(法, 1713-1765)《关于双重曲率曲线的研究》： 弧长、曲率
克莱罗(法, 1713-1765)
蒙日(法国, 1953)
卡尔诺(法国, 1950)
连续性原理
射影几何
综合方法
1822年庞斯列(法, 1788-1867)的《论图 形的射影性质》
射影几何
代18数27方年法默比乌斯(德, 1790-1868)的
《重心计算》 1829年普吕克(德, 1801-1868)的三线坐标
默比乌斯(德, 1790-1868)
1829年论文《几何学原理》在《喀山大学通 罗巴切夫斯基(苏联,
报》全文发表
1951)
直至罗巴切夫斯基去世的30年内，没能赢得 社会的承认和赞美
非欧几何
鲍约(罗马尼亚, 1960)
鲍约父子之墓
非欧几何
1854年黎曼(德, 1826-1866)《关于几何基础的假设》
正常曲率(黎曼几何)
椭圆几何
“单复变函数一般理论基础”
• 1854年讲师职位讲演: 关于几何基础的假设, 1857年副教
授, 1859年教授
• 1862年得肺结核, 1866年在意大利逝世 • 1876年出版《黎曼全集》(发表论文18篇, 遗稿12篇) 黎曼(德, 1826-1866) • 伟大的分析学家：复变函数论、阿贝尔函数论、超几何
第九讲 19世纪的几何与分析I
几何学的变革 分析的严格化
几何
现实空间与思维空间 微分几何 非欧几何 射影几何 统一的几何 公理化方法
微分几何
平1面67曲3年线惠理更论斯17(荷世,纪1基62本9-完16成95)：渐伸线、渐屈线 1671年和1686年牛顿和莱布尼茨：曲率、曲率半径 1691年和1692年约翰•伯努利(瑞, 1667-1748) ：曲线的包络 1696年洛比塔(法, 1661-1704)的《无穷小分析》完成并传播了 平面曲线理论
1733年萨凯里(意, 1667-1733) 《欧几里得无懈可击》
非欧几何
1763年，克吕格尔(德, 1739-1812)第 一位对平行线公设是否能由其它公理加 以证明表示怀疑的数学家
1766年兰伯特(法, 1728-1777)《平行线理论》不认为锐角假设 矛盾, 认识到如果一组假设不引起矛盾, 就提供了一种可能的几何
1826年罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)《简要论述平 行线定理的一个严格证明》
π(α)
1832年J•鲍约(匈, 18021860)《绝对空间的科学》
非欧几何
罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)，喀山大学教 授、校长
1815年着手研究平行线理论，试图给出平行 公设的证明
1826年在物理数学系会议宣读《简要论述平 行线定理的一个严格证明》
常曲内率蕴空几间何 负，常流曲率形(罗曲氏率几何)
双曲几何

零
曲
率
(欧氏几何)
抛物几何
非欧几何
“ 黎曼是一个富有想象的天才, 他的想法即使没有证明, 也鼓舞了 整整一个世纪的数学家.”
• 1846年进入哥廷根大学专修语言和神学 • 1847-1848年到柏林大学, 进入数学领域 • 1849-1851年在哥廷根大学, 取得博士学位, 学位论文
级数与常微分方程、解析数论、实分析、几何学、数学物 理、物理学
非欧几何
模型与相容性
1868年贝尔特拉米(意, 1835-1899)
曳物线
伪球面
非欧几何
1871年克莱因(德, 1849-1925) 1882年庞加莱(法, 1854-1912)
克莱因-庞加莱圆
射影几何
早期开拓者: 德沙格(法, 1591-1661), 帕斯卡(法, 1623-1662) 1799年蒙日(法, 1746-1818)的《画法几何学》 1803年卡尔诺(法, 1753-1823)的《位置几何学》
1820年F•鲍约(匈, 1775-1856): “我经 过了这个长夜的渺无希望的黑暗, 在这里 埋没了我一生的一切亮光和一切快 乐,……或许这个无底洞的黑暗将吞食掉 一千个犹如灯塔般的牛顿, 而使大地永无 光明。”
非欧几何பைடு நூலகம்
几何学上的哥白尼
1813年高斯(德, 17771855)：非欧几里得几何