平均利润最大问题

题目：某商店要订购一批商品零售，设购进价1c ，售出价2c ，订购费0c （与数量无关），随机需求量r 的概率密度为)(r p ，每件商品的储存费为3c （与时间无关），问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少.为使这个平均利润是正值，需要对订购费0c 加什么限制 基本假设：（每次订购的商品可以完全卖完） 1每次商店商品卖完后，新订购的商品立刻到达 2第一个周期卖出的新购进的商品不收储存费 3商品没卖完之前不订购新的商品

4不考虑过期情况，即所有购进的商品都可以全部卖出去 符号说明

1c 商品购进价

2c 商品售出价

0c 订购费（与数量无关） r 需求量

)(r p 需求量的概率密度

3c 每件商品的储存费（与时间无关） x 每次购进商品的件数

*x 一个常数 C 一个常数

)(x f 每次购进的商品卖完后获得的总利润 )(x g 平均每件商品获得的利润

模型建立与求解

每次购进的商品卖完后获得的总利润应为所有商品净赚的钱减去订购费和储存费.若购进新商品第一天的销售量小于x ,则需要储存费，反之，储存费为0.所以

)(x f = (2c -1c )x -0c -3

c ⎰

-x

dr r p r x 0

)()( (1)

此时由于x 是一个未知量，如果由)(x f 确定获利的最大值，由于未考虑时间，可能会导致靠多卖货物来获得最大利益，在需求量不变的情况下，销售的时间会延长，从而平均利润并不是最大的.考虑每件商品的平均利润：

⎰----==

x dr r p x

r

c x c c c x x f x g 03012)()1()()( (2)

求合适的x ，使得)(x g 取得最大值，

⎰-=x

dr r rp x c x c dx dg 0

23

20)( (3) 令

0=dx

dg

，则有 3

)(c c dr r rp x

=

⎰ (4) 由(4)式可以确定*x x =是（3）式的极值点.

⎰-+-=x x xp c dr r rp x c x c x

dx g d 0330222)]()(22[1

(5) 0*

*)(**)

(2

322<-=x x p x c dx x g d (6) 故*x x =是（3）式的极大值点,即要想使商店的平均利润最大，每次应购进*x 件商品.

把*x x =代入（1）式中，求得每次购进商品并销售完后获得的总利润是

⎰--=*

312)(**)(*)(x dr r p x c x c c x f (7)

要想这个利润为正值，需要满足：

0)(**)(*)(*

312>--=⎰x dr r p x c x c c x f (8)

即

3

1

2*

0)(c c c dr r p x -<

⎰ （9） 若3

120

)(c c

c dr r p C

-=⎰,由(9)式解得C x <*,由于

3

*

)(c c dr r rp x =

⎰ 则⎰

dr r rp c c 0

30)( (10)

即要想使这个最大利润为正值，需要订购价满足⎰

dr r rp c c 0

30)(，其中C 由（9）

式解得.