伯恩斯坦多项式的性质及其应用

Bernstein 多项式的性质及其应用

作者：张* 指导教师：汪**

摘要 Bernstein 多项式的性质在B ézier 曲线上的应用更加的广泛，鉴于此，必须先给出Bernstein

多项式的性质，然后再得出B ézier 曲线的性质和应用。在工程应用领域，从设计要求出发，人们希望使用某种逼近方法，而非传统的插值方法，该法能模仿曲线、曲面的设计过程，又便于设计者使用。B ézier 于1962年提出了以逼近为基础的曲线曲面设计系统，名为UNISURF,随后，Forrest,Gordon 和Riesenfeld 等对B ézier 方法作了深入研究，揭示了B ézier 方法与Bernstein 多项式的联系，从而使其具有更坚实的理论基础。本文旨在介绍Bernstein 多项式，给出其性质，结合B ézier 曲线的性质，得出Bernstein 多项式在B ézier 曲线上的应用。

关键词 Bernstein 多项式 B ézier 曲线 逼近

1 引言

用多项式一致逼近连续函数是函数逼近论中的重要结果，在科学与工程中有广泛的应

用。而Bernstein 多项式是不可缺少的重要工具。

1.1 Bernstein 多项式

定义：设

f 是[0,1]上的函数,n *

∈

,约定0

1=.称[0,1]上的多项式函数

()()()()(1)n

n k k n n k n k B f x B f x f x x k n -=⎫⎛==-⎪ ⎝⎭∑；

为

f

的第n 个Bernstein 多项式.应当将n B 视为一个映射,它把[0,1]上的函数映为[0,1]

上的多项式函数.称n B 为第n 个Bernstein 算子.

命题 若,f g 是[0,1]上的函数,,αβ是常数,I 是[0,1]上的恒等映射,则

(1) (

)n B f 的次数n ≤；

(2) ()()()n n n B f g B f B g αβαβ+=+；(线性性质) (3) ()n B I

I αβαβ

+=+.

证明: (1),(2)显然成立,故只需证(3).

0(1)()(1)[(1)]1n

n k k n n k n B x x x x x k -=⎫

⎛=-=-+=⎪ ⎝⎭

∑,这说明(1)1n B =.

0()()(1)n

n k k

n k n k B I x x x k n -=⎫⎛=-⎪ ⎝⎭∑1(1)111(1)1n

n k k k n x x x k ----=-⎫⎛=-⎪

-⎝⎭

∑ 1

101(1)n n j j

j n x x x j ---=-⎫⎛=-⎪ ⎝⎭

∑1[(1)]n x x x x -=-+=,这说明()n B I I =. 再由(1),(2)便得到 ()()(1)n n n B I

B I B I αβαβαβ

+=+=+.□

引理 设

f 是[0,1]上的函数.若引入[0,1]上的辅助函数

()x ϕ111n n n f x f x n

n n --⎡⎤

⎫⎫⎛⎛=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎭⎣⎦,则它们的Bernstein 多项式之间满足关系

1(

)()()()n n B f x B x ϕ-'=.

证:

1

1!

()()()(1)(1)!()!n

n k k n k k n B f x f x x n k n k --='=---∑1

10

!

()(1)!(1)!n n k k k k n f x x n k n k ---=----∑

1

101!

(

)(1)!(1)!

n n j j j j n f x x n j n j ---=+=---∑110

!

()(1)!(1)!n n j j j j n f x x n j n j ---=----∑

1

101!()()(1)!(1)!n n j j j j j n f f x x n n j n j ---=+⎡⎤=--⎢⎥--⎣

⎦∑

1101

(1)!()()(1)!(1)!n n j j j j j n n f f x x n n j n j ---=+-⎡⎤=--⎢⎥--⎣

⎦∑

1

110

1()(1)()()1n n j j

n j n j x x B x j n ϕϕ----=-⎫⎛=-=⎪

-⎝⎭∑.□ 1.2 定理 ( Bernstein 多项式的逼近性质)

设

f

是[0,1]上的连续函数(或1C 函数).那么,0ε∀>,N *

∃∈

使得当n N

>时,[0,1]x ∀∈都成立

()()()n B f x f x ε-<(或()()()n B f x f x ε''-<).

证: (1) 记01

max ()x M

f x ≤≤=.0ε∀>,取0δ>,使得当,[0,1],x y x y δ∈-<时

成立

()()2

f x f y ε

-<

；再取N *

∈

,使得当n N >时成立

2

M

n εδ

<. 于是,当n N >时,[0,1]x ∀∈都成立

0()()()()()(1)n

n k k

n k n k B f x f x f f x x x k n -=⎫

⎛⎡⎤-=--⎪ ⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑

()()(1)()()(1)n k k n k k

k

k

x x n

n

n n k

k

f f x x x f f x x x k k n n δδ---<-≥⎫⎫⎛⎛≤

--+--⎪⎪ ⎝⎝⎭

⎭

∑

∑

222

2(1)()(1)2n k

k

n k k

k

k

x x n

n

n n M x x k nx x x k k n δδεδ---<-≥⎫

⎫⎛⎛≤

-+

--⎪⎪ ⎝⎝⎭

⎭

∑

∑

202()(1)2n n k k k n k nx x x k n ε

ε-=⎫⎛<+--⎪ ⎝⎭

∑.

对以t 为自变量的函数()0(1)(1)n

n k t k nx nxt t n k n x e e x e k ---=⎫⎛-=-+⎪ ⎝⎭

∑求

2阶导数,

由Leibniz 公式得到

2

()

0()(1)n

n k t k nx k n k nx x e k --=⎫⎛--⎪ ⎝⎭

∑ 222(1)1(1)2(1)nxt t n nx t t n n x e x e n xe x e ---=-+--+ (1)1(2)2(1)(1)(1)nx t t n nx t t n ne x e n n e x e ----+-++--+,

或

2

0()(1)n

n k tk k n k nx x e k -=⎫⎛--⎪ ⎝⎭

∑2221

(1)2(1)t n t t n n x x e n xe x e -=-+--+ 122(1)(1)(1)t t n t t n ne x e n n e x e --+-++--+.