排列组合2(上)

11. 求证1022013 在 7 进制，11 进制，13 进制下具有相同的末位数字.
4
2013 高二数学秋季尖端班·第 3 讲
2.估算 12. 求 0.9986 的近似值，误差控制在 0.001 以内.
3.证明不等式 13. 用二项式定理证明，其中 n 为大于 2 的正整数. (1) 2n 2n 2
数最大项的次数和系数最大项的次数
(2) 二项式 x 25 的展开式中系数最大的项为_________，系数最小的项为_________。
二：二项式定理的深入理解
1.直接算或者转化
5. x2 x 1 x 1 10 展开式中 x4 的系数是
.
6. 求 x 1 x 12 x 13 x 14 x 15 展开式中含 x2 项的系数.
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2.n 项式展开
7. a 2b 3c7 展开式合并后，共有 项， a4b2c 的系数是
.
8.
x
1 x
5
1
的常数项是
.
答案：-51
3.逆用二项式定理
9. (1) C0n C1n C2n Cnn
.
(2) C0n C1n Cn2 1n Cnn
(3) C1n 3C2n 32 C3n 33 C4n 3n1 Cnn
(4)
C12n
32 C32n
32n2
C2n1 2n
三：二项式定理的应用
1.求余数
10. (1) 89 除以 9 ，余数是
.
(2) 32013 的后三位数字是
.
(3)根据今天的日期，推测出 21000 后是星期 .
2013 高二数学秋季尖端班·第 3 讲 1
例题精讲
一：二项式定理 1.第 r 项系数
1.
(1)（2013
上海）设常数 a R
,若
x2
a x
5
的二项展开式中
x
7
项的系数为 10 ,则 a
______ .
(2)（2013
辽宁）使得
3x
1 xx
n
n N
的展开式中含有常数项的最小的 n 为（
(2) 3n n 2 2n1
14.
求证 2
1
1 n
n
3 ，其中 n 是大于
2
的正整数.
4.有理化因数的相关问题
n
15. (1) (2012 北约)求证： n N*, 2 1 都能写成 m m 1 m N* 的形式.
2
（例如 2 1 9 8 ）
(2) （2010 清华夏令营）求证：对 n N* ， 2 1 n 一定可以写成 m m 1 的形式
.
答案：1
2
2013 高二数学秋季尖端班·第 3 讲
3. 若关于 x 的多项式有恒等式 x2 x10 a0 a1 x 1 a2 x 12 a9 x 19 a10 x 1 10 ,则其
中的系数 a9
, a2 a4 a6 a8
.
3.最大（小）系数
4. (1)已知 1 3xn 的展开式中，按照升幂排列后三项的二项式系数之和为 121，求展开式中二项式系
2013 高二数学秋季尖端班·第 3 讲 5
(3)
是否存在正整数 m 和 n，使得
53
m
2
35
n
2.
(4)已知实数 x 为某整系数二次方程的根，证明对于任意的 k Z ，存在整系数二次方程，使得其一 个根为 xk .
16. *若 5 2 2r1 (其中 r N )的整数部分为 ，小数部分为 ,求证 1 17. **试证大于 1 3 2n 的最小整数，可以被 2n1 整除，其中 n 是自然数.
）
A．4 B．5 C．6 D．7
(3) x 3 x 12 的展开式中，含 x 的正整数次幂的项数共有
项.
2.二项式系数，系数，系数之和
2. (1) 2x 16 展开式的二项式系数之和为
,展开式各项系数之和为
.
(2)若 2x 3 4 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 a0 a2 a4 2 a1 a3 2
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第5讲
二项式定理
学习要点
1. 二项式定理 2.Hale Waihona Puke Baidu二项式定理的深入理 解 3. 二项式定理的应用
特别说明
1. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿(1643-1727)首次提出。
2. 德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（1777-1855）在 11 岁独立发 现了二项式定理的一般形式.
3. 北宋人贾宪约 1050 年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算, 南宋时期杭州人杨辉。1261 年所著的《详解九章算法》一书中，辑录 了”贾宪三角”，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自 11 世 纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此， “贾 宪三角”又被称为”杨辉三角”。在欧洲大约 1623 年前后，法国数学 家帕斯卡在 13 岁时发现了“帕斯卡三角”。