求不规则四边形面积的两种方法

求不规则四边形面积的两种方法

面积问题是初中数学的重要内容之一，解决面积问题的方法灵活，技巧性较强。本文介绍利用转化思想求不规则四边形面积的方法。

一. 作辅助线转化，化不规则四边形为规则图形

1. 作对角线，化四边形为三角形

例1. 如图1所示，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 和DA 的长分别是3、4、12和3，∠=ABC 90°，求四边形ABCD 的面积。

图1

解析：考虑到∠B 为直角，连结AC ，则

AC AB BC =

+=+=2222345 又由勾股定理的逆定理知，AC CD AD ACD 22222251213+=+==∆为直角三角形。

所以S S S ABC ACD =+∆∆

=⨯⨯+⨯⨯123412

125 =36

例2. 如图2所示，在矩形ABCD 中，△AMD 的面积为15，△BCN 的面积为20，则四边形MFNE 的面积为_______________。

图2

解析：连结EF ，将四边形面积转化为两三角形面积之和。由等积变化知，△EFM 与△AMD 面积相等，△EFN 与△BCN 面积相等。故所求面积为15+20=35。

2. 通过“割补”，化不规则四边形为规则图形

例3. 如图3所示，△ABC 中，AB=AC=2，∠=A 90°，D 是BC 中点，过D 作DE DF ⊥，则四边形AEDF 的面积为________________。

图3

解析：过中点D 作DG AB DH AC ⊥⊥，，则DG 、DH 是△ABC 的中位线，

∆∆DEG DFH ≅，

即将△DFH 割下补在△DEG 处，于是所求面积转化为边长为1的正方形AGDH 的面积，得1。

二. 引入未知量转化，变几何问题为代数问题

1. 引入字母常量计算面积

例4. 如图4所示，正方形ABCD 的面积为1，AE=EB ，DH=2AH ，CG=3DG ，BF=4FC ，则四边形EFGH 的面积是______________。

图4

解析：考虑到图中线段倍数关系多，设最短线段CF 的长为m ，则正方形边长为5m ，面积为()512

m =。

S S S S S S EFGH ABCD AEH BEF CFG DGH 四边形正方形=----∆∆∆∆ =-

---===()()512525312524121541254103

335246724

56724

222

m m m m m m m m m m m ········

2. 引入未知量，把求面积转化为解方程（组）

例5. 如图5所示，D 、E 分别是△ABC 的AC 、AB 边上的点，BD 、CE 相交于点O ，若S S S OCD OBE OBC ∆∆∆===234，，，那么S ADOE 四边形=_____________。

图5

解：连结OA ，设△AOE 、△AOD 的面积分别为x 、y ，由“等高的三角形面积比等于底的比”有

S S BE AE S S S S AD CD S S x y x x y y x y BCE ACE BOE AOE

ABD BCD AOD COD

∆∆∆∆∆∆∆∆====+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪得方程组解得：3423342

2

21518

5 所以S x y ADOE 四边形=+=395.