命题与逻辑联结词(基础+复习+习题+练习)

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常用逻辑用语-知识点+习题+答案

常用逻辑用语知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．练习题1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A 、真命题与假命题的个数相同B 、真命题的个数一定是奇数C 、真命题的个数一定是偶数D 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2、下列说法中正确的是（）A 、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B 、“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C 、“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D 、一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3、“用反证法证明命题“如果x<y ，那么51x <51y ”时，假设的内容应该是（） A 、51x ＝51yB 、51x <51yC 、51x ＝51y 且51x <51yD 、51x ＝51y 或51x >51y4、“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要 5、函数f （x ）＝x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（） A 、ab ＝0 B 、a ＋b=0 C 、a ＝b D 、a 2＋b 2＝0 6、“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0”的否命题（） A 、若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0 B 、 B 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 C 、若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 D 、D 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝07、“12m =”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m+2)x+(m-2)y-3=0相互垂直”的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要8、命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（） A 、存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根B 、不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根C 、对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根D 、至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根9、不等式2230x x --<成立的一个必要不充分条件是（ C ）A 、-1<x<3B 、0<x<3C 、-2<x<3D 、-2<x<110.设集合(){}(){}(){}0,,02,,,,≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x u ，那么点P （2，3）()B C A u ⋂∈的充要条件是（）A ．m>-1,n<5B ．m<-1,n<5C ．m>-1,n>5D ．m<-1,n>511、命题：“若0>a ，则02>a ”的否命题是12、:23A x -<, 2:2150B x x --<, 则A 是B 的_____ _条件。

人教新课标版(A)高二选修1-1 1.3.1逻辑联结词同步练习题

人教新课标版（A ）高二选修1-1 1.3.1 逻辑联结词同步练习题【基础演练】题型：逻辑联结词“或”、“且”、“非”“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题，可以类比集合中的“并集”、“交集”、“补集”来理解逻辑联结“或”、“且”、“非”，请用以上知识解决以下1-8题。

1. 分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题：（1）李明是老师，赵山也是老师；（2）1是合数或质数；（3）他是运动员兼教练员；（4）这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上有错误。

2. 命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是A. 简单命题B. “p 或q ”形式的复合命题C. “p 且q ”形式的复合命题D. “非p ”形式的复合命题3. 已知全集R S =，S A ⊆，S B ⊆，若命题p ：()B A 2⋃∈，则命题“┑p ”是 A. A 2∉ B. B C 2S ∈ C. B A 2⋂∉ D. ()()[]B C A C 2S S ⋂∈4. 复合命题：平行线不相交的形式是 A. p q ∨ B. q p ∧ C. p ⌝D. 都不是 5. 分别用“p q ∨”，“q p ∧”，“p ⌝”填空。

（1）命题“非空集B A ⋃中的元素既是A 中的元素也是B 中的元素”，是_________开展。

（2）命题“非空订B A ⋃中的元素是A 中的元素或B 中的元素”，是_________形式。

（3）命题“非空集A C U 中的元素是U 中的元素但不是A 中的元素“，是____________形式。

6. 由命题p ：6是12的约数，q ：6是24的约数，构成的“q p ∨”形式的命题是：____________，“q p ∧”形式的命题是____________，“p ⌝”形式的命题是____________。

7. 分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题：（1）p ：2是无理数，q ：2大于；（2）p ：Z N ⊆，q ：{}N 0≠⊂；（3）p ：4x 1x 2->+，q ：4x 1x 2-<+。

逻辑学基础测试

一、填空题1.在“并非‘p当且仅当q’”中，逻辑常项是( )。

2.在“并非要么p,要么q”中，变项是( )。

3.任何一种逻辑形式都是由( )和( )两部分构成的。

4.在“□p→◇p”中，逻辑变项是( )。

5.在“并非如果p，那么q”中，逻辑常项是( )。

6.“兵不在多而在于精”和“甲不当班长而乙当班长”所具有的共同的逻辑形式，若用p，q作变项，可表示为( )。

7．“要么p，要么q，要么r”这一命题形式的逻辑变项是( )。

8．在“［A（）B］→B”的空括号内，填入逻辑常项符号( )，可构成有效的推理式。

9．在“有S不是P”中，逻辑变项是( )；在“（p∧q）→r”中，逻辑常项是( )。

二、单项选择题1．两个假言命题的逻辑形式相同，是指（）相同。

A．前件和后件B．前件和联结词C．后件和联结词D．联结词2．逻辑形式之间的区别，取决于（）。

A．逻辑常项B．变项C．语言表达形式D．思维的内容3．“只有q才p”与“如果q则p”这两个命题形式，它们含有（）。

A．相同的逻辑常项，相同的变项B．不同的逻辑常项，相同的变项C．相同的逻辑常项，不同的变项D．不同的逻辑常项，不同的变项4．“要么p，要么q”与“或者p，或者q”这两个命题形式，它们含有（）。

A．相同的逻辑常项，相同的逻辑变项B．相同的逻辑常项，不同的逻辑变项C．不同的逻辑常项，相同的逻辑变项D. 不同的逻辑常项，不同的逻辑变项基础测试（一）参考答案一、填空题1．并非，当且仅当。

2．p,q。

3．常项;变项。

4．p。

5．并非，如果……那么……6． p∧q（也可表示为p∧q）。

7．p，q，r。

8．∧。

9．S，P；∧，→。

二、单项选择题1．D．2．A．3．B．4．C．一、填空题1．从概念的外延关系看，“教师”与“劳动模范”具有( )关系；“陈述句”与“疑问句”具有( )关系。

2.根据“概念所反映的对象是否具有某属性”来考虑概念所属种类，“正义战争”是( )概念。

一轮复习简单逻辑连接词全称命题特称命题(含答案)

一轮复习简单逻辑连接词全称命题特称命题(含答案)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M，p(x)x0∈M，p(x0)x0∈M，p(x0)x∈M，p(x)1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(×)(2)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)(3)已知命题p：n0∈N,2n0＞1 000，则p：n0∈N，2n0≤1 000.(×)(4)命题“x∈R，x2≥0”的否定是“x∈R，x2＜0”．(×)2．(2014·重庆卷)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0； q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧q C ．p ∧qD ．p ∧q 解析由题意知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，故q 为真命题，所以p ∧q 为真命题．答案 A3．(2014·湖南卷)设命题p ：x ∈R ，x 2＋1＞0，则p 为( ) A ．x 0∈R ，x 20＋1＞0 B ．x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．x 0∈R ，x 20＋1＜0D ．x ∈R ，x 2＋1≤0解析 “x ∈R ，x 2＋1＞0”的否定为“x 0∈ R ，x 20＋1≤0”，故选B. 答案 B4．若命题“x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0. 答案 [－8,0]5．(人教A 选修1－1P26A3改编)给出下列命题： ①x ∈N ，x 3＞x 2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．则以上命题的否定中，真命题的序号为________．答案 ①②③考点一含有逻辑联结词的命题及其真假判断【例1】(1)(2014·辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A．p∨q B．p∧qC．(p)∧(q) D．p∨(q)(2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(p)∨(q) B．p∨(q)C．(p)∧(q) D．p∨q解析(1)由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴p是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(p)∧(q)，p∨(q)都是假命题．(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选 A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．选A.答案(1)A(2)A规律方法若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可．【训练1】 (1)若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．p是真命题D．q是真命题(2)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件．解析(1)因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－1x的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p为假命题，q为真命题，故选D.(2)若命题“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题．若命题“p∧q”为真命题，则p，q都为真命题，因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件．答案(1)D(2)必要不充分考点二全(特)称命题的否定及其真假判定【例2】 (1)(2014·安徽卷)命题“x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．x∈R，|x|＋x2＜0 B．x∈R，|x|＋x2≤0C．x0∈R，|x0|＋x20＜0 D．x0∈R，|x0|＋x20≥0(2)(2014·沈阳质量监测)下列命题中，真命题的是()A．x∈R，x2＞0 B．x∈R，－1＜sin x＜1C．x0∈R,2x0＜0 D．x0∈R，tan x0＝2解析 (1)全称命题的否定是特称命题，即命题“x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定为“x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0”．故选C.(2)x ∈R ，x 2≥0，故A 错；x ∈R ，－1≤sin x ≤1，故B 错；x ∈R,2x ＞0，故C 错，故选D.答案 (1)C (2)D规律方法 (1)对全(特)称命题进行否定的方法有：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．【训练2】命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x ＞1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1 D ．存在实数x ，使x ≤1解析 “存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 答案 C考点三与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题【例3】已知p ：x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]解析依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.答案 A规律方法以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．【训练3】已知命题p：“x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“x∈R，使得x2＋4x＋a ＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.答案[e,4]微型专题利用逻辑关系判断命题真假2014年高考试题新课标全国Ⅰ卷中考查了一道实际问题的逻辑推理题，这也是今后高考命题的新趋向，大家应加以重视，解决问题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑关系进行转化．【例4 (1)(2014·新课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．点拨找出符合命题的形式，根据逻辑分析去判断真假．解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．答案(1)A(2)一点评在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.[思想方法]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”、“非”字眼，要结合语句的含义理解．2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与?p→真假相反．3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．[易错防范]1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p 的结论．2．命题的否定包括：(1)对“若p，则q”形式命题的否定；(2)对含有逻辑联结词命题的否定；(3)对全称命题和特称命题的否定，要特别注意下表中常见词语的否定.词语词语的否定等于不等于大于不大于(或小于等于)小于不小于(或大于等于)是不是一定是不一定是都是不都是(至少有一个不是)必有一个一个也没有任意的某一个且或或且至多有一个至少有两个基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2014·湖北卷)命题“?x∈R，x2≠x”的否定是()A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x C．?x?R，x2≠x D．?x∈R，x2＝x 解析原命题的否定为“?x∈R，x2＝x”．答案D2．(2014·天津卷)已知命题p：?x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则?p为()A．?x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．?x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1C．?x＞0，总有(x＋1)e x≤1D．?x≤0，总有(x＋1)e x≤1解析命题p为全称命题，所以?p：?x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1.答案B3．(2015·海淀区模拟)已知命题p：?x∈R，x2＋x－1＜0，则?p为()A．?x∈R，x2＋x－1＞0 B．?x∈R，x2＋x －1≥0C．?x?R，x2＋x－1≥0D．?x?R，x2＋x －1＞0解析含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即?p：?x∈R，x2＋x－1≥0.答案B4．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．?p∨q B．p∧qC．?p∧?q D．?p∨?q解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上面叙述中只有?p∨?q为真命题．答案D5．(2014·湖北七市(州)联考)已知命题p：?x∈R，cos x＝54；命题q：?x∈R，x2－x＋1＞0，则下列结论正确的是()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题(?p)∧(?q)是真命题D．命题(?p)∨(?q)是真命题解析易判断p为假命题，q为真命题，从而只有选项D正确．答案D6．下列命题中的假命题是()A．?x0∈R，lg x0＝0 B．?x0∈R，tan x0＝3C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0解析当x＝1时，lg x＝0，故命题“?x0∈R，lg x0＝0”是真命题；当x＝π3时，tan x＝3，故命题“?x0∈R，tan x0＝3”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“?x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对?x∈R,2x＞0，故命题“?x∈R,2x＞0”是真命题．答案C7．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是()A．p为真B．?q为假C．p∧q为假D．p∨q为真解析p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．答案C8．(2015·武汉调研测试)已知命题p ：?φ∈R ，使f (x )＝sin(x ＋φ)为偶函数；命题q ：?x ∈R ，cos 2x ＋4sin x －3＜0，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(?p )∨qC ．p ∨(?q )D ．(?p )∧(?q )解析利用排除法求解．?φ＝π2，使f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 是偶函数，所以p 是真命题，?p 是假命题；?x ＝π2，使cos 2x ＋4sin x －3＝－1＋4－3＝0，所以q 是假命题，?q 是真命题．所以p ∧q ，(?p )∨q ，(?p )∧(?q )都是假命题，排除A ，B ，D ，p ∨(?q )是真命题，故选C.答案 C二、填空题9．(2014·合肥质量检测)命题p ：?x ≥0，都有x 3－1≥0，则?p 是________．答案 ?x 0≥0，有x 30－1＜0.10．命题“?x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0＞sin x 0”的否定是________．答案 ?x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x 11．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是{x |x ＞－b a }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集是{x |a ＜x ＜b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“?p ”、“?q ”中，是真命题的有________．解析依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“?p ”为真、“?q ”为真．答案 ?p 、?q12．下列结论：①若命题p ：?x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1＞0.则命题“p ∧?q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：若“x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧?q 为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.答案 ①③能力提升题组(建议用时：15分钟)13．(2014·衡水中学调研)给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数．下列说法正确的是( ) A ．p ∨q 是假命题B ．(?p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(?p )∨q 是真命题解析对于命题p ：令y ＝f (x )＝ln[(1－x )(1＋x )]，由(1－x )(1＋x )＞0，得－1＜x ＜1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f (－x )＝ln[(1＋x )(1－x )]＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，∴命题p 为真命题；对于命题q ：令y ＝f (x )＝e x －1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x1＋e x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，∴命题q 为假命题，∴(?p )∧q 是假命题，故选B. 答案 B14．(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是( )A ．?α ，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．?φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．?m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．?a ＞0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点解析对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3＝x －1＝1x ，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，?a ＞0，对于方程t 2＋t －a＝0，Δ＝1－4(－a )＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B.答案 B15．(2014·北京海淀区测试)若命题“?x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析由已知得“?x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，则Δ＝m 2－4×1×(2m －3)＝m 2－8m ＋12≤0，解得2≤m ≤6，即实数m 的取值范围是2≤m ≤6.答案 [2,6]16．已知命题p ：“?x ∈R ，?m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题?p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．解析若?p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.答案 (－∞，1]17．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c的取值范围是________．解析由命题p 为真知，0＜c ＜1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c ＜2，即c ＞12，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0＜c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)。

高三数学一轮复习学案 §1.3. 命题.量词.逻辑连接词

一轮复习学案 §1.3. 命题.量词.逻辑连接词.☆学习目标：1．了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义； 2．理解全称量词与存在量词的意义, 能正确地对含有一个量词的命题进行否定． ☻基础热身：(1)(08广东) 已知命题:p 所有有理数都是实数;命题:q 正数的对数都是负数.则下列命题中为真命题的是( )A.()p q ⌝∨B.p q ∧C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()()p q ⌝∨⌝ (2) (07海南) 已知命题p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则 ( ).A p ⌝：x R ∃∈，sin 1x ≥ .B p ⌝：x R ∀∈，sin 1x ≥.C p ⌝：x R ∃∈，sin 1x > .D p ⌝：x R ∀∈，sin 1x >☻知识梳理：1．命题：10.概念：把用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句．命题的定义的要点：①能 ; ②是．20.构成：从构成来看，所有的命题都是由构成．在数学中，命题常写成“若p ，则q”或者 “如果p ，那么q”这种形式; 通常，我们把这种形式的命题中的p 叫做命题的 ,q 叫做命题．30.分类：命题可分为：命题和命题．①数学中判定一个命题是真命题，要 ; ②要判断一个命题是假命题，．2. 逻辑连接词：10.且(and )：用 “且”把命题p 和命题q 联结，得 “p 且q ”，记作p q ∧.20.或(or )：用 “或” 把命题p 和命题q 联结，得 “p 或q ”，记作p q ∨.30.非(not )：对一个命题p 全盘否定，得 “非p ”，记作p ⌝真值表: 命题“p q ∧”、“p q ∨”、 p ⌝的真假与p ，q 的真假之间的联系:3. 量词:10.全称量词：如“ ”、“ ”、“ ”等, 在逻辑中叫做全称量词. ①全称命题：“对M 中任意一个x ,有()p x 成立”表示为：“ , ” . ②要判断全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题,必需对集合M 中 , 证明()p x 成立.如果在集合M 中 , 使得()p x 不成立, 那么这个全称命题就是命题. 20.存在量词：如短语“ ”、“ ”等, 在逻辑中叫做存在量词.①特称命题：“存在M 中的元素x ,使()p x 成立”可用符号简记为：“ ”. ②要判断特称命题“,()x M p x ∃∈”是真命题,只需在集M 中 , 使得()p x 成立. 如果在集合M 中, 使得()p x 成立的元素 , 那么这个特称命题就是 30.对于含有一个量词的全称命题的否定， ①全称命题p ：,()x M p x ∀∈, 它的否定p ⌝：； ②特称命题p ：,()x M p x ∃∈, 它的否定p ⌝： .☆ 案例分析：例1. 分别指出由下列命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题的真假： ()1p ：{}42,3∈，q ：{}22,3∈；()2p ：1是奇数，q ：1是质数；()3p ：5≤5，q ：27不是质数；例2.已知命题p :方程210x mx ++=有两个不等的负实根，命题q ：方程244(2)10x m x +-+= 无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．例3. 下列四个命题中, 真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).①将函数|1|y x =-的图象按向量(1,0)v =-平移,得到的图象对应的函数表达式是||y x =; ②圆224210x y x y ++++=与直线0.5y x =相交所得的弦长为2;③若11sin(),sin()23αβαβ+=-=,则tan t 5co αβ⋅=; ④如图,已知正方形1111ABCD A B C D -, P 为底面ABCD 内一动点,到P 平面11AA D D 的距离与到直线1CC 的距离相等, 则点P 的轨迹抛物线的一部分.例4. (1)命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则┐p 是（）A ．有些三角形不是等腰三角形,B ．所有三角形是等腰三角形C ．所有三角形不是等腰三角形D ．所有三角形是等腰三角形.(2)已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（A ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件.例5.(1)用符号","∃∀表示命题“对一切非零实数x，总有12xx+≥”.然后写出它的的否定, 并判断其真假.(2) 已知条件2:6;:p x x q x Z-≥∈，求集合M，使得当x M∈时，“p且q”与“q⌝”同时为假命题.参考答案:基础热身：（1）.(2) C例3.例4.(1)解析：存在性命题的否定命题也有其规律：命题p：“存在使P（x）成立”，┐p为：“对任意”，它恰与全称性命题的否定命题相反，故的答案为C。

高中数学 1.4逻辑联结词“且”“或”“非”练习北师大版高二选修1-1数学试题

【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.4逻辑联结词“且”“或”“非”练习北师大版选修1-1一、选择题1．设命题p：x>2是x2>4的充要条件；命题q：若ac2>bc2，则a>b，则( )A．p或q为真B．p且q为真C．p真q假D．p、q均为假[答案] A[解析]x>2⇒x2>4，x2>4⇒/x>2，故p为假命题；由ac2>bc2⇒a>b，故q为真命题，∴p或q为真，p且q为假，故选A.2．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a>b，则a＋c>b＋c”；④“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中假命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]①②为“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为“p且q”形式的命题，为真命题，故选A.3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A．(¬p)或q B．p且qC．(¬p)或(¬q) D．(¬p)且(¬q)[答案] C[解析]命题p：所有有理数都是实数为真命题．命题q：正数的对数都是负数是假命题．¬p为假命题，¬q是真命题，(¬p)或(¬q)是真命题，故选C.4．已知命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)，命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是( )A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．“¬p”为假D．“¬q”为真[答案] A[解析]∵p为假，q为真，∴“p且q”为假，“p或q”为真，“¬p”为真，“¬q”为假，故选A.5．命题“p 或q 为真”是命题“q 且p 为真”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 若p 或q 为真，则p 、q 一真一假或p 、q 均为真，若q 且p 为真，则q 、p 均为真，故选B.6．已知命题p ：∀x ∈R,9x 2－6x ＋1>0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则( ) A ．¬p 是假命题 B ．p ∨q 是真命题 C ．¬q 是真命题 D ．(¬p )∧(¬q )是真命题[答案] B[解析] 当x ＝13时，9x 2－6x ＋1＝0，所以p 为假命题；当x 0＝π4时，sin x 0＋cos x 0＝2，所以q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．二、填空题7．p ：ax ＋b >0的解集为x >－ba；q ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b .则p 且q 是________命题(填“真”或“假”)． [答案] 假[解析]p 中a 的符号未知，q 中a 与b 的大小关系未知，因此命题p 与q 都是假命题． 8．若命题p ：x ∈(A ∩B )，则命题“¬p ”是________． [答案]x ∉A 或x ∉B[解析] 命题p ：x ∈(A ∩B )，即为x ∈A 且x ∈B ，故“¬p ”是x ∉A 或x ∉B . 三、解答题9．(1)分别写出由下列命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”形式的复合命题，p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相平分．(2)已知命题p ：王茹是共青团员，q ：王茹是三好学生，用自然语言表述命题p 且q ，p 或q .[解析] (1) p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分；p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分．(2)p 且q ：王茹既是共青团员，又是三好学生；p 或q ：王茹是共青团员或是三好学生．10．已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－2，＋∞)上单调递增；命题q ：函数g (x )＝2x 2＋22(m －2)x ＋1的图像恒在x 轴上方，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值X 围．[答案]m ≥3或1<m <2[解析] 函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－2，＋∞)上单调递增，则－m ≤－2， ∴m ≥2，即p ：m ≥2，函数g (x )＝2x 2＋22(m －2)x ＋1的图像恒在x 轴上方；则不等式g (x )>0恒成立，故Δ＝8(m －2)2－8<0. 解得1<m <3，即q ：1<m <3.若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ≥3或m ≤1，得m ≥3，当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <21<m <3，得1<m <2.综上，m 的取值X 围是{x |m ≥3或1<m <2}.一、选择题 1．下列命题：①“矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形”； ②“菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形”； ③方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等； ⑤集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集．其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] “或”命题为真，只需至少一个为真；“且”命题为真，需全为真．①、③、⑤为真命题．2．由命题p ：“函数y ＝1x是减函数”与q ：“数列a ，a 2，a 3，…是等比数列”构成的命题，下列判断正确的是( )A ．p 或q 为真，p 且q 为假B ．p 或q 为假，p 且q 为假C ．p 或q 为真，p 且q 为假D ．p 或q 为假，p 且q 为真 [答案] B[解析]∵p 为假，q 为假， ∴p 或q 为假，p 且q 为假．3．已知命题p ：m <0，命题q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数x 恒成立，若p 且q 为真命题，则实数m 的取值X 围是( )A ．m <－2B ．m >2C ．m <－2或m >2D ．－2<m <0[答案] D[解析]q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数恒成立， ∴Δ＝m 2－4<0， ∴－2<m <2.p ：m <0，∵p 且q 为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<m <2m <0，∴－2<m <0.4．(2014·某某师大附中期中)下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题C ．命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则¬p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件 [答案] B[解析] 由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A 为真命题；p 且q 为假命题时，p 假或q 假，故B 错误；由“非”命题的定义知C 正确；∵x >2时，x 2－3x ＋2>0成立，x 2－3x ＋2>0时，x <1或x >2，∴D 正确．二、填空题5．命题p ：“若a 、b 、c 成等比数列，则b 2＝ac ”，则¬p 为________． [解析]p 的否定¬p ：存在三数a 、b 、c 成等比数列，但b 2≠ac .6．(2014·某某市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx＋1>0恒成立，若p 且q 为假命题且p 或q 为真命题，则m 的取值X 围是________．[答案]m ≤－2或－1<m <2[解析]p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p 且q 为假命题且p 或q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值X 围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．已知命题p ：函数y ＝－x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递减；命题q ：函数y ＝mx 2＋x －1<0恒成立．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求m 的取值X 围．[答案] (－2，－14)[解析] 函数y ＝－x 2＋mx ＋1图像的对称轴为x ＝m 2，由条件m2≤－1，∴m ≤－2，即命题p ：m ≤－2；∵函数y ＝mx 2＋x －1<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <0Δ＝1＋4m <0，∴m <－14，∴命题p ：m <－14，∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 真q 假或p 假q 真，p 真q 假时，无解；p 假q 真时，－2<m <－14，∴m 的取值X 围是(－2，－14)．8．给定两个命题，p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；q ：a 2＋8a －20<0，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，某某数a 的取值X 围．[答案] (－10,0)∪[2,4) [解析]ax ＋ax ＋1>0恒成立，当a ＝0时，不等式恒成立，满足题意．当a ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.故0≤a <4.q ：a 2＋8a －20<0，∴－10<a <2.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，∴p 、q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4a ≤－10或a ≥2，∴2≤a <4.当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a ≥4－10<a <2，∴－10<a <0.综上可知，实数a 的取值X 围是(－10,0)∪[2,4)．。

《离散数学》--随堂练习(2019)

第一章命题逻辑1.1 命题与联结词1、在下面句子中，是命题的是( A )A．明年“五一”是晴天。

B．这朵花多好看呀！。

C．这个男孩真勇敢啊！ D．明天下午有会吗？2. 在下面句子中，是命题的是( B )A．1＋101＝110 B．中国人民是伟大的。

C．这朵花多好看呀！ D．计算机机房有空位吗？3. 在下面句子中( A )是命题A．如果天气好，那么我去散步。

B．天气多好呀！C．x=3。

D．明天下午有会吗？4．下面的命题不是简单命题的是( A )A．3是素数或4是素数 B．2018年元旦下大雪C．刘宏与魏新是同学 D．圆的面积等于半径的平方与π之积5．下面的表述与众不一致的一个是( C )A．P：广州是一个大城市 B．⌝P：广州是一个不大的城市C．⌝P：广州是一个很不小的城市 D．⌝P：广州不是一个大城市6．设，P：他聪明；Q：他用功。

在命题逻辑中，命题：“他既聪明又用功。

”可符号化为：( A )A．P ∧Q B．P→QC．P∨⌝Q D．P∧⌝Q7．设：P ：刘平聪明。

Q：刘平用功。

在命题逻辑中，命题：“刘平不但聪明，而且用功”可符号化为：( A )A．P ∧Q B．⌝P∨QC．P∨⌝Q D．P∧⌝Q8．设：P：他聪明；Q：他用功。

则命题“他虽聪明但不用功。

”在命题逻辑中可符号化为( D )A．P ∧Q B．P→QC．P∨⌝Q D．P∧⌝Q9．设：P：我们划船。

Q：我们跑步。

在命题逻辑中，命题：“我们不能既划船又跑步。

”可符号化为：( B )A．P→Q B．⌝（P ∧Q）C．P∨Q D．P∧⌝Q10．设：P：王强身体很好；Q：王强成绩很好。

命题“王强身体很好，成绩也很好。

”在命题逻辑中可符号化为( D )A．P ∨Q B．P→QC．P∧⌝Q D．P∧Q11．设：P：你努力；Q：你失败。

则命题“除非你努力，否则你将失败。

”在命题逻辑中可符号化为( C )A ．Q →PB ．P → QC ．⌝ P →QD ．Q ∨⌝P12．设：p ：派小王去开会。

离散数学作业册

第一章命题逻辑命题与逻辑联结词1.判断下列语句是否是命题，不是划“×”，是划“√”，且指出它的真值.(1)所有的素数都是奇数. ( ) 其真值( )(2)明天有离散数学课吗 ( ) 其真值( )(3)326+>． ( ) 其真值( )(4)实践出真知. ( ) 其真值( )(5)这朵花真好看呀！ ( ) 其真值( )(6)5x=． ( ) 其真值( )(7)太阳系外有宇宙人． ( ) 其真值( )2.将下列命题符号化．(1)如果天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.(3)我们不能既划船又跑步．(4)大雁北回，春天来了.3.将下列复合命题分解成若干个原子命题，并找出适当的联结词.(1)天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.命题公式1. 判断下列各式是否是命题公式，不是的划“×”，是的划“√”．(1)(Q R∧S). ( )(2)((R(Q R)(P Q)). ( )(3) (P∨QR)S. ( )(4)((P Q)(Q P)). ( )2．写出五个常用命题联结词的真值表.真值表与等价公式1.指出下列命题的成真赋值与成假赋值．(1)(P∨Q).(2)P(Q P).2.构造真值表，判断下列公式的类型．(1)(P∧Q)∧(P∨Q).(2) P→(P∧┑Q))∨R.3.用等值演算法验证下列各等价式．(1) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R) T.(2)P(Q∧R)(P Q)∧(P R).(3)(P∨Q)∨(P∧Q)P．蕴涵式及其他联结词1.试证明下列各式为重言式．(1)(P Q)∧(Q R)(P R)．(2) (P→Q)→Q⇒P∨Q．(3)(P Q)⇒P Q．2.将下列公式化成与之等价且仅含{┑，∨}中联结词的公式．(1) (P∨Q)∧┑P(2) (P→(Q∨┑R))∧(┑P∧Q)3.证明{，∧}是最小全功能联结词组.4.设A、B、C为任意的三个命题公式，试问下面的结论是否正确(1)若A∧C B∧C，则A B．(2)若A B，则A B．(3)若A C B C，则A B．对偶与范式1.试给出下列命题公式的对偶式．(1)T∨(P∧Q)．(2)(P∧Q)∧(P∨Q)．2.试求下列各公式的主析取范式和主合取范式．(1) (P→(Q∧R))∧(┑P→(┑Q→R))．(2)((P Q)∧Q)∨R．(3)(P(Q∨R))∧(P∨(Q R)).3.试用将公式化为主范式的方法，证明下列各等价式．(1) (┑P∨Q)∧(P→R)⇔P→(Q∧R)(2) ┑(P↔Q)⇔(P∧┑Q)∨(┑P∧Q)推理理论1.试用推理规则，论证下列各式．(1) ┑(P∧┑Q),┑Q∨R,┑R⇒┑P(2) P∨Q,Q→R,P→S,┑S⇒R∧(P∨Q)(3) ┑P∨Q,┑Q∨R,R→S⇒P→S(4) P∨Q,P→R,Q→S⇒R∨S第二章谓词逻辑词的概念与表示1.用谓词表达写出下列命题．(1)高斯是数学家，但不是文学家.(2)小王既是运动员也是大学生.(3)张宁和李强都是三好学生.(4)若是x奇数，则2x不是奇数.命题函数与量词1.用谓词表达式写出下列命题．(1)每个计算机系的学生都学离散数学.(2)直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B.(3)不存在既是奇数又是偶数的自然数.(4)没有运动员不是强壮的.(5)有些有理数是实数但不是整数. (6)所有学生都钦佩某些教师.谓词公式与变元的约束1.利用谓词公式翻译下列命题． (1)没有一个奇数是偶数.(2)一个整数是奇数，如果它的平方是奇数.2. 设个体域为自然数集N ，令P(x)：x 是素数；E(x)：x 是偶数； O(x)：x 是奇数；D(x ，y)：x 整除y ．将下列各式译成汉语． (1)x(E(x)∧D(x ，6))． (2)x(O(x)y(P(x)D(x ，y)))．3.指出下列表达示中的自由变元和约束变元，并指明量词的辖域． (1)()()(,)()()x F x Q x y xP x R x ∀∧→∃∨． (2)x(P(x ，y)∨Q(z))∧y(R(x ，y)zQ(z))．4.设个体域为A＝{a，b，c}，消去公式xP(x)∧xQ(x)中的量词．谓词演算的等价式与蕴含式1.试证下列等价式或蕴涵式,其中A(x),B(x)表示含x自由变量的公式,A,B 表示不含变量x（不论是自由的还是约束的）的公式.(1)（∀x A(x)→B）⇔(∃x(A(x)→B))．(2)（∃x A(x)→B）⇔∀x(A(x)→B)．2.试将下列公式化成等价的前束范式．(1)∃x（（┑∃yP(x,y)）→(∃zQ(z)→R(x))）．(2)x(F(x)G(x))(xF(x)xG(x))．谓词演算的推理理论1.证明下列推理．(1)所有有理数都是实数，某些有理数是整数。

2013高三数学总复习同步练习：1-2 命题、量词、逻辑联结词

1-2 命题、量词、逻辑联结词基础巩固强化1.(2011·河南质量调研)下列四个命题中的真命题为( )A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0[答案] D[解析] ∵1<4x 0<3，∴14<x 0<34，这样的整数x 0不存在，故A 错误；∵5x 0＋1＝0，∴x 0＝－15∉Z ，故B 错误；∵x 2－1＝0，∴x ＝±1，故C 错误；对任意实数x ，都有x 2＋x ＋2＝(x ＋12)2＋74>0，故选D. 2．(文)(2011·广东汕头一模)命题“∀x >0，都有x 2－x ≤0”的否定是( )A ．∃x >0，使得x 2－x ≤0B ．∃x >0，使得x 2－x >0C ．∀x >0，都有x 2－x >0D ．∀x ≤0，都有x 2－x >0[答案] B(理)(2011·湖南湘西州联考)命题“∃x ∈R,2x ＋x 2≤1”的否定是( )A ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题B ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题C ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题D ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题[答案] A[解析] 因为x ＝0时，20＋02＝1，所以“∀x ∈R,2x ＋x 2>1”是假命题．3．(2012·东北三校联考)已知命题p ：对于x ∈R ，恒有2x ＋2－x ≥2成立；命题q ：奇函数f (x )的图象必过原点，则下列结论正确的是( )A ．p ∧q 为真B ．(綈p )∨q 为真C ．p ∧(綈q )为真D ．(綈p )∧q 为真[答案] C[分析] 先判断命题p 、q 的真假，再按照或、且、非的定义及真值表做出判断．[解析] ∵x ∈R ，∴2x >0,2－x >0，∴2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2，∴p为真命题；q 为假命题(如y ＝1x为奇函数，但其图象不过原点)，∴p ∧q 为假，(綈p )∨q 为假，p ∧(綈q )为真，(綈p )∧q 为假，故选C.4．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数[答案] C[解析] “都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是：“若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数”．5．(2012·安阳模拟)已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2 [答案] A[解析] 由p ∨q 为假命题可知p 和q 都是假命题，即非p 是真命题，所以m >－1；再由q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立为假命题知m ≥2或m ≤－2，∴m ≥2，故选A.6．(2011·广东省东莞市一模)已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；命题q ：∀x ∈(0，π2)，cos x <1，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )[答案] C[解析] 在x ∈(－∞，0)上，y ＝2x 的图象恒在y ＝3x 的上方，所以不存在这样的x 使得2x <3x 成立，命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以(綈p )∧q 为真命题，故选C.7．(2011·南京一调)设p ：函数f (x )＝2|x －a |在区间(4，＋∞)上单调递增；q ：log a 2<1.如果“非p ”是真命题，“p 或q ”也是真命题，那么实数a 的取值范围是________．[答案] (4，＋∞)[解析] ∵“非p ”为真命题，∴p 为假命题，又p 或q 为真命题，∴q 为真命题．若a >1，由log a 2<1知a >2，又f (x )＝2|x －a |在(a ，＋∞)上单调递增，且p 为假命题，∴a >4，因此得，a >4；若0<a <1，则p 、q 都是真命题，不合题意．综上，a 的取值范围是(4，＋∞)．8．(2012·洛阳部分重点中学教学检测)给出下列命题：①y ＝1是幂函数；②函数f (x )＝2x －log 2x 的零点有1个；③x －1(x －2)≥0的解集为[2，＋∞)；④“x <1”是“x <2”的充分不必要条件；⑤函数y ＝x 3是在O (0,0)处的切线是x 轴．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．[答案] ④⑤[解析] y ＝1不是幂函数，①是假命题；作出函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象，由两图象没有交点知函数f (x )＝2x －log 2x 没有零点，②错误；x ＝1是不等式x －1(x －2)≥0的解，③错误；x <1⇒x <2，而x <2⇒/ x <1，④正确；y ′＝(x 3)′＝3x 2，∴切线的斜率k ＝0，过原点的切线方程为y ＝0，⑤正确．9．(2011·长沙调研)下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)[答案] ①③[解析] ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.10．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解析] ∵“p 且q ”是真命题，∴p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，∵x ∈[1,2]时，a ≤x 2恒成立，∴a ≤1.若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≥1或a ≤－2，综上知所求实数a 的取值范围是a ≤－2或a ＝1.能力拓展提升11.(2012·合肥第一次质检)下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题是真命题； ④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧(綈q )是真命题．其中真命题为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④[答案] A[解析] 由x 2＋2x >4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立需要log 2x >0，∴x >1，故②正确；由a >b >0得0<1a <1b ，又c <0，可得c a >c b，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 是真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故④错误．所以选A.12．(2011·山东潍坊一模)下列命题中是真命题的是( )A ．若向量a 、b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a 1bC ．若b 2＝ac ，则a 、b 、c 成等比数列D ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立 [答案] D[解析] 对于A ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0也成立，此时不一定是a ＝0或b ＝0；对于B ，当a ＝0，b ＝1时，该命题就不成立；对于C ，b 2＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的必要不充分条件；对于D ，因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，且43∈[－2，2]，所以该命题正确．13．(2012·南昌市一模)已知a 、b 、c 是三条不同的直线，命题“a ∥b 且a ⊥c ⇒b ⊥c ”是正确的，如果把a 、b 、c 中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有________个．[答案] 3[解析] a 、b 、c 换成平面α、β、γ，则“α∥β且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题；a 、b 换成平面α、β，则“α∥β且c ⊥α⇒c ⊥β”是真命题； b 、c 换成平面β、γ，则“a ∥β且a ⊥γ⇒β⊥γ”是真命题； a 、c 换成平面α、γ，则“b ∥α且α⊥γ⇒b ⊥γ”是假命题．14．(文)(2012·南通市调研)已知命题p 1：函数y ＝ln(x ＋1＋x 2)是奇函数，p 2：函数y ＝x 12为偶函数，则在下列四个命题： ①p 1∨p 2；②p 1∧p 2；③(綈p 1)∨p 2；④p 1∧(綈p 2)中，真命题的序号是________．[答案] ①④[解析] ∵ln(－x ＋1＋x 2)＝ln 11＋x 2＋x ＝－ln(x ＋1＋x 2)，∴p 1是真命题，又函数y ＝x 12的定义域为{x |x ≥0}，∴p 2为假命题，∴綈p 1假，綈p 2真，∴p 1∨p 2真，p 1∧p 2假，(綈p 1)∨p 2假，p 1∧(綈p 2)真．(理)方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题： ①曲线C 不可能为圆；②若1<t <4，则曲线C 为椭圆；③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52. 其中真命题的序号是______(写出所有正确命题的序号)．[答案] ③④[解析] 显然当t ＝52时，曲线方程为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线，而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故选项为③④.15．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点．(1)求证：“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解析] (1)证明：设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2＝2x 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时，直线l 与抛物线相交于点A (3，6)、B (3，－6)．∴OA →·OB→＝3. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －3)，得ky 2－2y －6k ＝0，则y 1y 2＝－6. 又∵x 1＝12y 21，x 2＝12y 22， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝14(y 1y 2)2＋y 1y 2＝3. 综上所述，命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB→＝3”是真命题．(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2＝2x 于A 、B 两点，如果OA →·OB→＝3，那么直线过点T (3,0)．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A (2,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，此时OA →·OB →＝3，直线AB 的方程为y ＝23(x ＋1)，而T (3,0)不在直线AB 上．16．已知命题p ：在x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立；命题q ：函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p ∨q ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解析] ∵x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立，∴a >2－x 2x ＝2x－x 在x ∈[1,2]上恒成立，令g (x )＝2x－x ，则g (x )在[1,2]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝1，∴a >1.即若命题p 真，则a >1.又∵函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数， ∴u (x )＝x 2－2ax ＋3a 是[1，＋∞)上的增函数，且u (x )＝x 2－2ax ＋3a >0在[1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1，u (1)>0，∴－1<a ≤1，即若命题q 真，则－1<a ≤1.综上知，若命题“p ∨q ”是真命题，则a >－1.1．有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12p 2：∃x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin yp 3：∀x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin x p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2其中假命题的是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 3，p 4[答案] A[解析] ∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故p 1为假命题． ∵∀x ∈[0，π]，sin x ≥0， ∴1－cos2x 2＝|sin x |＝sin x ，∴p 3真，故选A. 2．(2013·江西吉安一中上学期期中考试)下列命题中，不是真命题的为( )A ．“若b 2－4ac >0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根”的逆否命题B ．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C ．“x 2＝9则x ＝3”的否命题D ．“对顶角相等”的逆命题[答案] D[解析] A 中原命题为真命题，故逆否命题为真；B 中逆命题为“正方形的四条边相等”，它是真命题；C 中否命题为“若x 2≠9，则x ≠3”显然为真命题；D 中逆命题为“若两个角相等，则这两个角互为对顶角”显然为假，故选D.3．命题甲：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,21－x,2x 2成等比数列；命题乙：lg x ，lg(x ＋1)，lg(x ＋3)成等差数列，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由条件知甲：(21－x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ·2x 2， ∴2(1－x )＝－x ＋x 2，解得x ＝1或－2；命题乙：2lg(x ＋1)＝lg x ＋lg(x ＋3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2＝x (x ＋3)x ＋1>0x >0x ＋3>0，∴x ＝1，∴甲是乙的必要不充分条件．4．(2011·广州二测)已知p ：k >3；q ：方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，则p 是q 的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] A[解析] 由k >3得3－k <0，k －1>0，方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，因此p 是q 的充分条件；反过来，由方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线不能得到k >3，如k ＝0时方程x 23－k ＋y 2k －1＝1也表示双曲线，因此p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件，选A.5．(2012·吉林延吉市一模)若非空集合A 、B 满足A ⊆B ，则( )A ．∃x 0∈A ，使得x 0∉BB ．∀x ∈A ，有x ∈BC ．∃x 0∈B ，使得x 0∉AD ．∀x ∈B ，有x ∈A[答案] B[解析] 由子集的定义知，若A ⊆B ，则对任意x ∈A ，有x ∈B ，故选B.6．(2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，sin x ＝12，则綈p 为( ) A ．∀x ∈(0，π2)，sin x ＝12B ．∀x ∈(0，π2)，sin x ≠12C ．∃x ∈(0，π2)，sin x ≠12D ．∃x ∈(0，π2)，sin x >12[答案] B[解析] 特称命题的否定为全称命题，排除C 、D ；“＝”的否定为“≠”，排除A ，故选B.7．(2011·泰安模拟)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，－4]∪[－2，12] [解析] 若p 真，则∀x ∈[1,2]，(12x 2－ln x )min ≥a ， ∵y ＝12x 2－ln x 的导数y ′＝x －1x≥0在[1,2]上恒成立，∴当x ＝1时，y min ＝12，∴a ≤12；若q 真，则(2a )2－4×(－8－6a )＝4(a ＋2)(a ＋4)≥0， ∴a ≤－4或a ≥－2.∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，12]．。

人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：05【基础】简单的逻辑联结词

1简单的逻辑联结词【学习目标】1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2. 会用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结两个命题或改写某些数学命题，并判断命题的真假.【要点梳理】要点一、逻辑联结词“且”一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∧，读作：“p 且q ”。

规定：当p ，q 两命题有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题；当p ，q 两命题都是真命题时，p q ∧是真命题。

要点诠释：p q ∧的真假判定的理解：（1）与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义。

若开关p ，q 的闭合与断开分别对应命题p ，q 的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p ∧q 的真与假。

（2）与集合中的交集类比交集{|}AB x x A x B =∈∈且中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时可参考交集的概念。

要点二、逻辑联结词“或”一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∨，读作：“p 或q ”。

规定：当p ，q 两命题有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p ，q 两命题都是假命题时，p q ∨是假命题。

要点诠释：p q ∨的真假判定的理解：（1）与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义。

若开关p ，q 的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题的p ∨q 的真与假。

（2）与集合中的并集类比并集{|}AB x x A x B =∈∈或中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时可参考并集的概念。

（3）“或”有三层含义，以“p 或q ”为例： ①p 成立且q 不成立； ②p 不成立但q 成立； ③p 成立且q 也成立。

要点三、逻辑联结词“非”一般地，对一个命题p 全盘否定得到一个新命题，记作：p ⌝，读作：“非p 或p 的否定”。

规定：当p 是真命题时，p ⌝必定是假命题；当p 是假命题时，p ⌝必定是真命题。

命题及常用逻辑用语

• 5．命题的否定 • （1）存在性命题：p：∃x∈R , p（x）它的否定是非p： ∀ x∈A，非p （x） • （2）全称命题：q: ∀ x∈A,q(x),它的否定是非p：∃x∈A ，非p （x）； • (3)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.
6．用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定．
(2)逆否命题：若f(a)+f(b)<f(－a)+f(－b)，
则a+b<0，为真命题．
因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可． ∵a+b≥0，∴a≥－b，b≥－a. 又∵f(x)在(－∞，+∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)， ∴f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)．
3．(2011新课标全国卷· 理)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
2π p1：|a＋b|>1⇔θ∈ 0， 3 2π p2：|a＋b|>1⇔θ∈ ，π 3 π p3：|a－b|>1⇔θ∈ 0， 3 π p4：|a－b|>1⇔θ∈ ，π 3
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B
• 2．设x是实数，则“x>0”是“|x|>0”的( ) • A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 • C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 • 解析：∵x>0⇒|x|>0，|x|>0⇒x>0或 x<0. • 答案：A
解：(1)逆命题是：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)，则a+b≥0，真命题．

文数(人教版A版)练习：第一章第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 Word版含解析 - 用于合并

课时规范练A组基础对点练1．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1解析：该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A.答案：A2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2＜0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20＜0D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0解析：命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20＜0”，故选C.答案：C3．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x＜0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0＜0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0解析：把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定，故选C.答案：C4．已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则綈p为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x＞0，总有(x＋1)e x≤1D．∃x≤0，总有(x＋1)e x≤1解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1的否定是綈p：∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1.答案：B5．设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为()A．∃x0∈R，x20＋1＞0B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤0解析：全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p 的否定为“∃x0∈R，x20＋1≤0”，所以选B.答案：B6．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x0∉R，x20≠x0D．∃x0∈R，x20＝x0解析：全称命题的否定是特称命题：∃x0∈R，x20＝x0，选D.答案：D7．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则() A．綈p：∀x∈A,2x∉BB．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x0∉A,2x0∈BD．綈p：∃x0∈A,2x0∉B解析：由命题的否定易知选D，注意要把全称量词改为存在量词．答案：D8．命题“存在实数x0，使x0＞1”的否定是()A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x0，使x0≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x0，使x0≤1解析：由特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对任意实数x，都有x≤1，故选C.答案：C9．已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是() A．p∧q B．綈p∧qC．p∧綈q D．綈p∧綈q解析：对于命题p ，由于x ＝－1时，2－1＝12＞13＝3－1，所以是假命题，故綈p 是真命题；对于命题q ，设f (x )＝x 3＋x 2－1，由于f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以f (x )＝0在区间(0,1)上有解，即存在x ∈R ，x 3＝1－x 2，故命题q 是真命题．综上，綈p ∧q 是真命题，故选B.答案：B10．已知命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1＞0，则綈p 是( )A ．∀x ∈R ，e x －x －1＜0B ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0C ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1＜0D ．∀x ∈R ，e x －x －1≤0解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1＞0，则綈p ：∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0.故选B.答案：B11．已知命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0.则下面结论正确的是( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∧q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．p 是假命题解析：对于p ：取α＝π2，则cos(π－α)＝cos α，所以命题p 为真命题；对于命题q ：因为x 2≥0，所以x 2＋1＞0，所以q 为真命题．由此可得p ∧q 是真命题．故选A.答案：A12．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题，②p ∨q 为真命题，③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题，④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，所以选C.答案：C13．已知命题p ：“∃x 0∈R ，e x 0－5x 0－5≤0”则綈p 为__________．答案：∀x ∈R ，e x －5x －5>014．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是__________．①p ∧綈q ②綈p ∧q③綈p ∧綈q ④p ∧q解析：命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题．答案：①15．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是__________． ①p 为真 ②綈q 为假③p ∧q 为假 ④p ∨q 为真⑤綈p ∧綈q 为真 ⑥綈(p ∨q )为真．解析：p 、q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，綈p ∧綈q 为真，綈(p ∨q )为真．答案：③⑤⑥B 组能力提升练1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0，是假命题；q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，是真命题．因此p ∨q 是真命题，其他选项都不正确，故选A.答案：A2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：綈p ：甲没有降落在指定范围；綈q ：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p 或綈q 发生．故选A.答案：A3．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有4x >0；命题q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解析：命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以p ∧q 是假命题，(綈p )∧(綈q )是假命题，(綈p )∧q 是假命题，p ∧(綈q )是真命题，故选D.答案：D4．(2018·开封模拟)已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，有3x >2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：因为y ＝⎝⎛⎭⎫32x 在R 上是增函数，即y ＝⎝⎛⎭⎫32x >1在(0，＋∞)上恒成立，所以p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以命题p 2是假命题，綈p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(綈p 2)是真命题，选C.5．(2018·河北三市联考)命题p ：∃a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－14，使得函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎡⎦⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞上无零点，则下列命题中是真命题的是( )A ．綈pB ．p ∧qC ．(綈p )∨qD ．p ∧(綈q ) 解析：设h (x )＝x ＋a x ＋1.当a ＝－12时，函数h (x )为增函数，且h ⎝⎛⎭⎫12＝16>0, 则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上必单调递增，即p 是真命题；∵g ⎝⎛⎭⎫12＝－12<0，g (1)＝1>0， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上有零点，即q 是假命题，故选D. 答案：D6．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<0，则( ) A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )>0 解析：∵f ′(x )＝3cos x －π，∴当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，∴p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，∴綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0.故选C.答案：C7．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[－6，－2]C ．(2,6)D ．(－6，－2)解析：由题意知不等式x 2＋mx ＋2m －3≥0对一切x ∈R 恒成立，所以Δ＝m 2－4(2m －3)≤0，解得2≤m ≤6，所以实数m 的取值范围是[2,6]，故选A.答案：A8．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x ＋1，则关于f (x )，g (x )的语句为假命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )>g (x )B ．∃x 1，x 2∈R ，f (x 1)<g (x 2)C ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝g (x 0)D ．∃x 0∈R ，使得∀x ∈R ，f (x 0)－g (x 0)≤f (x )－g (x )解析：设F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝e x －1，于是当x <0时F ′(x )<0，F (x )单调递减；当x >0时F ′(x )>0，F (x )单调递增，从而F (x )有最小值F (0)＝0，于是可以判断选项A 为假，其余选项为真，故选A.答案：A9．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2解析：依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 答案：A10．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(綈q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B ．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C ．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D ．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名解析：(綈q )∧r 是真命题意味着綈q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.答案：D11．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：由题意可知，只需m ≥tan x 的最大值．∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，y ＝tan x 为增函数，当x ＝π4时，y ＝tan x 取最大值1. ∴m ≥1.答案：112．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________．解析：由“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，可得－1≤tan x ≤1，∴0≤tan x ＋1≤2，∴实数m的最大值为0.答案：013．命题“存在x0＞－1，x20＋x0－2 018＞0”的否定是________．解析：特称命题的否定是全称命题，故命题“存在x0＞－1，x20＋x0－2 018＞0”的否定是“任意x＞－1，x2＋x－2 018≤0”．答案：“任意x＞－1，x2＋x－2 018≤0”14．已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p ∧q为假命题，则实数m的取值范围为__________．解析：由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤－1，由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，可得－2＜m＜2，若命题p、q均为真命题，则此时－2＜m≤－1.因为p∧q为假命题，所以命题p、q中至少有一个为假命题，所以m≤－2或m＞－1.答案：m≤－2或m＞－1。

逻辑联结词(很全,含全部的及真值表。补充例题。)

“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面否定 = ≠ > ≤ 是都是至多有至少有任意所有一个一个的的至少有没有一某个某些两个个不是不都是
例4 写出下列命题的否定,并判断它们的真假:
（）p：y sin x是周期函数； 1 （2）p：3 2；（3）p：空集是集合A的子集。
逻辑联结词中的”且”相当于集合中的”交集”,即两个必须都选.
1.3.3 非(not)
思考?

下列命题间有什么关系? (1)35能被5整除;
(2)35不能被5整除.
一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作
p
读作”非p”或”p的否定” 若p是真命题,则 p 必是假命题;若 p是假命题,则 p 必是真命题.
全真为真,有假即假.
p q
例1
将下列命题用”且”联结成新命题,并判断它们的真假: (1)P:平行四边形的对角线互相平分,q:平行四边形的对角线相等. (2)P:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线互相平分.
例2
用逻辑联结词”且”改写下列命题,并判断它们的真假:

(1)1既是奇数,又是素数; (2)2和3都是素数.
2 2 （1）2+2=5；（2）3是方程x 9 0的根；（3）（-1） 1。
补例1 分别指出下列各组命题组成的“p或 q”,“p且q”,“非p”形式的复合命题的真假。 (1)p:2+2=5,q:3>2; (2)p:9是质数,q:8是12的约数; (3)p:1∈{1，2},q:{1}∈{1,2}. 补例2 指出下列复合命题的形式及构成复合命题的简单命题,并判断复合命题的真假。 (1)非空集合A∩B的元素,既是集合A的元素,也是集合B的元素. (2)5≥3. (3)梯形的中位线平行于两底且等于两底之和. (4)正数或0的平方根是实数.

高三数学简单的逻辑联结词试题

高三数学简单的逻辑联结词试题1.已知命题p：x∈A∪B，则非p是（）A．x不属于A∩BB．x不属于A或x不属于BC．x不属于A且x不属于BD．x∈A∩B【答案】C【解析】由x∈A∪B知x∈A或x∈B．非p是：x不属于A且x不属于B．答案：C2.下列说法正确的是（）A．“”是“函数是奇函数”的充要条件B．若，，则，C．若为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【答案】D【解析】对（A）：如果，函数不一定是奇函数.故错.对（B）：，，那么，.故错.对（C）：若为假命题，则p，q至少有一个为假命题.故错.对（D）：“若，则”的否命题是“若，则”，正确.【考点】逻辑与命题.3.已知命题p：m<0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是A．[－2，0]B．(0，2)C．(－2，0)D．(－2，2)【答案】C【解析】由∀x∈R，x2＋mx＋1>0成立，Δ＝m2－4<0，所以－2<m<2.因为“p∧q”为真命题，则p，q都为真命题，故，即－2<m<0.4.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(p)∨(q)B．p∨(q)C．(p)∧(q)D．p∨q【答案】A【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”是指“甲没降落在指定范围”或“乙没降落在指定范围”,应表示为(p)∨(q).故选A.5.已知命题p:若a>1,则a x>loga x恒成立;命题q:等差数列{an}中,m+n=p+q是an+am=ap+aq的充分不必要条件(其中m,n,p,q∈N*).则下面选项中真命题是() A．(p)∧(q)B．(p)∨(q) C．(p)∧q D．p∧q【答案】D【解析】同一坐标系内作出y1=a x,y2=logax(a>1)的图象可知p为真命题.命题q.若m+n=p+q,则an +am=ap+aq成立.反之,若{an}为常数列,则an+am=ap+aq⇒/ m+n=p+q,故q为真命题.∴p∧q为真命题.故选D.6.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是() A．(p)∨q B．p∧qC．(p)∧(q)D．(p)∨(q)【答案】D【解析】不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,结合选项只有(p)∨(q)为真命题.7.已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数图象可知: 命题为假命题，命题真命题，所以为真命题.【考点】1.函数图像；2.命题真假的判断；3.逻辑连结词.8.已知命题：函数恒过（1,2）点；命题：若函数为偶函数，则的图像关于直线对称，则下列命题为真命题的是A．B．C．D．【答案】B【解析】1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x-1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x-1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=-1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题￢p∧￢q为真命题．故选B【考点】复合命题的真假点评：主要是考查了复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断9.（本题满分12分）,(1)若命题T为真命题，求c的取值范围。

2013高考数学第一轮基础复习课后作业 1-2 命题、量词、逻辑联结词新人教B版

1-2 命题、量词、逻辑联结词1.(2011·南昌模拟)下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则log a x ＝log a y D ．若x <y ，则x 2<y 2[答案] A[解析] 当x 2＝1时，x ＝1或x ＝－1，故B 假；当x ＝y ＝－1时，log a x 无意义，故C 假；当x ＝－2，y ＝1时，满足x <y ，但x 2<y 2不成立，∴D 假；当1x ＝1y时，x ＝y 成立，故选A.[答案] B[解析] 由指数函数值域知2x －1>0恒成立；当x ＝1时，lg x ＝0<1；∵直线y ＝2与y ＝tan x有交点，∴方程tan x ＝2有解；∴A 、C 、D 都是真命题，当x ＝1∈N *时，(x －1)2>0不成立，∴B 为假命题．(理)(2011·山东实验中学模拟)下列命题中是真命题的为( ) A ．∀x ∈R ，x 2<x ＋1 B ．∀x ∈R ，x 2≥x ＋1 C ．∃x ∈R ，∀y ∈R ，xy 2＝y 2D ．∀x ∈R ，∃y ∈R ，x >y 2 [答案] C[解析] 令f (x )＝x 2－x －1，∵Δ>0，∴f (x )的图象与x 轴有交点，∴f (x )的值有正有负，故A 、B 假；令x ＝－1，则对任意y ∈R 都有x <y 2，故D 假．当x ＝1时，∀y ∈R ，xy 2＝y 2，故C 真．[答案] C[解析] 依题意得，命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”，选C.[答案] A[解析] 原命题的否命题与原命题的逆命题是等价命题，真假相同，故选A.5．(文)(2011·厦门模拟)已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(綈p )∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨(綈q )[解析] 由题知命题p 为真命题，命题q 为假命题，∴綈p 为假命题，綈q 为真命题，再由“或”命题一真为真，“且”命题一假为假知A 、B 、C 都为假命题．(理)(2011·广东省东莞市一模)已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x；命题q ：∀x ∈(0，π2)，cos x <1，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧q D ．p ∧(綈q ) [答案] C[解析] 在x ∈(－∞，0)上，y ＝2x 的图象恒在y ＝3x的上方，所以不存在这样的x 使得2x <3x成立，命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以(綈p )∧q 为真命题，故选C.6．(文)(2011·湖南十二校第二次联考)下列命题中的真命题是( ) A ．∃x ∈R ，使得sin x cos x ＝35B ．∃x ∈(－∞，0)，2x>1 C ．∀x ∈R ，x 2≥x －1 D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x [答案] C[解析] 由sin x cos x ＝35，得sin2x ＝65>1，故A 错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B ，D 错误；因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0恒成立，所以C 正确．(理)(2011·山东潍坊一模)下列命题中是真命题的是( ) A ．若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若a 1bC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列 D ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立[答案] D[解析] 对于A ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0也成立，此时不一定是a ＝0或b ＝0；对于B ，当a ＝0，b ＝1时，该命题就不成立；对于C ，b 2＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的必要不充分条件；对于D ，因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，且43∈[－2，2]，所以该命题正确．[解析] ∵x ＝1时，lg x ＝0，∴p 真；由指数函数值域知2x>0恒成立，∴q 真； ∴(綈p )∧q 为假．(理)(2010·江南十校联考)若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．[答案] －22≤a ≤2 2[解析] 因为“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.8．已知命题p ：1x 2－x －2>0，则綈p 对应的x 的集合为________．[答案] {x |－1≤x ≤2} [解析] 由p ：1x 2－x －2>0得p ：x >2或x <－1，所以綈p 对应的x 值的取值范围是{x |－1≤x ≤2}． [点评] 本题易形成错解： ∵p 的否定綈p 为1x 2－x －2≤0，即x 2－x －2<0，解得1<x <2，错因是忽视了隐含条件的限制作用． [答案] 对∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0. 10．(2010·马鞍山市质检)给出下列四个结论：①命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0” ②“若am 2<bm 2，则a 0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时，f ′(x )>g ′(x )．其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号)． [答案] ①④[解析] ①显然正确．②中命题“若am 2<bm 2，则a 0时单调增，故x <0时单调增，从而x <0时，f ′(x )>0；g (x )为偶函数，x >0时单调增，从而x <0时单调减，∴x <0时，g ′(x )<0，∴x <0时，f ′(x )>g ′(x )，故④正确.11.(2011·北京模拟)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1 D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x>1＋x [答案] D[解析] ∵对任意x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，∴A 假；当x ＝π4时，sin x ＝cos x ，∴B 假；对于函数y ＝x 2＋x ＋1，∵Δ＝－3<0，∴y >0恒成立，∴C 假；对于函数y ＝e x－x －1，∵y ′＝e x－1，当x >0时，y ′>0，∴y ＝e x－x －1在(0，＋∞)上为增函数，∴y >e 0－0－1＝0，即e x >1＋x 恒成立，∴D 真．12．(文)(2011·大连质检)下列命题中真命题的个数是( ) ①∀x ∈R ，x 4>x 2；②若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题；③命题“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 当x ＝0时，x 4>x 2不成立，∴①假；②③显然为真，故选B. (理)(2011·汕头模拟)下列说法中，正确的是( ) A ．命题“若am 2<bm 2，则a 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0” C ．命题“p ∨q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题 D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件 [答案] B[解析] 命题“若am 2<bm 2，则a 1⇒/ x >2，但x >2⇒x >1，∴x >1是x >2的必要不充分条件，故D 假，B 显然为真．13．(2011·宿州模拟)已知命题p ：∃x ∈[0，π2]，cos2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[－98，－1]B ．[－98，2]C ．[－1,2]D ．[－98，＋∞)[答案] C[解析] 依题意：cos2x ＋cos x －m ＝0在x ∈[0，π2]上有解，即cos2x ＋cos x ＝m 在x ∈[0，π2]上有解．令f (x )＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2(cos x ＋14)2－98，由于x ∈[0，π2]，所以cos x∈[0,1]，于是f (x )∈[－1,2]，因此实数m 的取值范围是[－1,2]．14．(文)(2011·长沙调研)下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)[答案] ①③[解析] ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确．所以正确结论的序号为①③. (理)(2011·金华模拟)给出下列三个结论：①命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0” ②函数f (x )＝x －sin x (x ∈R)有3个零点；③对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时，f ′(x )>g ′(x )．其中正确结论的序号是________．(填写所有正确结论的序号) [答案] ①③[解析] ①显然正确；由y ＝x 与y ＝sin x 的图象可知，函数f (x )＝x －sin x (x ∈R)有1个零点，②不正确；对于③，由题设知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，又奇函数在关于原点对称区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称区间上单调性相反，∴x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0，∴f ′(x )>g ′(x )，③正确．15．(文)已知函数f (x )是R 上的增函数，a 、b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[解析] (1)逆命题是：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0，真命题．用反证法证明：设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ， ∵f (x )是R 上的增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与题设矛盾，所以逆命题为真． (2)逆否命题：若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0，为真命题．由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真． ∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a ，又∵f (x )在R 上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )．∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，∴原命题真，故逆否命题为真．(理)(2010·聊城市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点．(1)求证：“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题； (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解析] (1)设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2＝2x 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时，直线l 与抛物线相交于点A (3，6)、B (3，－6)． ∴OA →·OB →＝3.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝k x －3得，ky 2－2y －6k ＝0，则y 1y 2＝－6.又∵x 1＝12y 21，x 2＝12y 22，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝14(y 1y 2)2＋y 1y 2＝3. 综上所述，命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题．(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2＝2x 于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝3，那么直线过点T (3,0)．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A (2,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，此时OA →·OB →＝3，直线AB 的方程为y ＝23(x ＋1)，而T (3,0)不在直线AB 上．16．(文)已知命题p ：在x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立；命题q ：函数f (x )＝log 13 (x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p ∨q ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解析] ∵x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立 ∴a >2－x 2x ＝2x－x 在x ∈[1,2]上恒成立令g (x )＝2x－x ，则g (x )在[1,2]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝1， ∴a >1.即若命题p 真，则a >1.又∵函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数，∴u (x )＝x 2－2ax ＋3a 是[1，＋∞)上的增函数，且u (x )＝x 2－2ax ＋3a >0在[1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1，u (1)>0，∴－1<a ≤1，即若命题q 真，则－1<a ≤1. 若命题“p ∨q ”是真命题，则a >－1.(理)探求关于x 的方程x 2＋2mx ＋12－m ＝0两根都大于2的充要条件． [解析] 设两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1>2x 2>2，而⎩⎪⎨⎪⎧x 1>2x 2>2，⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1－2x 2－2>0x 1－2＋x 2－2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m 2－412－m ≥012－m －2×－2m ＋4>0－2m －4>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－4m >－163m <－2⇔－163<m <－4.∴方程两根都大于2的充要条件为－163<m <－4.1．(2011·福州月考)下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0” D ．命题“若x ＝y ，则cos x ＝cos y ”的逆否命题为真命题 [答案] D[解析] A 中，否命题应为若x 2≠1，则x ≠1；B 中，x ＝－1⇒x 2－5x －6＝0，反之则不成立，应为充分条件；C 中，命题的否定应为∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0.2．(2011·浙江省台州市调研)给出下列命题，其中错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0” B ．“x 2－3x －4＝0”是“x ＝4”的必要不充分条件 C ．若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题D ．命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 [答案] C[解析] 选项A 根据逆否命题的写法，是正确的；选项B“x 2－3x －4＝0”不能推出“x ＝4”，但是“x ＝4”能推出“x 2－3x －4＝0”所以B 正确；选项C 中若p ∧q 是假命题，只需要其中一个是假命题即可，故选项C 错误．根据特称命题与全称命题的否定，选项D 正确．3．(2010·北京延庆县模考)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x >0且x ≠1，都有x ＋1x>2B ．∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1,0)C ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数 D ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数[答案] D[解析] ∵x ＋1x≥2等号在x ＝1时成立，∴A 真；将x ＝1，y ＝0代入直线方程ax ＋y ＝a中成立，∴B 真；令m －1＝1得m ＝2，此时f (x )＝x －1是幂函数，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 为偶函数，故D 假． 4．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0.”若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}C ．{a |a ≥1} D．{a |－2≤a ≤1} [答案] A[解析] “p ∧q ”为真，即p 、q 同为真．对于命题p ，∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0恒成立，只需12－a ≥0成立，即a ≤1；对于命题q ，∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立，只需保证判别式Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2或a ≥1，∴选A.5．(2010·合肥市)下列命题： ①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③命题“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－2x －1≤0，则命题p ∧(綈q )是真命题．其中真命题有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ [答案] A[解析] ∵x 2＋2x －4x ＋3＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋1>0恒成立，故①真；由log 2x ＋log x 2≥2知，x >0且x ≠1，若0<x <1，则log 2x <0，log x 2<0，显然原不等式不成立，故x >1，∴②真；∵a >b >0，∴0<1a <1b ，又c <0，∴c a >c b ，∴命题“若a >b >0且c <0，则c a >cb”为真命题，因此其逆否命题为真，故选A.6．(2011·南昌模拟)给出以下三个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．②③ [答案] B[解析] 对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．7．(2011·常德模拟)已知命题“如果|a |≤1，那么关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有________个．[答案] 2[解析] 由|a |≤1，得－1≤a ≤1，且Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4) ＝5(a ＋25)2－45－12≤5(1＋25)2－645<0，∴原命题为真，逆否命题亦为真．反之，如a ＝－2时，所给不等式的解集即为空集，但a ∉[－1,1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假．8．(2010·河北正定中学模拟)已知动圆C 过点A (－2，0)，且与圆M ：(x －2)2＋y 2＝64相内切．(1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (其中k ，m ∈Z)与(1)中所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线x 24－y 212＝1交于不同两点E ，F ，问是否存在直线l ，使得向量DF →＋BE →＝0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．[解析] (1)圆M ：(x －2)2＋y 2＝64的圆心M 的坐标为(2,0)，半径R ＝8. ∵|AM |＝4<R ，∴点A (－2,0)在圆M 内．设动圆C 的半径为r ，圆心为C (x ，y )，依题意得r ＝|CA |，且|CM |＝R －r ，即|CM |＋|CA |＝8>|AM |.∴圆心C 的轨迹是中心在原点，以A 、M 两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝12. ∴所求动圆的圆心C 的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.用心爱心专心 (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m x 216＋y 212＝1，消去y 化简整理得：(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－48＝0，设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2 Δ1＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－48)>0① 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m x 24－y 212＝1消去y 化简整理得：(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0. 设E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2km 3－k 2， Δ2＝(－2km )2＋4(3－k 2)(m 2＋12)>0②∵DF →＝(x 4－x 2，y 4－y 2)、BE →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)，且DF →＋BE →＝0，∴(x 4－x 2)＋(x 3－x 1)＝0，即x 1＋x 2＝x 3＋x 4，∴－8km 3＋4k 2＝2km 3－k 2， ∴km ＝0或－43＋4k 2＝13－k 2.解得k ＝0或m ＝0. 当k ＝0时，由①、②得－23<m <23，∵m ∈Z ，∴m 的值为－3，－2，－1,0,1,2,3；当m ＝0时，由①、②得－3<k <3，∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1.∴满足条件的直线共有9条．。

浙江版2018年高考数学一轮复习(讲练测)：专题1.2命题及其关系逻辑联结词充分条件与必要条件(练)有解析

第02节命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件A 基础巩固训练1.【2017浙江台州一模】若，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】当，而，反过来也成立，所以是充要条件，故选C.2.【2017河北唐山二模】“2560x x +->”是“2x >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B3.【2017湖南衡阳二联】已知集合{}1A x x =-， {|1}B x x =≥，则“x A ∈且x B ∉”成立的充要条件是（）A. 11x -<≤B. 1x ≤C. 1x >-D. 11x -<< 【答案】D【解析】由已知条件：若满足x A ∈，则1x >-，若x B ∉，则1x <-，所以满足题意的即： 11x -<< 4. 已知x R ∈，则“1x <”是“21x <”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】()()()()21,111,11,,11,1x x x x <∴+-<∴-<<∴-∞⊇- , 1x ∴< 时， 21x <的必要不充分条件，故选B.5.【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<< 1sin 2θ⇒< ，但10,sin 2θθ=<，不满足 ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A. 【考点】充要条件B 能力提升训练1.设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（）（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a qq q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.2．【2017届辽宁锦州一模】设命题p ：实数,x y 满足： ()()22112x y -+-≤，命题：实数,x y 满足：1{11y x y x y ≥-≥-≤，则p 是的（）条件A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】命题p 表示一个实心圆, 命题表示一个三角形及其内部,如图,所以p 是的必要不充分条件3．【2017届山东日照三模】命题:sin21p x =，命题:tan 1q x p q =，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由sin21,x =得π2+2π,2x k k Z =∈，即π+π,4x k k Z =∈，由tan 1,x =得π+π,4x k k Z =∈，∴p 是的充要条件．故选：C ．4．【2017湖南娄底二模】“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A5．设命题()43120:0,,0312x y p k x x y k R k x y +-⎧⎪-∈>⎨⎪+⎩且≥≥≤;命题()()22:327,q x y x y R -+∈≤，若p 是q 的充分不必要条件.则k 的取值范围是 . 【答案】(0,6]【解析】命题p 表示的范围是图中ABC ∆内部（含边界），命题q 表示的范围是以点(3,0)为圆心，半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件，说明ABC ∆在圆内，实际上只须,,A B C 三点都在圆内（或圆上）即可.CBA k1234OyxC 思维拓展训练1．设角A,B,C 是ABC ∆的三个内角,则 “C B A <+”是“ABC ∆是钝角三角形”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 C B A <+,则.2π>C 若ABC ∆是钝角三角形,则C 不一定为钝角,C B A <+不一定成立,故选A.2．【2017浙江台州期末】已知，则“”是“抛物线的焦点在轴正半轴上”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C3．设,a b 是两个非零向量，则“0a b ⋅>"是“,a b 夹角为锐角”的（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为,a b 为非零向量,所以0,0a b >>,则当,a b π<>=时,满足0a b a b =>,但是,a b 向量的夹角为π,不是锐角,所以"0"a b >⇒",a b 的夹角为锐角”,当,a b 向量的夹角为锐角时,即cos ,0a b <>>,又因为0,0a b >>,所以cos ,0a b a b a b =<>>,即",a b 的夹角为锐角”"0"a b ⇒>,则“a b >0"是“,a b 夹角为锐角”的必要不充分条件,故选B 4．已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A. 5．下列命题：①已知m ，表示两条不同的直线，α，β表示不同的平面，并且m α⊥，n β⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的必要不充分条件；②不存在()0,1x ∈，使不等式23log log x x <；③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题．正确的命题序号是．【答案】①。

高考数学复习《命题及逻辑联结词》

命题及逻辑联结词【考点导读】1.了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系． 2.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容． 3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础练习】1.下列语句中：①230x -=；②你是高三的学生吗？③315+=；④536x ->．其中，不是命题的有____①②④_____．2.一般地若用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q 则p ，否命题可表示为 p q ⌝⌝若则，逆否命题可表示为q p ⌝⌝若则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．【范例解析】例1.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假. （1）平行四边形的对边相等；（2）菱形的对角线互相垂直平分；（3）设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+.分析：先将原命题改为“若p 则q ”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.（3）原命题：设,,,a b c dR ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+；真命题；逆命题：设,,,a b c dR ∈，若a c b d +=+，则,a b c d ==；假命题；否命题：设,,,a b c d R ∈，若a b ≠或c d ≠，则a c b d +≠+；假命题；逆否命题：设,,,a b c dR ∈，若a c b d +≠+，则a b ≠或c d ≠；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p 则q ”的形式，找出其条件p 和结论q ，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p 的否定即p ⌝时，要注意对p 中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的命题，并判断真假.（1）p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；（2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；（3）p ：方程210x x -+=的两实根的符号相同，q ：方程210x x -+=的两实根的绝对值相等.分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.解：（1）p 或q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p 且q ：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p ：2不是4的约数，假命题.（2）p 或q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p 且q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p ：矩形的对角线不相等，假命题.（3）p 或q ：方程210x x -+=的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；p 且q ：方程210x x -+=的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；非p ：方程210x x -+=的两实根的符号不同，真命题.点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p ，q 的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p ：每一个非负数的平方都是正数；（3）p ：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p ：有的四边形没有外接圆；（5）p ：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是“,()x M p x ∃∈⌝”，特称命题“,()x M p x ∃∈”的否定是“,()x M p x ∀∈⌝” .解：（1）p ⌝：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；（2）p ⌝：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（3）p ⌝：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；（4）p ⌝：所有四边形都有外接圆，假命题；（5）p ⌝：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：【反馈演练】1．命题“若a M ∈，则b M ∉”的逆否命题是__________________. 2．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则:p ⌝,sin 1x R x ∃∈>.3．若命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，则p 是m 的____逆否命题____.4．命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为________________________． 5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．（1）设,a b R ∈，若0ab =，则0a =或0b =；（2）设,a b R ∈，若0,0a b >>，则0ab >．解：（1）逆命题：设,a b R ∈，若0a =或0b =，则0ab =；真命题；否命题：设,a b R ∈，若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠；真命题；逆否命题：设,a b R ∈，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠；真命题；（2）逆命题：设,a b R ∈，若0ab >，则0,0a b >>；假命题；否命题：设,a b R ∈，若0a ≤或0b ≤，则0ab ≤；假命题；逆否命题：设,a b R ∈，若0ab ≤，则0a ≤或0b ≤；真命题．若b M ∈，则a M ∉若a b ≤，则221a b ≤-。

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命题与逻辑联结词(基础+复
习+习题+练习)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
课题：命题及逻辑连接词
考纲要求：
①理解命题的概念.
②了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种
命题的相互关系.③了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
④理解全称量词与存在量词的意义.
⑤能正确地对含有一个量词的命题进行否定
教材复习
1.原命题：若p则q；逆命题为：；否命题为：；逆否命题为：
2.四种命题的真假关系：两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；四种命题中真命题或假命题的个数必为个．
3.常见词语的否定：如：“等于、大于、小于、是、都是、至多一个、至少一个、任意的、所有的、至多n个、任意两个、或、且”的否定分别是：
4.
5.
题的否定为全称性命题.
基本知识方法
1.四种命题之间的关系
2.存在，任意的符号表示法
3.含有一个量词的命题的否定
典例分析：
问题1．把写列命题写成若p 则q 的形式，写出它们的逆命题、否命题与逆否否命题，并判断真假.()1 当2x =时，2320x x -+=；()2 对顶角相等。

问题2．分别写出由写列命题构成的“p 且q ”、“p 或q ”、“非p ”形式的复合命题并判断真假。

()1:p 3是9的约数；:q 3是18的约数；
()2:p 菱形的对角线相等；:q 菱形的对角线互相垂直；
()3 :{,,}p a a b c ∈；:{}{1,,}q a b c ；
()4 :p 不等式2221x x ++>的解集是R ；:q 不等式2221x x ++≤的解集为∅.
问题3．试判断下列命题的真假
()12,20x R x ∀∈+>； ()24,1x N x ∀∈≥；
()33,1x Z x ∃∈<； ()42,2x R x ∃∈=.
问题4．已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根.命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的范围.
问题5．()1用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：
20(0)ax bx c a ++=≠ 有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是
.A 假设a 、b 、c 都是偶数 .B 假设a 、b 、c 都不是偶数
.C 假设a 、b 、c 至多有一个是偶数 .D 假设a 、b 、c 至多有两个是偶数 ()2已知函数()f x 对其定义域内的任意两个数a 、b ，当a b <时，都有()()f a f b <，证明：()0f x =至多有一个实根．
走向高考：
1. （08广东）已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是.A ()p ⌝或q .B p 且 q .C ()p ⌝且()q ⌝.D ()p ⌝或()q ⌝
2. （07宁夏）已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则
.A 1sin ,:≥∈∃⌝x R x p .B 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p
.C 1sin ,:>∈∃⌝x R x p .D 1sin ,:>∈∀⌝x R x p
3. (07重庆)命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是
.A 若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 .B 若11<<-x ，则12<x
.C 若11
-<>x x ，或，则12>x .D 若11-≤≥x x ，或，则12≥x 4. (07山东)命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是
.A 不存在01,23≤+-∈x x R x .B 存在01,23≥+-∈x x R x
.C 存在01,23>+-∈x x R x .D 对任意的01,23>+-∈x x R x
5. （08山东）给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是.A 3.B 2.C 1 .D 0
课后练习作业：
1. 有下列四个命题：
①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；其中真命题的个数是
2. 命题“存在x Z ∈，使22x x m ++≤0”的否定是
.A 存在x Z ∈使22x x m ++0> .B 不存在x Z ∈使22x x m ++0> .C 对任意x Z ∈使22x x m ++≤0 .D 对任意x Z ∈使22x x m ++0> 3. 已知)0(012:,0208:222>≤-++≤--m m x x q x x p ，且非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
4.（97成都统考）若a 、b 、c 均为实数，且222a x y π=-+，223b y z π
=-+，
226c z x π
=-+，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0。