太阳影子定位技术 高教社杯 数学建模 获奖论文讲课稿

太阳影子定位技术2015高教社杯数学建模获奖论文

太阳影子定位技术

摘要

本文以太阳影子定位技术为背景，结合直杆影子轨迹的变化规律建立数学模型。并运用视频数据分析的方法，确定拍摄地点及日期等地理信息条件。

第一问给出了北京时间、拍摄日期，以及拍摄地点的经纬度。我们可以结合太阳赤纬、时角、直杆的经纬度与太阳高度角之间的关系建立模型，求出符合时间条件要求的太阳高度角，再根据已知的杆的高度和三角公式求出影长关于时间的变化曲线。

第二、三问在第一问的基础上增加难度，使部分变量未知。通过文献查阅和方程推导，得出阴影运动轨迹形状是双曲线的一支，并且具体形状和当地的纬度以及赤纬有关，本文根据这点进行模型假设与建立。附件中给出的坐标并不一定是标准地理坐标，通过对其进行坐标变换，引入了实际坐标系与标准地理坐标系的偏角。

在拟合多项高次变量组成的隐函数方程的过程中，为增加精确度，运用最小二乘法进行拟合求解未知参量时，可以利用直杆阴影顶点轨迹的形状，建立参量和变量之间的关系，简化需拟合的隐函数方程。

这样就可以根据太阳影子顶点横纵坐标以及对应的时刻，把偏角、纬度、经度、日期作为未知参数进行拟合，得出要求的地理位置和相应的日期。如通过对附件1数据的拟合求解可得到一组地理坐标（东经104.425度，北纬15.6578度），对附件2数据的拟合求解可得一个可能的日期6月21日，坐标（东经116度，北纬26度），由附件3得到的可能的日期地点为：6月21日，（东经164.55度，北纬71.26度）。

为了便于定位，根据一般工程的实际需求，对美国天文学家纽康（New Comb）提出的太阳公式作了综合、简化，舍去了一些高阶微小量。结合测量学的理论，用数学模型进行非线性拟合求得直杆所处的经纬度。

第四问给出一段视频，实际是对前三问模型的实际应用。本问对一些已有的论文以及专利进行借鉴，创新与简化。首先对视频中的图像进行取帧，在灰度处理中因为技术限制，改为运用Matlab二值化处理。并根据简单测量画出运行轨迹。

运用主元分析法求得阴影尖端坐标与杆底坐标的关系。确定影子的运动轨迹。之后借鉴已有成熟理论将2D图像去畸变，恢复仿射的度量属性，通过对3D图形转变2D过程的逆向推导，将坐标恢复为符合现实要求的坐标。之后回归前几问建立的的日晷数学模型进行求解，得到一个可能的地理坐标为（东经104.9度，北纬25.33度）。并在最后进行误差修正。

关键词：日晷投影原理、杆影端点轨迹、非线性最小二乘法、主元分析法、二值化处理、Floodfill图论算法

一、问题重述

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用模型给出若干个可能的拍摄地点。

如果拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍摄地点与日期？

二、问题分析

2.1问题一的分析

本问以直杆影子长度为研究对象，寻找影响影子长度与各个参数的关系及其变化规律。为了使影长的计算科学严谨，我们应了解太阳与地球之间相互的运动轨迹，由此计算出太阳对地球上某一定点的相对位置。这主要由当地的地理纬度、季节(月、日)和时间三个因素决定，可以用地理纬度(φ)、太阳赤纬角(δ)、太阳高度角(h)、及时角t等参数进行定量表达。

2.2问题二的分析

由于附件中给出的直杆阴影顶点的坐标系的x轴和y轴并不一定垂直或重合，有可能坐标轴向与南北方向存在一定的偏角（θ）。本问根据太阳影子顶点横纵坐标的21组数据，对x和y的坐标进行旋转坐标变换，得到阴影顶点在新坐标系下的坐标，该新坐标系以正东方向为x’轴正向，正北方向为y’轴正向，直杆底端为坐标原点，由原坐标系旋转θ得到。这样就可以由x’和y’求出相应时刻的太阳方位角（A），再结合太阳高度角(h)的计算公式，经过一系列化简，可以得到经纬度之间的关系。将经纬度作为参数，利用Matlab进行非线性拟合，选取合适的初值，即可得直杆所处地点的经纬度。

2.3问题三的分析

该问题的求解可利用问题二建立起来的模型，将由日期确定的太阳赤纬作为未知参数，在Matlab中对时间和直杆影子长度进行非线性拟合，选取合适的初值得到经纬坐标和日期的值。

2.4问题四的分析

本问考察基于视频数据分析方法进行太阳影子定位。从图像或视频中估算经纬度是目前计算机视觉领域的研究热点问题，估算经纬度不仅自身具有重要理论意义，而且它对计算机视觉问题也有积极的启示意义。

第四问提供的视频，其中体现了标志物的影子在一段时间内的移动轨迹。在这种条件下求经纬度，实际上就是基于视频中太阳影子轨迹来估计经纬度的实际应用。

首先我们把视频取帧处理得到影子的轨迹点，在拟合出地平线后，运用计算机作图的相关知识对坐标进行纠正后，把图片上的2D坐标恢复为实际中真实的3D坐标，最后把问题回归日晷模型算出经纬度，并对因为地方时标准时引起的误差进行修正。

三、模型假设

1.将太阳光近似地看成平行光投射到地球；

2.忽略太阳光受地球大气层折射和漫反射的影响；

3.地球和太阳在运行中不规则变化和周期性变化产生的误差忽略不计；

4.假设直杆所在的地面为水平的；

5.忽略地球形状对试验结果的影响；

6.假设每天的时间为24小时整；

7.假设所求日期均均为2015年日期。

四、符号说明