两种群间的相互竞争

两种群间的相互竞争

摘要

本文针对两种群间的竞争问题作了详细的论述，主体分为两部分，第一部分主要通过理论分析的方法来阐述模型，第二部分主要利用MATLAB通过数值分析的方法从另一个角度来阐述模型，两个部分相辅相成，从不同的角度对同一个模型进行分析，并在最后得到一致的结果。另外本文在第一部分主要以理论的方式对模型进行数学上的描述，在第二部分主要以生物间的角度对模型进行描述，与此同时对第一部分作一个总结。

关键词：稳定性平面动力系统增广相空间轨线

一、问题提出

两种群竞争模型很好的描述了种群间的各种关系，而如果从发展的眼光来看待问题，我们不禁对两种群在未来很长一段时间内的状态产生兴趣，换句话说，我们要研究的是在无穷远的将来，两个种群的数量变化关系，这对我们进一步研究生物学的各种问题是有意义的。

二、基本假设

假设1： 有甲乙两个种群，它们独自生存时的数量变化服从Logistic 规律。 假设2： 两种群一起生存时，乙种群对甲种群增长的阻滞作用与乙种群的数

量成正比，甲种群对乙种群增长的阻滞作用与甲种群的数量也成正比。

三、问题分析

根据“假设1”，我们容易得到方程组如下

112

2()(1)()(1)

dx t x r x dt n dy t y r y dt

n ⎧=-⎪⎪

⎨

⎪=-⎪⎩ （1） 其中()x t ，()y t 分别为甲乙两种群随时间变化的数量；1r ，2r 为它们的固有增长率；1n 和2n 为环境允许条件下，甲乙两种群的最大数量。

再由“假设2”，对方程组（1）变形，我们得到方程组如下

1112

2212()

(1)()(1)dx t x y r x s dt n n dy t x y r y s dt n n ⎧=--⎪⎪⎨

⎪=--⎪⎩

（2） 其中1s 的含义是，对于供养甲种群的资源而言，单位数量乙（相对于2n ）的消耗为单位数量甲（相对于1n ）消耗的1s 倍；2s 的含义是，对于供养乙种群的资源而言，单位数量甲（相对于1n ）的消耗为单位数量乙（相对于2n ）消耗的2s 倍。

我们所要研究的问题是当t →+∞时，()x t 与()y t 的极限状态，即稳定性，这是本文

的第一步，即通过理论方法予以研究。由于方程组（2）不存在解析解，因此我们只能求出它的数值解，并利用MATLAB 中先画出增广相空间中的积分曲线，然后画出相空间中的轨线（即积分曲线沿t 轴在相空间中的投影），进一步支持上述的理论研究，这是本文的第二步。

四、模型的建立与求解

第一部分：理论分析

现在我们回过头来看方程组（2）

1112

2212()

(1)()(1)dx t x y r x s dt n n dy t x y r y s dt

n n ⎧=--⎪⎪⎨

⎪=--⎪⎩

可以看到，常微分方程组不显含自变量，因此方程组是自治的，现在我们令

1112

22

12(,)(1)(,)(1)x y f x y r x s n n x y g x y r y s n n ⎧=--⎪⎪⎨

⎪=--⎪⎩

（3） 易知，(,)f x y 和(,)g x y 在xoy 平面上连续，并且

11222

122(1)r s x f

y n s x g y r y n n ∂⎧=-⎪∂⎪

⎨

∂⎪=--⎪∂⎩

也在xoy 平面内连续，因此(,)f x y 与(,)g x y 满足Lipschitz 条件，这就保证了柯西问题解的存在唯一性。因此易见，方程组（2）描绘的是一个平面上的动力系统。 方程组（2）作为一个平面上的动力系统，它不具有解析解，造成这个现象的主要原因是方程组（2）的右端非常系数且非线性。为了使分析得以进行下去，我们有必要对方程组（2）的右端做一些改变，其中一个想法就是将非线性的函数近似线性化，因为平面线性动力系统的理论已经比较完善，并且较易于判断稳定性。接下来我们将这一过程用数学语言描述出来。

首先，对方程组（2）的右端在奇点00(,)x y 处进行二元函数的泰勒展开（取一阶），将

右端近似线性化，如下

00000000200(,)0(,)

0200

(,)0

(,)

0(,)(,)()()()

(,)(,)()()()

x y x y x y x y f f

f x y f x y x x y y o x y g

g

g x y g x y x x y y o x y

ρρ∂∂⎧=+-+

-+⎪∂∂⎪⎨

∂∂⎪=+-+-+⎪∂∂⎩

00000000(,)(,)

(,)

(,)

(,)(,)x y x y x y x y f f

f x y x y C

x y g g g x y x y C x y

∂∂⎧

≈⋅+

⋅+⎪∂∂⎪⇒⎨

∂∂⎪'

≈⋅+⋅+⎪∂∂⎩

（4）

其中

00000000

00(,)0(,)000(,)0(,)0

(,)(,)x y x y x y x y f

f

C f x y x y x y g

g C g x y x y x y ρ=∂∂=-

⋅-

⋅∂∂∂∂'=-

⋅-⋅∂∂ 方程组（4）是去掉高阶项后近似线性化得到的。现在可以将方程组（2）写成如下向量矩阵的形式

dv

Av c dt

=+ （5）

其中(,)

(,)T

T v x y c C C '==

00000000(,)

(,)(,)

(,)x y x y x y x y f f x y A g g x y ∂∂⎛⎫ ⎪

∂∂

⎪=∂∂ ⎪ ⎪

∂∂⎝

⎭

经过简单的计算，我们将（5）写成如下形式

010110112222020021122(1)2(1)x s y r s x r n n n x x C d y r s y s x y y C dt r n n n ⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪'

⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--- ⎪⎝⎭

（6）

现在令

001221121212

()(2)(2)()p tr A x y

r s r s r r r r n n =-=+++-+ （7）

01020012120012121212

det()

22(1)(1)q A x s y s x y r r s s x y r r n n n n n n ==-

---- （8）

根据常微分方程的理论知，当0p >且0q >时，奇点00(,)x y 是稳定的，当0p <时奇

点00(,)x y 是不稳定的。现在我们来求出方程组（2）的所有奇点，具体如下