4第四章 传递函数矩阵的状态空间

]
[
]
dj(s)为最小公倍式,nij(s)为分子多项式
d j ( s ) = s + a j ,n j 1s
nj n j 1
+ L + a j ,1s + a j , 0
17
nij ( s ) = β ij ,n j 1s
n j 1
+ L + β ij ,1s + β ij , 0 , i = 1,2 L q
g i ( s ) 为严格真分式 取 g i ( s ) 最小公分母,记为D(s)
D ( s ) = s n + an 1s n 1 + L + a1s + a0
β 1,n1 s n 1 + L + β 1, 0 (s) = 1 M G D( s) β q ,n1 s n 1 + L + β q , 0
& x5 = 3x5 + x6
& x6 = x6 + u1
3
1 1 & x2 = 2 x2 + x3 0 2 1 & x3 = x3 + u2 0 1 & x + & x 4 = 3 x 4 + u 2 x = 3 0 & x5 = 3x5 + x6 3 1 0 1 1 & x6 = x6 + u1
[
]
对 G ( s ) 建立能观测标准型,
xn = y1 & xi = xi +1 + ai y1 β1i u1 L β pi u p , i = 1,2,3, L , n 1 14
xn = y1 & xi = xi +1 + ai y1 β1i u1 L β pi u p , i = 1,2,3, L , n 1
令
0 & x= a0
I n 1
a1
L
0 M x + u 0 an 1 1
β1, 0 y(s ) = M β q ,0
β1,1 L β1,n 1 β q ,1
M
L M x + du L β q ,n 1
由单输入单输出系 统的能控标准型推 广而来,系统一定 能控但不一定能观 测.
2 ( s 1)( s 4) G ( s) = 1 ( s 1)
极点多项式为
1 ( s 1) 0
r=2
二阶子式
1 ( s 1) 2
φ ( s ) = ( s 1) 2 ( s 4)
1 ( s 4) = ( s 1) 2 ( s 1) 2 ( s 4)
零点多项式为
为最小多项式,由A阵决定.特征多项式为最小多项式的倍式. 7
2)极点多项式 正则有理矩阵G(s)的所有不恒为零的子式当化为不可简约形 式后分母的首一最小公倍式定义为极点多项式,用φ(s)表示. 极点多项式的阶次定义为G (s)的阶次,用ns表示; φ(s)=0 的根为G(s)极点.
2 1 ( s 1)( s 4) ( s 1) 矩阵各阶子式 G ( s ) = 1 0 ( s 1) 2 1 1 一阶子式 ( s 1)( s 4) ( s 1) ( s 1)
y1 = x1 + 2x2
& & x4 = 3 x4 + u 2 x5 = 3x5 + x1
y2 = x4 + x5
0 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0 0 & x=0 0 1 0 0 x + 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 3 0 1 2 0 0 0 y= x 0 0 0 1 1
11
β 1,n1 s n 1 + L + β 1, 0 对 G ( s )作串联分解,引入中间变量z (s) = 1 M G D( s) β q ,n1 s n 1 + L + β q , 0 1 z (s) = u (s) β 1,n1 s n 1 + L + β 1, 0 D(s) M y(s ) = z (s) + d u (s) & x1 = z , x2 = z L xn = z ( n 1) n 1 β q ,n1 s + L + β q , 0
z ( s ) = ( s 4) z = 4 为零点
9
4.2 传递函数矩阵的规范型实现
单输入多输出——能控型实现 多输入单输出——能观测型实现 多输入多输出—— 能控型实现扩展 能观测型实现扩展 能控规范型和能观测规范型
10
1,单输入多输出——能控型实现 传递函数阵是一个列向量 yi ( s ) = g i ( s )u ( s ) i = 1,2, L q g1 ( s ) g 1 ( s ) d 1 G (s) = M = M + M = G (s) + d g q ( s ) g q ( s ) d q
则称此状态空间描述为G(s)的一个实现. 对于第一章中介绍的建模方法就是一种实现方法. 例:设双输入双输出系统传递函数阵为
1 s +1 G (s) = 1 ( s + 1)( s + 3)
2 ( s + 1)( s + 2) 1 s+3
y1 ( s ) u1 ( s ) y ( s ) = G ( s ) u ( s ) 2 2
0 & x= 2 1 0 x + 1 u 3 3 1 0 y= x + 1 u 6 3
13
2,多输入单输出——能观测型实现 传递函数阵是一个行向量 yi ( s ) = g i ( s )ui ( s )
p
y ( s ) = ∑ g i ( s )ui ( s ) = g1 ( s ) L g p ( s ) u1 ( s ) L u p ( s )
g11 ( s ) L g1 p ( s ) G (s) = M M g q1 ( s ) L g qp ( s )
取出G(s)的第j列
1 T = n1 j ( s ) L nqj ( s ) g j ( s ) = g1 j ( s ) L g qj ( s ) d j (s)
T
[
6
2,多输入多输出系统传递函数阵的零极点多项式定义 1)最小多项式(s) 矩阵A的最小多项式(s)是矩阵A的化零多项式中阶次最低的首 一多项式. 特征多项式一定是最小多项式的倍式.
1 3 2 A = 0 4 2 0 0 1
sI A = ( s 1) 2 ( s 4)
0 3 2 3 3 2 ( A I )( A 4 I ) = 0 3 2 0 0 2 = 0 0 0 0 0 0 3 ( s ) = ( s 1)( s 4)
0 & x= 1
3 + [0 1] s + 1
[s + 2 3( s + 3)] + [0 1] 3 + [0 1] = ( s + 1)( s + 3) s + 1
y = [0 1]x + [0 1]u
3 2 9 x + 1 3 u 4
16
3,多输入多输出系统 1)能控型实现扩展——单输入多输出扩展 针对传递函数阵的每列先求出能控型实现,然后再组合
& xi +1 = xi ai y1 + β1i u1 + L + β pi u p , i = 1,2,3, L , n 1
0 & x= a0 β1, 0 a1 x+ M M β1, n 1 a n 1
β 2,0 β 2 , n 1
M
I n 1
L β p , 0 u1 L M M L β p , n 1 u p
第四章
传递函数矩阵的状态空间实现
实现的概念 多输入多输出几种标准型的实现 最小实现的概念,性质以及求法
1
4.1 实现问题的基本概念
1,实现的定义 给定线性系统的传递函数矩阵G(s),寻求一个状态空间 描述, & x = Ax + Bu 使
y = Cx + Du C ( sI A) 1 B + D = G ( s )
y1 = x1 + 2x2
& x1 = x1 + u1
0 0 1 u 1 0 0
y2 = x4 + x5
1 2 0 0 0 0 y= x 0 0 0 1 1 0
这是一种实现,其中系统阶次为n=6
4
& x1 = x1 + u1
& x 2 = 2 x 2 + x3
& x3 = x 3 + u 2
二阶子式
0
1 ( s 1) 2
ns = 3 p1, 2 = 1, p3 = 4
8
φ ( s) = ( s 1) 2 ( s 4) 极点多项式为
3)零点多项式 设G(s)的秩r,当G(s)所有不恒为零r阶子式的分母化为极点 多项式时,其诸分子的首一最大公因子称为G(s)的零点多项 式z(s), z(s)=0的根为G(s)零点.
[
i = 1,2, L p
][
]
T
= g1 ( s ) + d1 L g p ( s ) + d p = G ( s ) + d G ( s ) = g1 ( s ) L g p ( s )
[
i =1
] [
]
g i ( s ) 为严格真分式
取 g i ( s ) 最小公分母,记为D(s)
D ( s ) = s n + an 1s n 1 + L + a1s + a0 ( s ) = 1 β 1,n1 s n 1 + L + β 1, 0 , L , L β p ,n1 s n 1 + L + β p , 0 G D( s)
& x1 = x1 + u1
y1 = x1 + 2x2
1 x4 ( s ) = u2 s+3
& x2 = 2 x2 + x3
& x3 = x3 + u2
ห้องสมุดไป่ตู้
& x 4 = 3 x 4 + u 2
y2 = x4 + x5
1 x5 ( s ) = u1 ( s + 1)( s + 3) 1 1 x6 ( s ) = u2 x5 ( s ) = x6 ( s + 1) ( s + 3)
0 0 1u 1 0
系统阶次为n=5
所以多输入多输出系统的状态空间表达式不仅系数矩阵不同, 而且阶数也可能不一样.
5
关于实现的基本性质 1,实现的不唯一性,一个传递函数阵可以对应不同维数的实 现,即使是相同维数的实现,也不只有一种实现; 2,对于每一个传递函数阵一定存在一个维数最小的实现; 3,实现问题的物理本质是对于一个具有"黑箱"形式的真实系 统,在状态空间领域内寻找一个外部等价的假象结构 任务: 如何有规律的建立规范形式? 如何判断所建立的状态空间表达式的阶次为最小阶次?
y(s ) = [0 L 0 1]x + d u
由单输入单输出系统的能观测标准型推广而来,系统一 定能观测,但不一定能控.
15
例:求G2(s)的能观测型实现 解:首先化为严格真分式
s+2 G2 ( s ) = ( s + 1)( s + 3)
s + 4 s +1
s+2 G2 ( s ) = ( s + 1)( s + 3) s+2 G2 ( s ) = ( s + 1)( s + 3)
2
1 2 1 1 y1 ( s ) = u1 + u2 , y2 ( s ) = u1 + u2 s +1 s+3 ( s + 1)( s + 2) ( s + 1)( s + 3)
1 x1 ( s ) = u1 s +1
1 x2 ( s ) = u2 ( s + 1)( s + 2) 1 x2 ( s ) = x3 ( s + 2) 1 x3 ( s ) = u2 ( s + 1)
dj(s)为各子系统的公共部分,根据单输入多输出的系统实现有
0 Aj = a j ,0 I n j 1 a j ,1 L 0 M bj = a j ,n j 1 0 n j ×n j 1 L β1,n 1
12
例:求G1(s)的能控型实现
s+3 ( s + 1)( s + 2) G1 ( s ) = s+4 s +1 解:首先化为严格真分式 s+3 ( s + 1)( s + 2) 0 G1 ( s ) = + 3 1 s +1 s+3 ( s + 1)( s + 2) 0 s + 3 0 1 G1 ( s ) = + = 3( s + 2) + 1 3 1 ( s + 1)( s + 2) s +1