基于小波变换的信号降噪研究及其MATLAB仿真(附源码)

5 总结
小波变换对平稳信号的去噪声，要比传统的滤波去噪声得到的效果好．用小波变换 进行信号降噪处理， 既降低了噪声同时又提高了信噪比，这说明小波降噪方法是切实 可行的方案， 但是由于小波函数很多，采用不同的小波进行分解， 得到的结果可能相 差很大， 而变换前并不能预知哪一种小波降噪效果更好，需反复试验比较才能得到良 好的效果，这也是小波变换的困难之处之一。另外信号降噪过程中阀值的选取是十分重 要的。本文利用两个小波( sym8 ，db 10 )以及将信号中的信噪分离开来，更加直观可 行，通过分别进行信号降噪处理对所得结果与原始信号进行比较可以得出 Sym8 小波以 及默认阈值处理后的重构信号与原始信号最为接近，与分离的结果相同。 小波分析是一种信号的视频分析方法,它具有多分辨率分析的特点 ,很适合探测正 常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分,有效区分信号中的突变部分和噪声。通过 MATLAB 编制程序进行给定信号的噪声抑制和非平稳信号的噪声消除实验表明:基于小波 分析的消噪方法是一种提取有用信号、 展示噪声和突变信号的优越方法 ,具有广阔的实 用价值。在这个越来月信息化的社会中，基于小波分析的应用前景必将越来越广泛。
图1
图2
图3 图 1-1 为原始信号图形，1-2 为叠加随机噪声后的图形，而 1-3 和 1-4 为利用 db10 和 sym8 小波默认阈值降噪后的信号图形。从图 1-3 和 1-4 可以看出利用 db10 和 sym8 小波降噪后的信号基本上恢复了原始信号，去噪效果明显。但是滤波后的信号与原始信 号也有不同， 从图中可以很直观地看到采用阈值消噪后信号特征值较少无法准确还原原 始信号 这是由于为降噪过程中所用的分析小波和细节系数的阈值不恰当所致，如需要 更好的恢复信号，还可以采用其它种类小波对其进行分析，通过选取不同的阈值，分析 结果，得到一个合适的阈值。 从图 2 和图 3 中看出， 在经过用 db10 对信号进行 5 层分解， 然后分别对分解的第 5 层到第 1 层的低频系数和高频系数进行重构。 可以得出其主要基波函数和高频噪声函数 的图形，其中小分波分解的细节信号是有白噪声分解得到的，而正弦信号可以在图 2 中 的近似信号 a5 得到。因为在这一层的影响已经可以忽略了，所以获得的信号就是初始 信号的波形，从而把淹没在噪声中的有用信号有效地分离出来。
f (t )
1 C

R
R
1 t b W f (a, b) ( )dadb 2 a a
（4）
小波变换的时频窗是可以由伸缩因子 a 和平移因子 b 来调节的，平移因子 b,可以改 变窗口在相平面时间轴上的位置， 而伸缩因子 b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位 置,还能改变窗口的形状。 小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的， 在低 频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨 率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信 号进行分解，其次对分解出的参数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用 处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。
S
Ca1
Cd1
Ca1
Cd1
Ca1
Cd1
3.2 降噪方法
一般来说， 一维信号的降噪过程可以分为 3 个步骤进行[5,6]： 1）一维信号的小波分解，选择一个小波并确定一个小波分解的层次 N，然后对信号 进行 N 层小波分解计算。 2） 小波分解高频系数的阈值量化，对第 1 层到第 N 层的每一层高频系数， 选择一 个阈值进行软阈值量化处理． 3） 一维小波的重构。根据小波分解的第 N 层的低频系数和经过量化处理后的第 1 层到第 N 层的高频系数，进行一维信号的小波重构。在这 3 个步骤中，最核心 的就是如何选取阈值并对阈值进行量化，在某种程度上它关系到信号降噪的质 量．在小波变换中，对各层系数所需的阈值一般根据原始信号的信号噪声比来 选取，也即通过小波各层分解系数的标准差来求取，在得到信号噪声强度后， 可以确定各层的阈值。这里着重讨论了信号在两种不同小波恢复后信号质量的 不同和对信号中的信号与噪声进行分离。
1 引言
在这个科技飞速发展，信息传递日益方便快捷的时代。信息资源中的信号应用日益 广泛， 信号的结构越来越复杂， 为了更加清楚的分析和研究实际工程中信号的有用信息， 对信号进行消噪处理是至关重要的，而且在现实生活和工作中，噪声无处不在，在许多 领域中，如天文、医学图像和计算机视觉方面收集到的数据常常是含有噪声的。噪声可 能来自获取数据的过程，也可能来自环境影响。在工程实际测试得到的信号中，由于种 种原因,总会存在噪声， 噪声的存在往往会掩盖信号本身所要表现的信息， 所以在根据测 试信号对设备进行故障诊断时，一般首先要对信号进行消噪处理，消噪的主要基础就是 噪声和信号的频率特征不同。 小波分析是近年来发展起来的一种新的信号处理工具，这种方法源于傅立叶分析， 小波（wavelet） ，即小区域的波，仅仅在非常有限的一段区间有非零值，而不是像正弦 波和余弦波那样无始无终[4]。小波可以沿时间轴前后平移，也可按比例伸展和压缩以获 取低频和高频小波，构造好的小波函数可以用于滤波或压缩信号，从而可以提取出已含 噪声信号中的有用信号。
报.1997.17(3):36-40. [7]潘泉，张磊，孟晋丽，张洪才著，小波滤波方法及应用[M].北京：清华大学出版社， 2005. 附仿真源码如下： N=1000; t=1:1000; f=sin(0.03*t); load noissin; e1=noissin; init=2055615866; randn('seed',init); e = e1 + 0.5*randn(size(e1)); subplot(2,2,1); plot(t,f);
带噪信号 特征提取 特征信号 低通滤波 重建信号
小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为 如下形式：
S (k) f (k ) e(k )
k=0.1…….n-1
其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设 e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的 信号,而噪声信号则表现为高频的信号 ,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解 ,则 噪声部分通常包含在 Cd1、Cd2、Cd3 中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3 作相应的小波系数处理, 然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。
subplot(6,1,1);plot(e); ylabel('e'); for i=1:5 d=wrcoef('d',C,L,'db10',6-i); subplot(6,1,i+1);plot(d); ylabel(['d',num2str(6-i)]); end
4．仿真实验
本文采用 Mtalab 本身程序提供的 noissin 信号函数及初设原始信号 f（x）为例进 行 Matlab 分析[1,3],其中：
f ( x) sin(0.03t )
e = noissin + 0.5*randn(size(e1)); 首先对 noissin 函数上叠加上随机噪声信号得到 e，分别对比采用 db10 小波和 sym8 小 波对信号 e 进行 5 层分解，并且细节系数选用 minimaxi 阈值模式和尺度噪声（db10） 以及选用 sure 阈值模式和尺度噪声(sym8)。在进行噪声消除后，还对原信号进行进一 步分析，将原始信号和噪声信号分离开来，仿真结果如图所示：
xlabel('1 样本序列'); ylabel('原始信号幅值'); grid ; subplot(2,2,2); plot(e) ; xlabel('2 测试样本序列' ) ; ylabel('含有已加噪声的信号幅值') ; grid ; s1=wden(e,'minimaxi','s','one',5,'db12'); subplot(2,2,3); plot(s1); xlabel('3 db10降噪后信号' ) ; ylabel ('db10小波降噪后的信号幅值'); grid; s2=wden(e,'heursure','s','one',5,'sym8'); subplot(2,2,4); plot(s2); xlabel('4 sym降噪后信号'); ylabel('sym8小波降噪后的信号幅值'); grid; figure; subplot(6,1,1);plot(e); ylabel('e'); [C,L]=wavedec(e,5,'db10'); for i=1:5 a=wrcoef('a',C,L,'db10',6-i); subplot(6,1,i+1); plot(a); ylabel(['a',num2str(6-i)]); end figure;

a ,b
(t )
1 a
(
t b ) a
a, b R , a 0
（2）
其中 a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数 f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为：
W f (a, b) f , a ,b
其逆变换为：
1 a

R
f (t ) (
t b )dt （3） a
3 小波降噪的原理和方法
3.1 小波降噪原理
从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。 尽管在很大程度上小波去噪 可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上 又优于传统的低通滤波器。 由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 , [6] 其流程框图如图所示 ：
基于小波变换的信号降噪研究
摘要：本文分析了通信系统信号处理中噪声的小波分析特性 ,用一维小波对含有噪声的 信号进行了分析和研究， 提出了基于小波分析理论对于高频信号和高频噪声干扰相混叠 的信号中小波变换用于对含有噪声信号进行的小波分解仿真实验。 利用小波变换对含噪 信号进行小波分解，实现了信号的降噪处理。 关键词：MATALAB 仿真在通信与电子工程中的应用[M].西安：西安电子科技 大学出版社，2010. [2]张志涌，杨祖樱等编著.MATLAB 教程（R2006a-R2007a）[M].北京：北京航空航天出 版社,2006. [3]张德丰.详解 MATLAB 数字信号处理[M]北京：电子工业出版社,2010. [4]杨建国.小波分析及其工程应用[M]北京：机械工业出版社,2005. [5]冯毅，王香华.小波变换降噪处理及其 MATLAB 实现[J].数字采集与处理，2006，,21 （12）：37-39. [6] 禹 海 兰 ， 李 天 云 . 基 于 小 波 理 论 的 噪 声 信 号 分 析 [J]. 东 北 电 力 学 院 学
2 小波分析基本理论
设 Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其 傅立叶变换为 Ψ(t)。当 Ψ(t)满足条件[4,7]：
C


(t )
w
2
R
dw
（1）
时，我们称 Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数 Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以 得到一个小波序列：