古算诗词文化中的数列知识

• 40 •中学数学月刊
2018年第1期
古算诗词文化中的数列知识
温伙其（广东省广州市第十六中学510100)
《普通高中数学课程标准（实验）》明确提出 设置数学史选修课，吹响了中学普及数学史的号 角.2017年高考数学考试大纲修改部分，特别强 调在高考中增加对数学文化的考查.古算诗词题， 题材丰富、博大精深，蕴含着方方面面的数学知 识，是古代文化与数学智慧的结晶.近年的高考试 题，逐步出现少量结合古诗词文化编拟试题，在考 查基础知识、基本思想方法的同时，引导考生深刻 认识中华民族优秀传统文化的博大精深和源远流 长，并予以传承.本文尝试从数列角度进行阐述古 算诗词，为弘扬优秀传统文化和提高学生素养提 供帮助.
1
考题回放
(2017全国理科n 卷第3题）我国古代数学
名著《算法统宗》中有如下问题：‘远望巍巍塔七 层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头 几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（
）.创了研究数列的先河，如《九章算术》全书涉及10 道数列题，其中6题等差数列，4题等比数列.很多 古算诗词作适当注释后，可引人中学教学，它们会 是很好的一种数学文化教学考试素材.
2.1 涉及等差数列的求和公式
“举取他绢”问题：举取他绢重作券，过限一 日绢一尺，再过一日绢二尺.每多一日增一尺.有 人过限百日整，应纳息绢几多尺？”
译文：债主拿借方的绢做抵押品，债务过期一 天要纳利息1尺绢，过两天利息是2尺，每天利息 增多1尺.过期100天，共纳利息多少尺绢？
分析此诗来自程大位的《算法统宗》，实际 上是等差数列模型，问题是求100天后纳息绢的 总里，其中。

1 二1，。

2 二2
，<23 二3,...
所以 S … 二
狀(狀—1)犱 *232 '
100X 14
100 X 99
2 '5 050 尺.探源刘徽在《九章算术》的衰分、均输、盈 不足等章节中，有10个数列问题，其中涉及等差 数列有6个，当时就创造使用了以下几个求和公(A )1 盏
（B )3 盏
（05 盏
（D )9 盏
本题选自于我国明朝著名数学家程大位的名 著《算法统宗》中记载数学问题的一首诗.学生通 过阅读材料，既能感受古诗的美，又可了解古代数 学文化.学生需对古诗提供的信息进行分析、判断 和整理，提炼相关的数量关系，将问题转化为数学 问题，构造出等比数列模型，知项数（七层）、公比 (倍加增）、前狀项和（共灯三百八十一）求^ (问 尖头几盏灯）.选择它作为背景材料考查数列，是 很好的一种尝试.
2
考题延伸
我国古算诗词著作非常多，如南宋杨辉的《日
用算法》、明吴敬的《九章算法比类大全》、明程大 位的《算法统宗》、清梅毂成的《增删算法统宗》等 等，涉及的题材有丈量田亩、赋役纳税、宴客沽酒. 我国最早的数学专注《算数书》和《九章算术》开 *
式：S
S n —na
狀(狀—1)犱
S n —
犪1 + 2 J n ，是我国最早严格使用等差数
列求和公式的史料记载，在我国数学发展史上是 一个大创造.[1]
类似诗文：1)“孝心回报”问题：九百九十六 斤绵，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第 八数来言.务必分明依次弟，孝和休惹外人传.—
《算法统宗》
(2) “蚂蚁爬竹”问题:南山一棵竹，竹尾风割
断.剩下三十节，一节一个圈.头竹高五寸，头圈一 尺三.逐节长三分，逐圈小分三.一蚁往上爬，遇圈 则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？——《张丘建
算经》
(3)
“女子织布”问题:今有女子善织，日益功
*本文系广州市越秀区教育科学“十三五”规划立项课题“基于视觉化表征高中数学应用问题的教学研究”（课题批准号：越学科类
[2016]08)和广州市越秀区科技工业和信息化局立项课题“基于视觉化表征高中数学应用问题的教学研究”（课题批准号：软科学研究计 划2016 — JY —
012)阶段性研究成果.
2018年第1期
中学数学月刊• 41 •
疾.初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几 何？——
《张丘建算经》
2.2
涉及等比数列的求和公式
“孔明统兵”问题：诸葛统领八员将，每将又
分八个营.每营里面排八阵，每阵先锋有八人.每 个族头俱八个，每个族头八队成.每对更该八个 甲，每个甲头八个兵请你仔细算一算，孔明共 领多少兵？
译文：诸葛统领八员将，每将又分八个营.每 营里面排八阵，每阵先锋有八人.每个族头俱八 个，每个族头八队成.每对更该八个甲，每个甲头八个兵.
分析若把将员、营地、阵地、先锋、族头、队
长、甲头、士兵等排列出来，即8,8* 2,83 ,84 ,85 ,86 , 87，88，得出一个等比数列，问题为求和，所以S 8 =9(1-88)
1 一8
= 19 173 960 人.
探源明朝王子朱载堉（1536 —1612)在《律 学新说》(1584年）中，发现音乐上的十二平均律是以於为公比的等比数列，用等比数列的计算 法，解决了十二平均律问题.在我国，他最早提出等比数列的求和公式一^(乒1)，并
1 一狇
提出已知等比数列首项、末项和项数而求其他项 的计算方法• m S … =
---—(狇 ^ 1)^>〇1 =
1 一狇
犛\(1一狇\狇
乒1)，这种计算方法在解古算诗词
1 一狇"
中有着不少应用，如考题回放的引例可以这样 求解.
类似诗文：（1)“日行几里”问题：三百七八十 里关，初行健步不为难.此后脚痛递减半，六朝才 能到边关.要见每朝行里数，请公仔细算相还. —
程大位原著，梅毂成《增删算法统宗》
(2) “妇人买蛋”问题:一妇圩日去卖蛋，四次
就把蛋卖完.先卖一半加半个，后卖半个加余半. 再卖余半加半个，终卖半个加余半.试问高明能算
士，此妇卖了多少蛋？——《诗歌古体算题》
(3) “两鼠穿墙题”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？——《九章
算术》
米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯 有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算 法，也教算得到天明.
译文：有一家人用一根9节长的竹子盛米，每 节竹筒盛米的容积是不均匀的，下端3节可盛米 3. 9升，上端4节可盛米3升，唯有中间相邻的两 节竹子，要按依次盛米容积相差之同一数量的方 式盛米.就是先生懂得算法的话，只怕到天明方可 算出中间两节盛米的容积.
分析 三升九即3. 9升，次第盛意思是盛米
容积依次相差同一数量.若从下到上设每节盛米 容量为犪G =1，2,…，7)，则构成一等差数列，由犪1 + 犪2 + 犪3 = 3.9，犪6 +犪7 +犪8 +犪9 = 3
得
即可得出
从下而上各节盛米容量分别为1 10，1 10，1 10，1，
探源 《周髀算经》也简称《周髀》，中国历
史上最早的数学算术类经书，在它记载的“七衡 图”问题中就出现等差数列概念，计算七衡（7个 同心圆）的各直径、周长，二十四节气的每个节气 时，就已应用通项公式犪狀=犪1 + (狀一 1)4
类似诗文：（1)“金箠重量”问题：今有金箠， 长五尺，斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问 次一尺各重几何？——
《九章算术》
(2)
“九儿问甲歌”问题:一个公公九个儿，若
问生年总不知，自长排来争三岁，共年二百又零 七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.——《歌
诗古体算题》
(3)
“依等算钞歌”问题：甲乙丙丁戊己庚，七
人钱本不均分.甲乙念三七钞，念六一钱戊己庚. 惟有丙丁钞无数，要依等第数分明.请问先生能算 者，细推详算莫差争.——《算法统宗》
2.4
涉及等比数列的通项公式
“本利几何”问题“比如有钱一文，每日生利 八文，
问八日该生利，併本一文若干？”译文：借钱1文，第一日生利8文，第二日成 几何级数的利滚为8X 8=82文，第三日为8X 8X 8=83文...第8日为88文•第八日后，连本带利2.3 涉及等差数列的通项公式
“竹筒容米”问题：家有九节竹一茎，为因盛
一共是多少？
分析 本诗选自《歌诗古体算题》.“
每日生
•42•中学数学月刊2018年第1期
利八文”即等比数列，且公比g=8，八日该生利即
八日后应付的利息，由等比数列通项公式^ =
a ig8=1X88=16 777 216 文，“併本一文若干”即
本利还债16 777 216文.
探源古老的《易经》一书中写道：是故《易》
有太极，是生两仪；两仪生四象，四象生八卦.这种
分割本身已经寓有数列中的等比思想.由于当时
缺乏表达指数的有效方法，等比数列的通项公式
付之阙如，相关问题只能通过衰分术来求解，因而
古代我国数学家在等比数列方面的成就远逊色于
等差数列的成就.[2]
类似诗文：1)“出门望九堤”问题：今有出门
望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九
禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色.问各几何？
—《孙子算经》
(2) “宝塔装灯”问题:火树银花楼七层，层层 红灯倍加增，共有红灯三八一，试问四层几红灯？
(3) “马行转迟”问题:今有马行转迟，次日减 半，疾七日，行七百里.问日行几何？——《张邱建
算经》
2.5 涉及数列的递推公式
“李白沽酒”问题：“今携一壶酒，游春郊外
走.逢朋加一倍，人店饮斗九.相逢三处店，饮尽壶
中酒.试问能算士，如何知原有？”
译文：今天我带着一壶酒，游春到郊外走.遇
见朋友，就往壶中加酒一倍，然后与朋友进店饮酒
一斗九.在三个店里遇到了朋友，正好饮尽壶中的
酒，问壶中原有多少酒？
分析递推数列解法，设原有酒〜升，在三
店饮酒后所剩余酒量分别为心=2a。

一 19，心=
2a1 一19，3 =2,2—19，即有，…=2I2H —19，得
(上接第39页）
色表负；二是在数码旁边作注，如“+12”写作
“一I I上廉正”，“一12”写作“一| |益上廉”南宋
杨辉则是在正数后面写一个正字、在负数后面写
一个负字表示正负.随着历史的发展，古代表示负
数的方法也在逐渐发展.人教版和北师大版只介
绍了其中的一种或两种方法.
参考文献
[]吴文俊.中国数学史大系（第2卷）.中国古代数学 名著《九章算术》[M].北京：北京师范大学出版一19=2(，…—丄 一19)，显然{，… 一19}是以，。

一
19为首项，公比g=2的等比数列，所以，…—19 = (。

一19)2"，得，…=2，。

一（2"—1)父19.因为三
店后饮尽，所以，3=0,得0=23，。

一（23—1)X19,
解得，。

=j X19 =16.625 升.
8
探源本诗文选自《算法统宗》.这种题型，
当时程大位、梅毂成等人在进行古算时用了其他
方法求解，虽然没能上升到递推数列的模型，… =，…一1+d进行研究，但随着大量的这种题材出现，
至少说明当时已经开始有递推数列的雏形，在数
列史的发展上写下了重重的一笔.
类似诗文：（1)“利滚利债”问题：本利年年倍，债主催速还.一年取五斗，三年本利完.—《增删算法统宗》
(2)“沽酒探亲”问题:李白沽酒探亲朋，路途
迢迢有四程.行至一程多一倍，却被顽童盗六升.
行到亲朋家里面，半点全无在酒瓶.借问高朋能算 士，几何原酒要分明.——《算法统宗》
从上可看出，我国古代大量诗词文化，不单单
在文学上造诣深厚，里面蕴含的数学知识也非常
丰富，体现我国古人的智慧.他们在数列的发展历
史上写下了重重的一笔，为推动数学的前进做出
了巨大的贡献.
参考文献
[]徐品方，徐伟.古算诗题探源[M].北京：科学出版 社，2。

8.
[]屠靥韵.中国古代数学文献中的数列问题[].数学 教学，2。

11(3).
社，1998.
[]孔国平.中国学术思想史[M].南京：南京大学出版 社，2。

15.
[]钱宝琮.李俨钱宝琮科学史全集（第4卷）校点《算经十书》》M].沈阳：辽宁教育出版社，1998.
[4]钱宝琮.中国数学史[M].北京:科学出版社，1992.
[5]郭书春.中国传统数学史话[M].北京：中国国际广
播出版社，2。

12.
[6]吴文俊.中国数学史大系（第1卷）上古到西汉
[M].北京：北京师范大学出版社，1998.
[7]袁小明.数学史话[M].济南：山东教育出版社，1985.。