古算诗词文化中的数列知识

• 40 •中学数学月刊

2018年第1期

古算诗词文化中的数列知识

温伙其（广东省广州市第十六中学510100)

《普通高中数学课程标准（实验）》明确提出 设置数学史选修课，吹响了中学普及数学史的号 角.2017年高考数学考试大纲修改部分，特别强 调在高考中增加对数学文化的考查.古算诗词题， 题材丰富、博大精深，蕴含着方方面面的数学知 识，是古代文化与数学智慧的结晶.近年的高考试 题，逐步出现少量结合古诗词文化编拟试题，在考 查基础知识、基本思想方法的同时，引导考生深刻 认识中华民族优秀传统文化的博大精深和源远流 长，并予以传承.本文尝试从数列角度进行阐述古 算诗词，为弘扬优秀传统文化和提高学生素养提 供帮助.

1

考题回放

(2017全国理科n 卷第3题）我国古代数学

名著《算法统宗》中有如下问题：‘远望巍巍塔七 层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头 几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（

）.创了研究数列的先河，如《九章算术》全书涉及10 道数列题，其中6题等差数列，4题等比数列.很多 古算诗词作适当注释后，可引人中学教学，它们会 是很好的一种数学文化教学考试素材.

2.1 涉及等差数列的求和公式

“举取他绢”问题：举取他绢重作券，过限一 日绢一尺，再过一日绢二尺.每多一日增一尺.有 人过限百日整，应纳息绢几多尺？”

译文：债主拿借方的绢做抵押品，债务过期一 天要纳利息1尺绢，过两天利息是2尺，每天利息 增多1尺.过期100天，共纳利息多少尺绢？

分析此诗来自程大位的《算法统宗》，实际 上是等差数列模型，问题是求100天后纳息绢的 总里，其中。1 二1，。2 二2

，<23 二3,...

所以 S … 二

狀(狀—1)犱 *232 '

100X 14

100 X 99

2 '5 050 尺.探源刘徽在《九章算术》的衰分、均输、盈 不足等章节中，有10个数列问题，其中涉及等差 数列有6个，当时就创造使用了以下几个求和公(A )1 盏

（B )3 盏

（05 盏

（D )9 盏

本题选自于我国明朝著名数学家程大位的名 著《算法统宗》中记载数学问题的一首诗.学生通 过阅读材料，既能感受古诗的美，又可了解古代数 学文化.学生需对古诗提供的信息进行分析、判断 和整理，提炼相关的数量关系，将问题转化为数学 问题，构造出等比数列模型，知项数（七层）、公比 (倍加增）、前狀项和（共灯三百八十一）求^ (问 尖头几盏灯）.选择它作为背景材料考查数列，是 很好的一种尝试.

2

考题延伸

我国古算诗词著作非常多，如南宋杨辉的《日

用算法》、明吴敬的《九章算法比类大全》、明程大 位的《算法统宗》、清梅毂成的《增删算法统宗》等 等，涉及的题材有丈量田亩、赋役纳税、宴客沽酒. 我国最早的数学专注《算数书》和《九章算术》开 *

式：S

S n —na

狀(狀—1)犱

S n —

犪1 + 2 J n ，是我国最早严格使用等差数

列求和公式的史料记载，在我国数学发展史上是 一个大创造.[1]

类似诗文：1)“孝心回报”问题：九百九十六 斤绵，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第 八数来言.务必分明依次弟，孝和休惹外人传.—

《算法统宗》

(2) “蚂蚁爬竹”问题:南山一棵竹，竹尾风割

断.剩下三十节，一节一个圈.头竹高五寸，头圈一 尺三.逐节长三分，逐圈小分三.一蚁往上爬，遇圈 则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？——《张丘建

算经》

(3)

“女子织布”问题:今有女子善织，日益功

*本文系广州市越秀区教育科学“十三五”规划立项课题“基于视觉化表征高中数学应用问题的教学研究”（课题批准号：越学科类

[2016]08)和广州市越秀区科技工业和信息化局立项课题“基于视觉化表征高中数学应用问题的教学研究”（课题批准号：软科学研究计 划2016 — JY —

012)阶段性研究成果.

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疾.初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几 何？——

《张丘建算经》

2.2

涉及等比数列的求和公式

“孔明统兵”问题：诸葛统领八员将，每将又

分八个营.每营里面排八阵，每阵先锋有八人.每 个族头俱八个，每个族头八队成.每对更该八个 甲，每个甲头八个兵请你仔细算一算，孔明共 领多少兵？

译文：诸葛统领八员将，每将又分八个营.每 营里面排八阵，每阵先锋有八人.每个族头俱八 个，每个族头八队成.每对更该八个甲，每个甲头八个兵.

分析若把将员、营地、阵地、先锋、族头、队

长、甲头、士兵等排列出来，即8,8* 2,83 ,84 ,85 ,86 , 87，88，得出一个等比数列，问题为求和，所以S 8 =9(1-88)

1 一8

= 19 173 960 人.

探源明朝王子朱载堉（1536 —1612)在《律 学新说》(1584年）中，发现音乐上的十二平均律是以於为公比的等比数列，用等比数列的计算 法，解决了十二平均律问题.在我国，他最早提出等比数列的求和公式一^(乒1)，并

1 一狇

提出已知等比数列首项、末项和项数而求其他项 的计算方法• m S … =

---—(狇 ^ 1)^>〇1 =

1 一狇

犛\(1一狇\狇

乒1)，这种计算方法在解古算诗词

1 一狇"

中有着不少应用，如考题回放的引例可以这样 求解.

类似诗文：（1)“日行几里”问题：三百七八十 里关，初行健步不为难.此后脚痛递减半，六朝才 能到边关.要见每朝行里数，请公仔细算相还. —

程大位原著，梅毂成《增删算法统宗》

(2) “妇人买蛋”问题:一妇圩日去卖蛋，四次

就把蛋卖完.先卖一半加半个，后卖半个加余半. 再卖余半加半个，终卖半个加余半.试问高明能算

士，此妇卖了多少蛋？——《诗歌古体算题》

(3) “两鼠穿墙题”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？——《九章

算术》

米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯 有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算 法，也教算得到天明.

译文：有一家人用一根9节长的竹子盛米，每 节竹筒盛米的容积是不均匀的，下端3节可盛米 3. 9升，上端4节可盛米3升，唯有中间相邻的两 节竹子，要按依次盛米容积相差之同一数量的方 式盛米.就是先生懂得算法的话，只怕到天明方可 算出中间两节盛米的容积.

分析 三升九即3. 9升，次第盛意思是盛米

容积依次相差同一数量.若从下到上设每节盛米 容量为犪G =1，2,…，7)，则构成一等差数列，由犪1 + 犪2 + 犪3 = 3.9，犪6 +犪7 +犪8 +犪9 = 3

得

即可得出

从下而上各节盛米容量分别为1 10，1 10，1 10，1，

探源 《周髀算经》也简称《周髀》，中国历

史上最早的数学算术类经书，在它记载的“七衡 图”问题中就出现等差数列概念，计算七衡（7个 同心圆）的各直径、周长，二十四节气的每个节气 时，就已应用通项公式犪狀=犪1 + (狀一 1)4

类似诗文：（1)“金箠重量”问题：今有金箠， 长五尺，斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问 次一尺各重几何？——

《九章算术》

(2)

“九儿问甲歌”问题:一个公公九个儿，若

问生年总不知，自长排来争三岁，共年二百又零 七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.——《歌

诗古体算题》

(3)

“依等算钞歌”问题：甲乙丙丁戊己庚，七

人钱本不均分.甲乙念三七钞，念六一钱戊己庚. 惟有丙丁钞无数，要依等第数分明.请问先生能算 者，细推详算莫差争.——《算法统宗》

2.4

涉及等比数列的通项公式

“本利几何”问题“比如有钱一文，每日生利 八文，

问八日该生利，併本一文若干？”译文：借钱1文，第一日生利8文，第二日成 几何级数的利滚为8X 8=82文，第三日为8X 8X 8=83文...第8日为88文•第八日后，连本带利2.3 涉及等差数列的通项公式

“竹筒容米”问题：家有九节竹一茎，为因盛

一共是多少？

分析 本诗选自《歌诗古体算题》.“

每日生