二元关系

关系的运算
7、设F,G为二元关系, G对F的左复合记作F G, 其中F G={<x,y>|t(<x,t>∈G∧<t,y>∈F)}
注意 这两种复合都是合理的，正如在交通规则中有的
国家规定右行，有的国家规定左行一样。本教材采 用右复合，而在其他的书中可能采用左复合的定义， 请注意两者的区别。 重要性质：设F, G, H是任意的关系, 则
定义 设A, B为集合,用A中元素为第一元素, B中元素为第二元
素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛 卡儿积，记作A×B。 笛卡儿积的符号化表示为
A×B={<x,y>|x∈A∧y∈B}
笛卡儿积
例 设A={a,b}, B={0,1,2}, 则
A×B={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}
关系的表示方法 关系的运算 关系的性质 等价关系 偏序关系
二元关系
有序对与笛卡儿积
二元关系 关系的运算
关系的性质
关系的闭包 等价关系 偏序关系
7.1 笛卡儿积
定义 由两个元素x和y（允许x=y）按一定顺序排列成的二元组
叫做一个有序对或序偶(ordered pair), 记作<x,y>, 其中x是它的第一元素, y是它的第二元素。 有序对<x,y>的性质： 1．当x≠y时, <x,y>≠<y,x> 2．<x,y>=<u,v>的充分必要条件是x=u且y=v
关系的性质—对称性(symmetric)
定义 令R AA，对于A中每个x和y，若xRy，则yRx，称
R是对称的，即 A上关系R是对称的xy(x,yAxRy→yRx)
该定义表明：在表示对称的关系R的有序对集合中， 若有有序对<x, y>，则必定还会有有序对<y, x>。
例如：
集合A上的全域关系、恒等关系 、 空关系都是对称的。
R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>} R3＝{<1,2>,<1,3>} R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>} 说明R1, R2, R3和R4是否为A上对称和反对称的关系。 解：R1既是对称也是反对称的，R2是对称的但不是反对称 的，R3是反对称的但不是对称的，R4既不是对称的也不是 反对称的。
EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA={<1,1>,<2,2>}
关系的表示
1、集合表示法
例 设A={1,2,3,4}, 下面各式定义的R都是A上的关系, 试用列元素 法表示R。 (1) R={<x,y>|x是y的倍数} (2) R={<x,y>|(x-y)2∈A} (3) R={<x,y>|x/y是素数} (4) R={<x,y>|x≠y}
R-1={<x,y>|<y,x>∈R} 6、设F,G为二元关系, G对F的右复合记作F G, 其中
F G={<x,y>| t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)}
例 设F={<3,3>,<6,2>},G={<2,3>}, 则 F-1={<3,3>,<2,6>} F G={<6,3>} G F={<2,3>}
解：(1)R={<4,4>,<4,2>,<4,1>,<3,3>,<3,1>,<2,2>,<2,1>, <1,1>}
(2)R={<2,1>,<3,2>,<4,3>,<3,1>,<4,2>,<2,4>,<1,3>, <3,4>,<2,3>,<1,2>}
(3)R={<2,1>,<3,1>,<4,2>} (4)R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,
百度文库
4．笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律, 即 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
7.2 二元关系
定义 如果一个集合满足以下条件之一：
1）集合非空, 且它的元素都是有序对 2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系,简称为关系(relation)，记 作R。 对于二元关系R, 如果<x,y>∈R, 可记作xRy；
<3,2>,<3,4>,<4,1>,<4,2>,<4,3>}
关系的表示
2、关系矩阵表示法
设A={x1,x2,…,xn},R是A上的关系， 令
则
是R的关系矩阵, 记作MR 例 A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, 则R的
关系矩阵是
关系的表示
关系的运算
例 设A={a,b,c,d},R=<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 用矩阵和关系图表示。 解 R的关系矩阵为
M= 则R2, R3, R4的关系矩阵分别是
M2=
=
M3=M2M=
=
M4=M3M=
=
因此M4=M2, 即R4=R2. 因此可以得到
R2=R4=R6=…
B×A={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}
？如果|A|=m,|B|=n,则|A×B|=？
笛卡儿积运算性质：
1．对任意集合A, 有
A×Φ=Φ×A=Φ
2．一般地说, 笛卡儿积运算不满足交换律, 即
A×B≠B×A
(当A≠Φ∧B≠Φ∧A≠B时)
3．笛卡儿积运算不满足结合律, 即 (A×B)×C≠A×(B×C) (当A≠Φ∧B≠Φ∧C≠Φ时)
如果<x,y>∈/ R, 则记作xR/ y.
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做
从A到B的二元关系, 特别当A=B时则叫做A上的二元关系。
例R同如3=时：Φ也A, =是R4{A=0上,{1<}的0, ,二B1=>元{}1关等,2系,都3。}是, 那从么A到R1B=的{<二0元,2关>}系, R, 2而=AR×3和BR, 4 例的{如<集k：i，合数kAi据+为1>结{k|构11,≤k中i2≤,的…n-“,1k}n线}，性A表上”数(据k1,元k2素,…之,k间n)，的有关数系据可元记素为
该定义表明：在表示反对称关系R的有序对集合中，若存在 有序对<x, y>和<y, x>，则必定是x=y。或者说，在R中若有 有序对<x, y>，则除非x=y，否则必定不会出现<y, x>。 例如：
集合A上的恒等关系是反对称的，但全域关系一般不是反对称 的，除非A为单元集或空集。
给定集合族上的集合之间的相等关系、包含关系和真包含 关系都是反对称的。
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
7.3 关系的运算
1、集合的运算均适用于关系 2、关系R的定义域(domain)、值域(range)、域 3、关系R在集合A上的限制 4、集合A在R下的像 5、关系R的逆关系(inverse), 简称R的逆, 记作R-1
矩阵是Mn，即n个矩阵M之积。与普通矩阵乘法不同的是，
1+1=1,1+0=0+1=1,0+0=0 (3)关系图法：如果R是用关系图G给出的，可以直接由图G
得到Rn的关系图G’。G’的顶点集与G相同，考察G的每个 顶则以点在后，xGi，’中就如加得果一到在条图G从G中’x。从i到xxi出j的发边经，过当n把步所长有的这路样径的到边达都顶找点到xj，
整数集合中，数之间的=关系、<关系和≤关系都是反对称 的。
关系的性质—对称与反对称
说明 有些关系既是对称的又是反对称的；有些关系是
对称的但不是反对称的；有些关系是反对称的，但不 是对称的；还有的关系既不是对称的又不是反对称的。
例如：设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中
(1)(F-1)-1=F (2)(F G) H=F (G H) (3) R IA=IA R=R
关系的运算
8、关系的幂运算
设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为： 1） R0={<x,x>|x∈A}=IA
（2） Rn+1=Rn R 如何求关系的幂？ (1)定义法 (2)关系矩阵法：如果R是用关系矩阵M给出的，则Rn的关系
例如： 给定集合族上的集合之间的真包含关系是反自反的，但是， 包含关系不是反自反的。 整数集合中，数之间的<关系是反自反的，而≤关系关系 不是反自反的。
关系的性质—自反与反自反
说明 自反的关系一定不是反自反的，反自反的关系一
定不是自反的。但是，任何一个不是自反的关系，未 必是反自反的；反之，任何一个不是反自反的关系， 未必是自反的。这就是说，存在既不是自反的也不是 反自反的二元关系。
给定集合族上的集合之间的相等关系是对称的，包含关系 和真包含关系都不是对称的。 整数集合中，数之间的=关系是对称的，但是，<关系和 ≤关系都不是对称的。
关系的性质—反对称性(antisymmetric)
定义 令R AA，对于A中每个x和y，若xRy且yRx，则
x=y，称R是反对称的，即 A上关系R是反对称的xy(x，yAxRyyRx→x=y)
则R的关系图是
关系的表示
练习
设 A {1,2,3,4,5,6} ，A上的关系
R1 { i, j | i整 除 j} R2 { i, j | i j 是素数}
试作出其关系矩阵和关系图。
1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
3、关系图表示法
设A={x1,x2,…,xn}, R是A上的关系, 令图G=<V,E>, 其中顶点集合V=A, 边集为E。对于 xi,xj∈V，满
足<xi,xj>∈E xiRxj
称图G为R的关系图，记作GR 例 A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},
关系性质的判断
关系的性质—自反性(reflexive)
定义 令R AA，若对A中每个x，都有xRx，则称R是
自反的，即 A上关系R是自反的x(xAxRx)
该定义表明：在自反的关系R中，除其他有序对外， 必须包括有全部由每个xA所组成的元素相同的 有序对。
例如： 集合A上的全域关系EA、恒等关系IA都是自反的。 整数集合中，数之间的整除关系、≤关系是自反的， 而<关系不是自反的。
R3=R5=R7=…
而R0, 即IA
M0=
二元关系 关系的性质
有序对与笛卡儿积
二元关系
关系的运算
关系的性质
关系的闭包 等价关系 偏序关系
7.4 关系的性质
集合A上的关系的性质 自反性(reflexive) 反自反性(irreflexive) 对称性(symmetric) 反对称性(antisymmetric) 传递性(transitive)
给定集合族上的集合之间的包含关系是自反的，相等 关系也是自反的；但是，真包含关系不是自反的。
关系的性质—反自反性(irreflexive)
定义 令R AA，若对于A中每个x，都不满足xRx，则称R
是反自反的，即 A上关系R是反自反的x(xA < x，x > R)
该定义表明：一个反自反的关系R中，不应包括有任何 相同元素的有序对。
？如果|A|=n, 那么A上最多可以定义多少个不同的二元关
系？
几种特殊的二元关系
空关系 空集是A×A的子集，也是A×B的子集，称
为空关系
全域关系EA 对任意集合A, 定义
EA={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A
恒等关系IA 对任意集合A, 定义
IA={<x,x>|x∈A} 例如： A={1,2}, 则
二元关系
上一章我们讨论了集合以及集合的运算，在这一章我们 将要研究集合内元素间的关系，这就是“关系”。
关系是一个很重要的数学基本概念，它在计算机科学中 的许多方面如数据结构、数据库、信息检索、算法分析等 都有应用。
本章讨论的关系（主要是二元关系），它仍然是一种集 合，它的元素是有序二元组的形式，这些有序二元组中的 两个元素来自于两个不同或者相同的集合。因此，关系是 建立在其它集合基础之上的更为复杂的集合。
例如：设A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中
R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R3＝{<1,3>} 说明R1, R2和R3是否为A上的自反关系和反自反关系。 解：R2是自反的,R3是反自反的,R1既不是自反的也不是反自反的