异面直线上两点间的距离公式的应用

异面直线上两点间的距离公式的应用

异面直线上两点间的距离公式在传统教材中以例题出现，仅用于求异面直线上两点的距离或异面直线的距离，在新课标教材中，这部分内容近一步加强，但仍只以例题的形式分散于多个地方，一般不会引起学生和老师的重视，本文总结、介绍这个知识点在“空间计算”中的应用。

一、异面直线上两点间的距离公式：如图1，a 、b 是两条异面直线，夹角为θ，MN 是公垂线，P 、Q 分别是a 、b 上的点，则由向量知识得：

><+++=++=NQ PM NQ PM NQ MN PM NQ MN PM PQ ,cos 2222

（1）其中θπθ-,或>=

则ｌ=θcos 2222mn n m d ±++ (2)，公式（1）、（2）分别

是异面直线上两点间的向量公式，数量公式，基本构图为两条异

面直线及公垂线，符合上述基本构图即数量关系，即可用公式来

解决问题，下面介绍几种常见用法

二、公式的应用

1.求异面直线上两点间的距离

例1，如图2:600的二面角的棱上有A,B 两点，直线AC ，BD 分别在这

个二面角的两个半平面内，且都垂直于A,B ，已知AB=4，AC=6，BD=8，

求CD 的长？

分析：AC ，BD 是两异面直线，AB 是公垂线，AC 与BD 的夹角即是二面

角的平面角，θ=60,0符合基本构图即数量关系，

代公式即得CD=172 2.求异面直线的距离

由公式（2）变形得d=θcos 2222mn n m c --

3.求异面直线的夹角

由公式（2）变形得cos θ=mn c n m d 22222-++

4.求二面角

在直角坐标系xoy 中A （-2,3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后

112=AB ，求θ的大小？

分析：分别过A 、B 作AA ˊ⊥x 轴于A ˊ，BB ˊ⊥x 轴于B ˊ，翻

折后，AA ˊ与BB ˊ为异面直线，A ˊB ˊ为公垂线，而

>

AA ˊ=3，A ˊB ˊ=5，B ˊB=2

则=

=

∴cos >

1∴>

如图4，线段AB 在平面α内，线段AC ⊥面α，BD ⊥AB ，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD 与平面α所成的角

分析：图中AC ，BD 是两条异面直线，AB 是公垂线段，符合基本构图，又直线BD 与平面α所成的角θ与异面直线AC ，BD 所成的角满足关系：sin θ=>