第一讲概率论与随机过程概率论与随机过程精品课件完美版

知识到哪里去?
如何运用概率论与随机过程的理论知识解决通信 中的实际问题？

举例说明
..\2005\应用举例.ppt
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第一章 概率空间
首先，回顾初等概率论的一些基本概念：

随机试验 E ，满足如下条件： 在相同条件下可重复进行； 一次试验结果的随机性——不可预知性； 全体可能结果的可知性。 样本空间Ω——随机试验所有可能的结果组成的集合。 样本点 ——Ω中的元素。 随机事件——样本空间Ω的子集合，称为事件。 基本事件——Ω中每个样本点所构成的单点集。 必然事件——Ω本身。 不可能事件——不包含任何元素的空集合Φ。
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第一节 集合代数和σ -代数
二、包含某一集合类的最小σ -代数
C是由Ω的一些子集组成的非空集合类，那么至 少存在一个σ -代数包含C。为什么？
。 由于 F 是一个σ -代数，且C F
是否存在最小的σ -代数？若存在，是否唯一？
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n A R, A Ak , A1, A2 ,, An形如a, b R, a b k 1
则A为集代数。（b取正 无穷 则 闭区间 改为开区间 ）
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第一节 集合代数和σ -代数
定义1.1.2 设Ω是任一非空集合， A是由Ω的一些子集组成的非 空集合类，若A满足： 1. 2. 若A A ，有 A A （余运算封闭） 3. 若Ak A

第一节 集合代数和σ -代数
设Ω是一非空集合，F 是由Ω的一切子集组 成的集合类，则 F 是一个σ-代数。 是一个σ-代数。
若 A ，且A , A ，则集合类 A, A, , 显然，集代数的交仍是集代数； σ代数的交
仍是σ-代数。


集代数与σ代数的差异在于对有限并和可列并封闭。
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第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.1 设A是由Ω的一些子集组成的非空集合类，则： 1. A是由Ω的集代数 A是包含Ω且对余运算和有限交运算 封闭； 2. A是由Ω的集代数
A是包含Ω且对差运算封闭。
证明可简单阐述。 例1.1.1 设Ω=R，则： A
F的结构？在F上的概率如何构造？这是本章将要讨论的主 要问题，为此我们必须引入测度论的概念。
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第一节 集合代数和σ -代数
一、集合代数和σ -代数
定义1.1.1 设Ω是任一非空集合， A是由Ω的一些子集组成 的非空集合类，若A满足：
1. Ω A ；
2. 若AA ，有 A A （余运算封闭）； 3. 若 A, B ∈ A ，有 A B A （有限并运算封闭）； 则称A是Ω上的一个集合代数，简称集代数。 容易证明集代数对有限交运算也封闭，即：

A
则称A是Ω上的一个σ-代数。 1. A定是集代数；
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A （可列并运算封闭） k ，有 Ak
k 1
定理1.1.2 设A是σ-代数，则：
有 2. 若 Ak A k ，
A A （可列交运算封闭）
k k 1
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概率论与随机过程
唐碧华 黎淑兰

学时数：60


教材：王玉孝，《概率论与随机过程》，北京邮电大学出版社
参考书：
1. 陆大琻，《随机过程及其应用》，清华大学出版社
2. 林元列，《应用随机过程》，清华大学出版社
3. 刘嘉焜等， 《应用随机过程》，科学出版社 4. 严士健等，《测度与概率》，北京师范大学出版社
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教学安排



上课时间共16次
考试时间：见研究生院发布的考表
电子讲稿网址：
http://cclab.see.bupt.cn/《教学园地》栏
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概率论与随机过程

知识从哪里来?
必然性、偶然性

知识是什么?
概率论与随机过程：随机性、变化过程
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第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.3 设Ω是任一非空集合， C是由Ω的一些子集组成 的非空集合类，则存在唯一的σ -代数F 0，满足： 1. C F 0 ； 2. 对包含C的任一σ -代数F ，有F 0 F 证明：构造F * A为所有包含C的σ -代数的交。下面说明 这样构成的F *即为包含C的最小的σ -代数， F *= F 0
称P A为事件A的概率。
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第一章 概率空间
在初等概率论中，我们定义随机事件A为样本空间Ω的子 集，即 A ，但事实上是不是任何一个样本点构成的集合都 是一个随机事件？（举例说明） 若把 A P A 看作集合A的函数，那么象高等数学里的普 通函数一样，我们必须考虑A在什么范围内， P A 才有定义？这 是初等概率论的遗留问题。为此，我们考虑以事件A为元素的 集合，称为集合类或事件体，记作F 。
FA
由构造性可知它不仅存在而且唯一。 由于σ -代数的交仍为σ -代数，所以F *为包含C 的σ 代数。 由构造，则可知其最小性。
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第一节 集合代数和σ -代数
定义1.1.3 称定理1.1.3中的F 0是包含C的最小σ -代数，或
者是由C生成的σ -代数，记为σ (C)。 例1.1.2 设 A ，且 A , A ，则包含{A}的最小 σ -代数为 A, A, , 三、Borel域
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第一章 概率空间
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概率的定义——若对 E 的每一个事件A，有一个实数 与之对应，记为 P A ，且满足：
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1. 0 P A （非负性） 1
2.P （归一性） 1
3.若事件A1 , A2 , 两两互不相容，则有： P Ak P Ak k 1 k 1