运动学第六章达朗贝尔原理习题课

MFOxIOb
FOy
FOx
JOa Wr
1 2
mr 2a
Wr
a
2W mr
mg
M IOa a
mg
b
FI
Ta W
FOx 0 FOy W mg
W
(b) 整体
MO 0
M IOb
FOy FOx
M IOb FIr Wr 0 mg
M IOb
1 2
mr 2b
FI
W g
a
W g
r b
b
2Wg r(mg 2W
达朗贝尔原理 习题课
主讲教师 祝瑛
2021年4月9日星期五
1.均质圆盘作定轴转动。试对图示四种情形向 转轴进行惯性力系的简化。
FI m2r
FIn m2r FI m r
≠
（a）
MI
（b）
3mr
2
2
（c）
≠
M
I
（d）
mr 2
2
2.均质杆OA长为L,质量为m,绕O轴转动的角速度 1 ,
A
M ABI1
FS 2
3 16
ma
FS 3
3 16
ma
同理取滚B： MB(F) 0
FI 3r M I 3 FS3 2r 0
FI 2 A
MI2
FI 3
MI3
B
14.长方形匀质平板,质量为27kg,如果突然撤去销B，求在 撤去销B的瞬时,平板的角加速度和销A的约束反力。
解： 突然撤去销B, 0 0
惯性力系向转轴A简化:FI FI m
取A为研究对象： FI1 T m1g T m1(g a)
取圆柱为研究对象：FI 2
m2
a 2
,
MI
1 2
m2
r
2
a 2r
1 4 m2ar
M D (F ) 0 M I FI 2r 2rT
a
a
2r
1 4
m2ar
m2
a 2
r
m1 ( g
a)2r
T
MI
FI1
a4g 7
aC
2 7
g
FI 2 m2g D
动，求鼓轮的角加速度。 解：
FI1 m1a1 , FI 2 m2a2 , M IO JO J
FOY
M IO
a1 r1 , a2 r2
FOX
mO(F ) 0
m1gr1 m2 gr2 FI1r1 FI 2r2 M IO 0 a1
P FI1
a2
m1gr1 m2 gr2 m1a1r1 m2a2r2 J 0
g4
Fy 0
aC
3 1.52
g 21
FI2
FDE FI1 FI 2 mg 2mg 0
FDE
59 mg 21
FAB
M I1
FI1
mg FI2 Aa
2mg
分析物体受力 Fy 0
FAB FI 2 2mg 0
FAB
34 mg 21
2mg
10.圆柱形滚子质量为20kg,其上绕有细绳,绳沿水平方向拉 出,跨过无重滑轮B系有质量为10kg的重物A,如滚子沿水平 面只滚不滑.求滚子中心C的加速度。 解：
FT FI FS P sin
FS f FN 0.1P cos 0.8
FT
6.8
P g aB
8.4 kN
取定滑轮O为研究对象
MO(F) 0 M M I FTr 0
aB 1.57 m/s2
Fx 0 FT cos FOx 0
kN FOY
M FOX
Q
FOx 6.72
gl
T
T′ A
m1g
A m1g
6.图示匀质定滑轮装在铅直的无重悬臂梁上.已知:轮半径 r=1m,重Q=20kN,滑块重P=10kN,梁长为2r,斜面的倾角tg=
¾,动摩擦系数f=0.1。轮O上作用一常力偶矩M=10kN.m.
试用动静法求(1)滑块B上升的加速度(2)支座A处的反力。
解：取滑块B为研究对象
FI 2
m1r1 m2r2 m1r12 m2r22
J
g
5、质量为m1的物体A下落时,带动质量为m2的均质圆
盘B转动,半径为r,不计支架和绳子的重量及摩擦.求固定
端C的约束力。
L
解： 物块A：T m1g m1a FCY
取圆盘B： M B (F) 0
Tr
1 2
m2r 2
a r
a 2m1g 2m1 m2
aT
m1g
11.图示系统由不计质量的定滑轮O和均质动滑轮C、重物
A、B用绳连接而成。已知轮C重力的大小FQ = 200N，物A、
B重力的大小均为FP =100N，B与水平支承面间的静摩擦
因数f = 0.2。试求系统由静止开始运动瞬时，D处绳子的
张力。解：设重物B的加速度为a
D
a B
重物B
FIB
100 g
3l AB
B
3l R
AB
FBI1 2maB 2ml
F CBI 1
2ml AB
M
ABI1
2 3
ml 2 AB
3 AB
FBI1
A
M ABI1
C
F CBI 1
aBA A
aA 30
C
FBI 2 maB ml 3 AB
B
aC B
M ABI2
1 2
mR2 B
3 2
lRm
AB
FBI 2
M BI 2
D
aB
角加速度1 ,圆盘半径为R,质量为M, 相对杆的角速度
为2 ,角加速度2 .计算杆对O点及圆盘对A点的惯性
力系的简化结果.
解：杆
绕O 轴转 动
aCn
1 2
l12
FIn
1 2
ml12
aC
1 2
l1
M IO JO1
FI
1 2
ml1
1 3
ml
21
FI
O
M IO C
FIn
1
1
盘
平面 运动
a
n A
12l
aA l1
)
b
Tb
FI
FI
FOx 0 FOy W mg FI
mg3W mg
mg 2W
a
W
物体
Tb
W
W g
a
mg mg 2W
W
W
4.质量为m1和m2的两重物,分别挂在两条绳子上,绳又分 别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上,已知两鼓 轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运
0.22 0.152 158.76
2
M I J A 26.46
J A JC m(
0.22 0.152 )2 0.5625 2
M A(F) 0 M I mg 0.1
0.5625 27 9.8 0.1
FX FY
Fx 0 47.04rad / s2
FX FI sin 158.76 0.6 95.26N
FI
MI
a
mg
Fy 0 FY FI cos mg
FY 137.59N
惯性力系向质心C简化: FX FY
M I JC FI maC
M A(F) 0
0.22 0.152
M I FI
2
mg 0.1
47.04rad / s2
FX 95.26N FY 137.59N
FI
MI
a
Fx
FS
0
f
TB
FN
20
FIB
N
FS TB
20
FP g
a
C
O
FIC
轮C物A FIC FIA FD FB 300 0
A FD
FB
Fy 0
FI A
100 g
a 2
FIC
200 g
a 2
MIC
MC (F ) 0 FBr M IC FDr 0
a FIB
MIC
JC
1 2
FQ g
求板的加速度。 16
11m F
解：取板为研究对象
C
Fx 0 F FI1 FS 2 FS3 0
取滚子为研究对象: 先取滚A
Aa
B
M A(F) 0 FI 2r M I 2 FS 2 2r 0 FI1
C
F
1 2
1 2
mar
1 2
1 2
mr 2
a 2r
FS 2 2r
0
FS 2
FN 2
mg FS3 FN 3
整体
Fx 0 Fx0 FIcos 0
aC
2 g sin
3
Fy 0 Fy0 FIsin W 0
M0 0 M0 M IC FIR WRsin WScos 0
FI FI MMI
Fx0
FIcos
2W 3
sin cos
W 3
sin2
FS FN
I
Fy0
W
FIsin
W (1
2 sin2 )
r2
a 2r
1 4
FQ g
ra
FD 117.5 N
TB 100N100NFS
200N
FIA
100N
12.平板为100N置于水平面上,其间的摩擦因数f = 0.20，
；均质圆柱重为300N，半径为20cm。圆柱与板之间无相对
滑动。如图所示.平板上作用一水平力F = 200N，求平板
的加速度以及圆柱相对于平板滚动的角加速度。
3
aC M0 WRsin Wscos M IC FIR Wscos
8. 绕线轮重P，半径为R及 r ，对质心O转动惯量为JO，
在与水平成 角的常力T 作用下纯滚动，不计滚阻，求：
(1)轮心的加速度；(2)分析纯滚动的条件。
解：绕线轮作平面运动 (纯滚动)
aO R
P FI g aO ,
M IO
JO
aO R
列达朗贝尔方程
MC(F) 0
M IO FI R T sin r sin
T cos R r cos 0
aO
TR(R cos
JO
P g
R2
r)
rO T
R
C
Fx 0 T cos FS FI 0
FS
T
(JO
cos
P g
JO
P g
R2
Rr)
Fy 0 FN P T sin 0
FN P T sin 纯滚动的条件：FS ≤f FN
T (JO
cos
P g
Rr)
f
(P T sin )
JO
P g
R2
f
T
(JO
cos
P g
Rr)
(P
T
sin
)( J O
P g
R2)
9.图示系统位于铅直面内,由鼓轮C与重物A组成.已知鼓轮
质量为m,小半径为r,大半径R = 2r，对过C且垂直于鼓轮
aB
B aB
取B轮：
MD(F) 0
M BI 2
FBI 2 R
FXB R
FXB
33 2
ml AB
取AB杆： M K (F ) 0
3lFXB FBI1
3 2
l
M
ABI1
1 2
lFCBI1
2mg
1 2
l
Fx 0
FNA
FBI1
FXB
F CBI1
cos 30
0
AB
6g 43l
FNA 0.6mg aB 3l AB 0.24g
FInA M12l FIA Ml1
A
F
IA M IA
2
2
M IA
J A A
1 2
MR2 (1
2)
FInA
3.两种情形的定滑轮质量均为m,半径均为r.
图a中的绳所受拉力为W;图b中块重力为W.
试分析两种情形下定滑轮的角加速度、绳中拉力和定滑
轮轴承处的约束力是否相同。
解: (a) M O 0
FOy
解：设平板的加速度为a；圆柱的角加速度为，
FI
1
质心的加速度
பைடு நூலகம்1 a g
FI 2
P2 g
aO
aO
=a–r
P2 (a r
g
)
M A(F ) 0 FI2r M IO 0
P2 (a g
M IO
r )r
JO 1
2
1 P2 2r g
PO2 r 2
g
r 2
a
3 2
r F
Fx 0 F FI1 FI 2 FS 0
FT FS
FN
M FT'
IkN
aB
FI P
Fy 0 FOy FT sin Q 0 FOy 25.04 kN
FOx 6.72 kN FOy 25.04 kN
取杆OA为研究对象
Fx 0 FAx FOx 6.72 kN
Fy 0 FAy FOy 25.04 kN
MA(F) 0
M A FOx 2r
mg
15.均质杆长2L质量2m,A端靠在光滑墙面上，B端与一
半径为R质量为m的均质圆轮光滑铰接,轮作纯滚动.图示
位置无初速度释放.求初始时轮B的加速度及杆A端的约束
反力。无初速度释放时，AB杆及轮B无初始角速度，只
解： 有角加速度。即：AB 0 B 0
运动及惯性力分析
aA aB aBτA aB aBA cos 30
FS f FN f (P1 P2 ) 80 N
200 P1 a P2 (a r ) 80 0
gg
FI2 FI1
MI
aOO
O A P2
a
F
a 120 g 2 a 19.6 rad/s2
200
3r
FS F P1
1为3m.均/F2质,其板半m质径a量为为r2.m如,3放在在m板两a上个作均0用质一圆水柱平滚力a子F,设上8滚,滚F子子无质滑量动均.
平面的轴的回转半径ρ = 1.5r，重物A质量为2m。试求(1)
鼓轮中心C的加速度；(2)AB段绳与DE段绳的张力。
解： 设鼓轮C的加速度为a，分析整体受力。
E
其惯性力分别为：
M I1 JC m 2
FI1 ma
1.52 mr 2
a
r
FI 2 2ma
a
MD(F) 0
r
FDE
a
C DB
(mg FI1 FI 2 2mg)r M I1 0
13.44 kN m
FOX' FOY'
FAY
A MA
FAX
7.均质圆柱体重为W，半径为R，沿倾斜平板从静止状态 开始自固定O处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾角 为忽略板的重量。试求： 固定端O处的约束力。
解：轮子
W FI g aC
MI
1W 2g
R2
aC R
aCWR 2g
M A 0 WR sin FI R M I 0
FCX
CM C
取整体： Fx 0 FCX 0
M 2I
m2gB
a
FI1
FI1
Fy 0 FCY (m1 m2 )g m1a
3m1m2 m22 g