结构力学-13-结构的极限荷载(1)(1)

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第 13章 结构的极限荷载
16.3 单跨梁的极限荷载计算
静定梁：只要一个截面出现塑性铰，梁就成为机构，丧 失承载力以至破坏。 超静定梁：具有多余约束，必须出现足够多的塑性铰，才 能使其成为机构，丧失承载力以至破坏。
例1. 计算图(a)所示等截面梁的极 限荷载。 图(b)为弹性阶段(FP≤ FPs) 的M图，Ａ截面弯矩最大。
机动法
1、依据：机动法是以上限定理为依据的。 2、步骤：先假设出所有的破坏机构，而后利用虚位移原理计算出 各机构相应的极限荷载。依据上限定理，这些可破坏荷载中的最小者 即为极限荷载。 试算法 1、依据：试算法是以单值定理为依据的。 2、步骤：先试算出相应于某一破坏机构的可破坏荷载，而后验算 该荷载是否满足屈服条件，若满足，该荷载即为极限荷载。
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第 13章 结构的极限荷载
FP＞FPs后，塑性区在A附近形
成并扩大，在A截面形成第一个塑 性 铰，M图如图(c)。 FP继续增加，荷载增量引起的 弯矩增量图相应于简支梁的弯矩 图，如图(d)。第二个塑性铰出现在 C截面，梁变为机构。
FPu l 1.5M u 4 FPu 6M u l
由虚功方程
dq 0 令 dx
q
l M u ( A C ) 2
得
q
2l x 2M u x(l x ) l
得 x 2 4lx 2l 2 0
qu
解 x1 (2 2 )l
Mu 2 2 Mu 11 . 7 2 l2 3 2 4 l
x2 (2 2 )l
塑性铰与普通铰的区别： 普通铰不能承受弯矩，而塑性铰则能承受着极限弯矩 Mu ； 普通铰是双向的，而塑性铰则是单向的，即只能沿着弯 矩增大方向发生有限相对转动，如果沿相反方向变形， 则不再具有铰的性质。 普通铰的位置是固定的，而塑性铰的位置是由荷载情况 而变化的。
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第 13章 结构的极限荷载
16.5 多跨连续梁的极限荷载计算
条件：梁在每一跨度内为等截面； 荷载的作用方向相同，并按比例增加。 结论：连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构；如图(a)、(b) 不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构。如图(c) 连续梁极限荷载的计算方法： 1）对每一单跨破坏机构分别求
Mu FPu 9 l
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第 13章 结构的极限荷载
（2）当截面D、A出现塑性铰时如图(a) 截面D的弯矩达到极限值Mu 截面A的弯矩达到极限值 M u 弯矩图如图(b)，截面B的弯矩
1 Mu) M B (M u 2
3M u 若MB＞Mu，此破坏机构不能出现，此时 M u
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第 13章 结构的极限荷载
1）残余应变 当应力达到屈服应力σs后在C点卸载至D点 ，即应力减小为零，此时，应变并不等于零， 而为εP，由下图可以看出， ε= εs+ εP， εP是应变 的塑性部分，称为残余应变。

s A
C B
o
εs εP εs ε
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D
ε
理想弹塑性模型
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结构的极限受力状态应满足的条件： （1）平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡； （2）内力局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩； （3）单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。
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第 13章 结构的极限荷载
可破坏荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载 值，用 FP 表示。 可接受荷载：如果在某个荷载值的情况下，能够找到某一内力 状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限 值，此荷载值称为可接受荷载用 FP 表示。 可破坏荷载 FP 只满足平衡条件和单向机构条件。
A1形心距下端0.045m, A2形心距上端 0.01167m,
A1与A2的形心距为0.0633m.
20 mm
M u s (S1 S2 )
s
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A 0.0633 27.36 kN.m 2
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2、塑性铰 当截面达到塑性流动阶段时， 在极限弯矩保持不变的情况下， 两个无限靠近的截面可以产生有 限的相对转角，这种情况与带铰 的截面相似。因此这时的截面可 以称为塑性铰。
出现两个塑性铰时梁成为破坏机构。 （1）当截面D、B出现塑性铰时如图(b)
此时M图如图(c)，MA=3Mu
此破坏机构不能出现 若 3M u M u
3M u 则此破坏机构实现的条件是 M u
由图(b)的可能位移列虚功方程 FPu D M u B M u D 得极限荷载
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2）应力与应变关系不唯一 当应力达到屈服应力σs后，应力σ与应变ε 之间不再存在一一对应关系，即对于同一应 力，可以有不同的应变ε与之对应。

1 A1
o
s
A
C
C1 B1
B
εA
εB
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εC
ε
可见，弹塑性问题与加载路径有关。
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16.2 极限荷载分析中的几个基本概念
1. 屈服弯矩和极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面 梁处于纯弯曲状态为例： 图(b)：弹性阶段，弯矩M为：
bh2 Ms s 6
屈服弯矩
随M的增大，梁截面 应力的变化如图所示：
图(c)：弹塑性阶段，y0部分为 弹性区，称为弹性核。 图(d)：塑性流动阶段，y0→0。 弯矩M为：
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第 13章 结构的极限荷载
3. 破坏机构
由于足够多的塑性铰的出现，使原结构成为机构（几何可变体 系），失去继续承载的能力，该几何可变体系称为“机构”。 a、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。
q u1
qu 2
Mu
Mu Mu b、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。
bh2 Mu s 4
极限弯矩
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第 13章 结构的极限荷载
图(a)为只有一个对称轴的截面 图(b)为弹性阶段：应力直线分布，中性轴过截面形心； 图(c)为弹塑性阶段：中性轴随弯矩的大小而变化； 图(d)为塑性流动阶段：受拉区和受压区的应力均为常量。 A1(受拉区面积)= A2(受压区面积)，Mu为
由x2求得极限荷载
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第 13章 结构的极限荷载
16.4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
比例加载：所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个 参数FP表示； 荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。
假设条件：材料是理想弹塑性的； 截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等； 忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
第 十三 章
结构的极限荷载
第 13章 结构的极限荷载
16.1 概述
一、弹性设计与塑性设计
弹性设计是在计算中假设应力与应变为线 性关系，结构在卸载后没有残余变形。 利用弹性计算的结果，以许用应力（弹性 极限）为依据来确定截面尺寸或进行强度验算 ，就是弹性设计的作法。
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第 13章 结构的极限荷载
弹性设计的缺点 对于塑性材料的结构，特别是超静定结构， 当最大应力达到屈服极限，甚至某一局部已进入塑 性阶段，但结构并没有破坏，即结构还没有耗尽承 载能力。由于没有考虑材料超过屈服极限后的这一 部分承载能力，因而弹性设计不够经济。 在塑性设计中，首先要确定结构破坏时所能承 受的荷载——极限荷载，然后将极限荷载除以荷载 系数得到容许荷载并进行设计。
M u Wu s
Mu
c、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，qu不一定相同。
q u1
qu 2
M u1 M u 2 M u2 qu1 qu 2
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Mu1
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Mu2
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第 13章 结构的极限荷载
4. 极限状态 当结构形成足够多的塑性铰，结构变成几何可变体 系时，形成破坏机构的瞬时所对应的变形状态称为结 构的极限状态。 5. 极限荷载 极限荷载 FPu—— 结构已变为机构、位移可以无限 增大、承载力无法再增大时结构所承受的荷载。
图(a)、图(b)所示的破坏机构都 能实现。此时，A、B、D三个截面 都出现塑性铰。
可得极限荷载
Mu FPu 9 l
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例3. 试求图(a)所示梁在均布荷载作用下的极限荷载qu。 解：梁处于极限状态时，A端出现塑性 铰，另一个塑性铰C有待确定。 图(b)为一破坏机构，塑性铰C的 坐标为x。相应的可破坏荷载为 q 。
qu
B A C
Mu
C
由理想弹塑性材料的应力应变关系可知，加载至塑性 阶段后再减载，截面则恢复其弹性性质。由此得到一个重 要特性：塑性铰只能沿着弯矩增大方向发生转动，如果沿 相反方向变形，截面立即恢复其弹性刚度，因此塑性铰是 单向的。
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第 13章 结构的极限荷载
出相应的破坏荷载；
2）取其最小值即为极限荷载。
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第 13章 结构的极限荷载
例4. 图(a)所示连续梁中，每跨为等截面梁。AB和BC跨的正极限 弯矩为Mu，CD跨的正极限弯矩为2Mu；又各跨负极限弯矩 为正极限弯矩的1.2倍。试求此连续梁的极限荷载qu。 解：AB跨破坏时如图(b)
即此破坏机构的实现条件是： 由图(a)的可能位移列虚功方程
3M u Mu
A M u D FPu D M u
3 3M u ) (M u 2l
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得极限荷载 FPu
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3. 讨论
3M u 如果 M u
M u s ( S1 S2 )
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S1、S2为面积A1、 A2对等面积轴的静矩
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第 13章 结构的极限荷载
例1：已知材料的屈服极限 s 240MPa，求图示截面的极 限弯矩。
80 mm
解:
A 0.0036m 2
A1 A2 A / 2 0.0018 m2

可接受荷载 FBaidu Nhomakorabea 只满足平衡条件和内力局限条件。
极限荷载同时满足平衡条件、内力局限条件和单向机构条件；
极限荷载既是可破坏荷载，又是可接受荷载。
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第 13章 结构的极限荷载
（1）基本定理： 可破坏荷载 FP 恒不小于可接受荷载 FP ，即 FP FP （2）唯一性定理：极限荷载值是唯一确定的。 （3）上限定理（极小定理）：可破坏荷载是极限荷载的上限； 即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。 FPu FP （4）下限定理（极大定理）：可接受荷载是极限荷载的下限；
得
6M u FPu l
超静定结构极限荷载计算的特点 （1）只需考虑最后的破坏机构；
（2）只需考虑静力平衡条件；
（3）不受温度变化和支座位移等的影响。
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第 13章 结构的极限荷载
例2. 试求图(a)所示变截面梁的极限荷载。
、M u 解：设AB、BC段的极限弯矩为 M u
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由平衡条件 得极限荷载
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第 13章 结构的极限荷载
利用虚功原理求FPu，图(e)为 破坏机构的一种可能位移。
6 内力作功为 Wi ( M u1 M u 2 ) M u l
外力作功为 W FPu 由虚功方程
6 FPu M u 0 l
即极限荷载是可接受荷载中的极大值。 FPu FP
由上限定理和下限定理，可得出精确解的上下限范围，取 极小值便得到极限荷载的精确解； 唯一性定理可配合试算法来求极限荷载。
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第 13章 结构的极限荷载
确定极限荷载的三种方法
1、机动法 2、静力法 3、试算法
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第 13章 结构的极限荷载
二、材料的应力——应变关系
在塑性设计中，通常假设材料为理想弹塑性， 其应力与应变关系如下：

s A
C B

s A
C
B
o
εs εP εs ε
D
ε
o
εs
D
ε
a) 理想弹塑性模型
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b) 弹塑性硬化模型