变分法简介

最速降线问题的解
由欧拉方程首次积分
经过代换、简化、积分，并带入边界条件，得：
x a(t sin t ) y a(1 cost )
为旋轮线的参数方程
变分法的应用
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以 及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了 有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力 工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而 在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷 原理。
最速降线问题
最速降线问题是历史上最早出现的变分法问题之 一，通常被认为是变分法的起点。它是伽利略于 1630年首先提出来的，1638年他又系统的研究 过这个问题，但他当时给出的结果不对。对变分 法的实质性研究是约翰· 伯努利在1696年6月号的 《教师学报》上写给他哥哥雅各布· 伯努利的一封 公开信中征求该问题的解开始的。牛顿与1697年 1月29日得知这一消息后，当天就把这一问题解 决了。莱布尼兹、伯努利兄弟和洛必达等人分别 用不同的方法得出了正确答案。其中，雅各布· 伯 努利的解法更具一般性，朝变分法的方向迈出了 较大的一步。
mgy 1 2 mv 2
另一方面，质点速度还可表示为
(dx) 2 (dy) 2 ds 2 dx v 1 y' dt dt dt x1 联立得时间为 1 y '2 T dx 2 gy 0
泛函简介
泛函简介
上式的积分中给出的变量可以看作是依赖于未知 函数及未知函数导数的变量，未知函数及其导数 起着自变量的作用，这样的自变量称为独立函数 或自变函数。简单地说，这种依赖于独立函数的 函数，或者说以函数为自变量的函数，就称为泛 函。以积分形式出现的泛函称为积分型泛函或积 分泛函。这里的独立函数y称为宗量。
同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空 间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有 极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的 变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究 工，称为Plateau问题。 最优控制的理论是变分法的一个推广。
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变分原理 欧拉-拉格朗日方程 使最简泛函
J [ y( x)] F ( x, y, y' )dx
0 x1
取极值且满足固定边界条件
y( x0 ) y0 , y( x1 ) y1 的极值曲线y应满足必要条件
d Fy Fy ' 0 dx
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的解，式中F为x,y,y'的已知函数并有二阶连续 偏导数
最速降线问题
最速降线问题：
设O和P是铅直平面上不在同一铅直线上的两点， 在所有连接O和P两点的平面曲线中，求出一条 曲线，使仅受重力作用且初速度为零的质点从O 点到P点沿这条曲线运动时所需的时间最短。
最速降线问题
最速降线问题
方程的建立 设连接O、P两点的曲线方程为
y y ( x)
由能量守恒
变分法简介
姜鲁 5080109215
变分法
变分法是17世纪末开始发展起来的数学分析的一 个分支，它是研究依赖于某些未知函数的积分型 泛函极值的一门科学。简言之，求泛函极值的方 法称为变分法。求泛函极值的问题称为变分问题 或辩分原理。
变分法
克莱罗于1733年发表了变分法的首篇论文《论极 大极小的某些问题》。欧拉于1744年发表的著作 《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》 标志着变分法这门科学的诞生。变分法一词由拉 格朗日于1755年8月给欧拉的一封信中首次提出， 他当时称为变分方法(the method of variation)， 而欧拉则在1756年的一篇论文中提出了变分法 (the calculus of variation)一词。变分法这门学科 的命名由此而来。
变分
对于任意x∈[x0,x1]，可取函数y(x)与另一可取函 数y0(x)之差y(x)-y0(x)称为函数y(x)在y0(x)处的变 分或函数的变分，记作δy。
泛函的宗量y(x)与另一宗量y0(x)之差y(x)-y0(x)称 为宗量y(x)在y0(x)处的变分。
变分与微分的区别
变分原理
定理
若泛函J[y(x)]在y=y(x)上达到极值，则它在y=y(x) 上的变分δJ等于零。