泛函分析答案泛函分析解答(20200916132101)
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第五章习题第一部分01-15
1. M为线性空间X的子集,证明span( M )是包含M的最小线性子空间. [证明]显然span( M)是X的线性子空间.设N是X的线性子空间,且M N.则由span( M )的定义,可直接验证span( M ) N.
所以span( M )是包含M的最小线性子空间.
2. 设B为线性空间X的子集,证明
n
conv( B) = { a i x i| a i 0,
i 1
n
[证明]设 A = { a i Xj a i 0,
i 1
n
a i= 1, x i B, n为自然数}.
i 1
n
a i = 1, x i B, n为自然数}.首先容易i 1
看出A为包含B的凸集,设F也是包含B的凸集,则显然有A F,故A为包含B的最小凸集.
3. 证明[a, b]上的多项式全体P[a, b]是无限维线性空间,而E = {1, t, t ,…,
t n,…} 是它的一个基底.
[证明]首先可以直接证明P[a, b]按通常的函数加法和数乘构成线性空间,而P [a, b]中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合表示.
设C0, C1, C2, ..., C m是m+ 1 个实数,其中C m 0,m 1 .
m
若C n t n= 0,由代数学基本定理知C o = C1 = C2 = ... = C m = 0,n 0
所以E中任意有限个元素线性无关,故P[a, b]是无限维线性空间,而E是它的一个基底。
2 2
4. 在中对任意的x = ( X1, X2),定义|| x || 1 = | X1 | + | X2 |,|| x
|| 2 = ( X12 + X22)1/2,|| x || = max{ | x 1 |, | X2 | }.证明它们都是2中的范数,并画出各自单位球的图形.
[证明]证明是直接的,只要逐条验证范数定义中的条件即可.单位球图形略.
5. 设X为线性赋范空间,L为它的线性子空间。
证明cl( L)也是X的线性子空间. [证明] x, y cl( L), a ,存在L中的序列{ X n}, { y n}使得X n
x ,
y n y.
从而x + y = lim X n + lim y = lim ( X n + y n) cl( L),a x = a lim X n = lim
(a X n ) cl( L).
所以cl( L)是X的线性子空间.
[注]这里cl( L)表示子集L的闭包.
6. 设X为完备的线性赋范空间,M为它的闭线性子空间,X0 M.证明:
L = { a X0 + y | y Ma }也是X的闭线性子空间.
[证明]若a, b ,y, z M 使得ax°+ y = bx°+ z,
则(a b) X0 = z y M,得到a = b,y = z;即L中元素的表示是唯一
的.
若L中的序列{ a n X0 + y n }收敛于X中某点z,则序列{ a n X0 + y n }为有界序列.
由于M闭,x o M,故存在r > 0,使得|| x o y || r, y M.则当
a n 0时有
| a n I = | a n I • r • (1/ r) | a n | • || x o + y n/a n || • (1/ r ) = ||
a n x o + y n || • (1/ r),
所以数列{ a n }有界,故存在{ a n }的子列{ a n(k)}使得a n(k) a .
这时y n( q = ( a n x o + y n) a. X o z a x o M.所以z L,所以L 闭.[注]在此题的证明过程中,并未用到“ X为完备的”这一条件.
7. 证明:a.在2中,|| ?|| 1, || ?|| 2与|| ?|| 都是等价范数;b. || ?|| i
与|| ?|| 2是等价范数的充要条件是:X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性. [证明]a.显然|| x || || x || 2 || x || 1 2|| x || ,所以|| ?|| 1,
|| ?|| 2与|| ?||都是等价范数.b.必要性是显然的,下面证明充分性.首先inf {|| x || 21|| x || 1 = 1} O .
若inf {|| x || 2| || x || 1 = 1} = 0,则存在X中序列{ X n},使得|| x n || 1 = 1, || X n || 2
0 .
而任意序列在两个范数下有相同的收敛性,从而|| x n || 1 0 .
这矛盾说明inf {|| x || 21 || x || 1 = 1} = a > 0 .
对x X,当x 0 时,|| ( x/|| x || 1) || 1 = 1,所以|| ( x川x || 1) || 2
a.
故x X有 a || x || 1 || x || 2.
类似地可以证明存在b > 0使得b || x || 2 || x || 1, x X.所以两个范
数等价.
8. 证明:Banach空间m不是可分的.[证明见教科书p187,例3.5]
9. 证明:c是可分的Banach空间.[证明见第4章习题16]
10. 设X, Y为线性赋范空间,T B(X, Y).证明T的零空间N(T) = { x X | Tx =0 }是X
的闭线性子空间.
[证明]显然N(T) = { x X | Tx = 0 }是X的线性子空间.对x N(T)c, Tx 0,由于T是连续的,存在x的邻域U使得u U有Tu 0,从而U NT/ .故
N(T)c是开集,N[T)是X的闭子空间.
11.设无穷矩阵(a i j ) , ( i , j = =1,2,...) 满足sup
i
j
|a0 |
1
,定义算子T :
m m如下:y = Tx, i
j
a
ij j,其中x =(
1
i ), y = :( i ) m.证
明:T是有界线性算子,并且||T || sup |a j |。
i
j 1
[证明]因||Tx|| sup| a j j |
i
j 1
sup( |a ij | sup| j |)
i
j 1
j
(sup
i
j 1
|a j |) (sup| j |),
j
及 T 是线性的,所以 T 为有界线性算子, ||T || sup
|a ij |。
对任意的实数
i
j 1
u sup | a ij I ,存在自然数K 使得|a Kj | u 。
取X K
(J
m ,使得其第j 个
i j 1 j 1
坐标 j sgn(a©),则 ||X K || 1,且 ||T X K || 心和。
所以 ||T ||
| u ,故
j 1
j 1
有 ||T II sup a I ,从而 ||T II sup
I a ij I 。
i
j 1
i
j 1
12.
设 S n :l 2 丨2 满足对 X ( !,2, , n ,)丨'有
&(X )( n 1, n 2,)。
证明
S n 是有界线性算子,IIS n II 1。
[证明]显然S n 是线性算子。
因为I 〔S n (X )『 I k I "
I k I 2 IIX 『,X l 2,
k n 1
k 1
所以 IIS n (X)II IIXII , X l 2 , 可见 S n 是有 界线性算子 , 且 IIS n II 1 。
令 X n (0,0,
0,1,0,
) (仅第 (n 1) 个坐标不为零), 则 X n l 2 , IIX n II 1 ,
S n (X n ) (1,0,
), IIS n (X n )II 1。
所以 IIS n II supIIS n (X)II IIS n (X n )II 1。
IIXII 1
b
13.
证明C[a,b]上的泛函f(x) x(t)dt 是有界线性泛函,
且II f II b a 。
a
[证明]显然f 是线性泛函。
对
X C[a,b]有
bb I f(X)I I a X(t)dtI a IX(t)Idt (b a)t m [a a ,b X ]IX(t)I (b a)IIXII ,
a
a
t [a,b]
所以f 是有界线性泛函,且II f II b a 。
进一步,取x 0 C[a,b]使得x 0(t) 1, 则 II X o II
1。
得到 II f II sup I f (X ) I I f (X o ) I b a 。
IIXII 1
14. 取定t o [a,b],在C[a,b]上定义泛函右如下:fjx) x(t 。
)。
证明人是有界
线性泛函, II f 1 II 1 。
[证明]显然f 1是线性泛函,由| fjx) | |x(t o ) | max | x(t) | ||x||,知h 有界 t [a,b] II f 1 II 1 。
取 x o C[a,b] 使 x o (t) 1 , 则 IIx o II 1 , 得 II f 1 II supI f 1(x)I I f 1(x o )I Ix o (t o )I 1。
IIxII 1
15. 证明: (l 1)* l 。
[ 证明] 任取 y ( i ) l , 显然 f(x) i i 是 l 1 上有界线性泛函 , 且 i1
|| f || ||y ||。
又取X k l 1使其第k 个坐标为1其余皆为0,则|| f || | f(xQ | | k I , k 1,2,。
从而 || f || ||y||,进而 || f || ||y|| •
另一方面,设f 为l 1上有界线性泛函,令i f(X i ),则| i | II f II ||X i II II f II , i 1,2,,从而 y ( i ) l 。
对 X ( i ) l 1,我们令 u n ( 1, 2,
, n ,0,0,),
n n
n
则 f (U n ) f(
i
X i )
i
f (Xj i i .
i 1
i 1
i 1
注意到在l 1中U n X ,以及f 为l 1上有界线性泛函, 故f(X) i i ,并且满足这样条件的y ( i ) I 是唯一的.
i 1
16. 证明:n 维线性赋范空间的共轭空间仍是一个 n 维线性赋范空间。
[证明]设X 是n 维线性赋范空间,{ x 1, x 1, ..., X n }是它的一个基.
n
令 f i : X ? X 表示 f i ( a k x k ) a i , "i = 1,2,...
.
k 1
n
n
所以f
f(X k )f k 。
故X 为有限维空间,且维数不超过 n .若
C k f k 0,则
k 1
k 1
17. 证明:无穷维线性赋范空间的共轭空间仍是无穷维线性赋范空间。
[证明]设X 是无穷维线性赋范空间,由于典范映射 J : X ? X *是保范的线性 同构,故X *必定是无穷维空间.由前面的习题 16知道乂必然也是无穷维的.
18. 设X 是赋范空间,M 为X 的子集,x?X 。
证明:X? cl( span( M )的充分必要 条件
为"f ? X *,若 f ( M = 0 则 f (x) = 0 .
[证明]设X? cl(span( M),则对"f ? X *,若f ( M = 0,由于f 是线性的和 连续的,自然有f (cl(span( M)) = 0 ,从而f (x) = 0 .
反过来,设 x?cl(span( M),贝U d(x, cl(span( M))) > 0.由 Hann-Banach 定理, 存在 f ? X ,使 f (cl(span( M)) = 0 ,且 f ( x) = d (x, cl(span( M)) > 0 , 得到矛盾.
19. 验证极化恒等式。
[证明]我们只对实内积空间来验证,对于复内积空间,方法是类似的. 2 2
|| X + y || - || X - y || = < X + y, x + y > - < x - y, x - y >
=(< x , x > + < x , y > + < y , x > + < y , y> ) - ( < x , x > - < x , y > -
< y , x > + < y , y >) =4< x , y > .
n
则 | f i ( a k X k ) | |a i |
k 1
lla i X i || l|X i ||
||a k X i ||,注意到 N (X )
k 1
||a k X i ||也是 X
k 1
上的范数,以及有限维线性空间上的范数都是等价的,故存在
M> 0 使得
N(x) M ||x||,所以 | f i (x) |
f n }是X *的一组基。
事实上,
II
||x||,所以 f i ? X *.下面证明{ f 1, f 1,..., ||X i ||
* f ? X ,
n
f(
a k X k )
k 1
a k f(X k ) k 1
f (X k )f k ( a j X j ) (f (X k )f k )(
a j X j ),
k 1
j 1 C i
C k f k (X i )
k 1
n
(C k f k )(X i )
0,所以{ f 1,
k 1
1
,...,
*
f n }线性无关,故X 维
20. 证明由内积导出的范数|| x || = <
x, x >1/2满足范数定义的三个条件
n N 1
[证明]前两个条件是显然的,我们只证明三角不等式•事实上, 以三角不等式成立.
21. 证明内积空间中的勾股定理。
[证明]设 X = X 1 + X 2,且 X i A
X 2 .则 < X 1, X 2> = < X 2, X I > = 0,所以
II X II 2 = II X i + X 2 II 2 = < X i + X 2, X i + X 2> = < X 1, X i > + < X 1, X 2 > + <
X 2, X i > + < X 2, X 2>
=< X 1, X > + < X 2, X 2> = II
X i II 2 + II X 2 II 2
.
22.设X 是内积空间, M, N X ,M N 。
证明:N
M 。
[证明]对X N ,
因MN ,得 X M ,故 X M , 所以N M
23.设X 是内积空间, M, N
X ,M N 。
证明:N
M 。
[证明] 对 X N ,由X N ,及M N ,知X M ,故X M 。
所以N M 。
24. 设H 为Hilbert 空间,M 是H 的线性子空间。
证明:M (M ) ,M (M )。
[证明]对X M ,显然有X M ,从而X (M ),故M (M )。
若X M , 由投影定理,设X X i X 2, 其中 X i M ,X 2 (M) ,且X 2 0。
此时X 2 M ,
故有
X, X 2
X i
X 2, X 2
2
X 2, X 2
II
X 2 II 0
,所以X (M )
,故
M (M )。
由23题结果,M
(M) ,而对 X M , X M
,故X M ,所以X
(M ),
因此M (M),
故有M (M)。
25. 设X 为内积空间,M 是X 的线性子空间,满足:对任何X X ,它在M 上的正 交
投影都存在。
―证明:M 是X 的闭线性子空间。
[证明]对X M ,由于存在它在M 上的正交投影,故可设X X i X 2,其中
X i M , X 2 M 。
由 26题知 X 2 (M ),而 X 2 X X i M ,故 X 2
0,所以
X x i M ,因此
M M ,即M 为X 的闭子空间。
26. 设X 为内积空间,M 是X 的稠密子集,{ e n }是X 的标准正交系。
证明:{ e
n }完备的充要条件是在子集 M 上,Parseval 等式成立.
[证明]由{ e n }完备性定义知必要性是显然的,下面证明充分性。
对 "X?X ,由 M 在X 中稠密,对任意的 0,存在y M ,使得IIx y II 2 , IIx 『II y 『 2。
而对于y M ,Parseval 等式成立,即II y 『 I y® I 2,存在自然数N 使得 n 1
F 面估计II X II 2 :
2
II X + y || = < x + y,
=II
y II £||
X II 2 + 2 Re(< X , 2
2
X II + 2 II X II 2 ---------------------------------------------------------
X + y > = II X II + < X , y > + X , y y >) + II y II 2 £II X II 2 + 2 I < X , II y II + II
2
y II = (II X II + II
+ II
y II y > I + II y II) 2•所
N N
■ 2
由 0的任意性,及 Bessel 不等式有IIx II
等式成立,所以{ e n }是完备的标准正交系。
27. 设X 为内积空间,{ e n }是X 的标准正交系。
证明:"x, y?X ,都有
I x,e n
y,e n | ||x || ||y||。
n 1
[证明] 由Cauchy-Schwarz 不等式,及Bessel 不等式,有
I x,e n
y,e n I J I x,e n |2 J | y,e n |2 ||x || ||y||。
n 1
? n 1 乞 n 1
28. 设H 为Hilbert 空间,{ e n }是H 的标准正交系。
证明:{ e n }是完全的的
充要条件是:对于"x, y?H,都有 x, y
x© y© 。
n 1
[证明]若{ e n }是完全的,则它是完备的.于是"x, y?H 总有x x© e n ,
n 1
y
n 1
y,e n
e
n ,
计算 x, y 的内积得:
x, y
x,e n
e
n
,
y ,
e
m
e
m
x,e n e
n
,
y
, U m
e
m
n 1
m 1
n 1
m
1
x,e n
e
n
, y, e n e n x,e n
y,e n
e
n )e n
n 1
n 1
x,
e
y,e n。
n 1
反过来, 若"x, y?H 都有 x, y x,e n y,e n
,令y =x ,贝U 有 Parseval
n 1 等式成立,从而{ e n }是完备的,所以在Hilbert 空间H 中{ e n }是完全的。
29. 设H 为Hilbert 空间,{ e n },{~J 是H 的两个标准正交系,其中{ e n }是
完备的,并且它们满足条件
||e n e n II 2 1,并且。
证明:{e n }也完备的。
n 1
I IxI I 2 I IyI 2 - I y,e n I 2
2 n 1
N
I x,e n
,n 1 N
I x,e n I 2
n 1
I 2
I x,e n
n 1
_______ 2
N
I x y,e n I 2
n 1
2||x|| ||x
y||
||x y 『
x y,e n I
(三角不等式)
N
(用 I u,e n I 2 I Iu I 2放大)
n 1
I x,e n I 2
n 1
(I IxI I
4 1),
I x,e n I 2。
即"x?X ,Parseval
n 1
[证明]对"x?H,若x {e n},由于{ e n }是完备的,所以
N N
■ 2
e ~n |2 || x ||2 ||e n e ~n ||2 || x ||2 ||e n e ~n ||2
n 1 n 1
|| x || < || x || ,故必有 x = 0.所以 {e ~n }
30. 设H 为Hilbert 空间,M 是H 的线性子空间,f 是M 上的有界线性泛函.证明: 存
在f 在H 上的唯一的延拓F ,使得|| F || H = || f || M .
[证明]首先,存在f 在L = ci ( M 上的唯一的延拓g ,使得g 为L 上的有界线 性泛函,并且|| g || = || f || .若L = H 则结论显然成立.
若L 1 H,在L 上用Rieze 表示定理,$u ?L ,使得g(x) = < x, u>,对"x? L . 在H 上定义F(x) = < x, u>,"x? H .则F 为H 上有界线性泛函,且
|| F || H = || u || = || g || L = || f || M ,而且 F 是 g 的延拓,因而 F 也是 f 的延拓. 若G 也是f 的满足条件的延拓,用Rieze 表示定理, 存在$v ?H ,使得 qx) = < x, v>,"x? H .
因f 在L 上的的延拓唯一,故 G L 作为L 上的有界线性泛函就是g ,
故"x? L ,<x, v> = qx) = g(x) = < x, u>,所以 <x, v - u> = 0,即 v - u A
L .
2 2 2
因 u ? L .由勾股定理,|| v || = ||( v - u) + u || = || v - u || + || u
|| 2.
2
而|| u || = || F || H = || f || M = || G|| H = || v || ,故|| v - u || 2 = 0 , 即 V = u .
从而G = F ,即f 在H 上的满足条件的延拓是唯一的.
|| x ||2 | x,e n |2
| x,e n
n 1 n 1
如果 x 1 0 ,则上式将导出矛盾: 是完全的,因而也是完备的。