泛函分析答案泛函分析解答(20200916132101)

第五章习题第一部分01-15

1. M为线性空间X的子集，证明span( M )是包含M的最小线性子空间. ［证明］显然span( M)是X的线性子空间.设N是X的线性子空间，且M N.则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) N.

所以span( M )是包含M的最小线性子空间.

2. 设B为线性空间X的子集，证明

n

conv( B) = { a i x i| a i 0,

i 1

n

［证明］设 A = { a i Xj a i 0,

i 1

n

a i= 1, x i B, n为自然数}.

i 1

n

a i = 1, x i B, n为自然数}.首先容易i 1

看出A为包含B的凸集，设F也是包含B的凸集，则显然有A F,故A为包含B的最小凸集.

3. 证明［a, b］上的多项式全体P［a, b］是无限维线性空间，而E = {1, t, t ,…，

t n，…} 是它的一个基底.

［证明］首先可以直接证明P［a, b］按通常的函数加法和数乘构成线性空间，而P ［a, b］中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合表示.

设C0, C1, C2, ..., C m是m+ 1 个实数，其中C m 0，m 1 .

m

若C n t n= 0，由代数学基本定理知C o = C1 = C2 = ... = C m = 0，n 0

所以E中任意有限个元素线性无关，故P［a, b］是无限维线性空间，而E是它的一个基底。

2 2

4. 在中对任意的x = ( X1, X2)，定义|| x || 1 = | X1 | + | X2 |，|| x

|| 2 = ( X12 + X22)1/2，|| x || = max{ | x 1 |, | X2 | }.证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的图形.

［证明］证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可.单位球图形略.

5. 设X为线性赋范空间，L为它的线性子空间。证明cl( L)也是X的线性子空间. ［证明］ x, y cl( L)， a ，存在L中的序列{ X n}, { y n}使得X n

x ，

y n y.

从而x + y = lim X n + lim y = lim ( X n + y n) cl( L)，a x = a lim X n = lim

(a X n ) cl( L).

所以cl( L)是X的线性子空间.

［注］这里cl( L)表示子集L的闭包.

6. 设X为完备的线性赋范空间，M为它的闭线性子空间，X0 M.证明：

L = { a X0 + y | y Ma }也是X的闭线性子空间.

［证明］若a, b ，y, z M 使得ax°+ y = bx°+ z，

则(a b) X0 = z y M，得到a = b，y = z；即L中元素的表示是唯一

的.

若L中的序列{ a n X0 + y n }收敛于X中某点z，则序列{ a n X0 + y n }为有界序列.

由于M闭，x o M,故存在r > 0，使得|| x o y || r, y M.则当

a n 0时有

| a n I = | a n I • r • (1/ r) | a n | • || x o + y n/a n || • (1/ r ) = ||

a n x o + y n || • (1/ r),

所以数列｛ a n ｝有界，故存在｛ a n ｝的子列｛ a n(k)｝使得a n(k) a .

这时y n( q = ( a n x o + y n) a. X o z a x o M.所以z L,所以L 闭.［注］在此题的证明过程中，并未用到“ X为完备的”这一条件.

7. 证明：a.在2中，|| ?|| 1, || ?|| 2与|| ?|| 都是等价范数；b. || ?|| i

与|| ?|| 2是等价范数的充要条件是：X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性. ［证明］a.显然|| x || || x || 2 || x || 1 2|| x || ，所以|| ?|| 1,

|| ?|| 2与|| ?||都是等价范数.b.必要性是显然的，下面证明充分性.首先inf ｛|| x || 21|| x || 1 = 1｝ O .

若inf ｛|| x || 2| || x || 1 = 1｝ = 0，则存在X中序列｛ X n｝，使得|| x n || 1 = 1, || X n || 2

0 .

而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而|| x n || 1 0 .

这矛盾说明inf ｛|| x || 21 || x || 1 = 1｝ = a > 0 .

对x X,当x 0 时，|| ( x/|| x || 1) || 1 = 1，所以|| ( x川x || 1) || 2

a.

故x X有 a || x || 1 || x || 2.

类似地可以证明存在b > 0使得b || x || 2 || x || 1, x X.所以两个范

数等价.

8. 证明：Banach空间m不是可分的.［证明见教科书p187,例3.5］

9. 证明：c是可分的Banach空间.［证明见第4章习题16］

10. 设X, Y为线性赋范空间，T B(X, Y).证明T的零空间N(T) = ｛ x X | Tx =0 ｝是X

的闭线性子空间.

［证明］显然N(T) = ｛ x X | Tx = 0 ｝是X的线性子空间.对x N(T)c, Tx 0,由于T是连续的，存在x的邻域U使得u U有Tu 0,从而U NT/ .故

N(T)c是开集，N［T)是X的闭子空间.

11.设无穷矩阵(a i j ) , ( i , j = =1,2,...) 满足sup

i

j

|a0 |

1

，定义算子T :

m m如下：y = Tx, i

j

a

ij j，其中x =(

1

i ), y = :( i ) m.证

明:T是有界线性算子，并且||T || sup |a j |。

i

j 1

［证明］因||Tx|| sup| a j j |

i

j 1

sup( |a ij | sup| j |)

i

j 1

j

(sup

i

j 1

|a j |) (sup| j |),

j