泛函分析答案泛函分析解答(20200916132101)

第五章习题第一部分01-15
1. M为线性空间X的子集，证明span( M )是包含M的最小线性子空间. ［证明］显然span( M)是X的线性子空间.设N是X的线性子空间，且M N.则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) N.
所以span( M )是包含M的最小线性子空间.
2. 设B为线性空间X的子集，证明
n
conv( B) = { a i x i| a i 0,
i 1
n
［证明］设 A = { a i Xj a i 0,
i 1
n
a i= 1, x i B, n为自然数}.
i 1
n
a i = 1, x i B, n为自然数}.首先容易i 1
看出A为包含B的凸集，设F也是包含B的凸集，则显然有A F,故A为包含B的最小凸集.
3. 证明［a, b］上的多项式全体P［a, b］是无限维线性空间，而E = {1, t, t ,…，
t n，…} 是它的一个基底.
［证明］首先可以直接证明P［a, b］按通常的函数加法和数乘构成线性空间，而P ［a, b］中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合表示.
设C0, C1, C2, ..., C m是m+ 1 个实数，其中C m 0，m 1 .
m
若C n t n= 0，由代数学基本定理知C o = C1 = C2 = ... = C m = 0，n 0
所以E中任意有限个元素线性无关，故P［a, b］是无限维线性空间，而E是它的一个基底。

2 2
4. 在中对任意的x = ( X1, X2)，定义|| x || 1 = | X1 | + | X2 |，|| x
|| 2 = ( X12 + X22)1/2，|| x || = max{ | x 1 |, | X2 | }.证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的图形.
［证明］证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可.单位球图形略.
5. 设X为线性赋范空间，L为它的线性子空间。

证明cl( L)也是X的线性子空间. ［证明］ x, y cl( L)， a ，存在L中的序列{ X n}, { y n}使得X n
x ，
y n y.
从而x + y = lim X n + lim y = lim ( X n + y n) cl( L)，a x = a lim X n = lim
(a X n ) cl( L).
所以cl( L)是X的线性子空间.
［注］这里cl( L)表示子集L的闭包.
6. 设X为完备的线性赋范空间，M为它的闭线性子空间，X0 M.证明：
L = { a X0 + y | y Ma }也是X的闭线性子空间.
［证明］若a, b ，y, z M 使得ax°+ y = bx°+ z，
则(a b) X0 = z y M，得到a = b，y = z；即L中元素的表示是唯一
的.
若L中的序列{ a n X0 + y n }收敛于X中某点z，则序列{ a n X0 + y n }为有界序列.
由于M闭，x o M,故存在r > 0，使得|| x o y || r, y M.则当
a n 0时有
| a n I = | a n I • r • (1/ r) | a n | • || x o + y n/a n || • (1/ r ) = ||
a n x o + y n || • (1/ r),
所以数列｛ a n ｝有界，故存在｛ a n ｝的子列｛ a n(k)｝使得a n(k) a .
这时y n( q = ( a n x o + y n) a. X o z a x o M.所以z L,所以L 闭.［注］在此题的证明过程中，并未用到“ X为完备的”这一条件.
7. 证明：a.在2中，|| ?|| 1, || ?|| 2与|| ?|| 都是等价范数；b. || ?|| i
与|| ?|| 2是等价范数的充要条件是：X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性. ［证明］a.显然|| x || || x || 2 || x || 1 2|| x || ，所以|| ?|| 1,
|| ?|| 2与|| ?||都是等价范数.b.必要性是显然的，下面证明充分性.首先inf ｛|| x || 21|| x || 1 = 1｝ O .
若inf ｛|| x || 2| || x || 1 = 1｝ = 0，则存在X中序列｛ X n｝，使得|| x n || 1 = 1, || X n || 2
0 .
而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而|| x n || 1 0 .
这矛盾说明inf ｛|| x || 21 || x || 1 = 1｝ = a > 0 .
对x X,当x 0 时，|| ( x/|| x || 1) || 1 = 1，所以|| ( x川x || 1) || 2
a.
故x X有 a || x || 1 || x || 2.
类似地可以证明存在b > 0使得b || x || 2 || x || 1, x X.所以两个范
数等价.
8. 证明：Banach空间m不是可分的.［证明见教科书p187,例3.5］
9. 证明：c是可分的Banach空间.［证明见第4章习题16］
10. 设X, Y为线性赋范空间，T B(X, Y).证明T的零空间N(T) = ｛ x X | Tx =0 ｝是X
的闭线性子空间.
［证明］显然N(T) = ｛ x X | Tx = 0 ｝是X的线性子空间.对x N(T)c, Tx 0,由于T是连续的，存在x的邻域U使得u U有Tu 0,从而U NT/ .故
N(T)c是开集，N［T)是X的闭子空间.
11.设无穷矩阵(a i j ) , ( i , j = =1,2,...) 满足sup
i
j
|a0 |
1
，定义算子T :
m m如下：y = Tx, i
j
a
ij j，其中x =(
1
i ), y = :( i ) m.证
明:T是有界线性算子，并且||T || sup |a j |。

i
j 1
［证明］因||Tx|| sup| a j j |
i
j 1
sup( |a ij | sup| j |)
i
j 1
j
(sup
i
j 1
|a j |) (sup| j |),
j
及 T 是线性的，所以 T 为有界线性算子， ||T || sup
|a ij |。

对任意的实数
i
j 1
u sup | a ij I ,存在自然数K 使得|a Kj | u 。

取X K
(J
m ，使得其第j 个
i j 1 j 1
坐标 j sgn(a©)，则 ||X K || 1，且 ||T X K || 心和。

所以 ||T ||
| u ，故
j 1
j 1
有 ||T II sup a I ，从而 ||T II sup
I a ij I 。

i
j 1
i
j 1
12.
设 S n ：l 2 丨2 满足对 X ( !，2， , n ，)丨'有
&(X )( n 1, n 2,)。

证明
S n 是有界线性算子，IIS n II 1。

[证明]显然S n 是线性算子。

因为I 〔S n (X )『 I k I "
I k I 2 IIX 『，X l 2，
k n 1
k 1
所以 IIS n (X)II IIXII ， X l 2 ， 可见 S n 是有 界线性算子 ， 且 IIS n II 1 。

令 X n (0,0,
0,1,0,
) (仅第 (n 1) 个坐标不为零)， 则 X n l 2 ， IIX n II 1 ，
S n (X n ) (1,0,
)， IIS n (X n )II 1。

所以 IIS n II supIIS n (X)II IIS n (X n )II 1。

IIXII 1
b
13.
证明C[a,b]上的泛函f(x) x(t)dt 是有界线性泛函，
且II f II b a 。

a
[证明]显然f 是线性泛函。

对
X C[a,b]有
bb I f(X)I I a X(t)dtI a IX(t)Idt (b a)t m [a a ,b X ]IX(t)I (b a)IIXII ，
a
a
t [a,b]
所以f 是有界线性泛函，且II f II b a 。

进一步，取x 0 C[a,b]使得x 0(t) 1， 则 II X o II
1。

得到 II f II sup I f (X ) I I f (X o ) I b a 。

IIXII 1
14. 取定t o [a,b]，在C[a,b]上定义泛函右如下：fjx) x(t 。

)。

证明人是有界
线性泛函， II f 1 II 1 。

[证明]显然f 1是线性泛函，由| fjx) | |x(t o ) | max | x(t) | ||x||，知h 有界 t [a,b] II f 1 II 1 。

取 x o C[a,b] 使 x o (t) 1 ， 则 IIx o II 1 ， 得 II f 1 II supI f 1(x)I I f 1(x o )I Ix o (t o )I 1。

IIxII 1
15. 证明： (l 1)* l 。

[ 证明] 任取 y ( i ) l ， 显然 f(x) i i 是 l 1 上有界线性泛函 ， 且 i1
|| f || ||y ||。

又取X k l 1使其第k 个坐标为1其余皆为0,则|| f || | f(xQ | | k I ， k 1,2,。

从而 || f || ||y||，进而 || f || ||y|| •
另一方面，设f 为l 1上有界线性泛函，令i f(X i )，则| i | II f II ||X i II II f II , i 1,2,，从而 y ( i ) l 。

对 X ( i ) l 1，我们令 u n ( 1, 2,
, n ,0,0,)，
n n
n
则 f (U n ) f(
i
X i )
i
f (Xj i i .
i 1
i 1
i 1
注意到在l 1中U n X ，以及f 为l 1上有界线性泛函, 故f(X) i i ,并且满足这样条件的y ( i ) I 是唯一的.
i 1
16. 证明：n 维线性赋范空间的共轭空间仍是一个 n 维线性赋范空间。

［证明］设X 是n 维线性赋范空间，｛ x 1, x 1, ..., X n ｝是它的一个基.
n
令 f i : X ? X 表示 f i ( a k x k ) a i , "i = 1,2,...
.
k 1
n
n
所以f
f(X k )f k 。

故X 为有限维空间，且维数不超过 n .若
C k f k 0，则
k 1
k 1
17. 证明：无穷维线性赋范空间的共轭空间仍是无穷维线性赋范空间。

［证明］设X 是无穷维线性赋范空间，由于典范映射 J : X ? X *是保范的线性 同构，故X *必定是无穷维空间.由前面的习题 16知道乂必然也是无穷维的.
18. 设X 是赋范空间，M 为X 的子集，x?X 。

证明：X? cl( span( M )的充分必要 条件
为"f ? X *，若 f ( M = 0 则 f (x) = 0 .
［证明］设X? cl(span( M)，则对"f ? X *,若f ( M = 0，由于f 是线性的和 连续的，自然有f (cl(span( M)) = 0 ，从而f (x) = 0 .
反过来，设 x?cl(span( M),贝U d(x, cl(span( M))) > 0.由 Hann-Banach 定理, 存在 f ? X ,使 f (cl(span( M)) = 0 ，且 f ( x) = d (x, cl(span( M)) > 0 , 得到矛盾.
19. 验证极化恒等式。

［证明］我们只对实内积空间来验证，对于复内积空间，方法是类似的. 2 2
|| X + y || - || X - y || = < X + y, x + y > - < x - y, x - y >
=(< x , x > + < x , y > + < y , x > + < y , y> ) - ( < x , x > - < x , y > -
< y , x > + < y , y >) =4< x , y > .
n
则 | f i ( a k X k ) | |a i |
k 1
lla i X i || l|X i ||
||a k X i ||，注意到 N (X )
k 1
||a k X i ||也是 X
k 1
上的范数，以及有限维线性空间上的范数都是等价的，故存在
M> 0 使得
N(x) M ||x||,所以 | f i (x) |
f n ｝是X *的一组基。

事实上,
II
||x||，所以 f i ? X *.下面证明｛ f 1, f 1,..., ||X i ||
* f ? X ,
n
f(
a k X k )
k 1
a k f(X k ) k 1
f (X k )f k ( a j X j ) (f (X k )f k )(
a j X j ),
k 1
j 1 C i
C k f k (X i )
k 1
n
(C k f k )(X i )
0,所以｛ f 1,
k 1
1
,...,
*
f n ｝线性无关，故X 维
20. 证明由内积导出的范数|| x || = <
x, x >1/2满足范数定义的三个条件
n N 1
［证明］前两个条件是显然的，我们只证明三角不等式•事实上, 以三角不等式成立.
21. 证明内积空间中的勾股定理。

［证明］设 X = X 1 + X 2，且 X i A
X 2 .则 < X 1, X 2> = < X 2, X I > = 0，所以
II X II 2 = II X i + X 2 II 2 = < X i + X 2, X i + X 2> = < X 1, X i > + < X 1, X 2 > + <
X 2, X i > + < X 2, X 2>
=< X 1, X > + < X 2, X 2> = II
X i II 2 + II X 2 II 2
.
22.设X 是内积空间， M, N X ，M N 。

证明：N
M 。

［证明］对X N ，
因MN ，得 X M ，故 X M ， 所以N M
23.设X 是内积空间， M, N
X ，M N 。

证明：N
M 。

［证明］ 对 X N ，由X N ，及M N ，知X M ，故X M 。

所以N M 。

24. 设H 为Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间。

证明：M (M ) ,M (M )。

［证明］对X M ，显然有X M ，从而X (M )，故M (M )。

若X M ， 由投影定理，设X X i X 2， 其中 X i M ，X 2 (M) ，且X 2 0。

此时X 2 M ，
故有
X, X 2
X i
X 2, X 2
2
X 2, X 2
II
X 2 II 0
，所以X (M )
，故
M (M )。

由23题结果，M
(M) ，而对 X M ， X M
，故X M ，所以X
(M ),
因此M (M)，
故有M (M)。

25. 设X 为内积空间，M 是X 的线性子空间，满足：对任何X X ，它在M 上的正 交
投影都存在。

―证明：M 是X 的闭线性子空间。

［证明］对X M ，由于存在它在M 上的正交投影，故可设X X i X 2，其中
X i M ， X 2 M 。

由 26题知 X 2 (M )，而 X 2 X X i M ，故 X 2
0，所以
X x i M ，因此
M M ，即M 为X 的闭子空间。

26. 设X 为内积空间，M 是X 的稠密子集，｛ e n ｝是X 的标准正交系。

证明：｛ e
n ｝完备的充要条件是在子集 M 上，Parseval 等式成立.
［证明］由｛ e n ｝完备性定义知必要性是显然的，下面证明充分性。

对 "X?X ，由 M 在X 中稠密，对任意的 0，存在y M ，使得IIx y II 2 , IIx 『II y 『 2。

而对于y M ，Parseval 等式成立，即II y 『 I y® I 2，存在自然数N 使得 n 1
F 面估计II X II 2 :
2
II X + y || = < x + y,
=II
y II £||
X II 2 + 2 Re(< X , 2
2
X II + 2 II X II 2 ---------------------------------------------------------
X + y > = II X II + < X , y > + X , y y >) + II y II 2 £II X II 2 + 2 I < X , II y II + II
2
y II = (II X II + II
+ II
y II y > I + II y II) 2•所
N N
■ 2
由 0的任意性，及 Bessel 不等式有IIx II
等式成立，所以｛ e n ｝是完备的标准正交系。

27. 设X 为内积空间，｛ e n ｝是X 的标准正交系。

证明："x, y?X ,都有
I x,e n
y,e n | ||x || ||y||。

n 1
［证明］ 由Cauchy-Schwarz 不等式，及Bessel 不等式，有
I x,e n
y,e n I J I x,e n |2 J | y,e n |2 ||x || ||y||。

n 1
? n 1 乞 n 1
28. 设H 为Hilbert 空间，｛ e n ｝是H 的标准正交系。

证明：｛ e n ｝是完全的的
充要条件是：对于"x, y?H,都有 x, y
x© y© 。

n 1
［证明］若｛ e n ｝是完全的，则它是完备的.于是"x, y?H 总有x x© e n ，
n 1
y
n 1
y,e n
e
n ，
计算 x, y 的内积得：
x, y
x,e n
e
n
,
y ,
e
m
e
m
x,e n e
n
,
y
, U m
e
m
n 1
m 1
n 1
m
1
x,e n
e
n
, y, e n e n x,e n
y,e n
e
n ）e n
n 1
n 1
x,
e
y,e n。

n 1
反过来， 若"x, y?H 都有 x, y x,e n y,e n
，令y =x ，贝U 有 Parseval
n 1 等式成立，从而｛ e n ｝是完备的，所以在Hilbert 空间H 中｛ e n ｝是完全的。

29. 设H 为Hilbert 空间，｛ e n ｝，｛~J 是H 的两个标准正交系，其中｛ e n ｝是
完备的，并且它们满足条件
||e n e n II 2 1，并且。

证明：｛e n ｝也完备的。

n 1
I IxI I 2 I IyI 2 - I y,e n I 2
2 n 1
N
I x,e n
,n 1 N
I x,e n I 2
n 1
I 2
I x,e n
n 1
_______ 2
N
I x y,e n I 2
n 1
2||x|| ||x
y||
||x y 『
x y,e n I
（三角不等式）
N
（用 I u,e n I 2 I Iu I 2放大）
n 1
I x,e n I 2
n 1
（I IxI I
4 1），
I x,e n I 2。

即"x?X ，Parseval
n 1
［证明］对"x?H,若x ｛e n｝，由于｛ e n ｝是完备的，所以
N N
■ 2
e ~n |2 || x ||2 ||e n e ~n ||2 || x ||2 ||e n e ~n ||2
n 1 n 1
|| x || < || x || ，故必有 x = 0．所以 {e ~n }
30. 设H 为Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间，f 是M 上的有界线性泛函.证明： 存
在f 在H 上的唯一的延拓F ,使得|| F || H = || f || M .
［证明］首先，存在f 在L = ci ( M 上的唯一的延拓g ,使得g 为L 上的有界线 性泛函，并且|| g || = || f || .若L = H 则结论显然成立.
若L 1 H,在L 上用Rieze 表示定理，$u ?L ，使得g(x) = < x, u>，对"x? L . 在H 上定义F(x) = < x, u>，"x? H .则F 为H 上有界线性泛函，且
|| F || H = || u || = || g || L = || f || M ,而且 F 是 g 的延拓，因而 F 也是 f 的延拓. 若G 也是f 的满足条件的延拓，用Rieze 表示定理， 存在$v ?H ，使得 qx) = < x, v>，"x? H .
因f 在L 上的的延拓唯一，故 G L 作为L 上的有界线性泛函就是g ，
故"x? L ，<x, v> = qx) = g(x) = < x, u>，所以 <x, v - u> = 0，即 v - u A
L ．
2 2 2
因 u ? L .由勾股定理，|| v || = ||( v - u) + u || = || v - u || + || u
|| 2．
2
而|| u || = || F || H = || f || M = || G|| H = || v || ，故|| v - u || 2 = 0 ， 即 V = u .
从而G = F ,即f 在H 上的满足条件的延拓是唯一的.
|| x ||2 | x,e n |2
| x,e n
n 1 n 1
如果 x 1 0 ，则上式将导出矛盾： 是完全的，因而也是完备的。