数字信号处理之离散傅里叶变换

数字信号处理之 离散傅里叶变换
要点
计算机分析连续信号频谱遇到的问题 离散傅里叶变换的引出及本质 用离散傅里叶变换分析平稳信号 离散傅里叶变换在分析非平稳信号的应用—短时离散傅里叶变换
1.计算机分析连续信号频谱遇到的问题
连续时间傅里叶变换
采Leabharlann Baidu变成离散序列 连续频谱
冲激串采样 冲激采样 频谱
注意！采样点N需要大于等于序列有效长度L，否则x[n]进行长度N的周期延拓将发生混叠
至此，已知有限长序列x[n]连续频域0-2π的N点采样值能完全表征x[n]，我们将建立起它们的直
接联系—有限长序列x[n]的
N点离散傅里叶变换
观察有限长序列x[n]的离散时间傅里叶变换
可以发现
所以有限长序列x[n]的N点DFT的本质就是x[n]连续频谱0-2π内的N点采样值
先看一个长度为5的有限长序列x[n]
在x[n]连续频谱0-2π采样10点
对x[n]作N=10的周期延拓
上图周期序列的离散傅里叶级数
现在把这两幅图单独拿出来
x[n]连续频谱在0-2π内采样10个点
将x[n]进行长度为10的周期延拓形 成的周期序列的离散傅里叶级数
细心的你不难发现！！！！
x[n]连续频谱0-2π上10点采样值=将x[n]进行长度10的周期延拓形成周期序列的离散傅里叶级数前10 个值
改变N值的影响
5点DFT
10点DFT
20点DFT
3.用离散傅里叶变换分析连续平稳信号
抗混叠低通 滤波器
连续—离散 时间转换
加 窗 ×
DF T
连续时间信号的傅里叶分析处理步骤
处理步骤中傅里叶变换说明
2 14 2 1 25
0
对不同的窗设计合适的参数使得在主瓣宽度和主瓣旁瓣的相对幅度间取得折衷的效果是设计窗 函数的关键。
Thank you
采样序列 采样序 列频谱
离散时间傅里叶变换
用计算机处理离散时间傅里叶变换面临的两点问题 1. 频谱的计算需要所有的n值 2. 频域是连续的
解决这两个问题的思路 1. 用部分n值代替全部n值（频谱近似）—加窗 2. 用0-2π频域的采样值代替连续频域（完全表征原信号x[n]）—离散傅里叶变换
2.离散傅里叶变换的引出及本质(问题2)
128点DFT 可以看出加窗过后提高DFT点数 只是得到较密的傅里叶变换， 但是频谱中并不能分辨出原信 号x[n]的尖峰 1024点DFT
4.离散傅里叶变换在分析非平稳信号的应用—短时离散傅 里叶变换
非平稳信号的定义：信号特性（振幅、频率、相位）随时间变化的信号，如雷达、声呐、语音等等
短时傅里叶变换的做法：用移动窗依次取出信号的一部分，窗内信号的频谱特性可以认为是平稳的，然后对 窗内信号做DFT，得到X[n, k]。这里面涉及3个参数：窗的长度L，平滑移动距离R，DFT点数。
L=12，R=8
X[n,k]
窗的长度L越长对频率分辨率越高，但是反应信号特性随时间变化的能力减弱，
需要根据实际情况折衷选择。
语音信号实例
语音信号的短时离散傅里叶变换图谱。这个窗比较短（L=108的汉明窗），导致频率 分辨率低，而时域分辨率高
语音信号的短时离散傅里叶变换图谱。这个窗比较长（L=720的汉明窗），导致频率分 辨率高，而时域分辨率低
我们在脑海中可以建立这样的过程 有限长序列x[n] 进行长度为N的周期延拓 求取傅里叶级数 级数前N个值 得到x[n]连续频域0-2π的N点采样值
取傅里叶
现在面临的问题：有限长序列x[n]连续频域的N点采样值能否完全表征x[n]？ 可以！！让我们进行上面过程的逆过程 将N点采样值进行长度为N的周期延拓 形成傅里叶级数 进行傅里叶级数 反变换 形成周期为N的周期序列 取周期序列前N个值 得到有 限长序列x[n]
需要注意的是窗函数设计好加到原序列x[n]后，提高DFT的点数并不能提高频率分辨率。 考虑
x[n] cos(
2 4 n) 0.75cos( n)（ △=0.389），使用L=32和β=5.48（即△ml=0.815， 14 15
Asl=-40dB)的Kaiser窗的情况
32点DFT
64点DFT