全微分方程及积分因子

全微分方程及积分因子

内容：凑微分法，全微分方程的判别式，全微分方程的公式解，积分因子的微分方程，只含一个变量的积分因子和其他特殊形式的积分因子。由于有数学分析多元微积分的基础，本节的定理1可以简化处理。对课本中第三块知识即全微分方程的物理背景可以留到后面处理，对第四块知识增解和失解的情况要分散在本章各小节，每次都要重视这个问题。关于初等积分法的局限性可归到学习近似解法时一起讲解。

重点：全微分方程的公式解和积分因子的计算，难点为凑微分法和积分因子的计算。 习题1(1,3,5)，2，3

思考题：讨论其他特殊形式的积分因子。

方程：0),(),(=+dy y x N dx y x M

判定：全微分⇔

x N y M ∂∂≡∂∂ 解法：C dy y x N dx y x M y

y x x =+⎰⎰00),(),(0

初值问题0=C 积分因子：

x N y M y M x N ∂∂-∂∂=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂μμμ1 )(x μ： N

x N y M dx d ∂∂-∂∂=μμ1 )(y μ： M

x N y M dy d ∂∂-∂∂-=μμ1

1．解下列方程：

1）0)(222=-+dy y x xydx 解：

x N y M ∂∂≡∂∂=x 2 ⎰⎰=-+x y

C dy y xydx 002)0(2既

C y y x =-3/32

2）0)2(=+---dy xe y dx e y

y

解：

x N y M ∂∂≡∂∂=y e -- ⎰⎰=-+-y

x y C dy y dx e 00)2(既C y xe y =--2

3）0)1(222=---+dy y x dx y x x 解：

x N y M ∂∂≡∂∂=y x --221 ⎰⎰=---+x y

C dy y dx y x x 002)1(2

C y y y x x =-+---+23232322

)(32)(32)(32 既C y x x =-+2322

)(32 4）0)ln (3=++dy x y dx x

y 解：

x N y M ∂∂≡∂∂=x 1 C dy y dx x

y y x =+⎰⎰030既C y x y =+4/||ln 4 5）05233

3222=+-+dy y y x dx y y x 解：

x

N y M ∂∂≡∂∂=326--y x ⎰⎰=-+-x

y C dy y dx y

y x 00222253 C y x y x =++-/523

6）02cos )2sin 1(2=-+xdy y dx x y 解：

x N y M ∂∂≡∂∂=x y 2sin 2 C ydy dx x y x y

=-+⎰⎰002)2sin 1(

C y y x y x =-+-22221212cos 21 C x y x =-2cos 2

12 2．求下列方程的积分因子和积分： 1）0)(22=+++xydy dx x y x 解：N x

y y y x N y M 12==-=∂∂-∂∂ 1let 11==⇒=C Cx x

dx d μμμ既 x x =)(μ

C dy dx x xy x y

x

=+++⎰⎰002230)( C x y x x =++32243

12141 2）0)3()22(224234=--+++dy x y x e y x dx y xy e xy y y 解：1682234+++=∂∂-∂∂xy e xy e xy x

N y M y y M y

xy e xy xy e xy y y 4488 3

22 2324=

++=++- y dy d 41-=μμ4)(-=⇒y y μ ⎰⎰=+++-x

y

y C dy dx y y x xe 0030)/22( C xy y x e x y =++-322/

3）0)(344=-+dy xy dx y x

解:N x

y y x N y M 5433-=+=∂∂-∂∂ 5)(51-=⇒-=x x x

dx d μμμ C dx yx x x =+⎰

--051)(既C x y x =-4

4ln

4）0)(2)2242(2342223=+++++++dy x y x y dx y xy xy y x y x

解:24444323++++=∂∂-∂∂xy xy x y x x

N y M 24--xy xN

xy x y x 24443

23=++=

2)(21x e x x dx d =⇒=μμμ ⎰⎰=+++++y

x x C dy y dx y xy xy y x y x e 030422232)2242(2 {}{}{}{}{}

C y dx ye y e y y e y dx ye xye y e y e

y x x x x x x x x x x =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+-++-⎰⎰2/2212

122404422022222222222 C e y xy y x x =⎪⎭⎫ ⎝

⎛++2422212 3．求下列方程的积分因子：

1）0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 解：)

()(1),(y N x P y x =μ 2）dx x f y x p dy )]()([+= 解：N x p x

N y M )(-=∂∂-∂∂ 所以⎰=⇒-=-dx x p e x x p dx

d )()()(1μμμ 3）)1,0( ])()([≠+=n dx y x q y x p dy n 解：⎰=-dx x p n n

e y u x )()1(1),(μ 4．设)(),(21z

f z f 连续可微，