函数求值域15种方法

函数求值域15种方法

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

基本知识

1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2.函数值域常见的求解思路：

⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。

⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。

特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。

⑷可以用函数的单调性求值域。

⑸其他。

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域

例1. 求函数的值域。

解：∵∴

显然函数的值域是：

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2. 求函数的值域。

解：将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，

故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法

例3. 求函数

的值域。

解：两边平方整理得：（1）

∵∴

解得：

但此时的函数的定义域由，得

由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比

y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵∴

∴代入方程（1）

解得：即当时，

原函数的值域为：

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4. 求函数值域。

解：由原函数式可得：

则其反函数为：

，其定义域为：

故所求函数的值域为：

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例5. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：

即

∵∴

即解得：

故函数的值域为

6. 函数单调性法

例6. 求函数的值域。

解：令则在[2，10]上都是增函数

所以在[2，10]上是增函数

当x=2时，

当x=10时，

故所求函数的值域为：

例7. 求函数的值域。

解：原函数可化为：

令，显然在上为无上界的增函数

所以，在上也为无上界的增函数

所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值

显然y>0，故原函数的值域为

7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作

例8. 求函数的值域。

解：因

即

故可令

∴

∵

∴

∴

故所求函数的值域为

例9. 求函数的值域。

解：原函数可变形为：

可令，则有

∴

当时，

当时，

而此时有意义。

故所求函数的值域为

例10. 求函数，的值域。解：

令，则

由且

可得：

∴当时，，当时，

故所求函数的值域为。

例11. 求函数的值域。

解：由，可得

故可令

∵∴

当时，

当时，

故所求函数的值域为：

8. 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例12. 求函数的值域。

解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8|

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(-8)间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10

故所求函数的值域为：

例13. 求函数的值域。

解：原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，

，

故所求函数的值域为

例14. 求函数的值域。

解：将函数变形为：

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。即：y=|AP|-|BP|

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P'，则构成△ABP'，根据三角形两边之差小于第三边，有

即：

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

综上所述，可知函数的值域为：

注：由例13，14可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：例13的A，B两点坐标分别为：（3，2），(-2,-1)，在x轴的同侧；例14的A，B两点坐标分别为（3，2），(2,-1)，在x轴的同侧。

9. 不等式法

利用基本不等式