第三章测度

第三章可测集合

一、内容结构

在R积分的情形，被积函数的定义域是区间或简单区域, 定义域的度量有明确的意义——长度、面积或体积。在实变函数论中，被积函数的定义域是可测点集，推广积分的概念，首先要定义一般点集的度量，就是本章讨论的集合测度。

测度理论的建立有多种方法，不同的实变函数教材引入的方法有所不同，本章为了更直观、更好地理解掌握L积分，通过测度理论的建立推广R积分的数学思想与方法，直接从L测度的引入建立测度理论。对于可测集合性质，主要讨论可测集合的充要条件、零测度集及其性质、可测集合的运算性质、可测集合与Gδ型集、Fδ型集的关系、最常用的可测集类型。

主要内容：勒贝格外测度的定义及其基本性质；勒贝格可测集及其基本性质；勒贝格可测集类；开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集、Borel集之间的联系。

基本要求：理解勒贝格可测集的定义及其几何意义、勒贝格测度及其基本性质，特别是可数可加性；掌握怎样用开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集刻画勒贝格可测集；可测集合的类型与充要条件。

二、主要的数学思想与方法

1、从长度、面积、体积到一般点集测度概念由内、外测度建立的思想与方法。

2、Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度 m

*

,然后通过条

件m* A = m

*

A 定义可测集， Caratheodory 给出的可测集的导入法：m*T = m * (T∩E ) + m *(T∩CT) (∀T)

称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。

两种定义引入的背景、相互间的关系、在学习讨论可测集相关性质等问题时的意义与作用。

3、合列极限定义的思想与方法。

4、零测集的引入及其在实变函数学习中的意义与作用。

5、一般可测集由G

δ集、F

δ

集、零测集构成的思想与方法。

三、疑难点学习方法

（一）直线上有界点集的测度

点集的测度更着重于直线上有界点集的测度。

用构造的方法来讲解点集的测度，从中我们可以学到一种成套理论的模型。先从最简单的开集测度出发，再学习闭集的测度、一般点集的内测度与外测度及可测集合。

点集的测度，抽象之后是长度、面积、体积概念的推广，它与长度、面积、体积性质保持一致性，它的三条基本性质：非负性、单调性、次可加性体现相关属性。点集的测度与空间维数直接相关，这好比一维空间中有限区间的长度不等于零，但有限区间置于平面上其面积等于零，这条性质学习时要很好理解。

点集测度构造性定义过程是繁杂的，我们可以从中学习处理问题的思想与方法，但论证问题时应用构造性定义是极不方便的，应用可测集的等价定义: 对于任意集合E是可测的，即对任一点集T,有

m* T = m * (T∩E ) + m * ( T∩CE)

等价定义形式简洁,论证问题使用方便,注意它在论证问题中的应用。

由可测集的基本性质知道，可测集关于差集与可列并的运算是封闭的，可以说，一切可测集所成的类构成一个集合的环。由此可推知，可测集关于交运算也是封闭的。这样，在可测集运算类中进行运算是相当方便的。有的实变函数教材由抽象测度定义直接引入点集测度。抽象测度概括了可测集的最一般特征，同时能把种种具体的测度作为特例。

（二）零测度集

零测度集是一类特殊的点集，其任意的子集、可数个之并仍保持零测度集的性质。

由零测度集，引入了实变函数中特有的“命题几乎处处成立”的重要概念，它揭示了实变函数中许多重要结论的本质，可测集、可测函数、可测函数列、L积分等，有关的性质与关系，几乎都与零测度

在本章的学习中，一定要熟记零测度集的典型类型与特例，为往后各章的学习奠定基础。

（三）测集的结构

以开集、闭集为对象，经过至多可数次并或交的运算所得集称为Borel集。

通过学习可知，凡Borel集都可测，但反之不成立，亦并非L可测集都是Borel集。但每个可测集E与Gδ型集、Fδ型集仅相差一个零测度集。这揭示了可测集的一种结构，一切可测集可由Gδ型集、Fδ型集及零测度集所生成。

四、专题选讲

㈠点集测度的定义

1、点集测度的引入

测度论与可测函数是L 积分的中心内容，是互相联系的两个方面。测度理论是建立L 积分的理论基础，可测集是L 积分的积分范围，可测函数是L 积分的积分函数。点集测度是连续区域中长度、面积、体积概念的推广。直观地说，点集的测度就是定义点集对应的非负实数对点集进行度量，进而把R 积分推广到L 积分。

对于一般的点集E ，怎样定义它的度量，即怎样定义点集的测度呢？由下例看到，直接应用区间长度的定义方法来解决一般点集的测度是行不通的。

例1 设E 是[0，1 ] 中有理点集，用分点

0 = x 0 ＜x 1 ＜x 2 ＜…＜ x n-1 ＜ x n = 1

将区间[0，1 ]分成一些小区间，如果把与E 有公共点的区间长度的和，当 max (x i –x i-1 )→0（1≤i ≤n ）时的极限作为E 的测度，由有理数的稠密性，得E 的测度等于1。另一方面，对[0，1 ]上的无理点集[0，1 ] – E=S ，按上述同样的方法，其测度也等于1。由于E 与S 不相交，其并为[0，1 ]，由上得矛盾式子：1= 1+1。

点集测度不能直接应用区间长度进行定义，而通过区间与点列的联系——区间列覆盖点集中的点，先由区间的长度定义开集、闭集的测度，进而再定义有界点集的测度、一般点集的测度。

2、点集测度的定义

定义1(有界开集的测度) 设G 为有界非空开集，且G n R ⊂, 由

开集的构造定理, 设G 有结构表示： G =

n

k k k

1

),(=βα

其中，),(k k βα 互不相交，它们是G 的构成区间。则开集G 的L 测度定义为它的一切构成区间长度的和，并记为mG , 有