第三章测度

第三章可测集合
一、内容结构
在R积分的情形，被积函数的定义域是区间或简单区域, 定义域的度量有明确的意义——长度、面积或体积。

在实变函数论中，被积函数的定义域是可测点集，推广积分的概念，首先要定义一般点集的度量，就是本章讨论的集合测度。

测度理论的建立有多种方法，不同的实变函数教材引入的方法有所不同，本章为了更直观、更好地理解掌握L积分，通过测度理论的建立推广R积分的数学思想与方法，直接从L测度的引入建立测度理论。

对于可测集合性质，主要讨论可测集合的充要条件、零测度集及其性质、可测集合的运算性质、可测集合与Gδ型集、Fδ型集的关系、最常用的可测集类型。

主要内容：勒贝格外测度的定义及其基本性质；勒贝格可测集及其基本性质；勒贝格可测集类；开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集、Borel集之间的联系。

基本要求：理解勒贝格可测集的定义及其几何意义、勒贝格测度及其基本性质，特别是可数可加性；掌握怎样用开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集刻画勒贝格可测集；可测集合的类型与充要条件。

二、主要的数学思想与方法
1、从长度、面积、体积到一般点集测度概念由内、外测度建立的思想与方法。

2、Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度 m
*
,然后通过条
件m* A = m
*
A 定义可测集， Caratheodory 给出的可测集的导入法：m*T = m * (T∩E ) + m *(T∩CT) (∀T)
称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。

两种定义引入的背景、相互间的关系、在学习讨论可测集相关性质等问题时的意义与作用。

3、合列极限定义的思想与方法。

4、零测集的引入及其在实变函数学习中的意义与作用。

5、一般可测集由G
δ集、F
δ
集、零测集构成的思想与方法。

三、疑难点学习方法
（一）直线上有界点集的测度
点集的测度更着重于直线上有界点集的测度。

用构造的方法来讲解点集的测度，从中我们可以学到一种成套理论的模型。

先从最简单的开集测度出发，再学习闭集的测度、一般点集的内测度与外测度及可测集合。

点集的测度，抽象之后是长度、面积、体积概念的推广，它与长度、面积、体积性质保持一致性，它的三条基本性质：非负性、单调性、次可加性体现相关属性。

点集的测度与空间维数直接相关，这好比一维空间中有限区间的长度不等于零，但有限区间置于平面上其面积等于零，这条性质学习时要很好理解。

点集测度构造性定义过程是繁杂的，我们可以从中学习处理问题的思想与方法，但论证问题时应用构造性定义是极不方便的，应用可测集的等价定义: 对于任意集合E是可测的，即对任一点集T,有
m* T = m * (T∩E ) + m * ( T∩CE)
等价定义形式简洁,论证问题使用方便,注意它在论证问题中的应用。

由可测集的基本性质知道，可测集关于差集与可列并的运算是封闭的，可以说，一切可测集所成的类构成一个集合的环。

由此可推知，可测集关于交运算也是封闭的。

这样，在可测集运算类中进行运算是相当方便的。

有的实变函数教材由抽象测度定义直接引入点集测度。

抽象测度概括了可测集的最一般特征，同时能把种种具体的测度作为特例。

（二）零测度集
零测度集是一类特殊的点集，其任意的子集、可数个之并仍保持零测度集的性质。

由零测度集，引入了实变函数中特有的“命题几乎处处成立”的重要概念，它揭示了实变函数中许多重要结论的本质，可测集、可测函数、可测函数列、L积分等，有关的性质与关系，几乎都与零测度
在本章的学习中，一定要熟记零测度集的典型类型与特例，为往后各章的学习奠定基础。

（三）测集的结构
以开集、闭集为对象，经过至多可数次并或交的运算所得集称为Borel集。

通过学习可知，凡Borel集都可测，但反之不成立，亦并非L可测集都是Borel集。

但每个可测集E与Gδ型集、Fδ型集仅相差一个零测度集。

这揭示了可测集的一种结构，一切可测集可由Gδ型集、Fδ型集及零测度集所生成。

四、专题选讲
㈠点集测度的定义
1、点集测度的引入
测度论与可测函数是L 积分的中心内容，是互相联系的两个方面。

测度理论是建立L 积分的理论基础，可测集是L 积分的积分范围，可测函数是L 积分的积分函数。

点集测度是连续区域中长度、面积、体积概念的推广。

直观地说，点集的测度就是定义点集对应的非负实数对点集进行度量，进而把R 积分推广到L 积分。

对于一般的点集E ，怎样定义它的度量，即怎样定义点集的测度呢？由下例看到，直接应用区间长度的定义方法来解决一般点集的测度是行不通的。

例1 设E 是[0，1 ] 中有理点集，用分点
0 = x 0 ＜x 1 ＜x 2 ＜…＜ x n-1 ＜ x n = 1
将区间[0，1 ]分成一些小区间，如果把与E 有公共点的区间长度的和，当 max (x i –x i-1 )→0（1≤i ≤n ）时的极限作为E 的测度，由有理数的稠密性，得E 的测度等于1。

另一方面，对[0，1 ]上的无理点集[0，1 ] – E=S ，按上述同样的方法，其测度也等于1。

由于E 与S 不相交，其并为[0，1 ]，由上得矛盾式子：1= 1+1。

点集测度不能直接应用区间长度进行定义，而通过区间与点列的联系——区间列覆盖点集中的点，先由区间的长度定义开集、闭集的测度，进而再定义有界点集的测度、一般点集的测度。

2、点集测度的定义
定义1(有界开集的测度) 设G 为有界非空开集，且G n R ⊂, 由
开集的构造定理, 设G 有结构表示： G =
n
k k k
1
),(=βα
其中，),(k k βα 互不相交，它们是G 的构成区间。

则开集G 的L 测度定义为它的一切构成区间长度的和，并记为mG , 有
mG =
∑=-n
k k k
1
)(αβ
， 且mG< ∞ 。

定义2 (有界闭集的测度) 设F 为有界非空闭集，任取一个包含F 的开区间（a,b ）, 令G = （a,b ）- F , 则G 为有界开集，定义闭集F 的测度为：
m F= b – a – mG
注1 有界闭集测度的定义, 通过“任取一个包含F 的开区间”而转换为已有开集的测度。

注2 从几何上明显看出有界闭集F 的测度与区间（a,b ）选择无关。

定义3 (有界点集E 的L 外测度) 设E 为有界集，所有包含E 的开集的测度集合的下确界，称为E 的L 外测度,并记为m*E ，有
m*E = },|:|inf{inf 1
1
∑∞
=∞
=⊃⊂
=i i i
i i F
G I
E I I mG 为开集
注1 外测度定义的等式,是一个实数子集对应的下确界，而这个实数子集是由覆盖E 的开集簇的测度而确定。

注2 由于{G ：G 为开集，G ⊃E}是非空的，例如包含E 的开区间便属于这个类。

同时开集的测度已有定义，故数集{mG ：G 为开集，G ⊃E }的下确界有意义，并且 0 ∞<≤E m * 。

定义4 (有界点集E 的L 内测度) 所有含于E 中闭集的测度构成集合的上确界称为E 的内测度，并记为m *E ，有
m *E = ∑∞
=⊂⊃
=i
i i
i E
F I
E si s m
F },|:|sup{sup 1
为闭集
注1 类似定义3的讨论，m *E 有定义，且0≤m *E<∞。

注2 由定义3、定义4，有F ⊂E ⊂G ，有m *E ≤ m*E
即 任何有界集的内测度均不超过外测度。

注3注意理解、掌握L外测度与内测度定义的思想与方法：外测度——G覆盖E，取开集、下确界；
内测度——F含于E，取闭集、上确界。

注4 由L外测度与内测度引入L测度的思想，类似于初等数学中圆面积定义为包含圆的外切多边形的面积与内接于圆内多边形的面积的共同确界。

在数学分析的定积分中，曲边梯形的面积定义为包含该曲边梯形的阶梯形面积（大和）与含于该曲边梯形内的阶梯形面积（小和）的共同确界。

由此有：
定义5 (有界点集E的L测度) 设E是有界点集，当m*E = m
E
*时，称E为勒贝格可测集，简称L可测集。

这时E的外测度与内测度的共同值称为E的测度，记为mE。

定义6 (无界点集E的L测度) 设E是无界点集，若对于任何开区间I，有界集E⋂I都是可测的，称E是L可测的。

上述测度的定义过程，有界集与无界集有不同的方法，而且由内、外测度存在且相等得L测度，理论上给出了L测度的构造，但使用起来很不方便。

下面的等价定义更加简洁，使用方便。

定义7 设E是给定点集，如果对任一点集T，有
m*T = m*(T⋂T ) + m*(T⋂CE)
则称E是L可测集，这时E的L外测度又称为E的L测度，记为mE。

注定理7给出的可测集定义，不区分E的有界、无界，也不讨论E的内、外测度，只要对任意点集T等式成立，则E是L可测集。

有的实变函数教材取此定义作为E可测的充要条件。

在对可测集性质与结构的论证中，更多地使用该定义。

3、几点说明
（1）L测度具有的三条基本性质，是集合测度的特征：非负性、单调性、次可加性，由此保证了L测度与区域长度、面积、体积的一致性，又解决了一般点集的测度定义。

例1 证明：在R2中，三角形的测度等于它的面积。

证明：显然，R2中任意三角形都是可测集。

由于测度的平移不变性，故不妨假设三角形的一个顶点在原点，记三角形为T ，其面积记为|T|，因为
m (T) = m(-T)
所以经平移后可得 2 m (T) = m (T) + m (-T) = m (P)
其中，P 是平行四边形。

再将P 中的子三角形作平移，可使P 转换为矩形Q ，且有
m (P) = m (Q) = |P| = 2 |T|,
从而，得 m ( T ) = |T| .
例2 证明 ：圆盘 D = { (x,y)| x 2+y 2≤ r 2}是R 2中的可测，且m (D) = πr
2
证明: 记P n 与Q n 为D 的内接与外切n 边正多边形, 由P n 与Q n 的可测性易知D 是可测集.又Pn ⊂ D ⊂ Qn,且
m (P n ) =πr
2
n n
ππ)
sin(
cos
−→−n
π
πr
2
(n →∞)
m (Q n ) =πr
2
n
n
ππ)
tan(
→ πr
2
(n →∞)
所以 m (D) =πr
2
.
(2) 点集的测度与空间维数有关。

在同一个点集上，可以定义不同的测度。

对于同一个测度、同一个点集，置于不同维数的空间中它的测度是不同的。

例3 A = [ 0 ，∞ ] , 在R 中, mA = ∞, 在R 2 中, m A = 0 . 例4 R 中的任一子集于R 2
可测，且测度为0 .
(3) L 测度通过对一般的点集进行度量，解决了新的问题。

例5 设E 为[0 ，1 ] 中的全体有理数，则mE = 0 . 证明：∀ε>0, E 可数，设 E = {r 1, r 2, r 3, … }
令 I i = （ r i -12
+i ε ，r i + 12
+i ε
）
有| I i | =
i
2
ε
，且 E ∞
=⊂
1
i Ii
而
∑∑∞=∞
===1
12
||i i i
Ii εε
mE ≤ inf
∑∞
=1
||i Ii
所以 mE = 0 .
例6 Cantor 集合为零测度集。

证明：设C 是Cantor 集，P 0是[0，1 ]上C 的余集，即是构造 时每次去掉的开区间，有C = [ 0，1]\C
P 0
的测度： m P 0
=
1 (3)
2 (3)
23
23
11
3
22
=++
++
+
+n n
所以，m C = m [0,1] - m P 0
= 1 – 1 = 0 .
由例5、例6得出，集合的测度与集合的可数性是不同的两类问题，零测度不能区分集合的可数性与不可数性。

(二) 可测集合的主要性质
1、 可测集合的基本性质
定理1 （外测度性质）集E n R ⊂ ，有
（1） 非负性： m*E ≥0, m*(Φ ) = 0 ;
（2） 单调性： 若E 1< E 2 , 则 m* E 1≤ m*E 2 ;
（3） 次可加性：m*( ∞
=∞
=∑≤
1
1
)i i mEi
Ei .
证明：（1）从定义直接得出。

（2）这由E 2 的每一个L 覆盖都是E 1的L 覆盖得证。

（3）不妨设∑∞
=∞<1
,)(*i Ei m ，对任意的ε>0,以及每个自然数
i, 存在Ei 的L 覆盖{ Ii,k }, 使得
Ei
∞
=⊂
1
,i k Ii ,∑∞
=k
i k Ii |,| < m* (Ei) +
i
2
ε
,
由此可知，,,1
,1
∞=∞=⊂
k i i k Ii Ei ，∑∑∞
=∞=+≤1
1
,)(*|,|i k i Ei m k Ii ε
，
有{ I i,k | I,k=1,2,……}是 ∞
=1
i Ei 的L 覆盖，从而有
m* ∞
=1
i Ei ≤
∑∞
=+1
)(*i Ei m ε
,
由ε的任意性，定理得证。

定理2 （测度的平移不变性）设E R
⊂n
，x 0∈ R n , 记 E + { x 0 }
= {x+ x 0 , x ∈E }，则 m* {E + { x 0} } = m* (E ) .
证明：首先，对于R n中的开矩体I，易知I+ {x0}仍是一个开矩
体，且各相应的边长长相等，有| I | = | I+ {x0} | 。

其次，对E的任意L覆盖I k, { Ik+ { x0} } 仍是的L覆盖，从而
由m*( E+ {x0} ) ≤∑∞
=
+
1
|}
{
|
k
k
k
x
I= ∑
∞
=1
|
|
k
k
I
对一切L覆盖取下确界，可知，m*( E+ { x0} ) ≤m*(E) .
反之，考虑对E+ x0作一x0平移的向量，可得已有的点集E，
同理又有：m*(E) = m* (E+ { x0 } ) .
定理意义：一个可测集不论其平移到何位置，其测度不变。

2、可测集的充要条件
定理3 E可测的充分必要条件是,
,CE
B
E
A⊂
⊂
∀有
m*(A∪B ) = m*A + m* B.
证明：必要性。

取T= A∪B , 则T∩E= A, T ∩CE = B ,
m*T = m*( A∪B )
= m*( T∩E ) + m* ( T∩CE )
= m*A + m* B
充分性。

∀T，令A= T∩E，B= T∩CE ，
则A⊂E, B ⊂CE, 且A∪B =T，有
m* T = m*(A∪B ) = m*A + m* B.
= m*( T∩E ) + m* ( T∩CE )
即E可测。

定理4 E可测的充分必要条件是C E 可测。

证明：∀T，m*T = m*( T∩E ) + m* ( T∩CE )
= m*( T∩C(CE) ) + m* ( T∩CE )
定理证毕。

定理5 有界集E可测的充要条件是ε
∀>0，存在开集G⊃E与闭集F⊂E，使m (G – F )<ε.
证明：必要性。

设E可测，m*E = m
*
E ,
由内外测度的定义，对ε
∀> 0,存在开集G⊃E与闭集F⊂E，
使mG < m*E +
2
ε
mF> m
*E -
2
ε
但m*E = m
*
E ，故mG – m
F <ε
又F⊂G ，得m G – m F = m ( G – F )< ε.
充分性。

设对于ε
∀> 0,存在开集G⊃E与闭集F⊂E，使
m (G – F )<ε，
又F⊂G ，得m ( G – F ) = m G – m F < ε.
由于m F ≤m
*
F ≤m * F≤m
G , 得
m*E - m
*
E ≤ε
由ε的任意性，得m*E ≤m
*
E,
又有m*E ≥m
*
E
所以m*E = m
*
E ，即E可测。

定理证毕。

3、可测集的运算性质
定理6（并集的可测性、可数可加性）
若集E i ( i= 1,2,…)可测，且Ei∩Ej =Φ(i≠j )，则
∞
=1
i
i
E可测,
且m (
∞
=1
i
i
E) = ∑
∞
=1
i
i
mE.
证明: 要证 ∞
=1
i i E 可测，只需对任意的T ，证明
m*T ≥m*[ T ∩( ∞
=1
i i E )] + m* [ T ∩C ( ∞
=1
i i E ) ]
(反向不等式显然成立)
对任意的自然数n (任意的有限项)，有
m*T = m*[ T ∩( ∞
=1
i i E )] + m* [ T ∩C ( ∞
=1
i i E ) ]
≥∑=n
i 1
m*(T ∩i E ) + m* [ T ∩C ( ∞
=1
i i E ) ]
令 n →∞ , 得
m*T ≥∑
∞
=1
i m*(T ∩i E ) ) + m* [ T ∩C ( ∞
=1
i i E ) ]
≥ m* [
∞
=1
i (T ∩i E )] + m* [ T ∩C ( ∞
=1
i i E ) ]
= m* [ T ∩( ∞
=1
i i E )] + m* [ T ∩C ( ∞
=1
i i E ) ]
所以， ∞
=1i i E 是可测集。

特别地 ∞
=1
i i E ，在上面的不等式中，取T =
∞
=1
i i
E
，得
m*(
∞
=1
i i
E
) ≥
∑∞
=1*i Ei m ,
故有 ：m ( ∞
=1
i i E ) =
∑∞
=1
i mEi
推论：若i E ( i=1,2,3……) 可测，则
∞
=1
i i
E
可测。

证明：由 ∞
=1i i E = 1E ∪(2E –1E )∪(3E – (1E ∪2E ) ) …
则把
∞
=1
i i
E
表示为可数个互不相交的可测集的并，从而
∞
=1
i i
E
可测。

定理7 (交集的可测性) 若i E ( i=1,2,3……) 可测，则 ∞
=1
i i E 可测。

证明：由 ∞
=1
i i E = C (C
∞
=1
i i
E
) = C (
∞
=1
)(i i
CE
)
及定理6、4，定理7成立。

定理8 （差集的可测性）若E 、F 可测，则 E – F 可测。

事实上，由E – F = E ∩(CF) 及上述有关定理，结论成立。

定理9 （可测单调升集列的测度与极限运算） 若i E ( i = 1,2,…) 可测，且1E ⊂2E ⊂…⊂i E ⊂…, 则 m (i i E ∞
→lim ) = (i i mE ∞
→lim )
意义：集列的极限运算与集合的测度运算可交换次序。

证明：i i E ∞
→lim =
∞
=1
i i
E
=
∞
=1
i i
F
其中，i F = i E –1-i E ( i = 1,2,…) , 0E = Φ 由于i F j F ⋂= Φ ( i ≠j) , 于是，
m (i i E ∞→lim ) = m
∞
=1
i i
F
=
∑∞
=1
i i
mF
=
∑∞
=1
i m (i
E
–1-i E )
= ∞
→N lim
∑=N
N m 1
(i
E
–1-i E ) = ∞
→N lim mE N =∞
→i lim m i E
定理10 （可测单调降集列的测度与极限运算）
若i E (i= 1,2,…) 可测，且E 1⊃E 2⊃…⊃ E i ⊃…… , 其中至少有一集的测度有限，则m (i i E ∞
→lim ) = i i mE ∞
→lim .
证明：设存在N ， m n E < ∞,故当 i >N 时，m i E < ∞ , 由于{ E N —i E }是升集列，由定理9，有 m E N
——m (∞
→i lim
i E ) = m (E N —∞
→i lim i E ) = m ∞
→i lim (E N —i E )
= ∞
→i l i m m (E N —i E ) = m E N —∞
→i lim m i E
从而， m ∞
→i lim i E = ∞
→i l i m m i E .
注1 定理中“至少有一集的测度为有限”这个条件是不可少的。

例如： i E = [i, ∞ ), ( i=1,2,…..)
由于 ∞
→i l i m i E = Φ , 有 m ∞
→i l i m i E = Φ ,
而 ∞
→i l i m m i E = ∞
所以 m ∞
→i lim i E ≠ ∞
→i lim m i E . ( i=1,2,…..)
注2 对于一般有极限的可测集合，其极限的测度不一定等于每个集测度的极限。

例如： i E = [ i , i+1 ] , ( i=1,2,…..) 由于 ∞
→i l i m i E = Φ , 有 ∞
→i lim m i E = Φ ,
但 ∞
→i l i m m i E = 1,
有 m ∞
→i lim i E ≠ ∞
→i lim m i E . ( i=1,2,…..)
由上讨论得定理9、10的条件中集列单调性是不可少的。

综合上述得：可测集类对于可数次的交、并、差、余及极限运算是封闭的。

4、常用可测集类
1、任意开、闭、半开半闭区间I 都可测，且测度mI = | I |；
2、开集、闭集可测；
3、G δ 、F δ 型集可测；
4、Borel 集可测；
5、A 是可数集，则A 可测，且mA = 0 事实上，由单点集{x 0}, m {x 0} =0
A 可数，设A={a 1,a 2,……}, A =
∞
=1
}{i i
a
,
由可数个互不相交可测集并的可测性质得结论成立。

(三) 零测度集
零测度集在实变函数中经常出现，有着特殊的重要性，学习中要熟练地掌握有关的性质与类型.
1、定义 若集合E 的测度 m E = 0 , 称E 是零测度集。

2、 零测度集的性质
（1）零测度集的任何子集仍是零测度集。

证明：用反证法。

集E 是零测度集，有m E = 0 。

假设存在A ⊂E ，且mA > 0 ,又余集cA = E – A , 有 E = A ∪CA ，A ∩CA=φ
所以 m E = m （A ∪CA ）= mA + m （CA ）> 0. 与已知条件 m E = 0 相矛盾。

所以 m A = 0 .
(2) 有限个或可数个零测度集之并仍是零测度集。

意义：零测度集对并运算封闭。

证明方法1 设 {i E }(1,2,…)为零测度集列， 令 S 1 = E 1
S 2 = E 2 –E 1
S 3 = E 3 – （E 1∪ E 2）
S 4 = E 4 - （ E 1∪E 2 ∪ E 3）
… … … … …
S n = E n - (E 1E1∪E 2 ∪ E 3 ∪ … ∪E n-1 ) … … … … … .. … 则{i S }是互不相交的零测度集，且
m( ∞
=1
i i E ) = m ( ∞
=1
i i S ) =
∑∞
=1
)(i i
mS
= ∞
→n lim ∑=n
k k mS 1
)( = ∞
→n l i m (0) = 0
证明方法2 由可测集的性质，得：
0 ≤ m E ≤∑∞
=1
i i mE = 0
即 m E = 0 .
注： 零测度集对于取子集运算、并运算的封闭性，在L 积分理论中有重要的作用，要熟记结论。

（3）若m A = 0 ,对任意的可测集B ，有 m ( A ∪B ) = m B 意义与作用：可测函数列在可测集上收敛性的讨论，L 积分等问题可以不考虑零测度集。

证明：m B ≤m (A ∪ B )≤ m A + m B = m B 有 m ( A ∪B ) = m B （4）若m E = 0 , 则内核E 0 = φ.
证明：（反证）若不然，存在 x 0∈E 0, 从而存在开邻域 U(x 0) ⊂ E ,有 m E ≥ m U(x 0) > 0, 与 m E = 0 矛盾. 所以, 结论成立.
意义: 零测度集不含内点。

3、 零测度集的类型
(1)空集是零测度集。

即m ( φ) = 0 . (2)单点集是零测度集。

即 m{x 0} = 0 .
证明：由测度的平移不变性，有m { x } 与x 无关，
从而 m { x } = 0 。

否则，m [0,1] ≥m {
n
1 | n ∈N} = ∑ m {
n
1} = ∞
与m [0,1] = 1矛盾。

命题得证。

(3)任何有限集皆是零测集。

即 m{a 1,a 2,…a n } = 0 . (4)可数点集是零测集。

证明：设A 可数，得 A = { a 1,a 2,…a n …}
又m { a n } = 0 , (n=1,2,…) (单点集的测度)
得{a i }与 {a j } （i ≠ j ）互不相交, 且
m A = m (∪{a i }) =
∑
∞=1
i m { a i }= lim ∑
=n
i 1
m { a i }= 0.
由上讨论得：自然数集是零测度集。

[0，1]上的有理数集是可数集，测度为零。

R 上的有理数集是可数集，测度为零。

(5) Cantor 集C 不可数，但Cantor 集是零测度集。

证明：设C 的余集为G ，有
mG = m (
31,3
2 ) + m (
91,92
) + m (
97
,
98
) +…
= 31
[1 +32+ (32)2+(3
2)3+…] = 1
所以，m C = m [0,1] – m G = 0 .
同理，在[0,1]中作点集 ：
E = {x ∈[0,1] | 在十进位小数表示式 x = 0.a 1a 2…中
所有a i 都不出现十个数字中的某一个。

}
则E 不可数，但E 是零测度集。

(6)R 中的每个子集，无论它在R 中是否可测，都是R 2中的零测度集。

4、 零测度集在实变函数中的主要作用
(1)由G δ和F δ及零测集，可得出一切的L 可测集。

(2)由零测度集引入了几乎处处成立的重要概念。

(3)由几乎处处成立的概念，对函数列{f n}的收敛、一致收敛、依测度收敛之间的关系展开了讨论。

(4)由零测度集找到了可测函数与连续函数的联系（鲁津定理）。

(5)由零测度集彻底地解决了R 可积性问题：不连续点是零测集。

(6)若mE=0 , 则E 上的任何函数都可测。

(7)若mE=0 , 则E 上的任何函数都L 可积，且积分为零。

(8)零测度集在积分的极限定理中有重要的应用。

(四)可测集的构造
L 积分的函数定义在可测集合上。

可测集在具体的应用中虽有不同情况，但可测集的本质特征体现在结构上 ，即是每一个可测集都可以由G δ型集或F δ型集和全部L 零测度集而得出。

1、 复习有关定义
设集合G 可以表示为一列开集{G i }的交集： G = ∩G i , 则称G 是G δ型集；
设集合G 可以表示为一列闭集{F i }的并集： F = ∪F i , 则称F 是F δ型集。

凡可以从开集出发，通过取余集、取有限或可数个集合的不超过可数次的并或交运算 得到的集合，称为Borel (波雷尔)可测集。

2、Borel 集与可测集的关系
凡Borel 集都是可测集，但并非每个可测集都是Borel 集与的。

例如，非Borel 集的可测集合：
在R 中的[0，1]上，C(x) 是[0，1]上Cantor 函数，作函数
S(x) =
2
1 (x + C(x)) , x ∈[0，1]
显然，S(x)是[0，1]上严格上升的连续函数，且
S （0）= 0, S(1)=1, 记其反函数为S 1-（x ）,它是连续且一一
对应的函数。

现在取[0，1]中的Cantor 集C ，并令在构造过程中的每步移去的中央三分开区间为I n ,k ， (n = 1,2,….; k = 1,2,…21-n ) ,其长度为| I n ,k | ，则S (I n ,k ) 是长度为| I n ,k | /2 的开区间，又S （x ）在I n ,k 上是常数，从而点集
S （
∞
==-12
1
1
,i k n k In ）
测度为2
1。

若令S （C ）= H ，可知m (H) =
2
1 .
令w 是H 中的不可测集，并记S 1-（w ）= S ，因 S ⊂C, 所以S 是可测集，但S 不是Borel 集，否则，W 也是可测集，从而可测了。

下列讨论的问题是：L 可测集合类中除了Borel 集外，还包含一些怎样的集合？
3、 可测集的构造
定理1 设E 是任意可测集，则一定存在G δ 型集G ，
使G ⊃E ，且m (G-E)=0.
证明：（1）先证：对任意的ε>0, 存在开集G ，使G ⊃E ，且m
(G-E)<ε
先设 mE<∞, 则由测度的定义，有一列开区间{I i }, i =1,2,.., 使
∞=∞
=∑+<⊃11
||,i i i i mE I E I ε且
令 G= ∞
=1
i i I ，则G 为开集，G ⊃E ，且
m E ≤ m G ≤∑∞=1i i mI = ||1
∑∞
=i i I < m E+ε
因此，m G – m E <ε(已知m E<∞) ，从而m (G – E) <ε.
其次，设m E = ∞, 这时E 是无界集，它可以表示为可数个互不 相交的有界可测集的并：
E = ∞
=1
i i E （m E n <∞）
对每个En,应用上述结果，可找到开集G n ⊃E n ，使
m (G n –E n ) <n 2ε
,
令G= ∞
=1
n n G ，则G 为开集，G ⊃E ，且
G – E == ∞=1n n G — ∞=1
n n E ⊂
∞
=-1)(n n n E G ,
m(G-E) ≤∑∞=-1
)(n En Gn < ε.
(2) 依次取εn =, (n=1,2,…), 由(1)的证明，存在开集G n , 使
m(G n —E)<
n 1 ,
令G = ∞=1,n n G
，则G 为G δ型集，G ⊃E ，且
m(G —E)≤m (G n —E) < n 1
( n = 1,2,…)
故 m (G —E) = 0 。

证毕。

定理2 设E 是任意可测集，则一定存在F δ 型集F ，使 F ⊂E ，G 且m(E-F)=0.
证明：E 可测，则CE 可测。

由定理1，存在G δ型集G ⊃CE ， 使 m (G —CE)=0
令F=CG ，则F 为F δ型集，F ⊂E ，且
m(E-F)= m (G —CE) = 0 。

证毕。

由定理1、2，得：
(1)任何可测集可以用一个G δ型集与一个零测度集来表示；或用一个F δ型集与一个零测度集来表示。

由任意性，说明凡可测集都有这样的表示。

即E 是可测集，G
是G δ型集，F 是F δ型；N 是零测度集，有E=G —N 或 E=F ∪N .
(2)由所有的G δ型集或F δ型集与全部零测度集，可以获得一切的L 可测集。

(3)由于G δ型集与F δ型集都是Borel 集，得
任意可测集是一个Borel 集与一个零测度集的并集。

(五）关于测度的几点评注
1、测度概念的建立
19世纪下半叶，数学家们已经认识到，古典分析中仅有的连续函数积分理论已经不能很好地解决数学分析中的许多问题。

为了克服古典Riemann积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义。

Riemann积分的定义及函数是否Riemann可积,与积分区域度量的定义密切相关。

集合测度概念的形成，是为了拓展长度、面积、体积、概念所进行的一系列探索的结果。

引入了测度的概念，使得更多的点集能具有类似于面积性质的新的度量。

不同的积分概念是紧密地联系于不同测度概念的，测度理论及其方法在近代分析、概率论以及其它一些学科领域中已成为必不可少的工具。

1898年，Borel（波雷尔）对Jordan(约当)的容量理论作了实质性改进，建立了R中点集的Borel（波雷尔）测度理论。

不久，由Borel 的学生Lebesgue(勒贝格)在1902年提出了直到目前仍广泛应用的Lebesgue(勒贝格)测度理论，系统地建立了测度论，并成功地建立了Lebesgue(勒贝格)积分理论。

1910年，Lebesgue研究了R n中的测度。

1915年，Frechet提出在一般ζ-环上建立测度，抽象测度由此诞生。

1918年，Caratheodory(卡拉皆屋铎利)深入地研究了外测度的性质，从此，测度理论有了迅速发展。

Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度m
,然后通过条
*
A定义可测集，这沿循了面积计算的外切多边形与内接件m* A = m
*
多边形的思想，是直观上最容易被接受的方法，但循此方法建立的理论并不是最简洁的，而且缺少推广的价值。

因而被Caratheodory(卡拉皆屋铎利) 的导入法所取代。

Caratheodory 给出的可测条件为：院m*T = m * (T∩E ) + m *(T∩CT) ( T)
称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。

这一定义初看起来是不自然的，但事实证明它是迄今为止最简捷
的可测集的导入法，在学习讨论可测集相关性质等问题时，常用此进行定理的证明。

在L积分理论问题中，很少需要去准确算出某个集合的测度，更重要的问题往往是判定某个集合是否为零测度集合。

2、抽象测度的定义
抽象测度对于进一步学习现代分析是不可缺少的，它概括了测度的最一般的特征，同时能包括种种具体测度而当作特例。

下面介绍抽象测度的初步知识。

定义1 设X是基本集，|R是由X的子集所作成的非空类，如果下列条件满足：
（1）由A∈|R, B∈|R , 有（A—B）∈|R；
（2）由A∈|R, B∈|R , 有（A∪B）∈|R；
则|R称为集合的环或简称为环；若有
（3）由A1，A2，……∈|R , 有∪An ∈|R；则称|R 为集合的ζ环，简称为ζ环。

若|R中含有基本集X，则|R 称为代数。

定义2 设X为基本集，|R为X的子集的类，称定义于|R上取实函数值或无穷大的广义实函数μ为集函数；若对每个E∈|R，μE≥0，称μ是非负的；若μE≠∞,(E∈R) 称μ是有限的。

若对|R中互不相交的集列{E n}，其并∪E n∈|R ,恒有
μ(∪E n )= ∑μE n ,
称μ是ζ可加的或完全可加的。

定义3 当|R为ζ环时，若|R上定义的集函数μ满足：
（1）μ是非负的；
（2）μ是ζ可加的；
（3）μφ=0 .
则称μ为ζ环上的测度。

定理设μ为ζ环上的测度，则成立下列性质：
（1）单调性。

设E1、E2∈|R, E1⊂E2，则μE1≤μE2；
（2）次可加性。

设E n∈|R , n = 1,2,……,则
μ(∪E n)≤∑μE n ,
若E ∈|R , E ⊂∪E n, 则μE≤∑μE n；
（3）对于|R中的单调升集列E n , 有μ(∪En) = limμE n;
对于|R中的单调降集列E n , 若μE1<∞,
有μ(∩E n) = limμE n
Lebesgue测度是抽象测度定义的具体测度。

在ζ环上由抽象测度可定义出不同的具体测度。

例如设X是任一非空集, 则X的幂集|R = 2X={A | A⊂X}是
一个ζ代数，对任何有A⊂X，令μA =A(基数); 若A⊂X 是无限集, 则令μA =∞.
得: μ是X上的一个ζ测度, 称为集X上的计数测度。

它虽然简单，但是一个很有用的测度。

注意：若X⊂R n ，则在X上定义的计数测度μ与Lebesgue测度m差别很大，如对有理数集Q，有
计数测度μQ = ∞;
Lebesgue测度mQ = 0（Q可数）.
3、不可测集的例
平常我们遇到的点集大都是可测的，因而常自然联想是否有不可测集存在？回答是肯定的。

下面给出一个一维不可测集的例，注意构造这样的集合是不容易的。

设A是有理数集，据A我们将R = - ∞，+∞）中的点分类，当x-y∈A时，认为x,y属于同一类。

这样，R被分成等价类，并且每两个不同等价类互不相交。

事实上，设Ex，Ey是两个等价类，如果有公共元z∈Ex∩Ey，则x-y=x-z+z-y∈A,于是将有x,y∈Ey,即Ex与Ey 一致，矛盾。

现从每个等价类中取一点构成一集E，则E是不可测的。

为了证明E的不可测性，首先注意
△(E) ={ x-y | x, y ∈E}
显然包含原点，且除原点外无其它任意有理点，因而它不含有对称的开区间。

（反证）若Ｅ可测，有m E = 0,
且设a1,a2是Ａ中任意两个不同的点，则集
Ｅi ＝｛x | x= e+a i , e ∈E ｝(i=1,2)
互不相交。

否则，设有e 1+a 1=e 2+a 2, e 1, e 2∈E
有 e 1- e 2= a 2 - a 1 ∈A,从而 = 0,或e 1 = e 2
由此，a 2 = a 1 ,矛盾。

另地方面，Ｒ中任一点x 必属于这此等价类中之一，因而可写成
x = e +a , e ∈E, a ∈A ，
因此，将Ａ写成｛a n ｝, E n = { x | x = e+ a n , e ∈E }(n=1,2……) 根据测度的平移不变性，有m E n = mE = 0
由 Ｒ＝∪E n ,有mR = ∑ mE n = 0 , 这是不可能的。

所以，Ｅ是不可测集。

在上述等价类的作法中，假如由每个等价类中取属于［０,1］的一点构成集Ｅ，则Ｅ是有界可测集。

４、开集边界的测度不一定为零。

例：把（0,1）中的有理点排为 ：r 1 , r 2,…r n ,...
任给ε, 0＜ε＜2
1
, 对每个r n 作包它的开区间I n , 使 m I n ＜
n 2ε , 且 I n ⊂(0，1) 令 G =
∞=1n n I , 则mG ≤∑∞=1n n mI ≤∑∞
=1n n 2ε = ε，
因{ r 1 , r 2,…r n ,...}G ⊂ (0,1) , 所以G = [0,1]
又因 G = G ∪∂G ,
所以 m G ≤m G +m(∂G )
从而，m(∂G )≥m G - mG >1-ε>
21.
证毕。

(六)实变函数中的开集与闭集[3]
开集与闭集是度量空间R n 中引入的两类特殊集合。

本文以开集、闭集为主线，对实变函数有关知识点之间的联系、转换进行讨论，从开集与闭集的角度理解、掌握L积分的主要思想、方法及知识。

一、度量空间的特殊点集--------开集与闭集
1、开集与闭集的定义
定义1 设E⊂R n，若E的每一点都是E的内点，则称E为开集。

注1 开集定义的内涵、基础是邻域、距离的概念，由邻域精确地刻画了“内点”。

注意在不同的空间看待同一个点，同样的半径，邻域范围不同。

如原点O的ε邻域u (O,ε) :
R 上,开区间内（－ε，＋ε）
R２上,开圆内x２+ y ２＜ε２
R3上, 开球内x２+ y ２＋z２＜ε２
注 2 由开集的内涵，直观上得开集中不含界点与孤立点。

注３开集的定义与长度的度量距离直接相关，这是可测集的测度由开集转换的内在因素之一。

定义２设E⊂R n，若E的每一聚点都属于E ，则称E为闭集。

注1聚点包含内点与界点（不含孤立点），由定义，直观上得出闭集包含了所有的内点与界点。

注 2 由此得任一集合，包含部分边界，又不包含所有的边界，则它既不是开集，也不是闭集。

２、开集与闭集的互斥、对偶
开集与闭集是一对互斥的概念。

在整个空间R n中，有且仅有R n 与φ既是开集，也是闭集。

R n空间中有非开非闭的子集。

定理１（开集与闭集的对偶）设Ｅ是开集，则是ＣＥ（余集）是闭集；设Ｅ是闭集，则是ＣＥ（余集）是开集。

证明：设Ｅ是开集，而Ｐ
０是ＣＥ的任一聚点，那么，Ｐ
０
的任一
邻域内都有不属于Ｅ的点。

这样Ｐ
０
不是Ｅ的内点，从而不属于Ｅ，
有Ｐ
０
属于ＣＥ，故ＣＥ是闭集。

设Ｅ是闭集，而任一Ｐ
０∈ＣＥ，假若Ｐ
０
不是ＣE的内点，则Ｐ
０。