新人教版数学必修4同步课件：三角函数线
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第2课时 三角函数线
-1-
首页
核心素养培养目标
1.了解三角函数线的定义.培养数学抽象素 养. 2.能够利用三角函数线表示任意角的三角 函数值.培养数学抽象素养. 3.能利用三角函数线比较三角函数值的大 小,求角的范围.培养数学运算素养.
核心素养形成脉络 三角函数线
正弦线 定义 余弦线
正切线 应用
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由三角函数线可知,在[0°,360°)内,tan α≥√33,有 30°≤α<90° 或 210°≤α<270°,故满足 tan α≥√33,有 k·180°+30°≤α< k·180°+90°,k∈Z.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视角的范围致误
典例 若 0<α<2π,且 sin α<√23,cos α>12.利用三角函数线,得到 α 的
探究一
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇 探究学习
反思感悟利用三角函数线比较大小的步骤:利用三角函数线比较 三角函数值的大小时,一般分三步:(1)角的位置要“对号入座”;(2)比 较三角函数线的长度;(3)确定有向线段的正负.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇 探究学习
变式训练2(1)下列关系正确的是( ) A.sin 10°<cos 10°<sin 20° B.sin 20°<sin 10°<cos 10° C.sin 10°<sin 20°<cos 10° D.sin 20°<cos 10°<sin 10° (2)易知当 α=π6时,sin α<α<tan α,那么对于任意 0<α<π2,sin α<α<tan α 是否成立?
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课前篇 自主预习
一
二
三
自主检测
二、三角函数线 1.假设第一象限角α的终边与单位圆的交点为P,由点P向x轴作垂 线,垂足为M,由三角函数的定义可知sin α,cos α的值恰好等于线段 MP,OM的长度,当α为第二象限角、第三象限角、第四象限角时,按 照同样的作法,sin α,cos α的值是否还等于线段MP,OM的长度?如果 不相等,那么sin α,cos α值的正负与有向线段MP,OM的方向有何关 系? 提示:当α为第二象限角、第三象限角、第四象限角时,sin α,cos α 的值不等于线段MP,OM的长度,sin α,cos α值的正、负与有向线段 MP,OM的方向是一致的.
当堂检测
)
解析正弦线的画法是:作角α的终边,与单位圆交于点P,作PM垂直x 轴于点M,则有向线段MP是正弦线,故A正确. 答案A
或������
=
2������π +
5π 6
,������∈Z
,如图①.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)作直线 y=√23,交单位圆于 A,B 两点,连接 OA,OB,则 OA 与 OB
围成的区域(图②中阴影部分)即为角 α 的终边的范围.故满足条件的
角 α 的集合为
������
2������π
利用三角函数线求角的范围
例3 根据下列条件,求角α的取值集合:
(1)sin α=12; (2)sin α≥√23; (3)cos α≤-12. 分析根据三角函数线,首先在单位圆中作出满足 sin α=12,sin α=√23,cos α=-12的角的终边,然后确定满足条件的角的范围.
探究一
探究二
探究三
分析(1)确定 α 的终边位置,作出各三角函数线,比较大小;(2)先
在同一单位圆中作出2π
3
,
45π两角的各三角函数线,再进行比较.
探究一
解
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇 探究学习
(1)如图所示,当π4<α<π2时,角 α 的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正 切线为 AT,显然在长度上,|AT|>|MP|>|OM|,且 sin α,cos α,tan α 的值 均为正数,因此当π4<α<π2时,必有 tan α>sin α>cos α.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
延伸探究本例中,若已知 tan α≥√33,如何求角 α 的范围?
解如图,过点 A(1,0)作单位圆 O 的切线,在切线上沿 y 轴正方向
取一点 T,使 AT=√33,过点 O,T 作直线,则当角 α 的终边落在阴影区域 内(包含所作直线,不包含 y 轴)时,tan α≥√33.
课前篇 自主预习
一
二
三
自主检测
一、有向线段 1.直线、射线、线段有什么区别? 提示直线:没有端点,无限长;射线:只有一个端点,无限长;线段:有 两个端点,有限长. 2.填空:有向线段 (1)定义:带有方向的线段叫做有向线段. (2)符号:方向与坐标轴的正方向相同为正,否则为负. (3)记法:有向线段AB的数量记为AB. (4)长度:有向线段AB的长度记为|AB|.
+
π 3
≤
������
≤
2������π
+
2π 3
,������∈Z
.
(3)作直线 x=-12,交单位圆于 C,D 两点,连接 OC 与 OD,则 OC 与
OD 围成的区域(图③中的阴影部分)即为角 α 的终边的范围.故满足
条件的角 α 的集合为
������
2������π
+
2π 3
≤
������
≤
思维辨析
课堂篇 探究学习
解(1)已知角 α 的正弦值,可知 MP=12,则点 P 纵坐标为12.所以在 y
轴上取点
0,
1 2
,过这点作 x 轴的平行线 y=12,交单位圆于 P1,P2 两点,
则 OP1,OP2 是角 α 的终边,因此角 α 的集合为
������
������
=
2������π
+
π 6
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)解析在单位圆中,20°,10°的角的终边分别与单位圆交于点 P1,P2,过P1,P2作x轴的垂线交x轴于M1,M2,则20°角的正弦线、余弦 线分别为M1P1,OM1,10°角的正弦线、余弦线分别为M2P2,OM2,而 |OM2|>|OM1|>|M1P1|>|M2P2|,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇 探究学习
变式训练 1 作出-94π角的正弦线、余弦线和正切线. 解如图所示,
-94π的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线为 AT.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇 探究学习
利用三角函数线比较三角函数值的大小
例 2 (1)设π4<α<π2,试比较 sin α,cos α,tan α 的大小; (2)分别比较 sin23π与 sin45π;cos23π与 cos45π;tan23π与 tan45π的大小.
取值范围是
.
错解利用三角函数线可得所求角 α 的范围是
-
π 3
,
π 3
.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
提示上述错解忽视了角 α 范围的大前提是(0,2π),从而导致错误.
正解利用三角函数线得 α 的终边落在如图所示∠AOB 区域内,
所以 α 的取值范围是
0,
π 3
∪
5π 3
,2π
∵S△OAP=12OA·MP=12sin α,
S 扇形 OAP=12α·OA2=12α,
S△OAT=12OA·AT=12tan α,
∴故12对si于n α任<意12α<012<taαn<απ2,,s即in
sin α<α<tan α. α<α<tan α 都成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇 探究学习
∴cos 10°>cos 20°>sin 20°>sin 10°,故选C.
答案C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇 探究学习
(2)解如图所示,角α的终边交单位圆于点P,过点P作PM⊥x轴于点
M,过x轴的正半轴与单位圆的交点A作单位圆的切线AT,交角α的终
边于点T,连接AP,则有MP=sin α,AT=tan α,S△OAP<S扇形OAP<S△OAT.
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课前篇 自主预习
一
二
三
自主检测
2.填空:三角函数线 如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P(角α 的顶点与原点重合,角α的始边与x轴的非负半轴重合).
过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过点A作单位圆的切线交OP的延 长线(或反向延长线)于点T,这样就有sin α=MP,cos α=OM ,tan α=AT . 单位圆中的有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、 正切线,统称为三角函数线.
.
答案
0,
π 3
∪
5π 3
,2π
探究一
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇 探究学习
防范措施当所求角的范围包含了终边落在x轴非负半轴上的角时, 应特别注意角的范围的表达形式,这时可以用一个区间来表示(须 用到负角),也可用两个区间并集来表示.
12345
1.已知角α是第四象限角,则角α的正弦线MP是下图中的(
2������π
+
4π 3
,������∈Z
.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇 探究学习
反思感悟利用三角函数线求角的取值集合的方法 利用三角函数线求角的取值集合,关键是恰当地寻求点,一般来 说,对于sin x≥b,cos x≥a(或sin x≤b,cos x≤a),只需作直线y=b,x=a 与单位圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时根 据方向即可确定相应的x的范围;对于tan x≥c(或tan x≤c),则取点 (1,c),连接该点和原点即得角的终边所在直线的位置,结合图象可得.
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课前篇 自主预习
一
二
三
自主检测
3.做一做:下列角的正切线不存在的是( )
A.-1110π C.34π
B.92π D.87π
解析当角α的终边与y轴重合时,正切线不存在.
∵ 92π的终边在y轴的非负半轴上,∴正切线不存在.
答案B
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课前篇 自主预习
一
二
三
自主检测
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
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课前篇 自主预习
一
二
三
自主检测
3.做一做:如图,210°角的正弦线为
,余弦线为
,
正切线为
.
解析由三角函数线的定义可知,210°角的正弦线为MB,余弦线是 OM,正切线是PD.
答案MB OM PD
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课前篇 自主预习
一
二
三
自主检测
三、特殊角的三角函数线 1.0°,180°角的正弦线、余弦线,正切线有什么特点?90°,270°角的 正弦线、余弦线有何特点?90°,270°角的正切线能否作出? 提示0°,180°角的正弦线是一个点、余弦线与半径重合,正切线是 一个点;90°,270°的正弦线与半径重合、余弦线是一个点,正切线不 存在. 2.填空:特殊角的三角函数线 当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时 角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变 成一个点,正切线不存在,此时角α的余弦值为0,正切值不存在.
答案(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
作三角函数线 例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线. (1)-π4;(2)176π;(3)103π. 解如图.
课堂篇 探究学习
其中,各角的正弦线都是MP,余弦线都是OM,正切线都是AT.
探究一
探究二
探究三
“×”.
(1)三角函数线是有向线段,既有大小,又有方向. ( ) (2)正弦线的起点一定在x轴上,余弦线的起点一定是原点,正切线 的起点一定是(1,0). ( ) (3)三角函数线只能表示0°~360°之间角的三角函数值. ( ) (4)任意大小的角都有正切线. ( ) (5)若角θ的余弦线是长度为单位长度的有向线段,则其终边落在x 轴的正半轴上. ( ) (6)终边在第一、三象限角的平分线上的角的正、余弦线,长度相 等、符号相同. ( )
探究一
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇 探究学习
(2)在直角坐标系中作单位圆如图所示.以 x 轴非负半轴为始边
作2π的终边与单位圆交于
3
P
点,作
PM⊥Ox,垂足为
M.
由单位圆与 Ox 正方向的交点 A 作 Ox 的垂线与 OP 的反向延长
线交于点 T,
则 sin23π=MP,cos23π=OM,tan23π=AT. 同理,可作出45π的正弦线、余弦线和正切线, sin45π=M'P',cos45π=OM',tan45π=AT'. 由图形可知,MP>M'P',则 sin23π>sin45π;OM>OM', 则 cos23π>cos45π;AT<AT',则 tan23π<tan45π.
思维辨析
课堂篇 探究学习
反思感悟三角函数线的作法步骤: (1)作平面直角坐标系和角的终边. (2)作单位圆,圆与角的终边的交点为P,与x轴正半轴的交点为A. (3)过点P作x轴的垂线,垂足为M. (4)过点A作x轴的垂线,与角的终边或其反向延长线交于点T. (5)有向线段MP,OM,AT分别为角的正弦线、余弦线和正切线.
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1.了解三角函数线的定义.培养数学抽象素 养. 2.能够利用三角函数线表示任意角的三角 函数值.培养数学抽象素养. 3.能利用三角函数线比较三角函数值的大 小,求角的范围.培养数学运算素养.
核心素养形成脉络 三角函数线
正弦线 定义 余弦线
正切线 应用
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由三角函数线可知,在[0°,360°)内,tan α≥√33,有 30°≤α<90° 或 210°≤α<270°,故满足 tan α≥√33,有 k·180°+30°≤α< k·180°+90°,k∈Z.
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思维辨析
忽视角的范围致误
典例 若 0<α<2π,且 sin α<√23,cos α>12.利用三角函数线,得到 α 的
探究一
探究二
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反思感悟利用三角函数线比较大小的步骤:利用三角函数线比较 三角函数值的大小时,一般分三步:(1)角的位置要“对号入座”;(2)比 较三角函数线的长度;(3)确定有向线段的正负.
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变式训练2(1)下列关系正确的是( ) A.sin 10°<cos 10°<sin 20° B.sin 20°<sin 10°<cos 10° C.sin 10°<sin 20°<cos 10° D.sin 20°<cos 10°<sin 10° (2)易知当 α=π6时,sin α<α<tan α,那么对于任意 0<α<π2,sin α<α<tan α 是否成立?
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二、三角函数线 1.假设第一象限角α的终边与单位圆的交点为P,由点P向x轴作垂 线,垂足为M,由三角函数的定义可知sin α,cos α的值恰好等于线段 MP,OM的长度,当α为第二象限角、第三象限角、第四象限角时,按 照同样的作法,sin α,cos α的值是否还等于线段MP,OM的长度?如果 不相等,那么sin α,cos α值的正负与有向线段MP,OM的方向有何关 系? 提示:当α为第二象限角、第三象限角、第四象限角时,sin α,cos α 的值不等于线段MP,OM的长度,sin α,cos α值的正、负与有向线段 MP,OM的方向是一致的.
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解析正弦线的画法是:作角α的终边,与单位圆交于点P,作PM垂直x 轴于点M,则有向线段MP是正弦线,故A正确. 答案A
或������
=
2������π +
5π 6
,������∈Z
,如图①.
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(2)作直线 y=√23,交单位圆于 A,B 两点,连接 OA,OB,则 OA 与 OB
围成的区域(图②中阴影部分)即为角 α 的终边的范围.故满足条件的
角 α 的集合为
������
2������π
利用三角函数线求角的范围
例3 根据下列条件,求角α的取值集合:
(1)sin α=12; (2)sin α≥√23; (3)cos α≤-12. 分析根据三角函数线,首先在单位圆中作出满足 sin α=12,sin α=√23,cos α=-12的角的终边,然后确定满足条件的角的范围.
探究一
探究二
探究三
分析(1)确定 α 的终边位置,作出各三角函数线,比较大小;(2)先
在同一单位圆中作出2π
3
,
45π两角的各三角函数线,再进行比较.
探究一
解
探究二
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(1)如图所示,当π4<α<π2时,角 α 的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正 切线为 AT,显然在长度上,|AT|>|MP|>|OM|,且 sin α,cos α,tan α 的值 均为正数,因此当π4<α<π2时,必有 tan α>sin α>cos α.
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延伸探究本例中,若已知 tan α≥√33,如何求角 α 的范围?
解如图,过点 A(1,0)作单位圆 O 的切线,在切线上沿 y 轴正方向
取一点 T,使 AT=√33,过点 O,T 作直线,则当角 α 的终边落在阴影区域 内(包含所作直线,不包含 y 轴)时,tan α≥√33.
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一
二
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一、有向线段 1.直线、射线、线段有什么区别? 提示直线:没有端点,无限长;射线:只有一个端点,无限长;线段:有 两个端点,有限长. 2.填空:有向线段 (1)定义:带有方向的线段叫做有向线段. (2)符号:方向与坐标轴的正方向相同为正,否则为负. (3)记法:有向线段AB的数量记为AB. (4)长度:有向线段AB的长度记为|AB|.
+
π 3
≤
������
≤
2������π
+
2π 3
,������∈Z
.
(3)作直线 x=-12,交单位圆于 C,D 两点,连接 OC 与 OD,则 OC 与
OD 围成的区域(图③中的阴影部分)即为角 α 的终边的范围.故满足
条件的角 α 的集合为
������
2������π
+
2π 3
≤
������
≤
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解(1)已知角 α 的正弦值,可知 MP=12,则点 P 纵坐标为12.所以在 y
轴上取点
0,
1 2
,过这点作 x 轴的平行线 y=12,交单位圆于 P1,P2 两点,
则 OP1,OP2 是角 α 的终边,因此角 α 的集合为
������
������
=
2������π
+
π 6
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探究二
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思维辨析
(1)解析在单位圆中,20°,10°的角的终边分别与单位圆交于点 P1,P2,过P1,P2作x轴的垂线交x轴于M1,M2,则20°角的正弦线、余弦 线分别为M1P1,OM1,10°角的正弦线、余弦线分别为M2P2,OM2,而 |OM2|>|OM1|>|M1P1|>|M2P2|,
探究一
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变式训练 1 作出-94π角的正弦线、余弦线和正切线. 解如图所示,
-94π的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线为 AT.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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利用三角函数线比较三角函数值的大小
例 2 (1)设π4<α<π2,试比较 sin α,cos α,tan α 的大小; (2)分别比较 sin23π与 sin45π;cos23π与 cos45π;tan23π与 tan45π的大小.
取值范围是
.
错解利用三角函数线可得所求角 α 的范围是
-
π 3
,
π 3
.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
提示上述错解忽视了角 α 范围的大前提是(0,2π),从而导致错误.
正解利用三角函数线得 α 的终边落在如图所示∠AOB 区域内,
所以 α 的取值范围是
0,
π 3
∪
5π 3
,2π
∵S△OAP=12OA·MP=12sin α,
S 扇形 OAP=12α·OA2=12α,
S△OAT=12OA·AT=12tan α,
∴故12对si于n α任<意12α<012<taαn<απ2,,s即in
sin α<α<tan α. α<α<tan α 都成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
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∴cos 10°>cos 20°>sin 20°>sin 10°,故选C.
答案C
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思维辨析
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(2)解如图所示,角α的终边交单位圆于点P,过点P作PM⊥x轴于点
M,过x轴的正半轴与单位圆的交点A作单位圆的切线AT,交角α的终
边于点T,连接AP,则有MP=sin α,AT=tan α,S△OAP<S扇形OAP<S△OAT.
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二
三
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2.填空:三角函数线 如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P(角α 的顶点与原点重合,角α的始边与x轴的非负半轴重合).
过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过点A作单位圆的切线交OP的延 长线(或反向延长线)于点T,这样就有sin α=MP,cos α=OM ,tan α=AT . 单位圆中的有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、 正切线,统称为三角函数线.
.
答案
0,
π 3
∪
5π 3
,2π
探究一
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防范措施当所求角的范围包含了终边落在x轴非负半轴上的角时, 应特别注意角的范围的表达形式,这时可以用一个区间来表示(须 用到负角),也可用两个区间并集来表示.
12345
1.已知角α是第四象限角,则角α的正弦线MP是下图中的(
2������π
+
4π 3
,������∈Z
.
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反思感悟利用三角函数线求角的取值集合的方法 利用三角函数线求角的取值集合,关键是恰当地寻求点,一般来 说,对于sin x≥b,cos x≥a(或sin x≤b,cos x≤a),只需作直线y=b,x=a 与单位圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时根 据方向即可确定相应的x的范围;对于tan x≥c(或tan x≤c),则取点 (1,c),连接该点和原点即得角的终边所在直线的位置,结合图象可得.
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A.-1110π C.34π
B.92π D.87π
解析当角α的终边与y轴重合时,正切线不存在.
∵ 92π的终边在y轴的非负半轴上,∴正切线不存在.
答案B
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3.做一做:如图,210°角的正弦线为
,余弦线为
,
正切线为
.
解析由三角函数线的定义可知,210°角的正弦线为MB,余弦线是 OM,正切线是PD.
答案MB OM PD
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三
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三、特殊角的三角函数线 1.0°,180°角的正弦线、余弦线,正切线有什么特点?90°,270°角的 正弦线、余弦线有何特点?90°,270°角的正切线能否作出? 提示0°,180°角的正弦线是一个点、余弦线与半径重合,正切线是 一个点;90°,270°的正弦线与半径重合、余弦线是一个点,正切线不 存在. 2.填空:特殊角的三角函数线 当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时 角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变 成一个点,正切线不存在,此时角α的余弦值为0,正切值不存在.
答案(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
探究一
探究二
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思维辨析
作三角函数线 例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线. (1)-π4;(2)176π;(3)103π. 解如图.
课堂篇 探究学习
其中,各角的正弦线都是MP,余弦线都是OM,正切线都是AT.
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“×”.
(1)三角函数线是有向线段,既有大小,又有方向. ( ) (2)正弦线的起点一定在x轴上,余弦线的起点一定是原点,正切线 的起点一定是(1,0). ( ) (3)三角函数线只能表示0°~360°之间角的三角函数值. ( ) (4)任意大小的角都有正切线. ( ) (5)若角θ的余弦线是长度为单位长度的有向线段,则其终边落在x 轴的正半轴上. ( ) (6)终边在第一、三象限角的平分线上的角的正、余弦线,长度相 等、符号相同. ( )
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思维辨析
课堂篇 探究学习
(2)在直角坐标系中作单位圆如图所示.以 x 轴非负半轴为始边
作2π的终边与单位圆交于
3
P
点,作
PM⊥Ox,垂足为
M.
由单位圆与 Ox 正方向的交点 A 作 Ox 的垂线与 OP 的反向延长
线交于点 T,
则 sin23π=MP,cos23π=OM,tan23π=AT. 同理,可作出45π的正弦线、余弦线和正切线, sin45π=M'P',cos45π=OM',tan45π=AT'. 由图形可知,MP>M'P',则 sin23π>sin45π;OM>OM', 则 cos23π>cos45π;AT<AT',则 tan23π<tan45π.
思维辨析
课堂篇 探究学习
反思感悟三角函数线的作法步骤: (1)作平面直角坐标系和角的终边. (2)作单位圆,圆与角的终边的交点为P,与x轴正半轴的交点为A. (3)过点P作x轴的垂线,垂足为M. (4)过点A作x轴的垂线,与角的终边或其反向延长线交于点T. (5)有向线段MP,OM,AT分别为角的正弦线、余弦线和正切线.