等概率整群抽样和多阶段抽样解析

估计效果，如：家庭-男女性别比
群的划分-大致可分为两类
1. 根据行政或地域形成的群体(如 学校、企业或街道 -节省费用) 2. 调查人员人为确定的(如将一大 块面积划分为若干块小面积的群）
分群的原则：群内差异尽可能大，群间 差异尽可能小 与分层抽样情况相反，总体结构
对复杂结构的总体，可以把两种方式结合使用
第四章 等概率整群 抽样和多阶段抽样
1. 2. 3. 4. 整群抽样 等概率整群抽样 等概率两阶段抽样 等概论两阶段抽样设计
概念：组成总体的基本单元 抽样单元
群：由若干个有联系的基本单 元所组成的集合称为群
整群抽样：抽样时抽取群，并 对入选群的所有单元进行调查。
两阶段抽样：由于群内单元通 常具有相似性， 尤其当群的规 模较大时， 对群内单元进行再 抽样，这就是实际调查中所用 的两阶段抽样，其中的群也称 为初级抽样单元，群内再抽样 的单元称为二级抽样单元
Ey Y
M
Y
定理2
y
的方差为
1 f V ( y) n
Y
N i 1
i
Y

2
N 1
1 f 2 Sb nM
证明： 由于
2
M V ( y) V ( y)
y My ，又 Y Y 1 f
N i 1 i
2
n
2
N 1
故
1 f i 1 V ( y) 2 nM N 1 1 f 2 Sb nM


2
• 样本方差
1 2 yij y s nM 1 i 1 j 1
2 n M
• 样本群间方差 • 样本群内方差
2 w
M 2 s ( yi y ) n 1 i
2 b
n M
n
1 2 yij yi s n( M 1) i j
4.2 等概率整群抽样
2 2 ˆ V (Y ) V ( NMy ) N M V ( y ) 2 2 ˆ v(Y ) N M v( y )
例1:在一次对某中学在校生零花钱的 调查中,以宿舍作为群进行整裙抽样, 每个宿舍都有M=6名学生,用简单随机 抽样在全部N=315间宿舍中抽取n=8 间宿舍. 全部48个学生上周每人零 花钱 yij 及相关计算数据如表.试 估计该校学生平均每周的零花钱Y , 并给出其95%的置信区间.
欲估计某高校大学生拥有的手机数量. 假 定该大学共有40 000大学生，10 000个 学生宿舍（每个宿舍住4人），抽400人
方案： 1、根据学生名录按简单随机抽样抽400人
2、根据学生宿舍名录随机抽100个宿舍， 并调查抽中宿舍的每个学生 3、先根据学生宿舍名录随机抽取400个宿 舍，再在每个宿舍中随机抽取一位学生
i
Y Y
N
1 f i 1 nM M ( N 1)
i
Y Y
N
2
定理3 V ( y ) 的样本估计为
1 f 2 v( y ) sb nM
因为
s
2 b
是S
2 b
的无偏估计，
所以 v( y ) 是 V ( y ) 的无偏估计
总体总值
方差
Y NMY 的估计 n N ˆ NMy y Y i n i 1
n
• 总体中的个体均值
（各群 M i M ）
Y Y
M
• 样本中的个体均值
y y
M
• 总体方差
N M 1 2 S Yij Y M t 1 i j


2
• 总体群间方差
N M 2 2 Sb (Yi Y ) N 1 i • 总体群内方差 N M 1 2 Sw Yij Yi N ( M 1) i j
群的规模-指组成群的单元的数量
• 在整群抽样中， 群的规模具有相当的灵 活性，可大可小。群的规模大，估计的 精度差但费用省；群的规模小，估计的 精度提高但费用增大
• 实践中，确定群的规模涉及多种因素， 如群的具体结构、精度费用、调查实施 的组织管理等
• 对于规模大的群，通常采用多阶段抽样。
群的规模有两种情况：
Mt: 总体单位总数
Mt Mi
i 1
N
Yi: 总体中第i群的总量
Yi Yij
j 1
Mi
yi: 样本中第i群的总量 Mi yi yij
j 1
总体中第i群个体均值 样本中第i群个体均值 总体的群均值 样本的群均值
Yi
yi
Yi
yi
Mi
Mi
Y Yi N
N
y yi n
1. 群规模相等时的估计
均值估计量
SRS,群规模相同，均为M，则 Y 的估 计为：
1 yi nM n n M Ny ij ˆ 比较SRS抽 Y NMy 取nM个样本 n
ˆ yij Y y
n M
n
定理1：
y
是 Y 的无偏估计，即
E y Y
因为是按简单随机方法抽取群，所 以样本群均值 y 是总体群均值的 无偏估计，因而
8个宿舍48名学生每周零花钱支出额
i
1 2 3 4 5 6 7 8 58 91 123 99 110 111 120 96 83 83 89 105 99 100 115 80
yij
74 79 94 98 82 111 109 107 66 101 79 129 99 107 106 105 87 69 80 90 124 105 120 86
• 总体中的各群规模相等
采用等概率的方法抽取群 • 总体中的各群规模不等
采用不等概率的方法抽取群
符号说明
• • • • • • N: 总体群数 n: 样本群数 Yij: 总体第i群的第j单位数值 yij: 样本中第i群的第j单位数值 Mi: 第i群规模（单位个数） 本节，M1＝ M2 ＝……＝MN ＝M
• 群的规模相等时经常采用 等概率抽样 • 群的规模不等时也可以使用 等概率抽样 但实际中常采用不等概率抽样。
整群抽样及特点
1.整群抽样:将总体划分为若干群， 以群为抽样单元，对群中的所有 单位进行调查。 2.特点
1)抽样框编制得以简化 2)实施调查便利，节省费用 3)估计效率较低，抽样误差较大 4)对某些特殊结构的总体却有好的
yi
75.00 89.00 95.67
si
125.60 233.60 299.07
104.67 177.87 108.50 287.50 106.33 42.27 112.83 72.57 93.33 527.87