2014年广州市中考数学试卷及答案

2014年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．a （0a ≠）的相反数是（ ）
（A ）a - （B ）a （C ）a （D ）1
a
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）．
（A ） （B ） （C ） （D ）
3．如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC △的三个顶点均在格点上，则tan A =（ ） （A ）35 （B ）45 （C ）34 （D ）43
图2-① 图2-② 图3
4．下列运算正确的是（ ）
（A ）54ab ab -= （B ）112
a
b
a b
+=
+ （C ）624a a a ÷= （D ）()3253a b a b =
5．已知1O 和2O 的半径分别为2cm 和3cm ，若127cm O O =，则1O 和2O 的位置关系是（ ） （A ）外离 （B ） 外切 （C ）内切 （D ）相交
6．计算24
2
x x --，结果是（ ）
（A ）2x - （B ）2x + （C ）
42
x - （D ）2
x x +
7．在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，9，8．对这组数据，下列说法正确的是（ ）
（A ）中位数是8 （B ）众数是9 （C ）平均数是8 （D ）极差是7 8．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变，当
90B =︒∠时，如图2-①，测得2AC =，当=60B ︒∠时，如图2-②，AC =（
）
（A
（B ）2 （C
（D
）
9．已知正比例函数y kx =（0k <）的图象上两点A （1x ，1y ）、B （1x ，2y ），且12x x <，则下列不等式 中恒成立的是（ ）．
（A ）120y y +> （B ）120y y +< （C ）120y y -> （D ）120y y -< 10．如图3，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG DE 、，DE 和FG 相交于点O ．设
AB a =，CG b =（a b >）．下列结论：①BCG DCE △≌△；②BG DE ⊥；③
DG GO
GC CE
=
； ④()22EFO DGO a b S b S -⋅=⋅△△．其中结论正确的个数是（ ）
（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．ABC △中，已知60A =︒∠，80B =︒∠，则C ∠的外角的度数是_____．
12．已知OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为点D E 、，10PD =，则
PE 的长度为_____． 13．代数式
1
1
x -有意义时，x 应满足的条件为______． 14．一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为_______（结果保留π）．
15．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_________，
该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．
16．若关于x 的方程222320x mx m m +++-=有两个实数根1x 、2x ，则()21212x x x x ++的最小值为 。

三、解答题（本大题共9小题，满分102分）
17．（9分）解不等式：523x x -≤，并在数轴上表示解集.
A
B C
D
D
C B
A
俯视图
左视图
主
视图
F E
G
O
D
C
B
A
18．（9分）如图5，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，EF 过点O 且与AB 、CD 分别交于点
E F 、，求证：AOE COF
△≌△．
19．（10分）已知多项式()()()22123A x x x =++-+-. （1）化简多项式A ； （2）若()2
16x +=，求A 的值.
20．（10分）某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：
（1）求a ，b 的值；
（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；
（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中
随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多．．有一名女生的概率．
21．（12分）已知一次函数6y kx =-的图像与反比例函数2k
y x
=-
的图像交于A B 、两点，点A 的横坐标为2．（1）求k 的值和点A 的坐标；（2）判断点B 的象限，并说明理由．
D
B
22、（12分）从广州某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
（1）求普通列车的行驶路程；
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．23、（12分）如图6，ABC
△
中，AB AC
==
cos C=
（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的O，并标出O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）：
（2）综合应用：在你所作的圆中：
①求证：DE CE
=；
②求点D到BC的距离．
图6
C
B
A
24．（14分）已知平面直角坐标系中两定点A （-1，0），B （4，0），抛物线22y ax bx =+-（0a ≠）过点A 、B ，顶点为C ．点P （m ，n ）（n <0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标． （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围．
（3）若3
2
m >，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （502
t <<）个单位，点P 、C 移动后
对应的点分别记为'P 、'C ，是否存在t ，使得首尾依次连接A 、B 、'P 、'C 所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．
25．（14）如图7，梯形ABCD 中，AB CD ∥，90ABC =︒∠，3AB =,4BC =，5CD =，点E 为线段CD 上一
动点（不与点C 重合），BCE ∆关于BE 的轴对称图形为BFE ∆，连接CF ，设CE x =，BCF ∆的面积为1S ，CEF ∆的面积为2S ．
（1）当点F 落在梯形ABCD 的中位线上时，求x 的值； （2）试用x 表示
2
1
S S ，并写出x 的取值范围； （3）当BFE ∆的外接圆与AD 相切时，求21
S
S 的值．
F
E
D
C
B
A
广州市2014年初中毕业生学业考试数 学
一、1． A 2． D3． D 4． C 5． A 6． B 7． B 8． A 9． C 10． B
二、11．140︒12． 10 13． 1x ≠±14． 24π15．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全
等．假命题．16． 5
4
17．解：移项得，532x x -≤，合并同类项得，22x ≤，
系数化为1得，1x ≤，在数轴上表示为：
18．证明：∵平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O
∴AO CO =，AB CD ∥，∴EAO FCO =∠∠
在AOE △和COF △中，EAO FCO
AO CO AOE COF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
，∴AOE COF △≌△
19．解:（1）2(2)(1)(2)3A x x x =++-+-2244223x x x x x =+++-+--
22()(42)(423)x x x x x =-+-+++-33x =+
（2）2(1)6x +=,
则1x +=33A x ∴=+3(1)x =
+=±20．解：（1）()509128516a =-+++= ()10.180.16
0.32
0.10
0.24
b =-+++= （2）“一分钟跳绳”所占圆心角=0.16360=57.6⨯︒︒
（3）至多有一名女生包括两种情况有1个或者0个女生，列表图：
有1个女生的情况：12种 有0个女生的情况：
6种 至多有一名女生包括两种情况18种 至多有一名女生包括两种情况=
1820=9
10
=0.90 21．解：（1）将6y kx =-与2k y x =-联立得22k y x k
y x ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，26k kx x ∴-=-○
1 A 点是两个函数图像交点，将2x =带入○
1式得2262k
k -=-解得2k = 故一次函数解析式为26y x =-，反比例函数解析式为4
y x
=-
将2x =代入26y x =-得，2262y =⨯-=-，A ∴的坐标为(2,2)k =- （2）B 点在第四象限，理由如下：
一次函数26y x =-经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， 因此它们的交点都是在第四象限.
22、解：（1）依题意可得，普通列车的行驶路程为400×1.3=520（千米） （2）设普通列车的平均速度为x 千米/时，则高铁平均速度为2.5x 千米/时．
依题意有：
520400
32.5x x
-=，可得：120x = 答：高铁平均速度为 2.5×
120=300千米/时． 23、 解：（1）如图所示，圆O 为所求 （2）①如图连接OE OD 、，设B α∠=,
又,AB AC OA OD OE OC ====
OEC C B α
∴∠=∠=∠= 1
802E O C A α︒∠=∠=- 则2(1802)(1802)1802DOE DOC EOC ααα︒
︒
︒
∠=∠-∠=⨯---=-
EOC DOE ∴∠=∠，DE EC ∴=
②连接CD ,过A 作AM BC ⊥于M ,过D 作DH BC ⊥于H
∴cosC=
CM AC ==
, 又AB AC = 4CM ∴=,28BC CM == 又AC 为直径，90ADC BDC ︒∴∠=∠=
设BD a =，则AD a =，在Rt BDC ∆和Rt ADC ∆中，
有2222AC AD BC BD -=-，即(()2
2
228a a -=-，解得：a 即CD = 又11
2
2BCD S DH BC BD CD ∆=⋅=⋅，即1182
2DH ⨯⋅=，16
5DH ∴=
24．解：（1）依题意把,A B 的坐标代入得 2016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12
3
2
a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴抛物线解析式为213
222
y x x =
-- ∴顶点横坐标322b x a =-=,将32x =代入抛物线得2133325()()222228y =-⨯-⨯-=- 325
(,)28
C ∴-
(M )
H
O
E D C
B
A
（2）如图,当90APB ︒∠=时,设200013
(,2)22
D x x x --,
则001,4,ED x DF x =+=-20013
222
BF x x =--
过D 作直线l x 轴, ,AE l BF l ⊥⊥，AED BFD ∴∆∆
AE DF ED BF ∴=，2000200013
2
422
131
222
x x x x x x ---∴=+--(注意用整体代入法)
解得120,3x x ==，1(0,2)D ∴-,2(3,2)D -
当P 在12,AD BD 之间时，90APB ︒∠>10m ∴-<<或34m <<时，APB ∠为钝角. （3）依题意3m >，且90APB ︒∠=，(3,2)P ∴-
设,P C 移动t （0t >向右，t o <向左），325
(3,2),(,)28
P t C t ''∴+-+-
连接,,AC P C P B ''''，则ABP C C AB BP P C C A ''''''=+++
又,AB P C ''的长度不变，∴四边形周长最小，只需BP C A ''+最小即可 将C A '沿x 轴向右平移5各单位到BC ''处，P '沿x 轴对称为P ''
∴当且仅当P ''、B 、C ''三点共线时，BP 'C A '+最小，且最小为P C ''''，此时1325
(,)28C t ''+-
(3,2)P t ''+，设过P C ''''的直线为y kx b =+，代入 13
25();28(3)2
t k b t k b ⎧++=-⎪
⎨⎪++=⎩
∴4128
41(3)2
28k t b ⎧
=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩
即4141(3)22828t y x +=-+
+ 将(4,0)B 代入，得：4141(3)4202828t +-
⨯++=，解得：15
41t =- ∴当，P 、C 向左移动15
41
单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。

25．解：（1）如图○1，HK 为梯形ABCD 的中位线，则2CH HB ==，过点E 作EI HK ⊥于点I ，则有：
,2EF CE x EI CH ====，在Rt EFI ∆中，有,2EF x EI ==
，FI ∴=在Rt FBH ∆中，4,2BF BC BH ===
，FH ∴= 又HI CE x ==
，FH FI IH x =+=
x =
（2）如图○
2，BE 交CF 于点J ，Rt BCE ∆与Rt BFE ∆关于BE 对称， 则有：CJ BE ⊥，90CJE BJC ∠=∠= 又90,90CEJ ECJ BCJ ECJ ∠+∠=∠+∠=
CEJ BCJ ∴∠=∠，CEJ
BCJ ∴∆∆，22
216
CEH BCH S CE x S BC ∆∆∴==
又Rt BCE ∆与Rt BFE ∆关于BE 对称，,CEJ EFJ S S ∆∆=CJB BFJ S S ∆∆=
221(05)16
CEF CEJ BCF BCJ S S S x x S S S ∆∆∆∆∴===<≤ （3）如图○
3，当Rt BFE ∆的外接圆与AD 相切时，则F 为切点. BFE ∆的圆心落在BE 的中点，设为K
则有FH AD ⊥，过点K 作,,KL AB LM BC KN CD ⊥⊥⊥， 连接,,,KF KA KD KC ，得
112,222
x
KN KL BC KM CE ==
===
,B E =
则12FK BE =
=又ABCD DKA CKD CKB AKB S S S S S ∆∆∆∆=+++
(35)4152432
222222
x +⨯⨯⨯∴
=⨯+⨯+
解得：123232x x =-+=--
（舍去）22113916S x S ∴===-
① ② ③
G。