大一《高等数学》期末考试题(精编汇总题)

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. )(
0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.
2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x
x βα.
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷
小；
（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.
3. 若
()()()0
2x
F x t x f t dt
=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则
（ ）.
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；
（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；
（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.
)
(
)( , )(2)( )(1
=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设
（A ）2
2x （B ）2
2
2x
+（C ）1x - （D ）2x +.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5.
=
+→x
x x sin 2
)
31(lim .
6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =
⋅⎰x x x x f d cos )(则 .
7.
lim
(cos cos cos )→∞
-+++=2
2
2
21
n n n
n
n
n π
π
ππ .
8.
=
-+⎰
2
12
12
211
arcsin －
dx x
x x .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数=()y y x 由方程
sin()1x y
e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17
7
x x x x ⎰+-求
11. ．
　求，， 设⎰--⎪⎩⎪
⎨⎧≤<-≤=1 32
)(1020)(dx x f x x x x xe x f x
12. 设函数)(x f 连续，
=⎰1
0()()g x f xt dt
，且
→=0
()
lim
x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨
论'()g x 在=0x 处的连续性.
13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足
=-
1
(1)9y 的解.
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线
斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.
(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，
1
()()≥⎰⎰q
f x d x q f x dx
.
17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且
)(0
=⎰
π
x d x f ，
cos )(0
=⎰
π
dx x x f .证明：在
()π,0内至少存在两个不同的点
21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设
⎰=
x
dx
x f x F 0
)()(）
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 6e .
6.c
x x +2
)cos (21　.7. 2π. 8.
3π.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
(1)cos()()0x y
e y xy xy y +''+++=
cos()
()cos()x y x y
e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==，(0)1y '=-
10. 解：7
67u x x dx du ==
1(1)112
()7(1)71u du du
u u u u -==-++⎰⎰原式 1
(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712
ln ||ln |1|77x x C =-++
11. 解：1
03
3
()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰
3
()x xd e --=-+⎰⎰
00
2
32
cos (1sin )x x
xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰
令
321
4e π
=
--
12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

===
⎰⎰1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
02
()()()(0)
x
xf x f u du
g x x x
-'=
≠⎰
2
0()()A
(0)lim lim
22x
x x f u du
f x
g x x →→'===⎰
02
()()lim ()lim
22x
x x xf x f u du
A A
g x A x
→→-'==-
=
⎰，'()g x 在=0x 处连续。

13. 解：2
ln dy y x
dx x +=
2
2
(ln )
dx dx
x x y e e xdx C -⎰⎰=+⎰
2
11
ln 39x x x Cx -=
-+
1
(1),09y C =-=，
11ln 39y x x x
=- 四、 解答题（本大题10分）
14. 解：由已知且0
2d x
y y x y
'=+⎰，
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程：022
=--r r
解出特征根：.2,121=-=r r
其通解为 x
x e C e C y 221+=-
代入初始条件y y ()()001='=，得
31,3221==
C C
故所求曲线方程为：x
x e e y 23132+=-
五、解答题（本大题10分）
15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：
)(1
ln 00
0x x x x y -=
-
由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：
x e y 1= 则平面图形面积
⎰-=
-=1
121
)(e dy ey e A y
（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则
2131e V π=
曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2
⎰-=1
22)(dy
e e V y π
D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
)
3125(6221+-=
-=e e V V V π
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
16. 证明：10
()()q f x d x q f x dx -⎰⎰1
()(()())
q q q
f x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰
10
(1)()()q
q
q f x d x q f x dx
=--⎰⎰
1212[0,][,1]
()()
12(1)()(1)()
0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=
---≥
故有：
1
()()≥⎰⎰q
f x d x q f x dx
证毕。

17.
证：构造辅助函数：
π
≤≤=⎰x dt t f x F x
0,)()(0。

其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导。

)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F
由题设，有
⎰⎰⎰⋅+===π
ππ
π0
)(sin cos )()(cos cos )(0|dx
x F x x x F x xdF xdx x f ，
有⎰=π
sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在 ),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f . 高等数学I
解答
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是无穷小. (A) ()()x x βα+
(B)
()()x x 22βα+ (C)
[])()(1ln x x βα⋅+
(D) )()
(2x x βα
2. 极限
a
x a x a x -→⎪⎭⎫ ⎝⎛1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1
（B ） e
（C ） a
e
cot （D ） a
e
tan
3.
⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-+=001
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1
（B ） 0
（C ） e （D ） 1-
4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=
--+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f '
(C) )(a f '
（D ） )
(31
a f '
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 极限)
0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1.
6. 由x x y e y
x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x
xe ye x y
x xy
xy
ln 2sin 2+++
- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直线l 的方程为 13
1211--=--=-z y x .
8. 求函数2
)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） .
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
9. 计算极限10(1)lim
x
x x e
x →+-.
解：1
1
ln(1)120
00(1)1
ln(1)lim
lim lim
2x x
x
x x x x e e x x e
e e x x
x +-→→→+--+-===-
10. 已知：||3a =，||26b =，30a b ⋅=，求||a b ⨯。

解：
1312
cos 1sin ,13
5cos 2=
-==⋅=θθθb a b a
，
72
=⨯b a
11. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且
]
,[)()()(b a x dt
t f t x x F x
a
∈-=⎰，试求出)(x F ''。

解：
⎰⎰-=x
a
x
a
dt
t tf dt t f x x F )()()(
⎰⎰=-+='x
a
x
a
dt
t f x xf x xf dt t f x F )()()()()(
)()(x f x F =''
12. 求
3cos .sin x x dx x ⎰ 解：23cos 1sin sin 2x x dx xd x x -=-⎰⎰ 2221111
sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C
---=-+=--+⎰
四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
13. 求
⎰
-2
3
2
21
x x dx .
令　
1x t =
⎰
--=21
2
322)1
(11
11dt t t t
原式
=-⎰dt
t 121
2
32
=arcsin t
12
32=
π
6
14. 求函数
212x x y +=
的极值与拐点. 解：函数的定义域（－∞，+∞）
22)1()1)(1(2x x x y ++-=' 322)1()3(4x x x y +--=
''
令0='y 得 x 1 = 1, x 2 = -1
0)1(<''y x 1 = 1是极大值点，0)1(>-''y x 2 = -1是极小值点
极大值1)1(=y ，极小值1)1(-=-y
0=''y 33故拐点（-3，-23），（0，0）（3，23
）
15. 求由曲线
43x y =与2
3x x y -=所围成的平面图形的面积. 解　:,,
x x x x x x 3232431240=--+=
x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123
S x x x dx x x x dx
=-++---⎰⎰()()3260
2
3024334 =-++---()()x x x x x x 423602340
21632332316
=+=4521347
1
3 16. 设抛物线2
4x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧A B 上，求一点(,)P x y 使ABP ∆的
面积最大.
解：
AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程： 点到的距离　的面积
+-==+-=-++-≤≤2104521
5
235
132()
∆
S x x x x x ()()=
⋅⋅-++=-++12452352232
2
当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()401 此时 所求点为，y =313()
另解：由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线
的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使　解得所求点为∆ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,()
,(),,(,)
002
0004253312113-'=-=--+=-=
六、证明题（本大题4分）
17. 设0x >，试证x x e x +<-1)1(2. 证明：设
0),1()1()(2>+--=x x x e x f x
1)21()(2--='x e x f x ，x xe x f 24)(-=''，
0)(,
0≤''>x f x ，因此)(x f '在（0，+∞）内递减。

在（0，+∞）内，)(,0)0()(x f f x f ='<'在（0，+∞）内递减， 在（0，+∞）内，),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x
亦即当 x >0时，x x e x
+<-1)1(2 。

高等数学I A
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 18. 函数
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤>-+=0,sin 1
0,2tan 1,1)
1ln()(x x x x x x x x x f π
的全体连续点的集合是 （ ）
(A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞)
(C) (-∞,0) (0, +∞)
(D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞)
19. 设0)11
(lim 2=--++∞→b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ）
（A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1）
20. 设在[0，1]上)(x f 二阶可导且0)(>''x f ，则（ ） （A ）)0()1()1()0(f f f f -<'<' (B) )1()0()1()0(f f f f '<-<' (C) )0()1()0()1(f f f f -<'<'
（D ）)0()1()0()1(f f f f '<'<-
21.
,1cos sin 2
2
2
4dx x
x
x M ⎰-
+=
π
π
⎰-
+=2
24
3
)cos (sin π
πdx x x N ⎰--=
2
2
432)cos sin (π
π
dx x x x P 则（ ）
（A ） M < N < P （B ） P < N < M （C ） P < M < N （D ） N < M < P
二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1. 设=->)1arctan (12
x x d x （ ） 2. 设⎰
+=,sin )(c x dx x f 则⎰=
dx x f n )()(（ ）
3. 直线方程p z n y m x +-=
=--65
24，与xoy 平面，yoz 平面都平行，
那么m n p ,,的值各为（ ）
4. =
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+∞→∑2
12lim
n i n
i x e n i （ ）
三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
1. 计算 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-→220
1sin 1
lim x x x
2. 设
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f 试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f ' 3. 设函数),()(+∞-∞=在x f y 连续，在x ≠0时二阶可导，且其导函数)(x f '的图形如图所示，给出
)(x f
)(x f y =的拐点。

四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）
1. 求不定积分 ⎰-+x dx x x 2)12(
2. 计算定积分
⎰e
e
dx
x 1ln 3. 已知直线43
5221:
312
1:21-=-=--=
=z y x l z y x l ,求过直线l 1且平行于直线l 2的平
面方程。

4. 过原点的抛物线2
ax y =及y =0,x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为π
581
，确定抛物
线方程中的a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积。

五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
1. 设
)()1()(2
x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f ，试证明存在ξ（21<<ξ）使得0)(=''ξF 。

2.
⎰≥-=x
n x tdt t t x f 0
22)
0(sin )()( （1） 求)(x f 的最大值点；
（2） 证明：
)32)(22(1
)(++≤
n n x f
一、单项选择题 B D B C.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. dy =dx x x x )1arctan 411(2-+-.
6. ⎰=dx x f
n )()
(⎰++=+
c n x dx n x )2sin()2cos(ππ.
7.
0,6,2≠-==n p m .
8. )1(21
-e .
三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
9. (8分)计算极限 22011lim()
sin x x x →-.
解：222222
0011sin lim()lim sin sin →→--=x x x x x x x x
30sin sin lim →-+=x x x x x x x
201cos 12lim 33x x x →-==
10. (8分)设
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f ，试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f '. 解：
当
x x x x f x 1sin
1cos 2)(,0+='>；当1)(,0='<x f x 2001cos
00'(0)lim 0'(0)lim 1
x x x x x x f f x x +-∆→+∆→-∆-∆-∆=====∆∆
故f (x )在x =0处不可导。

()⎪⎩⎪⎨⎧
<>+='0101sin
1cos 2x x x
x x x f 11. (8分)设函数()y f x =在(,)-∞+∞连续，在0x ≠时二阶可导，且其导函数()f x '的图形如
()f x ()y f x =的拐点.
解：极大值点：x a =x d = 极小值点：x b = 拐点(0,(0)),(,())f c f c
四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）
12. (9分)求不定积分 2
2(2)(1)x dx
x x --⎰.
解：原式=2413
()(1)1dx x x x -++--⎰
=
1
4ln 3ln 11x x c x -
--+-
13. (9分)计算定积分
1
ln e
e
x dx
⎰
.
解：原式=()111
ln ln e
e
x dx xdx
-+⎰⎰
()[]1
11
ln ln e
e
x x x x x x =--+-⎡⎤⎣⎦
2
2e =-
14. (9分)已知直线
11:
123x y z l -==，2123:254x y z l ---==,求过直线l 1且平行于直线l 2的平
面方程.
解：12(1,2,3)(2,5,4)(7,2,1)n s s =⨯=⨯=-
取直线l 1上一点M 1(0,0,1) 于是所求平面方程为 72(1)0x y z -++-=
15. (9分)过原点的抛物线2
ax y = (0)a > 及y =0, x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体
积为π
581. 求a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积.
解：
1
1
5
22200()5x V a x dx a ππ==⎰2
5a π= 由已知得
58152π
π=a 故 a = 9 抛物线为：29x y = 绕y 轴一周所成的旋转体体积：
1
2
029V x x dx π=⋅⎰1
4091842x ππ
== 五 综合题（每小题4分，共8分）
16. (4分)设)()1()(2
x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f . 证明：存
在ξ（12ξ<<）使得()0F ξ''=。

证明：由)(x f 在[1，2]上二阶可导，故F (x )在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故 F (1)=F (2) = 0
在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点)21(,00<<x x 使0)(0='x F
)
()1()()1(2)(2x f x x f x x F '-+-='得0)1(='F
在[1，x 0]上对)(x F '用罗尔定理，至少有点)21(0<<<x ξξ0)(=''ξF 17. (4分).
解：（1）1x =为()f x 的最大值点。

22()()sin n f x x x x
'=-，当01
x <<，
22()()sin 0
n f x x x x '=->；当
1
x >，
22()()sin 0n f x x x x '=-≤。

(1)f 为极大值，也为最大值。

（2）
220
()()sin (1)
x
n f x t t tdt f =-≤⎰
1
1
2
2220
1
(1)()sin ()(22)(23)n
n f t t tdt t t t dt n n =-≤-=
++⎰⎰
高等数学上B （07）解答
一、
填空题：（共24分，每小题4分）
1．2sin[sin()]y x =，则dy dx =22
2cos[sin()]cos x x x 。

2． 已知2
1a
dx x π+∞-∞=+⎰，a =__1______。

3．
1ln e
e
x dx =⎰
2
2e -。

4． x
y e =过原点的切线方程为y ex =。

5．已知()x f x e =，则'(ln )
f x dx x ⎰=x c +。

6．a =32-
，b =92
时，点(1,3)是曲线32
y ax bx =+的拐点。

二、计算下列各题：（共36分，每小题6分） 1．求cos (sin )x
y x =的导数。

解：
cos lnsin cos lnsin ()(sin ln sin cot cos )x x x x y e e x x x x ''==-+ 2．求sin ln xdx
⎰。

解：sin ln sin ln cosln xdx x x xdx
=-⎰
⎰
sin ln cosln sin ln x x x x xdx =--⎰
1
(sin ln cosln )2x x x x C =-+ 3
．求dx ⎰。

解：
212=+
5ln |x C =+
4．设
,
0()1,0x k
e x
f x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩在点0x =处可导，则k 为何值？ 解：1
00(0)lim lim k
k x x x f x x --→-→-
'==
01
(0)lim 1
x x e f x +→+-'== 1k =
5
．求极限
2n
n →∞
++。

解：
2
lim n n
n k n →∞
→∞
=+++=
lim
n
n k
→∞
==
10
=⎰=
1
0ln(|ln(1x ==
6．求过点(2,2,0)且与两直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩和200x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩平行的平面方程。

解：两直线的方向向量分别为1(1,2,1)(1,1,1)(1,2,3),s =-⨯-=--2(2,1,1)(1,1,1)(0,1,1)s =-⨯-=--，平面的法向量(1,2,3)(0,1,1)(1,1,1)n =--⨯--=--。

平面方程为0x y z -+=。

三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）
1．设cos sin x R t y R t =⎧⎨=⎩，求22
d y dx 。

解：cot dy
t
dx =-
22
311
(cot )sin sin t d y t dx
R t R t '=-=-- 2．求0()(1)x
F x t t dt =-⎰在[1,2]-上的最大值和最小值。

解：()(1)0,0,1F x x x x x '=-===
1012001
(0)0,(1)(1),
652
(1)(1),(2)(1)63F F t t dt F t t dt F t t dt -==-=--=-=-=-=
⎰⎰⎰ 最大值为23，最小值为5
6-。

3．设()y y x =由方程22
(1)ln(2)0x y x y +-+=确定，求'(0)y 。

解：方程
22
(1)ln(2)0x y x y +-+=两边同时对x 求导
2222(1)20
2x y y xyy x y '
+'++-
=+
将
1
0,2x y ==
代入上式
5'(0)8y =
4．求由2y x =与2
y x =围成的图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积。

解：
1
40
()V y y dy
π=-⎰
310π=
四、证明题：(共12分，每小题6分)
1．证明过双曲线1xy =任何一点之切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。

证明：双曲线1xy =上任何一点(,)x y 的切线方程为
21
()Y y X x x -=-
-
切线与x 轴、y 轴的交点为1
(0,),(2,0)
y x x +
故切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为 1
()2
s x y x =+=
2．设函数()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上连续，证明：至少存在一点ξ使得
()()()()b a f g x dx g f x dx
ξ
ξξξ=⎰⎰
证明：令()()()b x
x a F x g x dx f x dx
=⎰⎰
()()0F a F b ==，由Rolle 定理，存在一点[,]a b ξ∈，使()0F ξ'=，即
()()()()b
a
f g x dx g f x dx
ξ
ξ
ξξ=⎰⎰
高等数学上解答（07）
一、 单项选择题（每小题4分，共16分）
1．
|sin |
()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞是 A 。

（A ）奇函数； （B ）周期函数；（C ）有界函数； （D ）单调函数
2．当0x →时，
2
()(1cos )ln(12)f x x x =-+与 B 是同阶无穷小量。

（A ）3x ； （B ）4x ； （C ）5x ； （D ）2
x
3．直线2020x y z x y z -+=⎧⎨
+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是 C 。

（A ）直线在平面内；（B ）平行； （C ）垂直； （D ）相交但不垂直。

4．设有三非零向量,,a b c 。

若0, 0a b a c ⋅=⨯=，则b c ⋅= A 。

（A ）0； （B ）-1； （C ）1； （D ）3 二、 填空题（每小题4分，共16分）
1．曲线ln y x =上一点P 的切线经过原点(0,0)，点P 的坐标为(,1)e 。

2．
20
tan lim
(1)x x x x x e →-=
-1
3。

3．方程
2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。

4．曲线2
y x =、1x =与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为5π。

三、 解下列各题（每小题6分，共30分）
1．已知2sin ()lim ()
t
t t x f x t →+∞-=，求()f x '。

解：22sin sin ()lim ()t
x
t t x f x e t -→+∞-==
2
sin ()sin 2x f x e x -'=-
2．求不定积分1
[ln(ln )]ln x dx x +⎰。

解: 11
[ln(ln )]ln(ln )ln ln x dx x dx dx x x +=+⎰⎰⎰
11
ln(ln )ln ln x x dx dx
x x =-+⎰⎰
ln(ln )x x C =+
3
．计算定积分1
241sin (1x x dx x -++⎰。

解：111
2244111sin sin ((11x x x dx x dx x dx x x ---=+++⎰⎰⎰
1
1
(0
x dx -=+⎰
sin 2220
2sin cos x t
t tdt
π
==⎰
8π
=
4．求不定积分1sin 1cos x
dx x ++⎰。

解：1sin 1sin 1cos 1cos 1cos x x
dx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰
21cos sec 221cos x d x dx x =-+⎰⎰
tan ln |1cos |2x
x C
=-++
5．已知(ln )f x x '=，且(1)1f e =+，求()f x 。

解：令ln x t =，()t
f t e '=
()x
f x e C =+
(1)1f e =+，
()1x
f x e =+ 四、
（8分）设()f x 对任意x 有(1)2()f x f x +=，且
1
(0)2f '=-。

求(1)f '。

解：由(1)2()f x f x +=，(1)2(0)f f = 1()(1)(1)lim
1x f x f f x →-'=- 10(1)(1)lim x t t f t f t =+→+-= 02()2(0)lim
t f t f t →-=
2(0)1f '==-
五、（8分）证明：当1x >时，22(1)ln (1)x x x ->-。

证明：只需证明(1)ln 1x x x +>-。

令()(1)ln 1f x x x x =+-+
1
()ln 0
f x x x '=+>，()f x 在[1,)+∞单调递增。

(1)0f =，当1x >时，()0f x >。

即22
(1)ln (1)x x x ->-。

六、 （8分）
已知
220
()()()x
F x x t f t dt
''=-⎰，()f x ''连续，且当0x →时，()F x '与2
x
为等价无穷小量。

求(0)f ''。

解： 20()lim 1x F x x →'=
22220
()()()()()x x x
F x x t f t dt x f t dt t f t dt
''''''=-=-⎰⎰⎰
220
()2()()()2()x x
F x x f t dt x f x x f x x f t dt
'''''''''=+-=⎰⎰
22002()()lim lim 2(0)x
x x x f t dt F x f x x →→'''''==⎰
1
(0)2f ''=
七、 （8分）
设有曲线
2
4 (01)y x x =≤≤和直线 (04)y c c =<<。

记它们与y 轴所围图形的面积为1A ，它们与直线1x =所围图形的面积为2A 。

问c 为何值时，可使12A A A =+最
小？并求出A 的最小值。

解：
4120
(1c A A A dy
=+=+-⎰
⎰
()1A c '=
令()10A c '==，得1c =。

1(1)02A ''=
>，1c =为最小值点。

401min (11
A dy =+-=⎰⎰
八、设()f x 在(,)a b 内的点0x 处取得最大值，且|()| ()f x K a x b ''≤≤≤。

证明：|()||()|()f a f b K b a ''+≤-
证明：0()0f x '= 在0[,]a x 对()f x '应用拉格朗日定理
01010()()()() ()f x f a f x a a x ξξ''''-=-<< 100()()(), |()|() f a f a x f a K x a ξ''''=-≤-
在0[,]x b 对()f x '应用拉格朗日定理
02002()()()() ()f b f x f b x x b ξξ''''-=-<<
200()()(), |()|() f b f b x f b K b x ξ''''=-≤-
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)
1、
.)1ln(2)(;)1ln(2)(;
)1ln()()1ln()(,d 1
1
c e x D c x e C c e B c e A I x e e I x x x x x x ++-+-++++-=
+-=⎰ 则设
答( )
2、
lim ()()()()n n n n n
e e e
e A B e C e D e →∞
-⋅⋅=
1212
1 答（ ） 3、
)()1()1()()1(1)()1)(1()1()()1)(1(1)()
10)(()(11
)(1
2
1
21
1
11 答 式中 格朗日型余项阶麦克劳林展开式的拉的++++++++θ--θ-θ-+-θ-+<θ<=-=n n n n n n n n n n n x x D x x C x
x n B x x n A x R n x
x f
4、
)()()()()()()()()(0
, 2cos 1)
(lim
,0)0(,0)(0 答 的驻点但不是极值点
　是的驻点 不是的极小值点　是的极大值点 是则点且的某邻域内连续在设x f D x f C x f B x f A x x
x f f x x f x ==-==→ 5、
1213)(49)(94)(421)()1(2)4,0(422002　
图形的面积所围成的平面
与曲线处的切线上点曲线D C B A A x y T M M x x y =
-=+-=
答( )
二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)
1、设　，则＿＿＿＿
y x x y =++'=ln tan()11
2
、
并相应求得下选内的近似根时，在用切线法求方程023,)01(0152x x x x -=--- __________________ 101 分别为，则一个近似值x x x
3、设空间两直线
λ1
2111-=+=-z y x 与x y z +=-=11相交于一点，则λ=⎽⎽⎽⎽⎽ 。

4、. ___________0 , 001
sin )(2==⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-+=a x x a x x
e x x
f ax 处连续，则在 ，当，当
5、是实数．
，其中b dx x b
_________________ 0 =⎰ 三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )
设平面π与两个向量 a i j =+3和 b i j k =+-4平行，证明：向量
c i j k =--26与平面π垂直。

四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )
的敛散性．
讨论积分⎰10p x dx
五、解答下列各题 ( 本 大 题11分 )
为自然数。

其中的递推公式导出计算积分n x x x
I n n ,1d 2
⎰+=
六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )
求过P 0423(,,)-与平面π:x y z ++-=100平行且与直线⎩⎨
⎧=-=--+010052:1z z y x l 垂直的直线方程。

七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )
x x x x x x tan 2cos sin 1lim
0-+→计算极限
八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )
．
，并计算积分为自然数的递推公式试求⎰⎰=e
e
n
n dx x n dx x I 131)(ln )()(ln
九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )
设在内可微但无界，试证明在内无界。

f x a b f x a b ()(,),()(,)' 十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )
[])()(lim , )()(lim )(lim 0000
00u f x f u f u f u x x x u u x x =ϕ==ϕ→→→证明：，设。

十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )
体的高求体积最大的内接圆柱的球内在半径为,R 十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )
重量为p 的重物用绳索挂在A B ,两个钉子上，如图。

设
cos ,cos αβ==
12134
5，求A B ,所受的拉力f f 12,。

B
十三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )
一质点沿抛物线运动其横坐标随着
时间的变化规律为的单位是秒的单位是米求该质点的纵坐标在点，处的变化速率．,(),(,),()y x x t x t t t x M =-=1086
十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )
;)1.(,02,2求这个平面图形的面积围成一平面图形及设曲线=-==y y x y x .)2(积轴旋转而成的立体的体求此平面图形绕x
、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)
1、C
2、答：B
3、C 10分
4、（Ｂ）
5、C
二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)
1、()sec ()
(tan())
111211
22-+++x
x x x x 10分
2、x 00= 5分
x 115=-
10分
3、54
4、-1
5、-<=>⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪b b b b b 2
2
200020，　，， 10分
三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )
平面法向量
n a b i j
k
=⨯=-=-31
0114
4122{,,}
4分 n c =-2 n 与 c 平行 8分
从而平面与
c 垂直。

10分
四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )
当时， p dx x dx x p x p p p p p ≠==-⋅=--⎰⎰→+→+-→+-11111111
0101011
01lim lim()lim ()
εεεε
εε =-<+∞>⎧⎨⎪
⎩⎪1
111
p
p p ，， 5分
当时，p dx x dx
x x p ====+∞⎰⎰→+1010
101lim ln εε
7分 .1110时发散时收敛，当当≥<⎰p p x dx
p 10分
五、解答下列各题 ( 本 大 题11分 )
⎰+=+1
1
:21x d x I n n 法一
解
=
++++++⎰x x n x x dx n n 2122
111
()
3分
=+++++=+++++++=
+++++++++-+⎰⎰⎰x x n x x x dx x x n x x dx n dx x x x x n I n I n n n n n n n n
212
2221
22221
21111
1111111
11()()()()()
故I x n x n n I n n n
++=-++-+2
21
111()
7分
法二令 I x x x c
I x n x n
n I n I x x c x t dx tdt
n n n 1221
202211
112121=+-+∴=-+-+--≥=+++==--ln ()()ln tan sec 10分
∴==⎰⎰I tdt t t t
t dt n n n sec tan sec sec tan 2 3分
⎰⎰⎰⎰
++++=++==+++++dt t t n dt t t n t t dt t t n t t t t d n n n n n n tan sec )1(tan sec )1(tan sec tan sec )1(tan sec tan sec 2312
311
5分
　=++++∴=-+-
++∴=-+-+--≥++++--x x n I I I n n I x n x I x n x n
n I n n n n n n n n n n 21
22
21
21
21
111111212()()()()()
7分
I x x x c
1211
=+-+ln
I x x c 021=+++ln .
10分
六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )
π的法向量为={,,}111
l 1的方向向量为
S 12101
210=-=-{,,}
3分 所求直线方向向量为 S =⨯=-112
3{,,}
7分
从而所求直线方程为
x y z -=-=+-41223
3
10分
七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )
原式=+-++→lim
sin cos tan (sin cos )
x x x x
x x x x x 021212
3分 =+→12202lim(sin tan sin tan )
x x x x x x x x 7分 =+=121452()
10分
八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )
I x dx
x x n x dx
n n e
n
e n e
==-⎰⎰-(ln )ln (ln )1
1
11
=--e nI n 1
4分
于是　I e ne n n e n dx
n n e =-+--+-⎰()()!111
)1(!)1(2)1()
1()1(1
--+--+--+-=-e n e n n e n n ne e n n 7分
所以 (ln )()x dx e e e e e e 31
366162=-+--=-⎰
10分
九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )。