线性回归方程分析-精选.

环球雅思学科教师辅导讲义

讲义编号： 组长签字： 签字日期：

学员编号： 年 级： 高二 课时数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：闫建斌 课 题 线性回归方程

授课日期及时段 2014-2-11 18:00-20:00 教学目标 线性回归方程基础 重点、难点

教 学 内 容

1、本周错题讲解

2、知识点梳理

1．线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系 ②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：a bx y +=∧

（最小二乘法）

最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法

1

221n

i i i n

i

i x y nx y b x nx a y bx

==⎧

-⎪

⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=

n

i n

i i i

n

i i i

y y x x

y y x x

r 1

1

2

21

)()()

)((

注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；

⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；

②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 3．线形回归模型：

⑴随机误差e ：我们把线性回归模型e a bx y ++=，其中b a ,为模型的未知参数，e 称为随机误差。 随机误差a bx y e i i i --=

⑵残差e

ˆ：我们用回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的y ˆ估计a bx +，随机误差)(a bx y e +-=，所以y y e ˆˆ-=是e 的估计量，故a x b y y y e i

i i i i ˆˆˆˆ--=-=，e ˆ称为相应于点),(i i y x 的残差。 ⑶回归效果判定-----相关指数(解释变量对于预报变量的贡献率) 2

2

1

2

1

ˆ()1()

n

i

i

i n

i

i

i y y

R y y ==-=-

-∑∑

(2R 的表达式中2

1

)(∑=-n

i i y y 确定)

注：①2

R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；

②2

R 越接近于1，，则回归效果越好。 4．独立性检验（分类变量关系）：

(1)分类变量：这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量。 (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表。

(3)对于22⨯列联表：2

K 的观测值)

)()()(()(2

d b c a d c b a bc ad n k ++++-=。

(4)临界值0k 表：

)

(02k k P ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0k

0.455

0.708

1.323

2.072 2.706

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

如果0k k ≥，就推断“Y X ,有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，在样本数据中没有发现足够证据支持结论“Y X ,有关系”。

(5)反证法与独立性检验原理的比较：

反证法原理 在假设0H 下，如果推出矛盾，就证明了0H 不成立。 独立性检 验原理

在假设0H 下，如果出现一个与0H 相矛盾的小概率事件，就推断0H 不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率。

典型例题

1．(2011·山东)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：

广告费用x /万元 4 2 3 5 销售额y /万元

49

26

39

54

根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^

为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( )．

A ．63.6万元

B ．65.5万元

C ．67.7万元

D ．72.0万元 解析 ∵x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋54

4＝42，

又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)，∴42＝72×9.4＋a ^，∴a ^

＝9.1.

∴线性回归方程为y ^

＝9.4x ＋9.1.

∴当x ＝6时，y ^

＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案 B

2．(2011·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

父亲身高x /cm 174 176 176 176 178 儿子身高y /cm

175

175

176

177

177

则y 对x 的线性回归方程为 ( )． A.y ^＝x －1 B.y ^

＝x ＋1 C.y ^＝88＋12x D.y ^

＝176

解析 因为x －＝174＋176＋176＋176＋178

5

＝176，