系统可靠性原理习题答案

=0.9996
(3)最小路集法，设系统完好之事件为S，将系统简化为如下逻辑图：
由图可得：
这样可得①、③之间的最小路集为
mps={e1e4,e1e5,e2e4,e2e5,e3e4,e3e5}
则系统的逻辑表达式为
=X1X4+X1X5+X2X4+X2X5+X3X4+X3X5
将S进行不交化标准化得S’(自行用配项法化)，则系统可靠度为
3、设某种元件的λ=0.001 / h，试求解：
（1）由这种元件组成的二元件并联系统、两元件串联、2/3（G）系统的平均寿命；
解：由题意可知，单个元件的可靠度为Ri(t)=e-λt，i=1，2，3。
A、二元件并联：
系统的可靠度为:
Rp(t)=1-(1-R1(t))(1-R2(t))=2e-λt-e-2λt
系统逻辑表达式为S=1- =1-
则系统的可靠度为Rs=P(S)=1-P( )
(6)结构函数法，设对基本单元的结构函数为f123,f45，对系统的结构函数为f，则由原系统图可知：
f123( )=x1⋁x2⋁x3
f45( )=x4⋁x5
f( )=f123⋀f45
=(x1⋁x2⋁x3)⋀(x4⋁x5)
=x1x4+ x1x5+ x2x4+ x2x5+ x3x4+ x3x5
=0.9996
6、试计算图示系统可靠度。请使用逻辑图简化法、最小路集法、最小割集法、故障树分析法、结构函数法解决同一问题。设图示系统元件可靠度均为0.98。
解：(1)设第i个元件的可靠度为xi,i=1,2,3,4,5
则系统的可靠度Rs= =
=0.98×(2×0.98-0.98×0.98)+0.02×(2×0.98-0.98×0.98)(2×0.98-0.98×0.98)
《系统可靠性原理》习题
h：小时（hour）。
1、元件可靠性的定义是什么？规定条件、规定时间、规定功能各是什么含义？
解：元件的可靠性：元件在规定的时间内、规定条件下完成规定功能的能力。
规定时间：指保修期、使用期和贮存期。
规定条件：即使用条件，主要包括：环境条件、包装条件、贮存条件、维修条件，操作人员条件等。
Rs=P(S)=0.9996
(4)最小割集法，设系统完好之事件为S，将系统简化为如下逻辑图：（虚线表示）
由图可知，系统的最小割集为mcs={{ },{ }}
则系统的逻辑表达式为：S=1- =1-
则系统的可靠度为Rs=P(S)=1-P( )
(5)故障树法，设系统完好之事件为S，将系统图简化成如下故障树图：
解：
=0.9996
(2)布尔展开，选x2进行分解：
S=f(x1,1,x3,x4,x5)x2+f(x1,0,x3,x4,x5) 2
=
Rs=P(S)
=
=0.98×(2×0.98-0.98×0.98)+0.02×(2×0.98-0.98×0.98)(2×0.98-0.98×0.98)
=0.9996
(3)结构函数，选x2，对系统有：
规定功能：指元件/系统的用途。
2、元件的可靠度、故障率和平均寿命各是怎么定义的？
解：元件的可靠度：在规定条件下，在时刻t以前正常工作的概率。
元件故障率：即故障率函数，元件在t时刻以前正常工作，在t时刻后单位时间内发生故障的（条件）概率。
平均寿命：即平均无故障工作时间，也称做首次故障平均时间，是寿命的期望值。
此时系统的平均寿命为
由于λ=0.001 / h，故MTTF=1500(h)
B、二元件串联：
系统的可靠度ห้องสมุดไป่ตู้:
Rs(t)=R1(t)R2(t)=e-2λt
此时系统的平均寿命为
由于λ=0.001 / h，故MTTF=500(h)
C、2/3（G）系统：
系统的可靠度为:
RG(t)=R1(t)R2(t)R3(t)+(1-R1(t))R2(t)R3(t)+R1(t)(1-R2(t))R3(t)+R1(t)R2(t)(1-R3(t))
解：
状态划分如下：
元件
状态
3
2
1
系统状态
S0
0
0
0
0
S1
0
0
1
0
S2
0
1
0
0
S3
0
1
1
1
S4
1
0
0
0
S5
1
0
1
1
S6
1
1
0
1
S7
1
1
1
1
状态转移图：
写出系统的转移率矩阵的转置阵，再求解。
9、请用状态合并算法将习题8和9中的系统状态合并为正常状态和故障状态，并再计算系统故障频率。
解：
10、一系统故障树如图所示。请分别用上行法和下行法求系统割集。
系统可靠度为
MTTF=1/(λ1+λ3)+1/λ3=104×12/11
MTTR= =
=[11,10,10000]T
MTBF=MTTR+MTTF
8、画出由3个相同元件组成的2/3（G）系统元件间状态转移图，求稳态可用度，故障频率，MTBF及MTTR。λ=0.001 /h，一个维修人员，μ=0.1/h。
解：(1)串联的情况
转移率矩阵为：
，
状态概率函数：
系统的瞬时可用度：
稳态可用度：
(2)并联情况：
5、试计算图示系统可靠度。请使用全概率公式、布尔展开定理和结构函数法解决同一问题。设图示系统元件可靠度均为0.98。
解：(1)全概率公式：
选x2，系统的可靠度为
=0.98×(2×0.98-0.98×0.98)+0.02×(2×0.98-0.98×0.98)(2×0.98-0.98×0.98)
解：上行法：
G6=X5X6
G5=X6X7
G4=X4+X5
G3=X3+G6=X3+X5X6
G2=G4G5=(X4+X5)X6X7
G1=G2+G3=X3+X5X6+(X4+X5)X6X7=X3+X5X6+X4X6X7
T=X1+X2+G1=X1+X2+X3+X5X6+X4X6X7
下行法：
T=X1+X2+G1
解：由图可写出系统的转移率矩阵的转置阵为：
P0=uλ2/(uλ1+λ1λ2+2uλ2)=1000/2011
P1=uλ1/(uλ1+λ1λ2+2uλ2)=1/2011
P2=λ1λ2/(uλ1+λ1λ2+2uλ2)=10/2011
P3=uλ2/(uλ1+λ1λ2+2uλ2)=1000/2011
稳态可用度As(∞)=P0+P3=2000/2011
=0.9996
(2)逻辑图简化
设第i个元件完好之事件为Xi,i=1,2,3,4,5。系统完好之事件为S
由图可得：S=(X1∪X2∪X3)∩(X4∪X5)
则系统可靠度为
Rs=P(S)=P((X1∪X2∪X3)∩(X4∪X5))
=0.98×(2×0.98-0.98×0.98)+0.02×(2×0.98-0.98×0.98)(2×0.98-0.98×0.98)
f=x2f12+(1-x2)f02
f12= =x4+x5-x4x5
f02= =(x1+x3-x1x3)(x4+x5-x4x5)
则f=x2(x4+x5-x4x5)+(1-x2)(x1+x3-x1x3)(x4+x5-x4x5)
Rs=P(f)
=0.98×(2×0.98-0.98×0.98)+0.02×(2×0.98-0.98×0.98)(2×0.98-0.98×0.98)
系统可靠度Rs=E[f( )]
7、某保护系统的状态转移图如图所示。图中，“0”表示设备完好，“1”表示通过检验查明为失效待用状态，“2”——故障修理状态，“3”——预防维修状态，求系统稳态可用度，故障频率，MTBF和MTTR。λ1=0.001 /h，λ2=1/h，λ3=0.0001 /h，μ=0.1/h。
=3e-2λt-2e-3λt
此时系统的平均寿命为
由于λ=0.001 / h，故MTTF=2500/3(h)
（2）t=100h, 500h,1000h时，由这种元件组成的二元件并联系统、两元件串联、2/3（G）系统的可靠度分别是多少？
解：将各t值代入(1)中的各可靠度R(t)即可得结果。
4、两个相同元件组成的旁联系统，转换开关完全可靠，λ=0.001/h，一个维修人员，μ=0.1/h，求t=10h系统的瞬时可用度和稳态可用度。
=X1+X2+(G2+G3)
=X1+X2+(G4G5+X3+G6)
=X1+X2+((X4+X5)X6X7+X3+X5X6)
=X1+X2+X3+X5X6+X4X6X7
11、试画出n个相同元件+1个维修工组成的系统的状态转移图。
解：
(1) 串联情况：
(2)并联情况：
12、试画出两个不同元件组成的串联系统，但元件1具有维修优先权的状态转移图。