单纯形法的灵敏度分析与对偶

**********************最优解如下************************* 目标函数最优值为 : 27500 变量 最优解 相差值 --------------------x1 50 0 x2 250 0 约束 松弛/剩余变量 对偶价格 ------------------- -------1 0 50 2 50 0 3 0 50 目标函数系数范围 : 变量 下限 当前值 上限 ---------------------------x1 0 50 100 x2 50 100 无上限 常数项数范围 : 约束 下限 当前值 上限 ---------------------------1 250 300 325 2 350 400 无上限 3 200 250 300
（１）先分析非基变量s1: c3 σ3
由于是非基变量，故套用公式（1）
ck k
当△C3 ≤-σ3, 时最优解不变;已知 σ3=-50, △C3 ≤－（－50）=50； c’=c+△C<=0+50=50
最优解不变。
（2）再分析基变量的系数分析：
ck Hale Waihona Puke Baidu k
j j 0 ck min akj 0 akj max J a a J kj kj
第六章* 单纯形法的灵敏度分析与对偶
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶单纯形法
第六章* 单纯形法的灵敏度分析与对偶
如何利用最优单纯形表进
行灵敏度分析。。
单纯形表--求解结果：
迭代 基变 次数 量
CB
x1
X2
s1
s2
S3
比值
50 100
0
0
0
b
bi ai 2
x1 50 S2 0
50 -50
50 50
250
Z=27500
2 x2 100 0
j cj z j

a1
50 100 50 0 0
-- -50L --
50R 缩小区间
故，max{-50}≤△C1 ≤min{50}，左半 径和右半径 [保证区间半径最小] 则当-50≤△C1 ≤50时最优解不变，即 x1的目标函数系数C’有： 50-50=c1+ L ≤C‘=C1+△C1≤ c1+R=50+50， 0≤C‘≤100时，最优解不变。
2x1+x2≤400
x2≤250 x1 ≥0, x2≥0
s.t.
2x1+x2+s2=400 x2+s3 =250
x1 ≥0, x2≥0, si≥0
一、线性规划问题解的基本概念
•基及基本解:
max z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3 1x1+1 x2+1s1+0s2+0s3 =300 s.t.
0
1 0
0
0
0 0
1
0
1 -2
0
-50
0 1
0
0 0
-1 1
1
50 -50
50 50
250
Z=
27500
x2 100
Zj
50 100 50
j cj z j
第1节 单纯形表的灵敏度分析
一. 目标函数中变量系数 Ck灵敏度分析 现要利用单纯形表法来进行Ck 的灵敏度分 析。由于目标函数变量分为基与非基变量， 故讨论时,分两类来讨论。 1.在最终的单纯形表里, xK 非基变量. 2.在最终的单纯形表里, xK 基变量.
例如对基变量X1的系数C1进行灵敏度分析：
从表中获得了: a11=1, a12=0, a13=1, a14=0, a15=-1
单纯形表灵敏度分析
迭代 基变 次数 量
CB
x1
X2
s1
s2
S3
50 100
0
0
0
b
比值
x1 50 S2 0
Zj
j j
1 0
0 0
1
0
1 -2
0
-50
0 1
0
0 0
-1 1
1
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
CB
x1
X2
s1
s2
S3
比值
50 100 1 0 0 0 1
0
0
0
0
b 50 50 250
bi aiJ
x1 50 S2 0
Zj
1 -2 0
-50
0 1 0
0 0
-1 1 1
50 -50
2 x2 100 0
j cj z j
50 100 50 0
Z=27500
第1节 单纯形表的灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里, xK 非基变量。 由于约束条件（方程）系数增广矩阵在迭代中只是其本身 的行的初等变换与CK 没有任何关系，所以当CK 变为CK +△CK 时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变， 又因为xK 是非基变量，所以基变量的目标函数的系数不 变，即CB 不变，可知ZK 也不变，只是CK 变为CK +△CK 。
这时σK= CK－ ZK 变成了CK +△CK－ ZK= σK+ △CK .要使得原来的最
优解仍为最优解，只要σK+ △CK ≤ 0 即可，也就是 △CK ≤ －σK 即可。
ck k
第1节 单纯形表的灵敏度分析
２.在最终的单纯形表里, xK 为基变量。 由于约束条件（方程）系数增广矩阵在迭代中只 是其本身的行的初等变换与CK 没有任何关系， 所以当CK 变为CK +△CK 时，在最终单纯形表中 其系数的增广矩阵不变，但基变量在目标函数 的系数CB变了，则Zj 也变了， 相应地，σＪ也变 了。变化规律为：


LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 27500.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 50.000000 0.000000 X2 250.000000 0.000000
2x1+1 x2+0s1+1s2+0s3 =400 0x1+1x2+0s1+0s2+1s3 =250
x1 ≥0, x2≥0, s1≥0， s2≥0， s3≥0
表解形式的单纯形法

例子:
max z 50x1 100x2 0 s1 0 s2 0 s3 x1 x2 s1 300 2 x1 x2 s2 400 x2 s3 250 x1 , x2 , s1, s 2, s3 0
j j 0 ck min akj 0 max akj a a kj kj
目标函数： max z=50x1+100x2 x1+ x2≤300 s.t.
max
z=50x1+100x2 x1+ x2+s1=300