整数环上的不可约多项式
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则 ， ） Ｚ上不 可 约． （ 在
证 明 若 厂 ）在 Ｚ上 能分 解 为其 中一 因式的 （
次数 小 于或等 于 ｋ的 多项 式之 积 ， 妨设 不
厂 ）＝ （ ． ） （ ＝ｇ ）ｌ ， ｝ （
收 稿 日期 ：２ ０ — ０ — ２ ． ０８ ７ ５
其 中
ｇ（ ）一 Ｘ － ， ｚ － ４ － ｔ ＋ ｂ ＋ ｂ ， －ｂ １ －… ｌ ｏ
数学研究 ， Ｅ—ｍａ ：ｈ ｎ ｕ ｗｅ ｌ ＠１ ３ ｃｒｉ ｉ ｃｅ ｘ ｅ ｎ ７ ６ ．ｏ ｌ ｎ 吴晓红（ ９ ６ ） 女 ， 西桂 林 人 ， １８ － ， 广 主要从 事代 数学 研究 ，
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ｔｑ ， ＜ 一 １ ＋ ｑ＝ 咒 ≤ ｋ ，ｔ ，ｔ ．
弓 理 ５ Ｉ Ｅ 设
＋ … ＋ ｎ ｘ＋ ａ ｌ ｏ ， ）一 ａｘ － ａ （ ”４ ｒ１ －
如果能 找到一 个 素数 Ｐ， 得 使
（） 口 ； １Ｐ
是一个 整 系数 多项 式 ， （ ， 互 素 ）是它 的一 个有 理 ｒ ｒｓ
（ ） 口 １ 口 ２ … ，ｏ ２ 户Ｉ ， ，， ， ａ ； ｒ ｒ （） 、 ， ３ 卜
， ）一 ａｘ （ ＋ ｄ－ｚ ＋ … ＋ ａｘ＋ ａ ， ｗｌ １ ｏ
做 了大 量 的研 究 ， 在 不 可约 多项 式 的判别 法上 取得 并 了大量 的研究 成果 ． 。 ］ 引理 ２。 若 ［
厂ｚ （ ）一 Ｘ ＋ － ｂ ４ ， －
其 中 口， ｋ∈ Ｚ， 一 ０ １ … ， １ａ ， ｉ ，， ｎ一 ，０为素数 ， 以 若
引理 ４。 若 ［
．
厂 ）＝ ＋ 口 ＋ ｂ ＋ ｃ （ ｚ ｘｒ ，
ａ ｂ ｃ∈ ＞ ２ ｃ ， 为素 数 ，、ｂ ｌ ， ｚ 无 ｃ卜 士 ， （ ） 项 式 的乘积 ， 则称 厂 ｚ （ ）为整 数 环 Ｚ上 的不 可 约 多项 其 中 ， ， ， ｚ， 式 ．整数环 Ｚ上 不 可约 多项 式 的常 用 判 别 法 为 以下 整数 根 ， ， ｚ 在 Ｚ上 不可 约． 则 （）
根 ， 么 必有 那
那 么 厂（ ） 有理 数域 Ｑ上不 可 约． ｚ 在
ｓＩ ｒＩ ０ ａ ， ａ． 特别 地 ， 如果 ， ）的首 项 系数 ａ （ ＝ １ 那 么 厂 ｚ 的 ， （） 有理 根都 是整 数根 ， 而且 是 ａ 的 因子． 。
Ｅ ｓｎ ｔｉ 别法 有 一定 的局 限性 ， ｉ ｓｅ ｅ ｎ判 如
（ ） ａ ａ ，『 １ ２ … ， １ ３ ｏＪ ｊ ．一 ， ， ｋ一 ，
则 ， ） Ｚ上 不 能分 解 为其 中一 因式 的次数 小于或 （ 在 等 于 是的多项 式 之积．
其 中 ａｂ，∈ ｚ，＞ ２ｂ ，， ｌ ， ｌ ，为素数 ， 士ｂ｝ １６ 土 １ ｌ ａ ≠ ， 口 ，
Ｅ ｓｎ ｔｉ ｉｅ ｓｅ ｎ判别 法 ．
引 理 １ Ｅ ｓｎ ｔｉ 别 法 ）１ 设 （ ｉ ｓｅｎ判 ｅ ［ ］ ， 一 ｚ ＋ 口 ｌ （ ” ， ｒ ＋ … ＋ ｄＸ＋ ａ ｌ ｏ∈ Ｚ ，
本 文推广 ［］中的结 果 ， 到 不可 约 多项 式 的一 ２ 得
些判 别方 法． 为此 先给 出 以下 引理 ．
判 断 特 殊 不 可 约 整 系数 多 项 式 的方 法 ， 展 原 有 研究 结 果 ， 拓 宽 判 断 不 可 约 ）∈ Ｚ ［ ］是 次 数 大 于 １的 多 项 式 ， 若
， ） 整数 环 Ｚ上不 能分 解成 两 个次 数 比它低 的多 （ 在
下条 件满 足 ： （ ） ， ）在 Ｚ上 无 一 次因式 ； １ （
（ ） ａ ａ ２ ｏ Ｉ土 １ ；
其 中 口 ｂ ∈ Ｚ， ，， 扎＞ １ ｂ为 素 数 ，Ｉａ－ ｂ Ｉ １ ， ４ ≠ ， － 则 ， ）在 Ｚ上 不可 约 ． （ 引理 ３ 若 Ｅ 。
厂（ ｚ）一 Ｘ ＋ 仳 。＋ ｂ ，
２ ２
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ Ｃ０ＬＬＥ Ｅ Ｎ ＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
高等 数 学 研 究
Ｖｏ ３。 ． Ｌ １ Ｎｏ １
Ｊｎ ，０ ０ ａ． ２ １
整 数 环 上 的 不 可 约 多 项 式
陈 雪 雯 吴 晓 红。 ，
（ ． 西 经 贸 职 业 技 术 学 院 ， 宁 ，３ ０ １ ２ １广 南 ５ ０ ２ ； ．广 西 师 范 大 学 数 学科 学 学 院 ， 林 ，４ ０ ４ 桂 ５ １０ ）
， ）一 Ｘ 十 ２ （ 。 ｚ＋ ５
不 存在 满 足 Ｅ ｓｎ ｔｉ 别 法 的 素 数 ， ｉ ｓｅｎ判 ｅ 因此 不 能 用 Ｅ ｓｎ ｔｉ 判 别法 来判 定 ． 了克服 这个 局 限性 ， ｉｅ ｓｅ ｎ 为 前人
以下 用 ［］表示 不超 过 的最 大 整数． ｚ
定理 １ 若
摘 要 著名 的 Ｅ ｓｎ ｔｉ ｉ ｓｅ ｅ ｎ判别法为寻求整系数不可约多项式提供 了方法 ， 但此判别法 的三个充分条件具有
一
定 的局 限性 ， 致使对相 当多 的特 殊整系数不可约多项式的判断失效． 在总结前人 研究工作 的基础 上 ， 推导 能有效
关 键 词 整 数 环 ； 可 约 ； 项 式 ． 不 多 中 图分 类 号 ０１ １ ２ ５ ．
基金项 目：国家 自然 科 学基 金 （ ０ ６ ０ ２ １ ５ １０ ）和 广 西 自然 科 学 基 金 （ ６ ０ ６ ）资助． ０４０２
作 者 简 介 ： 雪 雯 （ ９２－） 女 ， 西 南 宁 人 ， 士 ， 师 ， 要 从 事 代 腺 １７ － ， 广 硕 讲 主
＾（ ｚ）一
＋ Ｃ－ ｚ ＋ … ＋ ｃＸ＋ ｃ ， ｑｌ １ ０
证 明 若 厂 ）在 Ｚ上 能分 解 为其 中一 因式的 （
次数 小 于或等 于 ｋ的 多项 式之 积 ， 妨设 不
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收 稿 日期 ：２ ０ — ０ — ２ ． ０８ ７ ５
其 中
ｇ（ ）一 Ｘ － ， ｚ － ４ － ｔ ＋ ｂ ＋ ｂ ， －ｂ １ －… ｌ ｏ
数学研究 ， Ｅ—ｍａ ：ｈ ｎ ｕ ｗｅ ｌ ＠１ ３ ｃｒｉ ｉ ｃｅ ｘ ｅ ｎ ７ ６ ．ｏ ｌ ｎ 吴晓红（ ９ ６ ） 女 ， 西桂 林 人 ， １８ － ， 广 主要从 事代 数学 研究 ，
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是一个 整 系数 多项 式 ， （ ， 互 素 ）是它 的一 个有 理 ｒ ｒｓ
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做 了大 量 的研 究 ， 在 不 可约 多项 式 的判别 法上 取得 并 了大量 的研究 成果 ． 。 ］ 引理 ２。 若 ［
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其 中 口， ｋ∈ Ｚ， 一 ０ １ … ， １ａ ， ｉ ，， ｎ一 ，０为素数 ， 以 若
引理 ４。 若 ［
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厂 ）＝ ＋ 口 ＋ ｂ ＋ ｃ （ ｚ ｘｒ ，
ａ ｂ ｃ∈ ＞ ２ ｃ ， 为素 数 ，、ｂ ｌ ， ｚ 无 ｃ卜 士 ， （ ） 项 式 的乘积 ， 则称 厂 ｚ （ ）为整 数 环 Ｚ上 的不 可 约 多项 其 中 ， ， ， ｚ， 式 ．整数环 Ｚ上 不 可约 多项 式 的常 用 判 别 法 为 以下 整数 根 ， ， ｚ 在 Ｚ上 不可 约． 则 （）
根 ， 么 必有 那
那 么 厂（ ） 有理 数域 Ｑ上不 可 约． ｚ 在
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Ｅ ｓｎ ｔｉ 别法 有 一定 的局 限性 ， ｉ ｓｅ ｅ ｎ判 如
（ ） ａ ａ ，『 １ ２ … ， １ ３ ｏＪ ｊ ．一 ， ， ｋ一 ，
则 ， ） Ｚ上 不 能分 解 为其 中一 因式 的次数 小于或 （ 在 等 于 是的多项 式 之积．
其 中 ａｂ，∈ ｚ，＞ ２ｂ ，， ｌ ， ｌ ，为素数 ， 士ｂ｝ １６ 土 １ ｌ ａ ≠ ， 口 ，
Ｅ ｓｎ ｔｉ ｉｅ ｓｅ ｎ判别 法 ．
引 理 １ Ｅ ｓｎ ｔｉ 别 法 ）１ 设 （ ｉ ｓｅｎ判 ｅ ［ ］ ， 一 ｚ ＋ 口 ｌ （ ” ， ｒ ＋ … ＋ ｄＸ＋ ａ ｌ ｏ∈ Ｚ ，
本 文推广 ［］中的结 果 ， 到 不可 约 多项 式 的一 ２ 得
些判 别方 法． 为此 先给 出 以下 引理 ．
判 断 特 殊 不 可 约 整 系数 多 项 式 的方 法 ， 展 原 有 研究 结 果 ， 拓 宽 判 断 不 可 约 ）∈ Ｚ ［ ］是 次 数 大 于 １的 多 项 式 ， 若
， ） 整数 环 Ｚ上不 能分 解成 两 个次 数 比它低 的多 （ 在
下条 件满 足 ： （ ） ， ）在 Ｚ上 无 一 次因式 ； １ （
（ ） ａ ａ ２ ｏ Ｉ土 １ ；
其 中 口 ｂ ∈ Ｚ， ，， 扎＞ １ ｂ为 素 数 ，Ｉａ－ ｂ Ｉ １ ， ４ ≠ ， － 则 ， ）在 Ｚ上 不可 约 ． （ 引理 ３ 若 Ｅ 。
厂（ ｚ）一 Ｘ ＋ 仳 。＋ ｂ ，
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Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ Ｃ０ＬＬＥ Ｅ Ｎ ＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
高等 数 学 研 究
Ｖｏ ３。 ． Ｌ １ Ｎｏ １
Ｊｎ ，０ ０ ａ． ２ １
整 数 环 上 的 不 可 约 多 项 式
陈 雪 雯 吴 晓 红。 ，
（ ． 西 经 贸 职 业 技 术 学 院 ， 宁 ，３ ０ １ ２ １广 南 ５ ０ ２ ； ．广 西 师 范 大 学 数 学科 学 学 院 ， 林 ，４ ０ ４ 桂 ５ １０ ）
， ）一 Ｘ 十 ２ （ 。 ｚ＋ ５
不 存在 满 足 Ｅ ｓｎ ｔｉ 别 法 的 素 数 ， ｉ ｓｅｎ判 ｅ 因此 不 能 用 Ｅ ｓｎ ｔｉ 判 别法 来判 定 ． 了克服 这个 局 限性 ， ｉｅ ｓｅ ｎ 为 前人
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定理 １ 若
摘 要 著名 的 Ｅ ｓｎ ｔｉ ｉ ｓｅ ｅ ｎ判别法为寻求整系数不可约多项式提供 了方法 ， 但此判别法 的三个充分条件具有
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定 的局 限性 ， 致使对相 当多 的特 殊整系数不可约多项式的判断失效． 在总结前人 研究工作 的基础 上 ， 推导 能有效
关 键 词 整 数 环 ； 可 约 ； 项 式 ． 不 多 中 图分 类 号 ０１ １ ２ ５ ．
基金项 目：国家 自然 科 学基 金 （ ０ ６ ０ ２ １ ５ １０ ）和 广 西 自然 科 学 基 金 （ ６ ０ ６ ）资助． ０４０２
作 者 简 介 ： 雪 雯 （ ９２－） 女 ， 西 南 宁 人 ， 士 ， 师 ， 要 从 事 代 腺 １７ － ， 广 硕 讲 主
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