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2012-2013学年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷

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2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．设全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，则∁U A＝．2．不等式＜0的解集是．3．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{a2+1}，若B⊄A，则实数a的值为．4．用列举法写出集合A＝{y|y＝x2﹣1，x∈Z，|x|≤1}＝5．已知不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，则a+b＝6．命题“如果a≠0，那么a2＞0”的逆否命题为．7．已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，B＝{（x，y）|y＝3﹣x．x∈R}，则A∩B＝．8．若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a的取值范围为．9．已知集合A＝{x||x﹣1|≤1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a的取值集合为10．已知集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为．11．已知正实数x，y满足x+y＝1，则﹣的最小值是12．若不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，则a的取值范围是．二、选择题13．“x＞1”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．若实数a、b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＜B．a2＞b2C．ab＞b2D．a3＞b315．设集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，则P与Q的关系是（）A．P⊄Q B．Q⊄P C．P＝Q D．P∩Q＝∅16．已知集合A＝{1，2，3，…n）（n∈N*}，集合B＝{j1，j2，…j k）（k≥2，k∈N*）是集合A的子集，若1≤j1＜j2＜…＜j m≤n且j i+1﹣j i≥m（i＝1，2，……，k﹣1），满足集合B的个数记为n（k⊕m），则7（3⊕2）＝（）A．9B．10C．11D．12三、解答题17．已知x，y是实数，求证：x2+y2≥2x+2y﹣2．18．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣12＜0}，B＝{y|y＝，x∈R}，求A∩B，A∪（∁U B）．19．已知命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．20．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，集合B＝{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}．（1）当m＝2时，求集合∁R A和集合B；（2）若集合B∩Z为单元素集，求实数m的取值集合；（3）若集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，求实数m的取值集合．21．已知集合P的元素个数为3n（n∈N*）个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即P＝A∪B∪C，A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，其中A＝{a1，a2，…，a n}，B＝{b1，b2，…b n}，C＝{c1，c2，…，c n}．若集合A、B、C中的元素满足c1＜c2＜…＜c n，a k+b k＝c k，k＝1，2，…n，则称集合P为“完美集合”．（1）若集合P＝{1，2，3}，Q＝{1，2，3，4，5，6}，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合P＝{1，x，3，4，5，6}为“完美集合”，求正整数x的值；（3）设集合P＝{x|1≤x≤3n，n≥2，n∈N*}①证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n＝4k或n＝4k+1（k∈N*）②判断当n＝4时，集合P是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C；如果不是，请说明理由．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试卷解析一、填空题1．【解答】解：全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，则∁U A＝{1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．2．【解答】解：∵＜0，∴（x﹣1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜1，故不等式的解集是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．3．【解答】解：若B⊂A，则①a2+1＝﹣1，a∈∅；②a2+1＝0，a∈∅；③a2+1＝2，a＝±1；∵B⊄A，∴a≠±1．故答案为：a≠±1．4．【解答】解：∵|x|≤1，且x∈Z；∴x＝﹣1，0，或1；∴x2＝0，或1；∴y＝﹣1，或0；∴A＝{﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．5．【解答】解：不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，∴方程x2﹣ax+b＝0的实数根为2和3，∴，a＝5，b＝6；∴a+b＝11．故答案为：11．6．【解答】解：原命题“如果a≠0，那么a2＞0”，∴其逆否命题为：“若a2≤0，则a＝0”．故答案为：若a2≤0，则a＝0．7．【解答】解：A∩B＝{（x，y）|}＝{（1，2）}．故答案为：{（1，2）}．8．【解答】解：若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a≤1，故答案为：a≤19．【解答】解：A＝{x|0≤x≤2}，①B＝∅，a＝0，②B≠∅，B＝{}，0＜≤2，≥，∴a≥1，故实数a的取值集合为[1，+∞）∪{0}．故答案为：[1，+∞）∪{0}．10．【解答】解：∵集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，∴x2﹣2x+a＝0的解为x＝0或无解，∴a＝0或Δ＝4﹣4a＜0，解得a＞1．∴实数a的取值集合为{a|a＝0或a＞1}．故答案为：{a|a＝0或a＞1}．11．【解答】解：正实数x，y满足x+y＝1，则﹣＝＝＝（）[x+（y+1）]﹣4＝（5+）﹣4＝当且仅当且x+y＝1即y＝，x＝时取得最小值是/故答案为：12．【解答】解：∵不等式x+4≤a（x+y），x＞0，y＞0，∴a≥＝，令＝t＞0，可得：f（t）＝．f′（t）＝＝＝．可知：t＝时函数f（t）取得最大值，＝4．f（0）＝0．∴0＜f（t）≤4．∵不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，∴a的取值范围是a≥4．故答案为：[4，+∞）．二、选择题13．【解答】解：若x＞1，则0＜，则成立，即充分性成立，若当x＜0时，成立，但x＞1不成立，即必要性不成立，即“x＞1”是“”成立的充分不必要条件，故选：A．14．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、a＝1，b＝﹣1时，有＞成立，故A错误；对于B、a＝1，b＝﹣2时，有a2＜b2成立，故B错误；对于C、a＝1，b＝﹣2时，有ab＜b2成立，故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若a＞b，必有a3＞b3成立，则D正确；故选：D．15．【解答】解：∵集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，∴Q＝{m|﹣1＜m≤0}．∴P与Q的关系是P＝Q．故选：C．16．【解答】解：由题意可得n＝7，k＝3，m＝2，那么集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}；集合B＝{j1，j2，j3}，1≤j1＜j2≤7，j i+1﹣j i≥2满足集合B的个数列罗出来，可得：{1，3，5}，{1，3，6}，{1，3，7}，{1，4，6}，{1，4，7}；{1，5，7}，{2，4，6}，{2，4，7}，{2，5，7}，{3，5，7}，故选：B．三、解答题17．【解答】证明：因为x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，可得x2≥2x﹣1，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2≥0，可得y2≥2y﹣1，所以x2+y2≥2x+2y﹣2．18．【解答】解：A＝{x|﹣3＜x＜4}；∵x4+1≥2x2；∴；∴B＝{y|y≥2}；∴A∩B＝[2，4），∁U B＝{y|y＜2}；∴A∪（∁U B）＝（﹣∞，4）．19．【解答】解：（1）命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＝12﹣4|m﹣2|＞0，解得﹣1＜m＜5；（2）命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根，可得﹣x2+mx＝|a+1|+|a﹣3|，由|a+1|+|a﹣3|≥|a+1﹣a+3|＝4，可得﹣x2+mx﹣4≥0无实数解，可得Δ＝m2﹣16＜0，即﹣4＜m＜4，命题p和命题q中有且只有一个为真命题，可得或，即有4≤m＜5或﹣4＜m≤﹣1．20．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，集合{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}＝{x|[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＜0}（1）当m＝2时，集合∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}；集合B＝{x|x＞1或x＜}；（2）因为集合B∩Z为单元素集，且0∈B，所以，解得m＝0，当m＝0时，经验证，满足题意．故实数m的取值集合为{0}（3）集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，等价于（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0在（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）上有整数解，所以令f（x）＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1，依题意有1﹣m2≤0或或，解得m＜﹣或m＞0．21．【解答】解：（1）将P分为集合{1}、{2}、{3}，满足条件，是完美集合．将Q分成3个，每个中有两个元素，若为完美集合，则a1+b1＝c1、a2+b2＝c2，Q中所有元素之和为21，21÷2＝c1+c2＝10.5，不符合要求；（2）若集合A＝{1，4}，B＝{3，5}，根据完美集合的概念知集合C＝{6，7}，若集合A＝{1，5}，B＝{3，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{4，11}，若集合A＝{1，3}，B＝{4，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{5，9}，故x的一个可能值为7，9，11中任一个；（3）①证明：P中所有元素之和为1+2+…+3n＝＝a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+a n+b n+c n＝2（c1+c2+…+c n﹣1+c n），∵c n＝3n，∴＝c1+c2+…+c n﹣1+3n，∴＝c1+c2+…+c n﹣1，等号右边为正整数，则等式左边9n（n﹣1）可以被4整除，∴n＝4k或n﹣1＝4k，即n＝4k或n＝4k+1；②p是完美集合，A＝{1，4，3，2}，B＝{6，5，8，10}，C＝{7，9，11，12}或A＝{1，2，4，3}，B＝{5，8，7，9}，C＝{6，10，11，12}或A＝{2，4，3，1}，B＝{6，5，7，11}，C＝{8，9，10，12}．。

2024-2025学年上海市徐汇区南洋中学高一(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年上海市徐汇区南洋中学高一(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年上海市徐汇区南洋中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，则丁是甲的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.如图，U 是全集，A 、B 、C 是它的子集，则阴影部分表示对集合是( )A. (A ∩B)∩CB. (A ∩∁U B)∩CC. (A ∩B)∩∁U CD. (A ∪∁U B)∩C3.如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A. 1a <1bB. ab <b 2C. −ab <−a 2D. −1a <−1b 4.设集合A ={x||x−a|=1}，B ={1,−3,b}，若A ⊆B ，则对应的实数对(a,b)有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对二、填空题：本题共12小题，共40分。

5.A ={x|−1≤x ≤3}，B ={x|x <−2或x ≥2}，则A ∩B = ______．6.用反证法证明：若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形，应假设______．7.不等式|x−1|<2的解集为______．8.不等式(1−2x)(x +1)>0的解集是______．9.方程x 2+(m−3)x +m =0有两个实根，则实数m 的取值范围是______．10.已知log 189=a ，18b =5，则18a−b 2的值为______．11.使不等式|x−5|+|x−3|≥2中等号成立的x 的取值范围是______．12.已知集合A ={2,(a +1)2,a 2+3a +3}，且1∈A ，则实数a 的值为______．13.不等式(a−2)x 2+2(a−2)x−4<0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______．14.若集合A ={1,2}，B ={1,2,3,4,5,6}，若集合M 满足A ⊂M ⊆B ，则这样的集合M 的个数是______．15.设α，β是方程lg 2x−lgx−3=0的两根，则log αβ+log βα= ______．16.记min{x,y,z}表示x ，y ，z 中最小的数.设a >0，b >0，则min{a,1b ,1a +3b}的最大值为______．三、解答题：本题共5小题，共44分。

上海市浦东新区2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

上海市浦东新区2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷一. 填空题1. 用∈或∉填空：0 ∅2. {|1,}A x x x R =≤∈，则R C A =3. 满足条件M {1,2}的集合M 有 个4. 不等式2(1)4x ->的解集是5. 不等式2210x mx -+≥对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围是 6. 集合{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，A B R =，则a 的取值范围是7. 若1x >，92x x+-取到的最小值是 8. 如果0x <，01y <<，那么2y x，y x ，1x 从小到大的顺序是9. 一元二次不等式20x bx c ++≤的解集为[2,5]-，则bc =10. 全集为R ，已知数集A 、B 在数轴上表示如下图，那么“x B ∉”是“x A ∈”的 条件11. 已知U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，用交、 并、补关系将右图中的阴影部分表示出来12. 若规定集合12{,,,}n M a a a =⋅⋅⋅*()n N ∈的子集12{,,,}m i i i a a a ⋅⋅⋅*()m N ∈为M 的第k 个子集，其中12111222m i i i k ---=++⋅⋅⋅+，则M 的第25个子集是二. 选择题13. 集合{,,}A a b c =中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 14. 已知0a ≠，下列各不等式恒成立的是（ ）A. 12a a +> B. 12a a +≥ C. 12a a +≤- D. 1||2a a+≥15. 集合*1{|,}2m A x x m N ==∈，若1x A ∈，2x A ∈，则（ ） A. 12()x x A +∈ B. 12()x x A -∈ C. 12()x x A ∈ D. 12x A x ∈ 16. 设,,x y a R +∈，且当21x y +=时，3a x y+的最小值为则当121x y +=时，3x ay +的最小值是（ ）A. 6 C. 12D.三. 解答题17. 已知实数a 、b ，原命题：“如果2a <，那么24a <”，写出它的逆命题、否命题、逆 否命题；并分别判断四个命题的真假性；18. 集合2{|0,}2x A x x R x +=≤∈-，{||1|2,}B x x x R =-<∈； （1）求A 、B ； （2）求()U B C A ；19. 设:127m x m α+≤≤+()m R ∈，:13x β≤≤，若α是β的必要不充分条件，求实 数m 的取值范围；20. 某农户计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室， 在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m 宽的通道，沿前侧 保留3m 宽的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为 多少时，总占地面积最小？并求出最小值；21. 集合{||1|4}A x x =+<，{|(1)(2)0}B x x x a =--<； （1）求A 、B ； （2）若AB B =，求实数a 的取值范围；2016-2017学年上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（2016秋•浦东新区期中）用∈或∉填空：0∉∅．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】转化思想；集合．【分析】根据元素与集合的关系进行判断【解答】解：∵0是一个元素，∅是一个集合，表示空集，里面没有任何元素．∴0∉∅故答案为：∉．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题2．（2016秋•浦东新区期中）A={x|x≤1，x∈R}，则∁R A={x|x＞1} ．【考点】补集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据集合A，以及全集R，求出A的补集即可．【解答】解：∵A={x|x≤1，x∈R}，∴∁R A={x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．（2016秋•浦东新区期中）满足条件M⊊{1，2}的集合M有3个．【考点】子集与真子集．【专题】综合题；综合法；集合．【分析】根据题意判断出M是集合{1，2}的真子集，写出所有满足条件的集合M，可得答案．【解答】解：由M⊊{1，2}得，M是集合{1，2}的真子集，所以M可以是∅，{1}，{2}，共3个，故答案为：3．【点评】本题考查子集与真子集的定义，写子集时注意按一定的顺序，做到不重不漏，属于基础题．4．（2016秋•浦东新区期中）不等式（x﹣1）2＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞3} ．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据平方数的定义，把不等式化为x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，求出解集即可．【解答】解：不等式（x﹣1）2＞4可化为：x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，解得x＜﹣1或x＞3，所以该不等式的解集是{x|x＜﹣1或x＞3}．故答案为：{x|x＜﹣1或x＞3}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．5．（2016秋•浦东新区期中）不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，△≤0，列出不等式求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则△≤0，即4m2﹣4≤0，解得﹣1≤m≤1；所以实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．故答案为：﹣1≤m≤1．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，是基础题目．6．（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，A∪B=R，则a的取值范围是a≤1．【考点】并集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题考查集合关系中的参数问题，属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，本题解题的关键是借助于数轴完成题目．7．（2016秋•浦东新区期中）若x＞1，x+﹣2取到的最小值是4．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由x＞1，运用基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件．【解答】解：由x＞1，可得x+﹣2≥2﹣2=4．当且仅当x=，即x=3时，取得最小值4．故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意一正二定三等的条件，考查运算能力，属于基础题．8．（2016秋•浦东新区期中）如果x＜0，0＜y＜1，那么，，从小到大的顺序是＜＜．【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用．【分析】由0＜y＜1，可得0＜y2＜y＜1，由x＜0，即可得出大小关系．【解答】解：∵0＜y＜1，∴0＜y2＜y＜1，∵x＜0，∴＜＜．故答案为：＜＜．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2016秋•浦东新区期中）一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，则bc=30．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出b、c的值．【解答】解：一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，所以对应一元二次方程x2+bx+c=0的实数根为﹣2和5，由根与系数的关系得，解得b=﹣3，c=﹣10；所以bc=30．故答案为：30．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系以及根与系数的关系的应用问题，是基础题目．10．（2016秋•浦东新区期中）全集为R，已知数集A、B在数轴上表示如图所示，那么“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据数轴结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由数轴得A={x|x≥1或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x≤1}，则∁R B={x|x＞1或x＜﹣2}，则∁R B⊊A，即“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据数轴关系求出对应的集合，根据集合关系进行判断是解决本题的关键．11．（2016秋•浦东新区期中）已知U是全集，A、B是U的两个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来B∩（∁U A）【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】对应思想；待定系数法；集合．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B当不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩（∁U A）．故答案为：B∩（∁U A）．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．12．（2016秋•浦东新区期中）若规定集合M={a1，a2，…，a n}（n∈N*）的子集{a，a，...a}（m∈N*）为M的第k个子集，其中k=2+2+ (2)则M的第25个子集是{1，4，5} ．【考点】子集与真子集．【专题】新定义；综合法；集合．【分析】根据定义将25表示成2n和的形式，由新定义求出M的第25个子集．【解答】解：由题意得，M的第k个子集，且k=2+2+ (2)又25=20+23+24=21﹣1+24﹣1+25﹣1，所以M的第25个子集是{a1，a4，a5}，故答案为：{a1，a4，a5}．【点评】本小题主要考查子集与真子集、新定义的应用，考查分析问题、解决问题的能力，属于基础题．二、选做题13．（2014•万州区校级模拟）若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC 一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【分析】根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；选D．【点评】本题较简单，注意到集合的元素特征即可．14．（2016秋•浦东新区期中）已知a≠0，下列各不等式恒成立的是（）A．a+＞2 B．a+≥2 C．a+≤﹣2 D．|a+|≥2【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】可取a＜0，否定A，B；a＞0，否定C；运用|a+|=|a|+，由基本不等式即可得到结论．【解答】解：取a＜0，则选项A，B均不恒成立；取a＞0，则选项C不恒成立；对于D，|a+|=|a|+≥2=2，当且仅当|a|=1时，等号成立．故选：D．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用反例法和基本不等式，属于基础题．15．（2016秋•浦东新区期中）设集合A={x|x=，m∈N*}，若x1∈A，x2∈A，则（）A．（x1+x2）∈A B．（x1﹣x2）∈A C．（x1x2）∈A D．∈A【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】利用元素与集合的关系的进行判定【解答】解：设x1=，x2=，x1x2=•=，p、q∈N，x1x2∈A，故选：B【点评】本题主要考查元素与集合的关系的判定，属于基础题．16．（2016秋•浦东新区期中）设x，y，a∈R*，且当x+2y=1时，+的最小值为6，则当+=1时，3x+ay的最小值是（）A．6 B．6 C．12 D．12【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由题设条件，可在+上乘以x+2y构造出积为定值的形式，由基本不等式求得+的最小值为3+2a+2，从而得到3+2a+2=6，同理可得当+=1时，3x+ay 的最小值是3+2a+2，即可求得3x+ay 的最小值是6．【解答】解：由题意x，y，a∈R+，且当x+2y=1 时，+的最小值为6，由于+=（+）（x+2y）=3+2a++≥3+2a+2，等号当=时取到．故有3+2a+2=6，∴3x+ay=（3x+ay ）（+）=3+2a++≥3+2a+2=6，等号当=时取到．故选A．【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，及构造出积为定值的技巧，解题的关键是由题设条件构造出积为定值的技巧，从而得出3+2a+2=6，本题中有一疑点，即两次利用基本不等式时，等号成立的条件可能不一样，此点不影响利用3+2a+2求出3x+ay 的最小值是6，这是因为3+2a+2是一个常数，本题是一个中档题目．三、解答题17．（14分）（2016秋•浦东新区期中）已知实数a、b，原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题；并分别判断四个命题的真假性．【考点】四种命题．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的形式与之间的关系，分别写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；并判断这四个命题的真假性即可．【解答】解：原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，是假命题；逆命题：“如果a2＜4，那么a＜2”，是真命题；否命题：“如果a≥2，那么a2≥4”，是真命题；逆否命题：“如果a2≥4，那么a≥2”，是假命题．【点评】本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假性的判断问题，是基础题目．18．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|≤0，x∈R}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}．（1）求A、B；（2）求B∩（∁U A）．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：（1）A={x|≤0，x∈R}={x|（x+2）（x﹣2）≤0，且x﹣2≠0}={x|﹣2≤x＜2}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}；（2）∁U A={x|x＜﹣2或x≥2}，∴B∩（∁U A）={x|2≤x＜3}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．19．（14分）（2016秋•浦东新区期中）设α：m+1≤x≤2m+7（m∈R），β：1≤x≤3，若α是β的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：设α对应的集合为A，β对应的集合为B，若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，则，即，得﹣2≤m≤0．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键．20．（14分）（2016秋•浦东新区期中）某农户计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m宽的通道，沿前侧保留3m的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最大？并求出最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】设出矩形的长为a与宽b，建立蔬菜面积关于矩形边长的函数关系式S=（a﹣4）（b ﹣2）=ab﹣4b﹣2a+8=800﹣2（a+2b）．利用基本不等式变形求解．【解答】解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800．蔬菜的种植面积S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b﹣2a+8=808﹣2（a+2b）．=648所以S≤808﹣4=648（m2），当且仅当a=2b，即a=40（m），b=20（m）时，S最大值（m2）．答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．【点评】本题考查函数的模型的选择与应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．21．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x||x+1|＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣2a）＜0}．（1）求A、B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；分类讨论；集合．【分析】（1）通过解绝对值不等式得到集合A，对于集合B，需要对a的取值进行分类讨论：（2）A∩B=B，则B是A的子集，据此求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x||x+1|＜4}={x|﹣5＜x＜3}，当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．当a=0.5时，B=∅．当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．（2）由（1）知，A={x|﹣5＜x＜3}，∵A∩B=B，∴B⊆A，①当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．此时，，则＜a≤1.5；②当a=0.5时，B=∅．满足题意；③当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．此时，则﹣2.5≤a＜0.5．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2.5，1.5]．【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，绝对值不等式，一元二次不等式的解法，求出A和B，是解题的关键．。

上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含解析)

上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含解析)

2024-2025学年上海市闵行区高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“”是“”的条件.A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件2.不等式，的解集不可能是( )A. B. R C. D.3.已知集合，，则满足的集合S共有个.A. 3B. 4C. 7D. 84.设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是( )A. 对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集B. 对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C. 对任意a，使得不是的子集，对任意b，不是的子集D. 对任意a，使得不是的子集，存在b，使得不是的子集二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.已知全集为R，集合，则______.6.集合，则集合______.7.若，则的最小值为______.8.若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是______.9.已知，，则的取值范围是______.10.若集合有且仅有一个元素，则实数______.11.用反证法证明命题：“若，则或”的第一步应该先假设______.12.一元二次不等式的解集是，则______.13.关于x的不等式的解集M有下列结论，其中正确的是______.①M可以是；②M可以是R；③M可以是；④M可以是14.已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数______.15.若不等式的解集为，则实数a的取值范围是______.16.不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出，的图像，然后求解，请类比求解以下问题：设a，，，若对任意，都有，则的取值范围是______.三、解答题：本题共5小题，共78分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题14分求下列不等式解集.18.本小题14分已知集合，，全集当时，求，；若，求实数a的取值范围．19.本小题14分一家新兴的医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划应用新技术生产一种新型的医疗器械；已知生产该产品的每年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产x台需另投入成本万元，且由市场调研知，该产品每台的售价为200万元时，本年度内生产的该产品当年能全部销售完.求年利润万元关于年产量x台的函数解析式利润=销售收入-成本；当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？20.本小题18分已知二次函数若关于x的方程的两个实数根，满足，求实数t的值；若对任意都有成立，求实数t的取值范围；若关于x的方程在区间上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围.21.本小题18分在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为动点P在直线上，点，若，求点P的横坐标x的取值范围；动点P在直线上，动点Q在函数图像上，求的最小值；动点Q在函数的图像上，点，的最大值记为如，当点P的坐标为时，求的最小值，并求此时点P的坐标.答案和解析1.【答案】D【解析】本题考查必要条件，充分条件及充要条件的判定，属基础题.结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：因为，，所以“”是“”的充分不必要条件.2.【答案】D【解析】解：当，时，不等式，的解集是；当，时，不等式，的解集是R；当时，不等式，的解集是；当时，不等式，的解集是不等式，的解集不可能是故选当，时，不等式，的解集是；当，时，不等式，的解集是R；当时，不等式，的解集是；当时，不等式，的解集是本题考查一元一次不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.【答案】D【解析】解：因为集合，，所以，所以，，因为，所以S可以为，，，，，，，，共8个．故选：根据题意可得集合B，再结合子集的概念可列举出集合S的所有可能情况．本题考查子集的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．4.【答案】B【解析】解：对于集合，，可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集；当时，，，可得是的子集，故A错误，B正确；当时，，且，可得不是的子集．综上可得，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，故C错误，D错误．故选：运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意a，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误．本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于基础题．5.【答案】【解析】解：全集为R，集合，故答案为：利用补集的定义直接求解．本题考查集合的运算和补集的定义，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】【解析】解：集合，又Z是整数集，故答案为：利用交集的概念计算即可．本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．7.【答案】4【解析】解：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为故答案为：4直接利用基本不等式，即可得解．本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：是的充分条件，，实数m的取值范围是，故答案为：利用充要条件的定义求解即可．本题考查了充要条件的应用，属于基础题．9.【答案】【解析】解：，，又，，故的取值范围为故答案为：根据已知条件，结合不等式的可加性，即可求解．本题主要考查不等式的性质，属于基础题．10.【答案】0或【解析】解：因为集合A中有且仅有一个元素，即方程有一个根或者两个相等的实数根，当时，方程仅有一个实数根，满足题意；当时．，解得，综上，或故答案为：0或由题意得方程有一个根或者两个相等的实数根，然后结合方程根的存在条件可求．本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题．11.【答案】且【解析】解：用反证法证明“若，则或”时，第一步应先假设“且”．故答案为：且直接利用反证法的步骤，即可得到答案．本题考查反证法的应用，考查命题的否定，是基础题．12.【答案】0【解析】解：由题意可知的两个根分别是，且，所以，解得，，所以故答案为：利用三个二次关系计算即可．本题考查了不等式的解集与对应方程关系的应用问题，是基础题．13.【答案】②④【解析】解：对于①：假设结论成立，则，解得，则不等式为，解得，与解集是矛盾，故①错误；对于②：当，时，不等式恒成立，则解集是R，故②正确；对于③：当时，不等式，则解集不可能为，故③错误；对于④：假设结论成立，则，解得，此时不等式为，解得，符合题意，故④正确．故答案为：②④．在假设结论成立时求出a，b值进行判断①④，举特例判断②③．本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．14.【答案】【解析】解：关于x的一元二次方程的两个实根分别为和，，，，解得或，当时，一元二次方程无解，舍去．故故答案为：利用韦达定理得到二次方程两个根之间的关系，再由已知，可得p的值．本题主要考查了韦达定理的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意可知，不等式对任意的恒成立，由三角不等式可得，则，即，解得，因此，实数a的取值范围是故答案为：利用三角不等式得到，再解绝对值不等式即可．本题主要考查绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：类比图像法解不等式，画出和，若对任意都有，则应为增函数，所以两个函数图像应如下图所示：由图像得，解得，其中，，所以，当且仅当时等号成立，故的范围为故答案为：类比图像法，画出和的图像，根据图像列出方程即可．本题主要考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题．17.【答案】解：由，所以不等式解集为；由，则或，所以或，故不等式解集为【解析】将分式不等式化为求解集即可；由公式法求绝对值不等式的解集．本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．18.【答案】解：当时，，所以，由，知，当时，，解得；当时，，解得，综上所述，实数a的取值范围为【解析】把代入，可得集合A，再由并集和交集的运算法则，得解；易知，再分和两种情况，列出关于a的不等式组，解之即可．本题考查集合的运算，熟练掌握集合的关系与运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：由题意可得：当时，，当时，，故；①若，，由二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，万元，②若，当且仅当时，即时，万元．所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元．【解析】分和两种情况，两种情况，结合题意分析求解；分和两种情况，根据二次函数性质结合双勾函数单调性计算最值，比较得到答案．本题考查了函数在生活中的实际运用，也考查了二次函数的性质、利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．20.【答案】解：因为方程，即，且方程的两根为和，所以，解得或，又因为，所以，化简得，解得或舍去，所以由题意得对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，设，则当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以t的取值范围是当，即时，经检验满足题意；当，即或时，由，得，解得，经检验不合题意；综上知，t的取值范围是或【解析】利用一元二次方程的韦达定理及判别式计算即可；分离参数利用换元法结合基本不等式计算即可；分类讨论方程根的情况结合二次函数根的分布计算即可．本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：由已知，则概率“曼哈顿”定义得，，，当时，成立，解得；当时，，解得，当时，，解得，综上所述点P的横坐标x的取值范围为设出动点，，则，，，当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，，，综合得，当，时取等号，的最小值为设，则，若存在实数a，b，使得，则对任意成立，取，得，取，则，，解得，取，，是上是偶函数，当时，若，，若，，当且仅当时，取等号，存在实数a，且，，使得最小值为，点【解析】利用“曼哈顿距离”定义，分类讨论去绝对值解不等式即可；设出动点，，利用曼哈顿距离的定义列出二元函数，将它视为以为参数，为自变量的函数，分类讨论求其最值即可；先取特值确定出最小值，再验证有实数a，b即可．本题考查新定义、两点间距离公式、函数的奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。

2024-2025学年上海市浦东新区南汇一中九年级(上)月考数学试卷(9月份)(含解析)

2024-2025学年上海市浦东新区南汇一中九年级(上)月考数学试卷(9月份)(含解析)

2024-2025学年上海市浦东新区南汇一中九年级（上）月考数学试卷（9月份）一．选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列各组中的四条线段成比例的是()A ．4cm 、2cm 、1cm 、3cmB ．1cm 、2cm 、4cm 、6cmC ．25cm 、35cm 、45cm 、55cmD ．lcm 、2cm 、20cm 、40cm2．（4分）在ABC ∆中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定//DE BC 的是()A ．BD CEAB AC=B ．AB AEAD AC=C ．AB BCAD DE =D ．AB AEAC AD=3．（4分）已知3a b =-，下列说法中不正确的是()A ．a与b 方向相反B ．//a bC ．30a b +=D ．||3||a b = 4．（4分）已知△ABC 与△DEF 相似，又40A ∠=︒，60B ∠=︒，那么D ∠不可能是()A ．40︒B ．60︒C ．80︒D ．100︒5．（4分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面(AB =)A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm6．（4分）如图，90ACB BDC ∠=∠=︒．要使ABC BCD ∆∆∽，给出下列需要添加的条件：①//AB CD ；②2BC AC CD = ；③AC BDBC CD=，其中正确的是()A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果34x y =，那么x yy+的值是．8．（4分）在比例尺为1:20000的地图上，相距4厘米的两地A 、B 的实际距离为米．9．（4分）点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，若6AB =，则AP =．10．（4分）计算：1()(32)2a b a b ---=．11．（4分）两个相似三角形对应高的比2:3，且已知这两个三角形的周长差为4，则较小的三角形的周长为．12．（4分）Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，6BC =，点G 是△ABC 的重心，则点G 到BC 的中点的距离是．13．（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若:2:3DE EC =，则:DEF ABF S S ∆∆=．14．（4分）如图，已知△ABC 中，已知点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，:1:3AD BD =，若△DBE 的面积为3，则△CBE 的面积为．15．（4分）如图，从点(0,2)A 发出一束光，经x 轴反射，过点(3,4)B ，则这束光从点A 到点B 所经过的路径的长为．16．（4分）如图：在△ABC 的内接矩形DGFE ，长边DE 在边BC 上，AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，已知30BC =，10AH =，2DE EF =，那么EF =．17．（4分）定义：如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后．使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在ABC ∆中，4AB =，5AC =，6BC =，△11A BC 是ABC ∆以点B 为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点B 为转似中心的另一个转似三角形△22A BC （点2A 、2C 分别与A 、C 对应）的边22A C 的长为．18．（4分）已知，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =+与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，且点C 的坐标为(3,2)，连接AC ，与y 轴相交于点D ，点E 在x 轴上，如果△ABD 和△ACE 相似，则点E 的坐标为．三．解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知：234x y z==，6x y z -+=，求：代数式32x y z -+的值．20．（10分）已知，如图，点E 在平行四边形ABCD 的边CD 上，且12DE CE =，设AB a = ，AD b = ．（1）用a、b 表示AE ；（直接写出答案）（2）设AE c = ，在答题卷中所给的图上画出3a c -的结果．21．（10分）已知如图，////AD BE CF ，它们依次交直线a ，b 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．（1）如果6AB =，8BC =，21DF =，求DE 的长．（2）如果:2:5DE DF =，9AD =，14CF =，求BE 的长．22．（12分）如图，ABC ∆中，PC 平分ACB ∠，PB PC =．（1）求证：APC ACB ∆∆∽；（2）若2AP =，6PC =，求AC 的长．23．（12分）已知：如图，DE AD AEBC AB AC==，求证：（1）DAB EAC ∠=∠（2）DB AC AB EC = ．24．（12分）如图：在ABC∠中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，四边形BFED是菱形，AF 与DE交于点G，已知3AB=，6BC=，（1）求证：GE DG FC DE=；（2）求GE的长．25．（12分）已知在梯形ABCD中，//AD BC，AD BC<，且5AD=，2AB DC==，（1）如图：P为AD上的一点，满足BPC A∠=∠，求AP的长；（2）如果点P在AD上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPE A∠=∠，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP x=，CQ y=，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当1CE=时，写出AP的长（不必写出解题过程）．参考答案一．选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列各组中的四条线段成比例的是()A ．4cm 、2cm 、1cm 、3cmB ．1cm 、2cm 、4cm 、6cmC ．25cm 、35cm 、45cm 、55cmD ．lcm 、2cm 、20cm 、40cm解：A 、4123⨯≠⨯，故A 不符合题意；B 、6142⨯≠⨯，故B 不符合题意；C 、25553545⨯≠⨯，故C 不符合题意；D 、140220⨯=⨯，故D 符合题意；故选：D ．2．（4分）在ABC ∆中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定//DE BC 的是()A ．BD CEAB AC=B ．AB AEAD AC=C ．AB BCAD DE=D ．AB AEAC AD=解：当BD CEAB AC=时，//DE BC ，A 选项正确；AB ACAD AE=时，//DE BC ，B 、C 选项错误；AB ADAC AE=时，//DE BC ，D 选项错误；故选：A ．3．（4分）已知3a b =-，下列说法中不正确的是()A ．a与b 方向相反B ．//a bC ．30a b +=D ．||3||a b = 解：A ． 3a b =- ，∴a与b 方向相反，故正确；B ． 3a b =- ，∴//a b 或a与b 共线，故不正确；C ． 3a b =- ，∴30a b +=，故正确；D ． 3a b =-，∴||3||a b = ，故正确；故选：B ．4．（4分）已知△ABC 与△DEF 相似，又40A ∠=︒，60B ∠=︒，那么D ∠不可能是()A ．40︒B ．60︒C ．80︒D ．100︒解： △ABC ∽△DEF ，40A ∠=︒，60B ∠=︒，40A D ∴∠=∠=︒或60B D ∠=∠=︒或180406080C D ∠=∠=︒-︒-︒=︒，故选：D ．5．（4分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面(AB =)A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm解：如图：过O 作OM CD ⊥，垂足为M ，过O '作O N AB '⊥，垂足为N ，//CD AB ，CDO ABO '∴∆∆∽，即相似比为CDAB，∴CD OMAB O N='，1578()OM cm =-= ，1174()O N cm '=-=，∴684AB =，3AB cm ∴=，故选：C ．6．（4分）如图，90ACB BDC ∠=∠=︒．要使ABC BCD ∆∆∽，给出下列需要添加的条件：①//AB CD ；②2BC AC CD = ；③AC BDBC CD=，其中正确的是()A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③解：①若//AB CD ，ABC BCD ∴∠=∠，且90ACB BDC ∠=∠=︒，ABC BCD ∴∆∆∽，故①符合题意；②若2BC AC CD = ，∴BC CDAC BC=，且90ACB BDC ∠=∠=︒，无法判定ABC BCD ∆∆∽，故②不符合题意；③若AC BDBC CD=，且90ACB BDC ∠=∠=︒，ABC BCD ∴∆∆∽，故③符合题意；故选：B ．二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果34x y =，那么x yy+的值是74．解：由34x y =，那么34744x y y ++==，故答案为：74．8．（4分）在比例尺为1:20000的地图上，相距4厘米的两地A 、B 的实际距离为800米．解：设AB 的实际距离为x cm ， 比例尺为1:20000，4:1:20000x ∴=，80000800x cm m ∴==．故答案为800．9．（4分）点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，若6AB =，则AP =3-．解： 点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，6AB =∴63AP ==⨯，故答案为：3-．10．（4分）计算：1()(32)2a b a b ---=52a b -+ ．解：原式153222a b a b a b =--+=-+．故答案为：52a b -+．11．（4分）两个相似三角形对应高的比2:3，且已知这两个三角形的周长差为4，则较小的三角形的周长为8．解： 两个相似三角形对应高的比为2:3，即相似比为2:3，∴它们周长的比是2:3，设较小的三角形的周长为2x ，则较大的三角形的周长为3x ，由题意得，324x x -=，解得，4x =，则28x =，∴较小的三角形的周长为8．故答案为：8．12．（4分）Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，6BC =，点G 是△ABC 的重心，则点G 到BC 的中点的距离是1．解：如图所示，点G 是△ABC 的重心，90BAC ∠=︒，6BC =，1632AE ∴=⨯=， 点G 是△ABC 的重心，∴113GE AE ==．故答案为：1．13．（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若:2:3DE EC =，则:DEF ABF S S ∆∆=4:25．解： 四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，AB CD =，DEF BAF ∴∆∆∽，∴2(DEF ABF S DE S AB∆∆=，:2:3DE EC = ，::2:5DE CD DE AB ∴==，:4:25DEF ABF S S ∆∆∴=．故答案为：4:25．14．（4分）如图，已知△ABC 中，已知点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，:1:3AD BD =，若△DBE 的面积为3，则△CBE 的面积为12．解：:1:3AD BD = ，::1:3ADE BDE S S AD BD ∴== ，3DBE S = ，1ADE S ∴= ，314ABE ADE BDE S S S ∴=+=+= ，//DE BC ，::1:3AE CE AD BD ∴==，::1:3ABE CBE S S AE EC ∴== ，∴△CBE 的面积为12；故答案为：12．15．（4分）如图，从点(0,2)A 发出一束光，经x 轴反射，过点(3,4)B ，则这束光从点A 到点B 所经过的路径的长为解：如图，过点B 作BD x ⊥轴于D ，(0,2)A ，(3,4)B ，2OA ∴=，4BD =，3OD =，根据题意得：ACO BCD ∠=∠，90AOC BDC ∠=∠=︒ ，AOC BDC ∴∆∆∽，∴2142OC AC OA DC BC BD ====，11123OC DC OD ∴===，2CD OD OC ∴=-=，AC ∴，BC ===，AC BC ∴+=，故答案为：．16．（4分）如图：在△ABC 的内接矩形DGFE ，长边DE 在边BC 上，AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，已知30BC =，10AH =，2DE EF =，那么EF =6．解： 四边形DGFE 是矩形，GF DE ∴=，EF DG =，//GF BC ，90FGD GDH ∠=∠=︒，AH BC ⊥ 于H ，90DHM ∴∠=︒，90FGD GDH ∠=∠=︒，∴四边形GDHM 是矩形，GD MH ∴=，90GMH ∠=︒，MH EF ∴=，AH GF ⊥，2DE EF = ，∴设EF DG MH x ===，2DE GF x ==，则10AM x =-，//GF BC ，AGF B ∴∠=∠，AFG C ∠=∠，∴△AGF ∽△ABC ，∴AM GF AH BC=，即1021030x x -=，解得：6x =，故答案为：6．17．（4分）定义：如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后．使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在ABC ∆中，4AB =，5AC =，6BC =，△11A BC 是ABC ∆以点B 为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点B 为转似中心的另一个转似三角形△22A BC （点2A 、2C 分别与A 、C 对应）的边22A C 的长为152．解：根据题意作图如下，ABC ∆ ∽△22A BC ，∴222AC BA A C BA =，∴22546A C =，∴22152A C =，故答案为：152．18．（4分）已知，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =+与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，且点C 的坐标为(3,2)，连接AC ，与y 轴相交于点D ，点E 在x 轴上，如果△ABD 和△ACE 相似，则点E 的坐标为(2,0)或17(,0)3．解：当0x =时，则222y x =+=；当0y =时，则220x +=，解得1x =-；A ∴点的坐标为(1,0)-，B 点的坐标为(0,2)；∴22125AB =+=，点C 的坐标为(3,2)，∴22(13)225AC =--+=设直线AC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，点A ，C 在直线22y x =+上，∴032k b k b -+=⎧⎨+=⎩，∴1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AC 的解析式为1122y x =+； 连接AC ，与y 轴相交于点D ，当0x =时，则12y =，∴1(0,)2D ，∴13222BD =-=，22151()2AD =+=， 点E 在x 轴上，∴设(,0)E m 90ADB ∠>︒ ，290CAE ∠<︒，△ABD 和△ACE 相似，1ADB CE A ∴∠=∠或2ADB ACE ∠=∠，①当△ADB ∽△1CE A 时，11AE CE AC DB AD AB==，则(1)322m --==，解得2m =，1(2,0)E ∴，②当△ADB ∽△1AE C 时，11CE AE AC DB AD AB==，32==，此时m 无解；③当△ADB ∽△2E CA 时，22CE AE AC BD AD AB==，则32==，此时173m =；④当△ADB ∽△2ACE 时，22CE AE AC BD AD AB ==，322==，此时m 无解；综上：点E 的坐标是(2,0)或17(,0)3，故答案为：(2,0)或17(,0)3．三．解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知：234x y z ==，6x y z -+=，求：代数式32x y z -+的值．解：设234x y z k ===，可得：2x k =，3y k =，4z k =，把2x k =，3y k =，4z k =代入6x y z -+=，可得：2346k k k -+=，解得：2k =，所以4x =，6y =，8z =，把4x =，6y =，8z =代入32121288x y z -+=-+=．20．（10分）已知，如图，点E 在平行四边形ABCD 的边CD 上，且12DE CE =，设AB a = ，AD b = ．（1）用a 、b 表示AE ；（直接写出答案）（2）设AE c = ，在答题卷中所给的图上画出3a c - 的结果．解：（1） 12DE CE =，即12DE CE =，13DE DC =，13AE a b =+ （2）如图所示：延长AE 、BC 交于G ，则GB 即为3a c - 的结果．四边形ABCD 是平行四边形//AD BC∴∴12DE AE CE EG ==3AG AE∴=又 AE c=∴3AG c= ∴3GB a c =- ．21．（10分）已知如图，////AD BE CF ，它们依次交直线a ，b 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．（1）如果6AB =，8BC =，21DF =，求DE 的长．（2）如果:2:5DE DF =，9AD =，14CF =，求BE 的长．解：（1）6AB = ，8BC =，14AC AB BC ∴=+=，////AD BE CF ，∴614DE AB DF AC ==，∴662191414DE DF ==⨯=．（2）过D 作//DH AC ，分别交BE 于点G ，CF 于点H ，如图，////AD BE CF ，∴四边形ABGD 和四边形BCHG 是平行四边形，9CH BG AD ∴===，5FH CF DH ∴=-=．//BE CF ，∴GE DE HF DF=，:2:5 DE DF=，:2:5 GE HF∴=．∴225255GE HF==⨯=．9211 BE BG GE∴=+=+=．22．（12分）如图，ABC∆中，PC平分ACB∠，PB PC=．（1）求证：APC ACB∆∆∽；（2）若2AP=，6PC=，求AC的长．解：（1）PB PC=，B PCB∴∠=∠；PC平分ACB∠，ACP PCB∴∠=∠，B ACP∠=∠，A A∠=∠，APC ACB∴∆∆∽．（2）APC ACB∆∆∽，∴AP AC AC AB=，2AP=，6PC=，8AB=，4AC∴=．6AP AC PC+==，这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，∴该题无解．23．（12分）已知：如图，DE AD AEBC AB AC==，求证：（1）DAB EAC∠=∠（2）DB AC AB EC=．【解答】证明：（1）在ADE∆和ABC∆中，DE AD AE BC AB AC==，ADE ABC∴∆∆∽（2分），DAE BAC∴∠=∠（2分），即DAB BAE BAE EAC ∠+∠=∠+∠，DAB EAC∴∠=∠（2分）；（2）在ADB∆和AEC∆中，AD AEAB AC=且DAB EAC∠=∠，ADB AEC∴∆∆∽（2分），∴DB ABEC AC=（2分），DB AC AB EC∴=（2分）．24．（12分）如图：在ABC∠中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，四边形BFED是菱形，AF 与DE交于点G，已知3AB=，6BC=，（1）求证：GE DG FC DE=；（2）求GE的长．【解答】（1）证明： 四边形BFED是菱形，//EF AB∴，//DE BC，∴DG AG GE GF=，∴DG AG DE AF=，//DE BC，∴△AGE∽△AFC，∴GE AG FC AF=，∴GE DG FC DE=；（2）设菱形的边长为x，BD DE BF x∴===，//DE BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE AD AE BC AB AC==，∴363x x-=，2x∴=，2 BD DE BF∴===，//DE BC，∴△AGE∽△AFC，∴GE AE FC AC=，∴13 GE ADFC AB==，∴1433 GE FC==．25．（12分）已知在梯形ABCD中，//AD BC，AD BC<，且5AD=，2AB DC==，（1）如图：P为AD上的一点，满足BPC A∠=∠，求AP的长；（2）如果点P在AD上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPE A∠=∠，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP x=，CQ y=，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当1CE=时，写出AP的长（不必写出解题过程）．-21-【解答】（1）解： 四边形ABCD 是梯形，AB DC =，//AD BC ，D A ∴∠=∠，180ABP APB A ∠+∠+∠=︒ ，180APB DPC BPC ∠+∠+∠=︒，BPC A ∠=∠，ABP DPC ∴∠=∠，∴△PAB ∽△CDP ，∴AB APPD CD =，即：225AP AP =-，解得：1AP =或4AP =；（2）①由（1）可知：△PAB ∽△QDP ，∴AB AP PD DQ =，即：225x y x =+-，∴2152(14)22y x x x =-+-<<．②当1CE =时，△PDQ ∽△ECQ ，∴CQ CEDQ PD =，即152yx y =-+或152yx y =+-， 215222y x x =-+-，解得：2x =或35，2PA ∴=或35-。

2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一(下)期中数学试卷

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2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知扇形的弧长是6，圆心角为2，则扇形的面积为___ ．2.（填空题，3分）数列{a n}是等比数列，a1=12，q=12，a n=132，则n=___ ．3.（填空题，3分）已知tanθ=-2，则cosθ−sinθsinθ+cosθ=___ ．4.（填空题，3分）三角方程tan(x−π6)=3的解集为___ ．5.（填空题，3分）sinx=13，x∈[3π2，5π2]，则x用反正弦可以表示为___ ．6.（填空题，3分）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=n√3√3a+1（n∈N*），则a2020=___ ．7.（填空题，3分）等差数列{a n}的通项为a n=2n-1，令b n=a2n-1，则数列{b n}的前20项之和为___ ．8.（填空题，3分）函数y=sin2ωx-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π，则ω=___ ．9.（填空题，3分）已知12sinα+5cosα可表示为Asin（α+φ）（A＞0，0≤φ＜π）的形式，则sin2φ=___ ．10.（填空题，3分）已知角α，β∈(0，π4)，3sinβ=sin（2α+β），4tanα2=1−tan2α2，则α+β=___ ．11.（填空题，3分）方程x2−10xsinπx2+1=0实数解的个数为___ ．12.（填空题，3分）设数列{a n}的通项公式为a n=2n-3（n∈N*），数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值，则数列{b n}的前2m项和为___ ．（结果用m表示）13.（单选题，3分）已知α是第二象限角，则α2是（）A.锐角B.第一象限角C.第一、三象限角D.第二、四象限角14.（单选题，3分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定15.（单选题，3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ| ＜π2）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A.f（x）=sin（2x+ π3）B.f（x）=sin（12x+π3）C.f（x）=sin（12x−π3）D.f（x）=sin（2x −π3）16.（单选题，3分）已知{a n}、{b n}均是等差数列，c n=a n•b n，若{c n}前三项是7、9、9，则c10=（）A.-47B.47C.-1D.117.（问答题，0分）已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若函数f(x)=√22，x∈[0，π），求x．18.（问答题，0分）已知sinα+cosα=−15，α∈（0，π），求下列式子的值：（1）sinαcosα；（2）tanα2；（3）sin3α+cos3α．19.（问答题，0分）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的正弦值是多少？20.（问答题，0分）设{a n}是无穷等差数列，公差为d，前n项和为S n．（1）设a1=40，a6=38，求S n的最大值；（2）设S9=0，且a2+a3+a4+a5=-18，令b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．21.（问答题，0分）已知定义在R上的函数f（x）和数列{a n}满足下列条件：a1=a，a2≠a1，当n∈N*且n≥2时，a n=f（a n-1）且f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），其中a、k均为非零常数．（1）若{a n}是等差数列，求实数k的值；（2）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若b1=1，求数列{b n}的通项公式；（3）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若c1=b1=k＜0，数列{c n}满足c n+1-c n=2（b n+1-b n），若数列{c n}∈(−2，2)，求k的取值范围．有最大值M，最小值m，且Mm2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知扇形的弧长是6，圆心角为2，则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：利用扇形的弧长公式可求扇形的半径，根据扇形的面积公式即可求解．【解答】：解：设扇形的半径为r，则r= 62=3，则扇形的面积S= 12×6×3=9．故答案为：9．【点评】：本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式的应用，属于基础题．2.（填空题，3分）数列{a n}是等比数列，a1=12，q=12，a n=132，则n=___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：利用等比数列的通面公式直接求解．【解答】：解：∵数列{a n}是等比数列，a1=12，q=12，a n=132，∴ a n=12×(12)n−1=132，解得n=5．故答案为：5．【点评】：本题考查等比数列的项数n的求法，考查等比数列的性质等基础知识，是基础题．3.（填空题，3分）已知tanθ=-2，则cosθ−sinθsinθ+cosθ=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．【解答】：解：∵tanθ=-2，∴ cosθ−sinθsinθ+cosθ = 1−tanθtanθ+1= 1−(−2)−2+1=-3．故答案为：-3．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.（填空题，3分）三角方程tan(x−π6)=3的解集为___ ．【正确答案】：[1] {x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}【解析】：直接根据tan(x−π6)=3，解方程即可．【解答】：解：∵ tan(x−π6)=3，∴ x−π6=arctan3+kπ，k∈Z，∴ x=arctan3+π6+kπ，k∈Z．∴方程的解集为{x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}．故答案为：{x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}．【点评】：本题考查了三角方程的求法，属基础题．5.（填空题，3分）sinx=13，x∈[3π2，5π2]，则x用反正弦可以表示为___ ．【正确答案】：[1] x=2π+arcsin13【解析】：根据sinx=13，x∈[3π2，5π2]，直接求出x即可．【解答】：解：∵ sinx=13，x∈[3π2，5π2]，∴ x=2π+arcsin13．故答案为：x=2π+arcsin13．【点评】：本题考查了三角方程的求法，属基础题．6.（填空题，3分）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=n√3√3a+1（n∈N*），则a2020=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：求出数列的前几项，判断数列是周期数列，然后求解即可．（n∈N*），【解答】：解：数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n−√3√3a+1=- √3，可得a2= √3√3×0+1a3= √3−√3= √3，√3×(−√3)+1=0，…a4= √3−√3√3×√3+1所以数列是周期数列，周期为3，所以a2020=a3×673+1=a1=0，故答案为：0．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，判断数列是周期数列是解题的关键．7.（填空题，3分）等差数列{a n}的通项为a n=2n-1，令b n=a2n-1，则数列{b n}的前20项之和为___ ．【正确答案】：[1]780【解析】：由已知代入可求b n，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【解答】：解：由a n=2n-1，可得b n=a2n-1=2（2n-1）-1=4n-3，则数列{b n}是以1为首项，以4为公差的等差数列，×4 =780．故前20项之和S20=20×1+ 20×192故答案为：780．【点评】：本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．8.（填空题，3分）函数y=sin2ωx-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π，则ω=___ ．【正确答案】：[1] 14【解析】：利用二倍角的余弦函数公式化简函数解析式，根据余弦函数的周期公式即可求解．，【解答】：解：∵y=sin2ωx-cos2ωx=-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π，即4π= 2π2ω．∴ω= 14．故答案为：14【点评】：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的周期公式的应用，考查了函数思想，属于基础题．9.（填空题，3分）已知12sinα+5cosα可表示为Asin（α+φ）（A＞0，0≤φ＜π）的形式，则sin2φ=___ ．【正确答案】：[1] 120169【解析】：由题意利用三角恒等变换，辅助角公式，先求出sinφ 和cosφ的值，可得sin2φ的值．【解答】：解：∵12sinα+5cosα=13（1213sinα+ 513cosα）可表示为Asin（α+φ）（A＞0，0≤φ＜π）的形式，则sinφ= 513，cosφ= 1213，∴sin2φ=2sinφcosφ= 120169，故答案为：120169．【点评】：本题主要考查三角恒等变换，辅助角公式的应用，属于中档题．10.（填空题，3分）已知角α，β∈(0，π4)，3sinβ=sin（2α+β），4tanα2=1−tan2α2，则α+β=___ ．【正确答案】：[1] π4【解析】：从4tan α2 =1-tan2α2．中解出tanα，利用配角法化简3sinβ=sin（2α+β），即将其中的2α+β用（α+β）+α，β用（α+β）-α代换，从而求出tan（α+β），利用三角函数值求解得α+β的值．【解答】：解：∵4tan α2 =1-tan2α2，∴2•tanα=1，tanα= 12．∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα．∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα．∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα．∴tan（α+β）=2tanα=1．又α，β∈(0，π4)，∴α+β= π4．故答案为：π4．【点评】：本题主要考查了三角函数化简求值，角的变换是常用技巧．如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）-α等．三角变换中的角的变换，在本题中显得尤为突出，将单角化为复角，对字母角度的巧妙拼凑，使得问题顺利解决，属于基础题．11.（填空题，3分）方程x2−10xsinπx2+1=0实数解的个数为___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：将方程变形得sin πx2 = 110x+ x10（x≠0）分别作出sin πx2和y= 110x+ x10的函数图象，根据交点个数进行判断．【解答】：解：∵ x2−10xsinπx2+1=0，∴sin πx2 = 110x+ x10（x≠0），令f（x）= 110x + x10= 110（x+ 1x），则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，作出y=sin πx2和y=f（x）在（0，+∞）上函数图象如图所示：由图象可知y=sin πx2和y=f（x）在（0，+∞）上有6个交点，又y=sin πx2和y=f（x）都是奇函数，∴y=sin πx2和y=f（x）在（-∞，0）上有6个交点，∴方程x2−10xsinπx2+1=0有个解，故答案为：12．【点评】：本题考查了方程的根与函数图象的关系，属于中档题．12.（填空题，3分）设数列{a n}的通项公式为a n=2n-3（n∈N*），数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值，则数列{b n}的前2m项和为___ ．（结果用m表示）【正确答案】：[1]m2+4m【解析】：先由题设条件求出数列{b n}的前几项，归纳出b2k-1+b2k=2k+3（k∈N*），再求出其前2m项和即可．【解答】：解：由题设条件可得：当m=1时，b1=2，当m=2时，b2=3，当m=3时，b3=3，当m=4时，b4=4，当m=5时，b5=4，…，故易知：b2k-1=2+k-1=k+1，b2k=3+k-1=k+2，k∈N*，故b2k-1+b2k=2k+3，∴数列{b n}的前2m项和为m(5+2m+3)2=m2+4m．故答案为：m2+4m．【点评】：本题主要考查数列通项公式的求法及数列求和，属于基础题．13.（单选题，3分）已知α是第二象限角，则α2是（）A.锐角B.第一象限角C.第一、三象限角D.第二、四象限角【正确答案】：C【解析】：由α是第二象限角对应的范围，即可求解结论．【解答】：解：∵α是第二象限角，所以π2+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z，∴ π4+kπ＜α2＜kπ +π2，k∈Z，∴ α2是第一象限或第三象限角，故选：C．【点评】：本题考查角在第几象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意象限角定义的合理运用．14.（单选题，3分）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【正确答案】：A【解析】：利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），根据A与B的范围以及tanAtanB＞1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A与B都为锐角，然后判断出tan（A+B）小于0，得到A+B为钝角即C为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形．【解答】：解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB＞1，得到1-tanAtanB＜0，且得到tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，＜0，所以tan（A+B）= tanA+tanB1−tanAtanB，π），即C都为锐角，则A+B∈（π2所以△ABC是锐角三角形．故选：A．【点评】：此题考查了三角形的形状判断，用的知识有两角和与差的正切函数公式．解本题的思路是：根据tanAtanB＞1和A与B都为三角形的内角得到tanA和tanB都大于0，即A和B都为锐角，进而根据两角和与差的正切函数公式得到tan（A+B）的值为负数，进而得到A+B的范围，判断出C也为锐角．）的部分图象如15.（单选题，3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ| ＜π2图所示，则f（x）的解析式为（）A.f（x）=sin（2x+ π）3B.f （x ）=sin （ 12x +π3 ） C.f （x ）=sin （ 12x −π3 ） D.f （x ）=sin （2x −π3 ） 【正确答案】：A【解析】：依题意，可求得A=1，由T= 2πω =π可求得ω=2，由 π3 ω+φ=π可求得φ．【解答】：解：由图知，A=1； 又 T4 = 7π12 - π3 = π4 ， ∴T=π，又T= 2πω ， ∴ω=2；∵f （x ）=Asin （ωx+φ）经过（ π3，0），且在该处为递减趋势， ∴ π3 ω+φ=π， ∴φ=π- π3 ×2= π3 ．∴f （x ）的解析式为：f （x ）=sin （2x+ π3 ）． 故选：A ．【点评】：本题考查由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定φ的值是难点，考查观察与运算能力，属于中档题．16.（单选题，3分）已知{a n }、{b n }均是等差数列，c n =a n •b n ，若{c n }前三项是7、9、9，则c 10=（ ） A.-47 B.47 C.-1 D.1【正确答案】：A【解析】：{a n }、{b n }均是等差数列，故{c n }为二次函数，设c n =an 2+bn+c ，根据前3项，求出a ，b ，c 的值，即可得到c 10．【解答】：解：设c n =a n •b n =an 2+bn+c ， 则 {a +b +c =74a +2b +c =99a +3b +c =9，解得a=-1，b=5，c=3，∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．17.（问答题，0分）已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若函数f(x)=√22，x∈[0，π），求x．【正确答案】：【解析】：（1）利用二倍角公式化简函数f（x）的解析式为f（x）= √2 sin（2x+ π4），令2kπ+ π2≤2x+ π4≤2kπ+ 3π2，（k∈Z），解得x的范围即得f（x）的单调递减区间．（2）由题意可得sin（2x+ π4）= 12，可求范围2x+ π4∈[ π4，9π4），根据正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】：解：（1）∵f（x）=sin2x+cos2x= √2 sin（2x+ π4），∴令2kπ+ π2≤2x+ π4≤2kπ+ 3π2，（k∈Z），解得kπ+ π8≤x≤kπ+ 5π8，（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间是：[π8+kπ，5π8+kπ]，k∈Z；（2）∵ f(x)=√22，即√2 sin（2x+ π4）= √22，∴解得：sin（2x+ π4）= 12，∵x∈[0，π），∴2x+ π4∈[ π4，9π4），∴2x+ π4 = 5π6，或13π6，解得x= 7π24，或23π24．【点评】：本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的图象和性质，考查了函数思想和转化思想，属于基础题．18.（问答题，0分）已知sinα+cosα=−15，α∈（0，π），求下列式子的值：（1）sinαcosα；（2）tanα2；（3）sin3α+cos3α．【正确答案】：【解析】：（1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得sinαcosα的值；（2）由已知可求α2∈（0，π2），sinα＞0，cosα＜0，tan α2＞0，利用平方差公式可求sinα-cosα= 75，进而可求sinα= 35，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tanα2的值．（3）利用立方和公式即可求解．【解答】：解：（1）∵ sinα+cosα=−15，α∈（0，π），∴两边平方，可得1+2sinαcosα= 125，∴解得sinαcosα=- 1225；（2）∵ sinα+cosα=−15＜0，①又α∈（0，π），α2∈（0，π2），∴sinα＞0，cosα＜0，tan α2＞0，∴sinα-cosα= √(sinα−cosα)2 = √1−2sinαcosα = 75，②∴由① ② 可得sinα= 35，即2sinα2cosα2sin2α2+cos2α2= 2tanα21+tan2α2= 35，整理可得：3tan2α2-10tan α2+3=0，∴解得tan α2 =3，或- 13（舍去）．（3）sin3α+cos3α=（sinα+cosα）（sin2α+cos2α-sinαcosα）=（- 15）×（1+ 1225）=- 37125．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，平方差公式，二倍角的正弦函数公式，立方和公式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．19.（问答题，0分）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的正弦值是多少？【正确答案】：【解析】：（1）由题意C在A处北偏东30°方向上，所以可得∠CAB=90°+30°=120°，及|AB|，|AC|与|BC|的关系，在三角形ABC中由余弦定理可得|BC|的值，（2）由（1）可得|BC|，|AC|，∠BAC=120°，由正弦定理可得sin∠B的值．【解答】：解：（1）由题意可得|AB|+|BC|=0.2×10=2，|AC|-|AB|=0.4，所以|AC|+|BC|=2.4，|AB|=2-|BC|，|AC|=2.4-|BC|，因为C在A处北偏东30°方向上，所以∠CAB=90°+30°=120°，在三角形ABC中，∠BAC=120°，由余弦定理可得|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos120°=（2-|BC|）2+（2.4-|BC|）2+（2-|BC|）（2.4-|BC|），整理可得|BC|2-6.6|BC|+7.28=0，解得|BC|=1.4或|BC|=5.2（舍），所以B、C两处垃圾的距离是1.4米；（2）由（1）可得|BC|=1.4，|AC|=2.4-1.4=1，∠CAB=120°，由正弦定理可得 |AC|sin∠B = |BC|sin∠CAB ， 所以sin∠B= |AC||BC| •sin120°= 11.4 •√32 = 5√314．【点评】：本题考查三角形中正余弦定理的应用，属于中档题． 20.（问答题，0分）设{a n }是无穷等差数列，公差为d ，前n 项和为S n ． （1）设a 1=40，a 6=38，求S n 的最大值；（2）设S 9=0，且a 2+a 3+a 4+a 5=-18，令b n =|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n ．【正确答案】：【解析】：（1）首先求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．（2）利用函数的通项公式，进一步利用含绝对值的数列的应用求出数列的和．【解答】：解：（1）数列{a n }是无穷等差数列，公差为d ， 由于a 1=40，a 6=38，所以a 6=a 1+5d ，a 6-a 1=-2=5d ，解得d=- 25 ． 所以S n = 40n −25×n (n−1)2 = n 2−201n 5 =- 15(n −2012)2+201220； 当n=100或101时，S n 取得最大值2020； （2）由于S 9=0，且a 2+a 3+a 4+a 5=-18， 故 {S 9=0a 2+a 3+a 4+a 5=−18 ，解得 {a 1=−12d =3，故a n =3n-15，b n =|3n-15|，所以当n≤5，故 T n =|a 1|+|a 2|+⋯|a n |=−a 1−+⋯−a n =−n (−12+3n−15)2=−32n 2+272n ．当n≥5时，T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=（-a1-a2-…-a5）+（a1+a2+…+a n）= 32n2−272n+60所以：T n={−32n2+272(n≤5)3 2n2−272n+60(n≥5)．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，含绝对值的数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．21.（问答题，0分）已知定义在R上的函数f（x）和数列{a n}满足下列条件：a1=a，a2≠a1，当n∈N*且n≥2时，a n=f（a n-1）且f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），其中a、k均为非零常数．（1）若{a n}是等差数列，求实数k的值；（2）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若b1=1，求数列{b n}的通项公式；（3）令b n=a n+1-a n（n∈N*），若c1=b1=k＜0，数列{c n}满足c n+1-c n=2（b n+1-b n），若数列{c n}有最大值M，最小值m，且Mm∈(−2，2)，求k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用等差数列的定义a n+1-a n=a n-a n-1，a n=f（a n-1），易得k=1（2）利用等比数列的定义证明数列{b n}是等比数列，进而写出数列{b n}的通项公式（3）利用累加法求得{c n}的通项公式，结合题意，找到数列{c n}的最大项和最小项，解不等式求的结果．【解答】：解：（1）由已知a n=f（a n-1），f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），a n+1-a n=f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1），∵数列{a n}是等差数列，∴a n+1-a n=a n-a n-1，∴k=1；（2）由b1=a2-a1≠0，可得b2=a3-a2=f（a2）-f（a1）=k（a2-a1）≠0，且当n＞2时，b n=a n+1-a n=f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1）=…=k n-1（a2-a1）≠0，且b nb n−1 = a n+1−a na n−a n−1= f(a n)−f(a n−1)a n−a n−1=k∴数列{b n}是一个以首项为b1，公比为k的等比数列，若b1=1，则数列{b n}的通项公式为 b n=k n-1（n∈N*）；（3）由（2）可得{b n}是以k为首项，以k为公比的等比数列，∴b n=k n，c1=b1=k＜0，∴c n+1-c n=2（b n+1-b n）=2（k n+1-k n）=2（k-1）k n，∴c2-c1=2（k-1）k1，c3-c2=2（k-1）k2，c4-c3=2（k-1）k3，…，c n-c n-1=2（k-1）k n-1（n≥2），累加得c n-c1=2（k-1）（k1+k2+…+k n-1）=2（k n-k），∴c n=2k n-k（n≥2），当n=1时也满足，∴c n=2k n-k（n∈N*）若{c n}存在最大值，结合k＜0，的条件，则-1＜k＜0，∴c2的是最大项，c1是最小项．∴M=2k2-k，m=k，由Mm ∈（-2，2），得-2＜2k2−kk＜2，解得- 12＜k＜0，∴k的取值范围为（- 12，0）【点评】：本题考查的是数列问题，涉及到的知识点有等差数列的定义，等比数列的通项公式，累加法求数列的通项公式，数列的最大最小项，属于难题．。

2023-2024学年上海市浦东新区沪新中学高一(上)期中信息技术试卷

2023-2024学年上海市浦东新区沪新中学高一(上)期中信息技术试卷

2023-2024学年上海市浦东新区沪新中学高一（上）期中信息技术试卷一、单选题（共10题，每题2分，共20分）1．（2分）以下各项中属于信息的是（）A．新闻联播里主持人的声音B．网络上有关新闻的视频C．“特朗普当选美国总统”的新闻内容D．色彩丰富的新闻图片2．（2分）若在二进制整数1011右边添加两个0形成一个新的数，则新数的值是原数值的（）倍。

A．8倍B．4倍C．2倍D．10倍3．（2分）根据国家气象信息中心统计，气象大数据持续爆炸式增长，日增量40TB，气象部门已积累海量数据资源。

到2022年总体规模达到200PB（1PB＝1024TB），这体现出的大数据特征是（）A．处理速度快B．数据类型多C．价值密度低D．数据规模大4．（2分）在通信应用中，经常使用模拟信号和数字信号，如图所示，是两种信号的示意图，下列说错误的是（）A．图A是模拟信号示意图，图B是数字信号示意图B．模拟信号一般通过采样、量化和编码转换为数字信号C．模拟信号是离散不连续的信号D．数字信号有利于存储和加密5．（2分）如图所示，已知第13行的二进制序列是（0111111111001000），那么第14行转换为十六进制数是（）A．7FA8B．7FC8C．7FEC D．7FCC6．（2分）以下流程图符号与其表达的涵义匹配的是（）A．B．C．D．7．（2分）数学期中考试成绩结束后，王老师需要分析学生的数学科目考试情况，小申帮王老师设计了一个算法，判断数学成绩是否合格，下面是小申设计的算法流程图，该流程图中不满足算法特征的是（）A．确定性B．有穷性C．有零个或多个输入D．有一个或多个输出8．（2分）以下流程图描述的算法执行结果是（）A．50B．False C．True D．30＜509．（2分）小明在调试“计算BMI指数”程序时，出现如图所示的错误提示，原因是（）A．Input函数首字母应大写B．变量名命名不符合规范C．语句中出现中文D．语句中应写两个“＝”10．（2分）若n是大于1的自然数，则下列Python表达式不能表示“n是偶数”的是（）A．n%2＝＝0B．n%2！＝1C．n//2＝＝int（n/2）D．n%2%2＝＝0二、填空题（共8题，每题2分，共16分）11．（2分）已知某种进制数（123）x中的数码2所表示的数值大小为十进制数32，则x＝。

上海高一数学上学期期中试卷含答案(共3套)

上海高一数学上学期期中试卷含答案(共3套)

上海中学高一上学期期中数学卷一、填空题1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A C B =___________2.已知集合{}2A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =___________3“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是____________4.若2211()f x x x x+=+，则(3)f =___________ 5.不等式9x x>的解是___________ 6.若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是___________7.不等式22(3)2(3)30x x ---<的解是____________8.已知集合{}68A x x =-≤≤，{}B x x m =≤，若AB B ≠且A B ≠∅，则m 的取值范围是_____________9.不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_________ 10.设0,0a b >>，且45ab a b =++，则ab 的最小值为____________11.已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是_____________12.已知0a >，0b >，2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为___________ 二、选择题13..不等式x x x <的解集是（）（A ）{}01x x <<（B ）{}11x x -<<（C ）{}011x x x <<<-或（D ）{}101x x x -<<>或14.若A B ⊆，A C ⊆，{}0,1,2,3,4,5,6B =，{}0,2,4,6,8,10C =，则这样的A 的个数为（）（A ）4 （B ）15 （C ）16 （D ）3215.不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（）（A ）7-（B ）7（C ）5-（D ）516.已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的（）条件（A ）充分不必要（B ）必要不充分（C ）充要（D ）既不充分也不必要三、解答题17.解不等式： （1）2234x x -+-<；（2）2232x x x x x -≤--18.已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ++≥+；（2）222a b c ab bc ca ++≥++19.已知二次函数2()1,,f x ax bx a b R =++∈，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()13f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；20.设关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围；21.已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，记[2]()(())f x f f x =，例：2()1f x x =+，[2]222()(())1(1)1f x f x x =+=++；（1）2()f x x x =-，解关于x 的方程[2]()f x x =；（2）记2(1)4b ac ∆=--，若[2]()f x x =有四个不相等的实数根，求∆的取值范围；参考答案一、填空题1.{}0,2,6,102.{}1,0,1-3.若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠；4.75.(3,0)(3,)-+∞6.1(,)3-∞- 7.(0,6)8.[6,8)- 9.16 10.25 11.3(3,)2- 12.2+二、选择题13.C 14.C 15.C 16.A三、解答题17.（1）1(,3)3（2）{}(1,0]1(2,)-+∞18.略19.（1）2()21f x x x =++；（2）1334k k <=或； 20.107p <<；21.（1）02x x ==或；（2）4∆>;上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷一. 填空题1. 用∈或∉填空：0 ∅2. {|1,}A x x x R =≤∈，则R C A =3. 满足条件M {1,2}的集合M 有 个4. 不等式2(1)4x ->的解集是5. 不等式2210x mx -+≥对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围是6. 集合{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，AB R =，则a 的取值范围是 7. 若1x >，92x x+-取到的最小值是 8. 如果0x <，01y <<，那么2y x ，y x ，1x 从小到大的顺序是 9. 一元二次不等式20x bx c ++≤的解集为[2,5]-，则bc =10. 全集为R ，已知数集A 、B 在数轴上表示如下图，那么“x B ∉”是“x A ∈”的条件11. 已知U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，用交、并、补关系将右图中的阴影部分表示出来12. 若规定集合12{,,,}n M a a a =⋅⋅⋅*()n N ∈的子集12{,,,}m i i i a a a ⋅⋅⋅*()m N ∈为M 的第k 个子集，其中12111222m i i i k ---=++⋅⋅⋅+，则M 的第25个子集是二. 选择题13. 集合{,,}A a b c =中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形14. 已知0a ≠，下列各不等式恒成立的是（ ） A. 12a a +> B. 12a a +≥ C. 12a a +≤- D. 1||2a a+≥ 15. 集合*1{|,}2m A x x m N ==∈，若1x A ∈，2x A ∈，则（ ） A. 12()x x A +∈ B. 12()x x A -∈ C. 12()x x A ∈ D.12x A x ∈ 16. 设,,x y a R +∈，且当21x y +=时，3a x y+的最小值为121x y +=时，3x ay + 的最小值是（ ）A. 6 C. 12D.三. 解答题 17. 已知实数a 、b ，原命题：“如果2a <，那么24a <”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题；并分别判断四个命题的真假性；18. 集合2{|0,}2x A x x R x +=≤∈-，{||1|2,}B x x x R =-<∈； （1）求A 、B ；（2）求()U BC A ；19. 设:127m x m α+≤≤+()m R ∈，:13x β≤≤，若α是β的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；20. 某农户计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m 宽的通道，沿前侧保留3m 宽的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最小？并求出最小值；21. 集合{||1|4}A x x =+<，{|(1)(2)0}B x x x a =--<；（1）求A 、B ；，求实数a的取值范围；（2）若A B B上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（2016秋•浦东新区期中）用∈或∉填空：0∉∅．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】转化思想；集合．【分析】根据元素与集合的关系进行判断【解答】解：∵0是一个元素，∅是一个集合，表示空集，里面没有任何元素．∴0∉∅故答案为：∉．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题2．（2016秋•浦东新区期中）A={x|x≤1，x∈R}，则∁R A={x|x＞1} ．【考点】补集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据集合A，以及全集R，求出A的补集即可．【解答】解：∵A={x|x≤1，x∈R}，∴∁R A={x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．（2016秋•浦东新区期中）满足条件M⊊{1，2}的集合M有3个．【考点】子集与真子集．【专题】综合题；综合法；集合．【分析】根据题意判断出M是集合{1，2}的真子集，写出所有满足条件的集合M，可得答案．【解答】解：由M⊊{1，2}得，M是集合{1，2}的真子集，所以M可以是∅，{1}，{2}，共3个，故答案为：3．【点评】本题考查子集与真子集的定义，写子集时注意按一定的顺序，做到不重不漏，属于基础题．4．（2016秋•浦东新区期中）不等式（x﹣1）2＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞3} ．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据平方数的定义，把不等式化为x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，求出解集即可．【解答】解：不等式（x﹣1）2＞4可化为：x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，解得x＜﹣1或x＞3，所以该不等式的解集是{x|x＜﹣1或x＞3}．故答案为：{x|x＜﹣1或x＞3}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．5．（2016秋•浦东新区期中）不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，△≤0，列出不等式求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则△≤0，即4m2﹣4≤0，解得﹣1≤m≤1；所以实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．故答案为：﹣1≤m≤1．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，是基础题目．6．（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，A∪B=R，则a的取值范围是a≤1．【考点】并集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题考查集合关系中的参数问题，属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，本题解题的关键是借助于数轴完成题目．7．（2016秋•浦东新区期中）若x＞1，x+﹣2取到的最小值是4．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由x＞1，运用基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件．【解答】解：由x＞1，可得x+﹣2≥2﹣2=4．当且仅当x=，即x=3时，取得最小值4．故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意一正二定三等的条件，考查运算能力，属于基础题．8．（2016秋•浦东新区期中）如果x＜0，0＜y＜1，那么，，从小到大的顺序是＜＜．【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用．【分析】由0＜y＜1，可得0＜y2＜y＜1，由x＜0，即可得出大小关系．【解答】解：∵0＜y＜1，∴0＜y2＜y＜1，∵x＜0，∴＜＜．故答案为：＜＜．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2016秋•浦东新区期中）一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，则bc=30．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出b、c的值．【解答】解：一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，所以对应一元二次方程x2+bx+c=0的实数根为﹣2和5，由根与系数的关系得，解得b=﹣3，c=﹣10；所以bc=30．故答案为：30．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系以及根与系数的关系的应用问题，是基础题目．10．（2016秋•浦东新区期中）全集为R，已知数集A、B在数轴上表示如图所示，那么“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据数轴结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由数轴得A={x|x≥1或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x≤1}，则∁R B={x|x＞1或x＜﹣2}，则∁R B⊊A，即“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据数轴关系求出对应的集合，根据集合关系进行判断是解决本题的关键．11．（2016秋•浦东新区期中）已知U是全集，A、B是U的两个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来B∩（∁U A）【考点】V enn图表达集合的关系及运算．【专题】对应思想；待定系数法；集合．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B当不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩（∁U A）．故答案为：B∩（∁U A）．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．12．（2016秋•浦东新区期中）若规定集合M={a1，a2，…，a n}（n∈N*）的子集{a，a，…a}（m ∈N*）为M的第k个子集，其中k=2+2+…+2，则M的第25个子集是{a1，a4，a5} ．【考点】子集与真子集．【专题】新定义；综合法；集合．【分析】根据定义将25表示成2n和的形式，由新定义求出M的第25个子集．【解答】解：由题意得，M的第k个子集，且k=2+2+ (2)又25=20+23+24=21﹣1+24﹣1+25﹣1，所以M的第25个子集是{a1，a4，a5}，故答案为：{a1，a4，a5}．【点评】本小题主要考查子集与真子集、新定义的应用，考查分析问题、解决问题的能力，属于基础题．二、选做题13．（2014•万州区校级模拟）若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【分析】根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；选D．【点评】本题较简单，注意到集合的元素特征即可．14．（2016秋•浦东新区期中）已知a≠0，下列各不等式恒成立的是（）A．a+＞2 B．a+≥2 C．a+≤﹣2 D．|a+|≥2【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】可取a＜0，否定A，B；a＞0，否定C；运用|a+|=|a|+，由基本不等式即可得到结论．【解答】解：取a＜0，则选项A，B均不恒成立；取a＞0，则选项C不恒成立；对于D，|a+|=|a|+≥2=2，当且仅当|a|=1时，等号成立．故选：D．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用反例法和基本不等式，属于基础题．15．（2016秋•浦东新区期中）设集合A={x|x=，m∈N*}，若x1∈A，x2∈A，则（）A．（x1+x2）∈A B．（x1﹣x2）∈A C．（x1x2）∈A D．∈A【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】利用元素与集合的关系的进行判定【解答】解：设x1=，x2=，x1x2=•=，p、q∈N，x1x2∈A，故选：B【点评】本题主要考查元素与集合的关系的判定，属于基础题．16．（2016秋•浦东新区期中）设x，y，a∈R*，且当x+2y=1时，+的最小值为6，则当+=1时，3x+ay的最小值是（）A．6 B．6 C．12 D．12【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由题设条件，可在+上乘以x+2y构造出积为定值的形式，由基本不等式求得+的最小值为3+2a+2，从而得到3+2a+2=6，同理可得当+=1时，3x+ay 的最小值是3+2a+2，即可求得3x+ay 的最小值是6．【解答】解：由题意x，y，a∈R+，且当x+2y=1 时，+的最小值为6，由于+=（+）（x+2y）=3+2a++≥3+2a+2，等号当=时取到．故有3+2a+2=6，∴3x+ay=（3x+ay ）（+）=3+2a++≥3+2a+2=6，等号当=时取到．故选A．【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，及构造出积为定值的技巧，解题的关键是由题设条件构造出积为定值的技巧，从而得出3+2a+2=6，本题中有一疑点，即两次利用基本不等式时，等号成立的条件可能不一样，此点不影响利用3+2a+2求出3x+ay 的最小值是6，这是因为3+2a+2是一个常数，本题是一个中档题目．三、解答题17．（14分）（2016秋•浦东新区期中）已知实数a、b，原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题；并分别判断四个命题的真假性．【考点】四种命题．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的形式与之间的关系，分别写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；并判断这四个命题的真假性即可．【解答】解：原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，是假命题；逆命题：“如果a2＜4，那么a＜2”，是真命题；否命题：“如果a≥2，那么a2≥4”，是真命题；逆否命题：“如果a2≥4，那么a≥2”，是假命题．【点评】本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假性的判断问题，是基础题目．18．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|≤0，x∈R}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}．（1）求A、B；（2）求B∩（∁U A）．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：（1）A={x|≤0，x∈R}={x|（x+2）（x﹣2）≤0，且x﹣2≠0}={x|﹣2≤x＜2}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}；（2）∁U A={x|x＜﹣2或x≥2}，∴B∩（∁U A）={x|2≤x＜3}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．19．（14分）（2016秋•浦东新区期中）设α：m+1≤x≤2m+7（m∈R），β：1≤x≤3，若α是β的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：设α对应的集合为A，β对应的集合为B，若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，则，即，得﹣2≤m≤0．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键．20．（14分）（2016秋•浦东新区期中）某农户计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m宽的通道，沿前侧保留3m的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最大？并求出最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】设出矩形的长为a与宽b，建立蔬菜面积关于矩形边长的函数关系式S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b ﹣2a+8=800﹣2（a+2b）．利用基本不等式变形求解．【解答】解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800．蔬菜的种植面积S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b﹣2a+8=808﹣2（a+2b）．=648（m2）．所以S≤808﹣4=648（m2），当且仅当a=2b，即a=40（m），b=20（m）时，S最大值答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．【点评】本题考查函数的模型的选择与应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．21．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x||x+1|＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣2a）＜0}．（1）求A、B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；分类讨论；集合．【分析】（1）通过解绝对值不等式得到集合A，对于集合B，需要对a的取值进行分类讨论：（2）A∩B=B，则B是A的子集，据此求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x||x+1|＜4}={x|﹣5＜x＜3}，当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．当a=0.5时，B=∅．当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．（2）由（1）知，A={x|﹣5＜x＜3}，∵A∩B=B，∴B⊆A，①当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．此时，，则＜a≤1.5；②当a=0.5时，B=∅．满足题意；③当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．此时，则﹣2.5≤a＜0.5．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2.5，1.5]．【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，绝对值不等式，一元二次不等式的解法，求出A和B，是解题的关键．上海市黄浦区高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是．3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=．4．不等式≤0的解集是．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A B（横线上填入⊆，⊇或=）9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=．10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为．11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）=．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=6．【考点】集合的相等．【分析】利用集合相等的定义求解．【解答】解：∵{1，2，3}={a，b，c}，∴a+b+c=1+2+3=6．故答案为：6．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是真命题．【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【分析】原命题的逆否命题和原命题的否命题互为逆命题，进而得到答案．【解答】解：若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是“若x∉Z，则x∉N”，是真命题故答案为：真命题3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=，∴f（x）•g（x）=•=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3），故答案为：﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．4．不等式≤0的解集是{x|x≤或x＞4} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】原不等式等价于，解不等式组可得．【解答】解：不等式≤0等价于，解得x≤或x＞4，∴不等式≤0的解集为：{x|x≤或x＞4}故答案为：{x|x≤或x＞4}．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】确定1≤a+2≤3，即可解关于x的不等式ax+4＞1﹣2x．【解答】解：∵a2≤1，∴﹣1≤a≤1，∴1≤a+2≤3，∴不等式ax+4＞1﹣2x化为（a+2）x＞﹣3，∴x＞﹣，∴关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣}．故答案为{x|x＞﹣}．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是（4，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于B的不等式，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即[0，4]⊆（﹣∞，a），故a＞4，故答案为：（4，+∞）．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=2x2+3x+1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】令x﹣1=t，则x=t+1，将x=t+1代入f（x﹣1），整理替换即可．【解答】解：令x﹣1=t，则x=t+1，故f（x﹣1）=f（t）=2（t+1）2﹣（t+1）=2t2+3t+1，故f（x）=2x2+3x+1，故答案为：2x2+3x+1．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A⊆B（横线上填入⊆，⊇或=）【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，已知分析两个集合中元素的性质，可得结论．【解答】解：根据题意，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，表示所有比7的整数倍大3的整数，其最小值为3，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，表示所有比7的整数倍小4的整数，也表示所有比7的整数倍大3的整数，故A⊆B；故答案为：⊆．9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=[﹣1，1] ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B中函数的值域确定出集合A，B，求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A中的函数x+y2=1，得到集合A=（﹣∞，1]，由集合B中的函数y=x2﹣1≥﹣1，集合A=[﹣1，+∞），则A∩B=[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为[﹣1，1] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】利用函数的定义域的求法，使函数有意义的x的值求得函数的定义域，再求它们的交集即可．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，∴解得﹣1≤x≤1；函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为：[﹣1，1]；故答案为：[﹣1，1]11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为4．【考点】基本不等式．【分析】根据=1，求出ab的最小值，从而求出三角形面积的最小值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，=1，∴1≥2，∴≤，ab≥8，当且仅当b=2a时“=”成立，=ab≥4，故S△故答案为：4．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据新概念的定义，写出a×b与b×a，再根据交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}={x|0≤|x|≤2x∈N}={0，1，2}，b={1，2，3}，所以a×b={（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）}，b×a={（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）}；所以（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．故答案为：{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据空集的定义，空集是指不含有任何元素的集合，结合元素和集合关系、集合和集合关系的判断；由∅是任何集合的子集，知∅⊆{0}．【解答】解：元素与集合间的关系是用“∈”，“∉”表示，故选项A、D不正确；∵∅是不含任何元素的∴选项C不正确∵∅是任何集合的子集故选：B．14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个【考点】子集与真子集．【分析】当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，x=2与函数y=f（x）只有一个交点；当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，即可求．【解答】解：当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，对于任意的x=2都有唯一的y与之对应，故x=2与函数y=f（x）只有一个交点，即集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素只有一个，当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，综上可得，集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素的个数为0个或1个故选：D．15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，及集合包含有关系的定义，逐一分析给定四个答案的真假，可得结论．【解答】解：若a=﹣1，b=0，c=﹣1，d=0，则a＜b且c＜d，但ac＞bd，故A错误；若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故B正确；若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A与B不存在包含关系，故D错误；故选：B．16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④【考点】集合中元素个数的最值．【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：①A∩B=∅Û集合A与集合B没有公共元素，正确；②A⊆B集合A中的元素都是集合B中的元素，正确；③A⊈B集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，错误；④A=B集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误．故选B．三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，（1）计算a=3时集合A，根据补集与交集的定义；（2）A⊈B时，得出关于a的不等式，求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}={x|x2﹣7x+10≤0}={x|2≤x≤5}；（1）当a=3时，A={x|4≤x≤9}，∴∁R A={x|x＜4或x＞9}，集合（∁R A）∩B={x|2≤x＜4}；（2）当A⊈B时，a+1＜2或2a+3＞5，解得a＜1或a＞1，所以实数a的取值范围是a≠1．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）a＞0时，根据二次函数f（x）的图象与性质，得出f（1）＜0，求出a的取值范围即可；（2）根据x1﹣1，x2﹣1同号得出（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，利用根与系数的关系列出不等式，从而求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2；（1）当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，且x1＜1＜x2，∴f（1）=a+2﹣2a＜0，解得a＞2，∴a的取值范围是a＞2；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，则（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＞0；又x1x2=﹣2，x1+x2=﹣，∴﹣2﹣（）+1＞0，解得0＜a＜2；又△=4﹣4a×（﹣2a）＞0，解得a∈R；综上，实数a的取值范围是0＜a＜2．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，即可得到函数的解析式，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，因此y==+，因为y=+≥2=10，当且仅当，即v=80时取“=”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，物资能最快送到灾区．20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据新定义可得x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3，解得即可，（2）根据新定义可得x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6，解得即可，（3）根据新定义可得x3﹣ax=x3++﹣ax﹣，解得即可．【解答】解：（1）x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3≥4x﹣4x﹣3=﹣3，当且仅当x=1时，取到最小值﹣3，（2）x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6≥3x﹣3x﹣6=﹣6，当且仅当x=3时，取到最小值﹣6，（3）x3﹣ax=x3++﹣ax﹣≥ax﹣ax﹣=﹣，当且仅当x=时，取到最小值﹣。

2020-2021学年上海市奉贤中学高一(下)期中数学试卷

2020-2021学年上海市奉贤中学高一(下)期中数学试卷

2020-2021学年上海市奉贤中学高一（下）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2）， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，5），则向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是___ ．2.（填空题，4分）函数y=sin （πx+3）的最小正周期是___ ．3.（填空题，4分）一个扇形半径是2，圆心角的弧度数是3，则此扇形的面积是___ ．4.（填空题，4分）设 a =（ 32 ，sinα）， b ⃗ =（cosα， 16），且 a || b ⃗ ，则cos2α=___ ． 5.（填空题，4分）函数y=sinx- √3 cosx 在[0，2π]的单调增区间是___ ．6.（填空题，4分）直角坐标系xOy 中， i 、 j 分别是与x 、y 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 i + j ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3 i +k j ，则k 的可能值个数是___ ．7.（填空题，5分）已知函数f （x ）=sinx （x∈[0，π]）和函数g （x ）= √32 tanx 的图象交于A 、B 、C 三点．则△ABC 的面积为___ ．8.（填空题，5分）已知| a |=1，| b ⃗ |=2， a 与 b ⃗ 的夹角为60°，则 a + b ⃗ 在 a 方向上的投影为___ ．9.（填空题，5分）函数y=sin 2x+2cosx+1在区间[- 23 π，θ]上的最小值是 34 ，则θ的最大值为 ___ ．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=cosx|sinx|，下列说法正确的是___ ． ① f （x ）图象关于x= π4对称； ② f （x ）的最小正周期为2π； ③ f （x ）在区间[ 3π4，5π4 ]上是严格减函数； ④ f （x ）图象关于（ π2 ，0）中心对称．11.（填空题，5分）a≤b 时，记{a ，b}min =a ．已知f （x ）=cosnx•{sinnx ，cosnx}min ，x∈[0，π2n]．则y=f （x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为___ ．12.（填空题，5分）如图，在锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，a ＞b ＞c ，且a 、b 、c 是常数，O 是△ABC 的外心，OD⊥BC 于D ，OE⊥AC 于E ，OF⊥AB 于F ，设m= OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n= OE ⃗⃗⃗⃗⃗ • OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，l= OF ⃗⃗⃗⃗⃗ • OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m ：n ：l=___ ．13.（单选题，5分）函数y=3sin （2x+ π3）的图象可以看作是把函数y=3sin2x 的图象作下列移动而得到（ ） A.向左平移 π3 单位 B.向右平移 π3 单位 C.向左平移 π6 单位 D.向右平移 π6 单位14.（单选题，5分）已知0＜α＜ π2 ，将角α的终边逆时针旋转 π6 ，所得的角的终边交单位圆于P （- 13 ，y ），则sinα的值为（ ） A. 2√2−√36B. 2√2+√36C.2√6−16 D.2√6+1615.（单选题，5分）设O 为△ABC 所在平面内一点，满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（ ） A.6 B. 83C. 127D.516.（单选题，5分）已知 x ，y ∈[−π4，π4] ，x 3+sinx-2a=0，4y 3+sinycosy+a=0，则cos （x+2y ）的值是（ ） A.1 B.-1 C.0 D. 1217.（问答题，14分）化简：（1）tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ；（2）sin 2(π−θ)cos(π2−θ)−sin(π2+θ)−cos(π+θ)1−tan(3π+θ)−√2sin(θ+π4)．18.（问答题，14分）设平面上有两个向量a =（cosα，sinα），b⃗ =（−√32，12）．（1）求证：向量a + b⃗与a - b⃗垂直：（2）当向量√3a + b⃗与a - √3b⃗的模相等时，求α的大小．19.（问答题，14分）甲船在距离A港口12海里并在南偏西10°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东20°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为6 √5海里．乙船的速度为每小时18海里，经过20分钟航行到D处，求此时甲、乙两船相距多少海里？甲在乙的什么方向？20.（问答题，16分）函数f（x）=6cos2ωx2+ √3 sin（ωx）-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f(x0)=6√35，且x0∈(−103，23)，求f（x0+1）的值；（3）若y=f2（x）-af（x）+1的最小值为12，求a的取值．21.（问答题，18分）f（x）=sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β）．其中α、β是常数．且0≤α≤β≤π：（1）若α=π2，β=π2，m＜f(x)恒成立，求m的取值范围；（2）若α=π6，β=π3，求关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和：（3）f（x）是否可能为常值函数？如果可能，求出f（x）为常值函数时，α、β的值；如果不可能，请说明理由．2020-2021学年上海市奉贤中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2）， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，5），则向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是___ ． 【正确答案】：[1]（2，3）【解析】：根据 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求出向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．【解答】：解： BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，5)−(1，2)=(2，3) ． 故答案为：（2，3）．【点评】：考查向量减法的几何意义，以及向量坐标的减法运算． 2.（填空题，4分）函数y=sin （πx+3）的最小正周期是___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】：解：函数y=sin （πx+3）的最小正周期是 2ππ =2， 故答案为：2．【点评】：本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．3.（填空题，4分）一个扇形半径是2，圆心角的弧度数是3，则此扇形的面积是___ ． 【正确答案】：[1]6【解析】：利用扇形面积公式求解．【解答】：解：由扇形面积公式可知：S= 12|α|r 2 =6， 故答案为：6．【点评】：本题主要考查了扇形面积公式，是基础题．4.（填空题，4分）设 a =（ 32 ，sinα）， b ⃗ =（cosα， 16），且 a || b ⃗ ，则cos2α=___ ． 【正确答案】：[1]± √32【解析】：由已知利用平面向量共线的坐标表示以及二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】：解：因为 a =（ 32 ，sinα）， b ⃗ =（cosα， 16），且 a || b ⃗ ， 所以sinαcosα- 14 =0，即sin2α= 12 ， 所以cos2α=± √1−sin 22α =± √32 ． 故答案为：± √32 ．【点评】：本题主要考查了平面向量共线的坐标表示以及二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.（填空题，4分）函数y=sinx- √3 cosx 在[0，2π]的单调增区间是___ ． 【正确答案】：[1] [0，5π6]和[11π6，2π] 【解析】：首先把函数的关系式通过三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．【解答】：解：y=sinx- √3 cosx=2sin （x- π3 ）， 令 −π2+2kπ≤x −π3≤2kπ+π2 （k∈Z ）， 整理得： −π6+2kπ≤x ≤2kπ+5π6（k∈Z ）， 当k=0和1时，在[0，2π]的单调增区间 [0，5π6]和[11π6，2π] ． 故答案为： [0，5π6]和[11π6，2π] ．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.（填空题，4分）直角坐标系xOy 中， i 、 j 分别是与x 、y 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 i + j ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3 i +k j ，则k 的可能值个数是___ ． 【正确答案】：[1]-6，-1【解析】：利用 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = i +（k-1） j ，再分三种情况∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°加以讨论，利用向量的数量积等于零，建立关系式，再解方程求得所有可能k 的值．【解答】：解：∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2i +j ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3i +kj ， ∴ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = i +(k −1)j 因为△ABC 为直角三角形，（1）∠A=90°时， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6+k =0 ⇒k=-6； （2）∠B=90°时， AB⃗⃗⃗⃗⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2+k −1=0 ⇒k=-1； （3））∠C=90°时， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+k (k −1)=0 ⇒k∈∅ 综上所述，k=-6或-1 故答案为：-6，-1．【点评】：本题考查向量坐标的定义、考查向量的运算法则、考查向量垂直的充要条件．解答的关键是利用向量垂直的充要条件列出等式，所得到方程的所有解即为可能的k 值．7.（填空题，5分）已知函数f （x ）=sinx （x∈[0，π]）和函数g （x ）= √32 tanx 的图象交于A 、B 、C 三点．则△ABC 的面积为___ ． 【正确答案】：[1] π4【解析】：画出两个函数的图象，求出三个点的坐标，然后求解三角形面积．【解答】：解：由函数f （x ）=sinx （x∈[0，π]）和函数g （x ）= √32 tanx 的图象交于A 、B 、C 三点，可得A （0，0），B （π，0），令sinx= √32 tanx ，可得cosx= √32 ，x= π6 ，∴C （ π6 ， 12 ）， 所以S △ABC = 12×π× 12= π4， 故答案为： π4 ．【点评】：本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．8.（填空题，5分）已知| a |=1，| b ⃗ |=2， a 与 b ⃗ 的夹角为60°，则 a + b ⃗ 在 a 方向上的投影为___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据| a |=1，| b ⃗ |=2， a 与 b ⃗ 的夹角为60°，算出| a + b ⃗ |= √7 且（ a + b ⃗ ）• a =2．再设 a + b ⃗ 与 a 的夹角为θ，结合数量积公式和向量投影的定义，算出| a + b ⃗ |cosθ的值，即可得到向量 a + b ⃗ 在 a 方向上的投影值．【解答】：解：∵| a |=1，| b ⃗ |=2， a 与 b ⃗ 的夹角为60°， ∴ a • b ⃗ = a |×| b ⃗ |×cos60°=1由此可得（ a + b ⃗ ）2=| a |2+2 a • b ⃗ +| b ⃗ |2=1+2+4=7 ∴| a + b ⃗ |= √7 ．设 a + b ⃗ 与 a 的夹角为θ，则 ∵（ a + b ⃗ ）• a =| a |2+ a • b ⃗ =2 ∴cosθ=(a ⃗ +b ⃗ )•a ⃗ |a⃗ +b ⃗ |•|a ⃗ | = 2√77 ， 可得向量 a + b ⃗ 在 a 方向上的投影为| a + b⃗ |cosθ= √7 × 2√77=2 故答案为：2【点评】：本题给出向量| a |、| b ⃗ |和 a 与 b ⃗ 的夹角，求向量 a + b ⃗ 在 a 方向上的投影．着重考查了向量数量积的定义、向量的夹角公式和向量投影的概念等知识，属于基础题． 9.（填空题，5分）函数y=sin 2x+2cosx+1在区间[- 23 π，θ]上的最小值是 34 ，则θ的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1] 56π【解析】：由已知中函数y=sin 2x+2cosx+1，由同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化为y=-（cosx-1）2+3的形式，进而根据函数的最小值为 34 ，结合已知中x∈[- 23 π，θ]及余弦函数的图象和性质，即可得到θ的最大值．【解答】：解：∵函数y=sin 2x+2cosx+1=-cos 2x+2cosx+2=-（cosx-1）2+3 若在区间[- 23 π，θ]上的最小值为 34 ， 则由y=-（cosx-1）2+3= 34 ， 解得cosx=- 12 ， 又∵x∈[- 23 π，θ] ∴θ= 56 π，故答案为： 56π．【点评】：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，同角三角函数的基本关系，余弦函数的图象和性质，其中根据已知条件，结合同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化为二次型函数的形式是解答本题的关键．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=cosx|sinx|，下列说法正确的是___ ． ① f （x ）图象关于x= π4 对称； ② f （x ）的最小正周期为2π； ③ f （x ）在区间[ 3π4，5π4 ]上是严格减函数； ④ f （x ）图象关于（ π2 ，0）中心对称． 【正确答案】：[1] ② ④【解析】：画出f （x ）的图像，由图像即可判断 ① ② ③ ④ 的正误．【解答】：解：函数f （x ）=cosx|sinx|的图像如图所示，由f （-x ）=f （x ），可得f （x ）为偶函数，由图像可得 ① 错， ② 正确； f （x ）在区间[ 3π4，5π4 ]上为不单调函数，故 ③ 错； f （x ）的图像关于（ π2 ，0）中心对称，故 ④ 正确； 故答案为： ② ④ ．【点评】：本题考查了三角函数的图像和性质，考查了函数的对称性，单调性和周期性，注意数形结合思想的运用．11.（填空题，5分）a≤b 时，记{a ，b}min =a ．已知f （x ）=cosnx•{sinnx ，cosnx}min ，x∈[0，π2n]．则y=f （x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为___ ．【正确答案】：[1] π8n【解析】：先由x∈[0， π2n ]．确定nx 的范围，然后就能确定{sinnx ，cosnx}min 取值，将函数f （x ）写成分段形式，利用积分的性质 ∫f ba (x )dx =∫f ca (x )dx +∫f bc(x )dx ，分别对分段进行求取积分在相加．【解答】：解：因为x∈[0， π2n ]．所以nx ∈[0，π2] ， 所以f （x ）=cosnx•{sinnx ，cosnx}min = {cosnx •sinnxx ∈[0，π4n ]cosnx •cosnxx ∈(π4n ，π2n ]= {12sin2nx x ∈[0，π4n ]12(1+cos2nx )x ∈(π4n ，π2n ]y=f （x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 ∫f π2n0(x )dx = ∫12π4nsin2nxdx +∫12π2n π4n(1+cos2nx )dx = 14n•(−cos2nx ) |0π4n+ (12x+14n sin2nx) |π4nπ2n = π8n故答案为： π8n ．【点评】：本题主要考查积分的几何意义及分段函数积分的求解，难点在复合函数的定积分求解，属于中档题．12.（填空题，5分）如图，在锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，a ＞b ＞c ，且a 、b 、c 是常数，O 是△ABC 的外心，OD⊥BC 于D ，OE⊥AC 于E ，OF⊥AB 于F ，设m= OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n= OE⃗⃗⃗⃗⃗ • OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，l= OF ⃗⃗⃗⃗⃗ • OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m ：n ：l=___ ．【正确答案】：[1]1：1：1【解析】：连接OA ，OB ，OC ，设∠BAC=∠1，∠ABC=∠2，∠ACB=∠3，利用三角形外接圆的性质以及数量积的运算可求得m= OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-R 2cos∠1cos∠2cos∠3，同理可求得n ，l ，计算可得结论．【解答】：解：如图，连接OA ，OB ，OC ， 设∠BAC=∠1，∠ABC=∠2，∠ACB=∠3，因为O 是△ABC 的外心，OD⊥BC 于D ，OE⊥AC 于E ，OF⊥AB 于F ， 所以∠DOC=∠DOB=∠1，∠AOE=∠COE=∠2，∠BOF=∠AOF=∠3， 所以m= OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =| OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠DOE=（Rcos∠DOC ）（Rcos∠COE ）cos （π-∠ACB ） =-R 2cos∠1cos∠2cos∠3，同理可得n= OE ⃗⃗⃗⃗⃗ • OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-R 2cos∠1cos∠2cos∠3，l= OF ⃗⃗⃗⃗⃗ • OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-R 2cos∠1cos∠2cos∠3， 所以m ：n ：l=1：1：1． 故答案为：1：1：1．【点评】：本题主要考查向量的数量积运算，三角形外接圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．13.（单选题，5分）函数y=3sin （2x+ π3 ）的图象可以看作是把函数y=3sin2x 的图象作下列移动而得到（ ） A.向左平移 π3 单位 B.向右平移 π3 单位 C.向左平移 π6 单位 D.向右平移 π6 单位 【正确答案】：C【解析】：由条件根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】：解：把函数y=3sin2x 的图象向左平移 π6个单位，可得y=3sin2（x+ π6）=3sin （2x+ π3 ）的图象， 故选：C ．【点评】：本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．14.（单选题，5分）已知0＜α＜ π2 ，将角α的终边逆时针旋转 π6 ，所得的角的终边交单位圆于P （- 13 ，y ），则sinα的值为（ ） A.2√2−√36B. 2√2+√36C.2√6−16 D.2√6+16【正确答案】：D【解析】：设角α的终边逆时针旋转 π6 后的角为β，由题意可知 β=α+π6 ，由任意角的三角函数定义可知cos β=−13 ，再利用两角和的余弦公式结合同角三角函数间的基本关系求解．【解答】：解：设角α的终边逆时针旋转 π6 后的角为β， 则 β=α+π6，由任意角的三角函数定义可知cos β=−13， ∴cos （ α+π6 ）=- 13 ， ∴ cosα×√32−sinα×12=−13，又∵sin 2α+cos 2α=1，且0＜α＜ π2， 联立两式可求：sinα= 2√6+16， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．15.（单选题，5分）设O 为△ABC 所在平面内一点，满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（ ） A.6 B. 83C. 127 D.5【正确答案】：D【解析】：根据奔驰定理可得S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =1：2：2，进而可以求解．【解答】：解：根据奔驰定理可得S △BOC ：S △AOC ：S △A OB =1：2：2， 所以S △BOC =15S △ABC ，所以三角形ABC 的面积与三角形BOC 的面积的比值为5，故选：D．【点评】：本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到奔驰定理的应用，属于基础题．16.（单选题，5分）已知x，y∈[−π4，π4]，x3+sinx-2a=0，4y3+sinycosy+a=0，则cos（x+2y）的值是（）A.1B.-1C.0D. 12【正确答案】：A【解析】：设f（u）=u3+sinu．根据题设等式可知f（x）=2a，f（2y）=-2a，进而根据函数的奇偶性，求得f（x）=-f（2y）=f（-2y）．进而推断出x+2y=0．进而求得cos（x+2y）=1．【解答】：解：设f（u）=u3+sinu．由① 式得f（x）=2a，由② 式得f（2y）=-2a．因为f（u）在区间[−π4，π4]上是单调奇函数，∴f（x）=-f（2y）=f（-2y）．∴x=-2y，即x+2y=0．∴cos（x+2y）=1．故选：A．【点评】：本题主要考查了利用函数思想解决实际问题．考查了学生运用函数的思想，转化和化归的思想．17.（问答题，14分）化简：（1）tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ；（2）sin 2(π−θ)cos(π2−θ)−sin(π2+θ)−cos(π+θ)1−tan(3π+θ)−√2sin(θ+π4)．【正确答案】：【解析】：（1）结合两角和的正切公式进行化简可求； （2）结合同角基本关系进行化简即可求解．【解答】：解：（1） tan (α−β)+tanβ1−tan (α−β)tanβ =tan[（α-β）+β]=tanα；（2）原式= sin 2θsinθ−cosθ + cosθ1−tanθ -（sinθ+cosθ），=sin 2θsinθ−cosθ + cosθ1−sinθcosθ-（sinθ+cosθ），= sin 2θsinθ−cosθ + cos 2θcosθ−sinθ -（sinθ+cosθ），=sinθ+cosθ-sinθ-cosθ， =0．【点评】：本题主要考查了同角基本关系，两角和的正切公式，属于基础题． 18.（问答题，14分）设平面上有两个向量 a =（cosα，sinα）， b ⃗ =（ −√32，12 ）． （1）求证：向量 a + b ⃗ 与 a - b⃗ 垂直： （2）当向量 √3 a + b ⃗ 与 a - √3 b ⃗ 的模相等时，求α的大小．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件可求出 (a +b ⃗ )•(a −b ⃗ )=0 ，从而得出 (a +b ⃗ )⊥(a −b ⃗ ) ； （2）根据条件可得出 (√3a +b ⃗ )2=(a −√3b ⃗ )2，然后进行数量积的运算可得出 a •b ⃗ =0 ，从而可得出 sin (α−π3)=0 ，这样即可求出α的值．【解答】：解：（1）证明：∵ a =(cosα，sinα)，b ⃗ =(−√32，12) ， ∴ (a +b ⃗ )•(a −b ⃗ )=a 2−b ⃗ 2=1−1=0 ， ∴向量 a +b ⃗ 与 a −b ⃗ 垂直； （2）∵ |√3a +b ⃗ |=|a −√3b ⃗ | ， ∴ (√3a +b ⃗ )2=(a −√3b⃗ )2， ∴ 3+1+2√3a •b ⃗ =1+3−2√3a •b⃗ ，∴ a•b⃗=−√32cosα+12sinα=sin(α−π3)=0，∴ α−π3=kπ，k∈Z，∴ α=π3+kπ，k∈Z．【点评】：本题考查了向量数量积的运算，向量坐标的数量积运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．19.（问答题，14分）甲船在距离A港口12海里并在南偏西10°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东20°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为6 √5海里．乙船的速度为每小时18海里，经过20分钟航行到D处，求此时甲、乙两船相距多少海里？甲在乙的什么方向？【正确答案】：【解析】：结合实际问题作出图形，然后结合正弦定理及余弦定理即可直接求解．【解答】：解：作出符合题意的图形，AC=12，BC=6 √3，∠CAB=30°，△ABC中，由正弦定理得，12sin∠ABC = 6√3sin30°，所以sin∠ABC= √55，由AC＜BC知∠ABC为锐角，所以cos∠ABC= 2√55，△BCD中，由余弦定理得CD= √BC2+BD2−2BC•BDcos∠B =√(6√3)2+62−2×6×6√3×2√55=6 √2，由余弦定理得，cos∠BDC= 62+(6√2)2−(6√5)22×6×6√2=- √22，所以∠BDC=135°，1180°-135°+20°=65°，所以甲、乙两船相距6 √2海里，甲在乙的北偏西65°方向．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解实际问题中的应用，属于中档题．20.（问答题，16分）函数f（x）=6cos2ωx2+ √3 sin（ωx）-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f(x0)=6√35，且x0∈(−103，23)，求f（x0+1）的值；（3）若y=f2（x）-af（x）+1的最小值为12，求a的取值．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用函数的关系式的恒等变换和函数的图象的应用求出函数的关系式；（2）利用（1）的结论，进一步利用角的变换求出结果；（3）求出f（x）的值域，令t=f（x），利用二次函数的性质即可求解a的值．【解答】：解：（1）函数f（x）=6cos2ωx2+ √3 sin（ωx）-3=3cosωx+ √3sinωx=2 √3 sin（ωx+ π3），由于△ABC为正三角形，所以三角形的高为2 √3，所以BC=4．所以函数f（x）的最小正周期为T=4×2=8，所以ω= π4，从而得到f（x）=2 √3 sin（π4 x+ π3）．（2）若f(x0)=6√35，则2 √3 sin（π4x0+ π3）= 6√35，整理得sin（π4x0+ π3）= 35，由于x0∈(−103，23)，所以π4x0+ π3∈（- π2，π2），所以cos（π4x0+ π3）= 45，所以f（x0+1）=2 √3 sin（π4 x0+ π4+ π3）=2 √3 [sin（π4x0+ π3）cos π4+cos（π4x0+ π3）sinπ4 ]=2 √3（35× √22+ 45× √22）= 7√65．（3）f（x）=2 √3 sin（ωx+ π3）的值域为[-2 √3，2 √3 ]，令t=f（x），则t∈[-2 √3，2 √3 ]，所以y=f2（x）-af（x）+1转化为g（t）=t2-at+1，对称轴为t= a2，当a2≥2 √3，即a≥4 √3时，g（t）min=g（4 √3）=12-2 √3 a+1= 12，解得a= 25√312（舍）；当a2≤-2 √3，即a≤-4 √3时，g（t）min=g（-4 √3）=12+2 √3 a+1= 12，解得a=- 25√312（舍）；当-2 √3＜a2＜2 √3，即-4 √3＜a＜4 √3时，g（t）min=g（a2）= a24- a22+1= 12，解得a=±√2．综上可得a=± √2．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数的图象与性质，考查转化思想与分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．21.（问答题，18分）f（x）=sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β）．其中α、β是常数．且0≤α≤β≤π：（1）若α=π2，β=π2，m＜f(x)恒成立，求m的取值范围；（2）若α=π6，β=π3，求关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和：（3）f（x）是否可能为常值函数？如果可能，求出f（x）为常值函数时，α、β的值；如果不可能，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意可得f（x）=1+cos2x，则f（x）≥1，进而可得m＜1，即可得出答案．（2）根据题意可得f（x）= 32 +sin（2x- π6），x∈[0，2π]，求出对称轴，作出图象，分情况讨论，即可得出答案．（3）根据题意可得f（x）= 32 - 12（cos2x（1+cos2α+cos2β）-sin2x（sin2α+sin2β））若f（x）是常值函数，则1+cos2α+cos2β=0，sin2α+sin2β=0，由三角恒等变化，解得答案．【解答】：解：（1）f（x）=sin2x+sin2（x+ π2）+sin2（x+ π2）=sin2x+2cos2x=1+cos2x，所以f（x）≥1，所以m＜1．（2）所以f（x）=sin2x+sin2（x+ π6）+sin2（x+ π3）= 32 - 12（cos2x+cos（2x+ π3）+cos（2x+ 2π3））= 32 - 12（cos2x- √3 sin2x），= 32 +sin（2x- π6），x∈[0，2π]．令2x- π6 = π2+kπ，k∈Z，则x= π6 + kπ2，k∈Z，所以在（0，2π）上的对称轴为x= π6，x= 2π3，x= 7π6，x= 5π3，当n＞1时，关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和为2× π6 +2× 7π6= 8π3，当12＜n≤1时，关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和为2× 2π3+2× 5π3= 14π3，当n= 12时，关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和为2π3+ 5π3= 7π3，当n＞52或n＜12时，关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和为0．（3）f（x）= 32 - 12（cos2x+cos2xcos2α-sin2xsin2α+cos2xcos2β-sin2xsin2β）= 32 - 12（cos2x（1+cos2α+cos2β）-sin2x（sin2α+sin2β））若f（x）是常值函数，则1+cos2α+cos2β=0，sin2α+sin2β=0，由sin2α+sin2β=0，得2β=-π+2α或2β=2π-2α，当β= π2+α时，1+cos2α+cos2β=1+cos2α+cos（π+2α）=1≠0，所以不成立，当β=π-α时，1+cos2α+cos2β=1+cos2α+cos（2π-2α）=1+2cos2α=0，所以cos2α=- 12，所以2α= 2π3或2α= 4π3，所以α= π3，β= 2π3．【点评】：本题考查三角函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．。

2022-2023学年上海市浦东新区高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年上海市浦东新区高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷1. −√π______R.(用符号“∈”或“∉”填空).2. 已知集合A={2,a2+3a+3}，且1∈A，则实数a的值为______.3. 函数y=log2x+2x−1的定义域是______.4. α：x是2的倍数，β：x是6的倍数；则α是β的______条件(填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”).5. 用有理数指数幂的形式表示a3⋅√a34(其中a>0)______.6. 设0<a<1，则关于x的不等式a x2−2x+3>a6的解集是______.7. 已知一元二次方程x2+1ax−3a=0(a>0)的两个实根为x1、x2，则x12x2+x22x1=______.8. 请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上______.①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点(0,0)的距离等于1的所有点；③影响力比较大的中国数学家；④不等式3x−10<0的所有正整数解．9. 设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是______.①如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d；②如果a≠b，且c≠d，那么ac≠bd；③如果a>b>0，那么0<1a <1b；④如果(a−b)2+(b−c)2≤0，那么a=b=c.10. 已知对数函数y=log a x(a>0且a≠1)的图像经过点(3,2)，且该函数图像经过点(x0,4)，则实数x0的值是______.11. 已知正数a和b满足2a=3b，1a +2b=1，用a及b表示log1812=______.12. 某同学在学习了基本不等式和幂指对运算后，通过查阅资料发现了一个不等式“e x−x≥1，当且仅当x=0时等号成立”，请借助这个不等式，解答下题：对任意x>0，x≥lnbx 恒成立，则b的取值范围______.13. 下列函数与函数y=x相同的是( )A. y=(√x)2B. y=lne xC. y=√x44 D. y=e lnx14. 下列函数中，值域是(0,+∞)的是( )A. y=x2B. y=1xC. y=−2xD. y=lg(x+1)(x>0)15. 关于幂函数的图像，下列选项描述正确的是( )A. 幂函数的图像一定经过(0,0)和(1,1)B. 幂函数的图像一定关于y 轴或原点对称C. 幂函数的图像一定不经过第四象限D. 两个不同的幂函数的图像最多有两个公共点16. 已知定义域为R 的函数y =f(x)满足：①对任意x ，y ∈R ，f(x +y)=f(x)⋅f(y)恒成立；②若x ≠y 则f(x)≠f(y).以下选项表述不正确的是( )A. y =f(x)在R 上是严格增函数B. 若f(3)=10，则f(6)=100C. 若f(6)=100，则f(−3)=110D. 函数F(x)=f(x)+f(−x)的最小值为2 17. 解不等式|2x −1|>1.18. 已知集合A ={(x,y)|y =4x −1}，集合B ={(x,y)|y =x 2+2}，用列举法表示集合A ∩B.19. 要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室(靠墙一侧利用原有墙体)，如图所示．如果已有材料可建成的围墙总长度为30m ，那么当宽x(单位：m)为多少时，才能使所建造的居室总面积最大？居室的最大总面积是多少？(不考虑墙体厚度)20. 小明在学习“用函数的观点求解方程与不等式”时，灵光一动，为课本上一道习题“已知a 、b 为正数，求证：(a +b)(1a +1b )≥4.”得到以下解法：构造函数f(x)=(a +b)x 2+4x +(1a+1b)，因为f(x)=(a +b)x 2+4x +(1a+1b)=(√ax +1√a)2+(√bx +1√b)2≥0，当且仅当x =−1a=−1b时取等号；所以对于函数f(x)=(a +b)x 2+4x +(1a+1b)可得Δ=42−4(a +b)(1a+1b)≤0，当且仅当−1a =−1b时Δ=0.即(a +b)(1a+1b)≥4，当且仅当a =b 时可取等号． 阅读上述材料，解决下列两个问题：(1)若实数a 、b 、c 、d 、x 不全相等，请判断代数式 “4x 2+(a +b +c+d)x +a 2+b 2+c 2+d24”的取值是正还是负；(直接写出答案，无需理由)(2)求证：4(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d)2，并指出等号成立的条件．21. 已知y=f(x)是定义在D上的函数，对于D上任意给定的两个自变量的值x1、x2，当x1≠x2时，如果总有f(x1)≠f(x2)，就称函数y=f(x)为“可逆函数”．(1)判断函数f1(x)=x+1x是否为“可逆函数”，并说明理由；(2)已知函数y=f2(x)在区间(0,+∞)上是增函数，证明：F(x)=f2(x)−1x，x∈(0,+∞)是“可逆函数”；(3)证明：函数f3(x)=xx−a +1x(a∈R)是“可逆函数”的充要条件为“a=0”．答案和解析1.【答案】∈【解析】解：−√π∈R.故答案为：∈．根据已知条件，结合元素与集合关系，即可求解．本题主要考查元素与集合关系的判断，属于基础题．2.【答案】−1或−2【解析】解：集合A={2,a2+3a+3}，且1∈A，则a2+3a+3=1，解得a=−1或−2.故答案为：−1或−2.根据已知条件，结合元素与集合关系，即可求解．本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．3.【答案】(−∞,−2)∪(1,+∞)>0，即(x+2)(x−1)>0，【解析】解：要使原函数有意义，则x+2x−1解得x<−2或x>1.∴函数y=log2x+2的定义域是(−∞,−2)∪(1,+∞).x−1故答案为：(−∞,−2)∪(1,+∞).由对数函数的真数大于0，然后求解分式不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查分式不等式的解法，是基础题．4.【答案】必要非充分【解析】解：①当x=4时，满足x是2的倍数，但不满足x是6的倍数，∴充分性不成立，②若x是6的倍数，则x一定是2的倍数，∴必要性成立，则α是β的必要非充分条件，故答案为：必要非充分．利用充要条件的定义判定即可．本题考查了充要条件的判定，属于基础题．5.【答案】a154【解析】解：a3⋅√a34=a3⋅a34=a154.故答案为：a 15 4.利用有理数指数幂的运算性质求解．本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．6.【答案】(−1,3)【解析】解：因为0<a<1，所以不等式a x2−2x+3>a6等价于x2−2x+3<6，解得−1<x<3，即不等式的解集为(−1,3).故答案为：(−1,3).由指数不等式的解法求解即可．本题主要考查指数不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】3【解析】解：∵一元二次方程x2+1ax−3a=0(a>0)的两个实根为x1、x2，∴x1+x2=−1a，x1⋅x2=−3a，则x12x2+x22x1=x1⋅x2(x1+x2)=3，故答案为：3.由题意，利用韦达定理，求得所给式子的值．本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题．8.【答案】①②④【解析】解：①上海市2022年入学的全体高一年级新生，符合集合的定义，故①正确，②在平面直角坐标系中，到定点(0,0)的距离等于1的所有点，符合集合的定义，故②正确，③影响力比较大的中国数学家，不符合集合的确定性，故③错误，④不等式3x−10<0的所有正整数解，即原不等式的集合为{1,2,3}，符合集合的定义，故④正确．故答案为：①②④．根据已知条件，结合集合的含义，即可求解．本题主要考查集合的含义，属于基础题．9.【答案】①③④【解析】解：对于①，根据不等式的基本性质得，如果a >b ，且c >d ，那么a +c >b +d ，命题①正确；对于②，如果a ≠b ，且c ≠d ，那么ac ≠bd 错误，如a =12，b =2，c =−2，d =−12时，ac =bd =−1，命题②错误；对于③，如果a >b >0，那么1ab>0，所以1b >1a >0，即0<1a<1b，命题③正确；对于④，如果(a −b)2+(b −c)2≤0，那么a −b =b −c =0，所以a =b =c ，命题④正确． 所以真命题的序号是①③④． 故答案为：①③④．根据同向不等式可加性，即可判断命题①正确； 举例说明命题②错误；根据不等式的基本性质判断命题③正确；根据平方数的非负性，即可得出a =b =c ，判断命题④正确． 本题考查了不等式的基本性质应用问题，是基础题．10.【答案】9【解析】解：因为对数函数y =log a x(a >0且a ≠1)的图像经过点(3,2)， 所以log a 3=2，所以a =√3，y =log √3x ， 因为函数图像经过点(x 0,4)， 则log √3x 0=4，即x 0=9. 故答案为：9.由已知结合对数的运算可先求出函数解析式，然后代入点的坐标可求． 本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题．11.【答案】2a +1b【解析】解：因为a ，b 均为正数， 令2a =3b =m ，则有a =log 2m ，1a =log m 2，b =log 3m ，1b =log m 3， 又因为2a =3b ，所以log m 2+2log m 3=log m 18=1， 所以m =18，所以a =log 218，b =log 318， 所以1a =log 182，1b =log 183，所以log 1812=log 18(4×3)=log 1822+log 183=2log 182+log 183=2a +1b. 故答案为：2a +1b .利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用．12.【答案】(0,1]【解析】解：根据题意，bx ≤e x恒成立，即b ≤e xx恒成立， 又e x −x ≥1，所以e xx ≥x+1x =1+1x >1(x >0)，则b ≤1， 又b >0，所以b 的取值范围为(0,1]. 故答案为：(0,1]. 问题可转化为b ≤e x x恒成立，结合题意可知e x x ≥x+1x =1+1x >1(x >0)，进而得解．本题考查不等式的恒成立问题，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】B【解析】解：y =x ，x ∈R A 项：y =x ，x ≥0，定义域不同；B 项：y =lne x =x ，即y =x ，x ∈R ，是同一函数；C 项：y =|x|，解析式不同，不是同一函数；D 项：y =e lnx =x ，x >0，定义域不同，不是同一函数； 故选：B.判断函数的定义域，将解析式变形，即可判断是否同一函数． 本题考查同一函数的判断，属于基础题．14.【答案】D【解析】解：选项A ，y =x 2的值域是[0,+∞),即A 不符合题意； 选项B ，y =1x的值域是(−∞,0)∪(0,+∞)，即B 不符合题意； 选项C ，y =−2x 的值域是(−∞,0)，即C 不符合题意；选项D ，因为x >0，所以x +1>1，所以y =lg(x +1)>lg1=0，所以其值域为(0,+∞)，即D 符合题意． 故选：D.根据基本初等函数的图象与性质，即可得解．本题考查函数的值域，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．15.【答案】C【解析】解：对于A ，由幂函数的性质可知，幂函数的图像一定经过(1,1)，不一定过点(0,0)，例如y =x 0，故A 错误，对于B ，幂函数y =x 12的图像既不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故B 错误， 对于C ，由幂函数的性质可知，幂函数的图像一定不经过第四象限，故C 正确， 对于D ，幂函数y =x 与y =x 3的交点为(−1,−1)，(0,0)，(1,1)，共3个，故D 错误， 故选：C.根据幂函数的图像和性质逐个判断各个选项即可． 本题主要考查了幂函数的图象和性质，属于基础题．16.【答案】A【解析】解：由已知：令x =y =0得f(0)=0或1，若x =0，则f(x +0)=f(x)f(0)=0，与条件②矛盾，故f(0)=1，再令f(0)=f(−x +x)=f(−x)f(x)=1，故f(−x)=1f(x)， 对于A ，显然f(x)=(12)x 满足f(x)的条件，但该函数为减函数，故A 错； 对于B ，令x =y =3，则f(6)=f 2(3)=100，故B 对；对于C ，假设f(x)=0，且y ≠0，则f(x +y)=0，与题设矛盾，故f(x)≠0， 再令x =y =m2，m ∈R ，则f(m)=f 2(m2)>0，所以f(6)=f(3+3)=f 2(3)=100，故f(3)=10，故f(−3)=1f(3)=110，故C 对；对于D ，令y =−x ，则f(0)=f(x −x)=f(x)f(−x)=1，且f(x)>0，f(−x)>0，所以F(x)=f(x)+f(−x)≥2√f(−x)f(x)=2，故D 对． 故选：A.先利用赋值法求出f(0)=1，再逐项判断： 对于A ，举个反例y =(12)x 即可； 对于B ，C ，利用赋值法说明即可；对于D ，令x =y ，容易说明f(x)≥0，再结合基本不等式、f(0)=1判断即可．本题考查赋值法在研究抽象函数性质时的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．17.【答案】解：|2x −1|>1，可得2x −1>1或2x −1<−1，即x >1或x <0，则解集为(−∞,0)∪(1,+∞).【解析】把2x −1看成一个整体，去掉绝对值符号即可． 本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题．18.【答案】解：由题意可知，集合A ∩B 的元素为表示直线y =4x −1与抛物线y =x 2+2的交点坐标，联立方程{y =4x −1y =x 2+2，解得{x =1y =3或{x =3y =11，∴A ∩B ={(1,3),(3,11)}.【解析】求出直线y =4x −1与抛物线y =x 2+2的交点坐标，即可得到集合A ∩B. 本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题．19.【答案】解：由题意，若把材料全部用完，则两间居室的总长为(30−3x)m ，0<x <10，设所建造的居室总面积ym 2，则y =(30−3x)x =−3(x −5)2+75，当居室的宽为5m 时，居室的面积最大，居室的最大总面积是75m 2.【解析】由题意，若把材料全部用完，得到两间居室的总长为(30−3x)m ，0<x <10，再由长方形的面积公式建立模型求解即可． 本题考查函数模型的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)取值为正；证明：(2)构造函数f(x)=4x 2+(a +b +c +d)x +a 2+b 2+c 2+d24，因为f(x)=4x 2+(a +b +c+d)x +a 2+b 2+c 2+d24=(x −a2)2+(x −b2)2+(x −c2)2+(x −d2)2≥0， 当且仅当x =a 2=b 2=c 2=d2时取等号； 所以对于函数f(x)=4x 2+(a +b +c+d)x +a 2+b 2+c 2+d24，得Δ=(a +b +c +d)2−4(a 2+b 2+c 2+d 2)≤0， 当且仅当a2=b2=c2=d2时，Δ=0，即4(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d)2，当且仅当a =b =c =d 时取等号．【解析】(1)根据题意即可得出结论； (2)构造函数f(x)=4x 2+(a +b +c+d)x +a 2+b 2+c 2+d24，配方整理利用Δ=(a +b +c +d)2−4(a 2+b 2+c 2+d 2)≤0，即可得证． 本题考查了不等式的证明，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数f 1(x)=x +1x 不是“可逆函数”，理由：∵f 1(x)=x +1x在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴f 1(x)min =f 1(1)=2， 则f 1(x)与y =a(a >2)恒有两个不同的交点，记为x 1，x 2， 则x 1≠x 2，f 1(x 1)=f 1(x 2)=a ，不符合“可逆函数”定义， ∴f 1(x)=x +1x 不是“可逆函数”．(2)证明：任取x 2>x 1>0，则F(x 2)−F(x 1)=f 2(x 2)−1x 2−f 2(x 1)+1x 1=f 2(x 2)−f 2(x 1)+x 2−x 1x 1x 2， ∵f 2(x)在区间(0,+∞)上是增函数，∴f 2(x 2)−f 2(x 1)>0， 又x 2−x 1>0，x 2x 1>0，∴F(x 2)−F(x 1)>0，∴F(x)在区间(0,+∞)上是增函数，则当x 1≠x 2时，F(x 1)≠F(x 2)恒成立， ∴F(x)=f 2(x)−1x，x ∈(0,+∞)是“可逆函数”．(3)证明：先证明充分性：当a =0时，f 3(x)=1+1x，则f 3(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)； 任取x 1，x 2∈(−∞,0)∪(0,+∞)且x 1≠x 2， 则f 3(x 2)−f 3(x 1)=1+1x 2−1−1x 1=−x 2−x 1x 1x 2≠0，即f 3(x 1)≠f 3(x 2)，∴f 3(x)为“可逆函数”，充分性成立； 再证明必要性：假设当f 3(x)=x x−a +1x是“可逆函数”时，a ≠0，构造关于x 的方程：x x−a +1x=2，化简可得：x 2−(2a +1)x +a =0，显然x =0与x =a 均不是方程的根，又Δ=(2a +1)2−4a =4a 2+1>0， 解方程可得：x 1=2a+1−√4a 2+12，x 2=2a+1−√4a 2+12，且x 1≠x 2，则x 1x 1−a +1x 1=x 2x 2−a +1x 1=2，即f 3(x 1)=f 3(x 2)=2，与f 3(x)是“可逆函数”矛盾，∴假设不成立，即a =0，必要性成立； 综上所述：函数f 3(x)=x x−a +1x(a ∈R)是“可逆函数”的充要条件为“a =0”．【解析】(1)根据对勾函数单调性可确定f 1(x)与y =a(a >2)恒有两个不同的交点，知f 1(x)不是“可逆函数”；(2)任取x 2>x 1>0，可得F(x 2)−F(x 1)=f 2(x 2)−f 2(x 1)+>0，知F(x)在(0,+∞)上为增函数，符合“可逆函数”定义；(3)当a=0时，任取x1，x2∈(−∞,0)∪(0,+∞)且x1≠x2，由f3(x2)−f3(x1)=−≠0，可知充分性成立；假设当f3(x)=是“可逆函数”时，a≠0，构造方程=2，化简整理为一元二次方程，由方程有两个不等实根可知+=+=2，与“可逆函数”定义矛盾，知假设错误，必要性得证．本题考查函数中的新定义问题的求解和证明；解题关键是充分理解“可逆函数”的定义，将问题转化为函数单调性的证明或一元二次方程根的个数的讨论，属中档题．第11页，共11页。

2023-2024学年北京市北京交大附中高一(下)期中数学试卷(含答案)

2023-2024学年北京市北京交大附中高一(下)期中数学试卷(含答案)

2023-2024学年北京交大附中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.sin120°的值为( )A. 32 B. 12C. − 32D. −122.若角α的终边过点(4,3)，则sin (α+π2)=( )A. 45B. −45C. 35D. −353.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( )A. 4cm 2B. 6cm 2C. 8cm 2D. 16cm 24.向量a ,b ,c 正方形网格中的位置如图所示．若向量c =λa +b ，则实数λ=( )A. −2B. −1C. 1D. 25.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是( )A. f(x)=cos2xB. f(x)=tan x 2C. f(x)=tan (−x)D. f(x)=sin |x|6.在△ABC 中，AB =4，AC =3，且|AB +AC |=|AB−AC |，则AB ⋅BC =( )A. 16B. −16C. 20D. −207.函数f(x)=cosx ⋅|tanx|在区间(π2,32π)上的图象为( )A. B.C. D.8.已知函数f(x)=sin (2x +π4)，则“α=π8+kπ(k ∈Z)”是“f(x +α)是偶函数，且f(x−α)是奇函数”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，a ⋅b =0，则|a +b +c |的最大值是( )A. 2 B. 3 C. 2+1 D. 3+110.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一，在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点(如图2)，若点P 在BC 的中点，则(PA +PB )⋅PO =( )A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

(3)--2013《中学数学教学设计》试卷及答案(共3套)

(3)--2013《中学数学教学设计》试卷及答案(共3套)
如果说教教材是封闭性的，是立足于教师教的一种教学方式，那么，用教材教就是开放性的 是立足于学生学的一种学习方式。前者的主体是教师，学生是被动的接收者；后者的主体是学生， 学生是主动的参与者。
课程大于教材，更大于课堂。因此，教学过程应该是用教材教而不是教教材。如果教教材，就 会唯教材为是，就会成为教材的奴隶。
二、（20 分）参考答案 1、以旧引新导入法 复习导入法即所谓“温故而知新”,它利用数学知识之间的联系导入新课,淡化学生对新知识的 陌生感,使学生迅速将新知识纳入原有的知识结构中,能有效降低学生对新知识的认知难度. 2、开门见山导入法 上课不绕圈子,直接出示本节课要学习的目标,说出本节课要学习的主要内容,再指导学生自学. 让学生把注意力集中在教学内容最本质、最主要的问题研究之上. 3、游戏情境导入法 根据教学内容,利用语言、设备、环境、活动等手段,创造一种符合教学需要的情境,让学生如临其 境,感同身受,以激发兴趣,启迪思维,使学生处于积极的学习状态. 4、故事情境导入法 讲故事能吸引学生的注意力,使枯燥无味的数学内容变得妙趣横生, 因此根据教学内容选择适当 的故事来导入新课,是学生喜闻乐见的一种导入新课的方式.这种导入法有利于激发学生兴趣,增强 学生的求知欲望和学习动机. 5、实验情境导入法 实验情境导入法是引导学生观察与新课主题密切相关的数学现象 ,以刺激学生的好奇心,激发学 生探究奥妙的愿望,进而引出新课主题的方法. 6、问题情境导入法 根据学生年龄和心理特征,设计疑问,创设矛盾,设置悬念,使学生产生解决问题的浓厚兴趣.教师 通过导入,有意识地引起学生的认知冲突,使学生处于心欲求而不得、口欲言而不能的情境,学生的思 维就能较快地受到启发,并活跃起来.
本节课的重要结论的研究。
问题 3 满足条件的函数图像与 x 轴的交点一定在 (a,b) 内吗？即函数的零点一定在 (a,b) 内

2021-2022学年上海市杨浦高级中学高一下学期期中数学试题(含详解)

2021-2022学年上海市杨浦高级中学高一下学期期中数学试题(含详解)

杨浦高级中学2021学年度第二学期期中测试高一数学试卷一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.教室里的挂钟时间从中午12点到当天下午3点，时针转了__________弧度.2.若一扇形的圆心角为3π，弧长为2π，则该扇形的面积是________．3.已知角α的终边过点P （5，a ），且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.4.已知正方形ABCD 的边长为2，,,AB a BC b AC c ===，则a b c ++ ＝_____．5.已知1cos 3α=，3cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.6.已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为________.7.已知向量a 、b，a = 2b =，且()a b a +⊥r r r ，则a 在b 上的投影为___________.8.在ABC 中，已知tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x m x +++=的两个实根，则C ∠=________．9.若函数()sin 2cos f x x x=+取最小值时x θ=，则sin θ=___________.10.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号的空格内填写代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A.B.C.D.12.已知向量()2,0a =，1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2a b += （）A.B.C. D.513.已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈ ，且112uλ+=，则下列说法正确的是,A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C 、D 可能同时在线段AB 上D.C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上14.在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（）A.43310 B.43310+ C.33410- D.43310±三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知函数()f x x =，()22sin 2x g x =.（1）若α是第一象限角，且()335f α=，求()g α的值；（2）求使()()f x g x =成立的x 的取值集合.16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c22cos 02A CB +-=.（1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间；（2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.18.探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O ､A ､B ，对平面上任意一点P ，都有实数λ与μ，使得OP OA OB λμ=+，且A ､B ､P 三点共线的充要条件是1λμ+=.已知ABC 中，过重心G 的直线交线段AB 于P ，交线段AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB = ，AQ qQC =.根据阅读材料的内容，解决以下问题：（1）求证：111p q+=；（2）求12S S 的取值范围.19.定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()f x x=为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：sin cos（1）求“余正弦”函数的定义域；（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.杨浦高级中学2021学年度第二学期期中测试高一数学试卷一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.教室里的挂钟时间从中午12点到当天下午3点，时针转了__________弧度.【答案】2π-【解析】【分析】由时钟的时针在钟面上每转动一个整点的大刻度所得的度数求出中午12点到当天下午3点所转弧的度数即可得解.【详解】因时钟的时针在钟面上为顺时针转动，则每转动一个整点的大刻度所转弧的度数为30- ，从中午12点到当天下午3点，时针转了3个这样的大刻度，则时针所转弧的度数为30390-⨯=- ，所以时针转了2π-弧度.故答案为：2π-2.若一扇形的圆心角为3π，弧长为2π，则该扇形的面积是________．【答案】6π【解析】【分析】利用扇形的弧长公式求扇形的半径，进而应用扇形面积公式求其面积即可.【详解】由题意，令扇形的半径为R ，则23Rππ=，即有6R =，∴该扇形的面积是12662ππ⨯⨯=．故答案为：6π.3.已知角α的终边过点P （5，a ），且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.【答案】－713【解析】【分析】利用三角函数的定义求解.【详解】由三角函数的定义得，tan α＝5a ＝－125，∴a ＝－12，∴P （5，－12）.这时r ＝13，∴sin α＝－1213，cos α＝513，从而sin α＋cos α＝－713.故答案为：－7134.已知正方形ABCD 的边长为2，,,AB a BC b AC c === ，则a b c ++＝_____．【答案】【解析】【分析】利用向量的加法计算即可.【详解】22a b c AB BC AC AC ++=++==⨯故答案为：5.已知1cos 3α=，cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.【答案】9【解析】【分析】根据题意，可知02παβ<-<，结合三角函数的同角基本关系，可求出sin α和sin()αβ-再根据[]cos cos ()βααβ=--，利用两角差的余弦公式，即可求出结果.【详解】因为02πβα<<<，所以02παβ<-<，因为1cos 3α=，所以22sin 3α==，又cos()3αβ-=，所以sin()3αβ-==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣⎦133339=⨯+⨯=.故答案为：539.6.已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为________.【答案】－3【解析】【分析】由题设，结合诱导公式可得f (4)＝a sin α＋b cos β，再应用正余弦函数的周期性、诱导公式可得f (2017)＝－a sin α－b cos β即可求值.【详解】∵f (4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2017)＝a sin (2017π＋α)＋b cos (2017π＋β)＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.故答案为：－3.7.已知向量a 、b ，a = 2b = ，且()a b a +⊥r r r ，则a 在b上的投影为___________.【答案】32-## 1.5-【解析】【分析】由已知得出()0a b a +⋅=r r r ，结合平面向量数量积的几何意义可得出a 在b上的投影.【详解】由已知可得()20a b a a b a +⋅=⋅+= ，所以，3a b ⋅=-，所以，a 在b上的投影为3cos ,2a b a a b b⋅<>==-.故答案为：32-.8.在ABC 中，已知tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x m x +++=的两个实根，则C ∠=________．【答案】34π##135︒【解析】【分析】根据根与系数关系可得tan tan A B m +=-，tan tan 1A B m =+，再由三角形内角和的性质及和角正切公式求tan C ，即可得其大小.【详解】由题设，tan tan A B m +=-，tan tan 1A B m =+，又()()tan tan tan tan tan 11tan tan A BC A B A B A Bπ+⎡⎤=-+=-+=-=-⎣⎦-，且0C π<<，∴34C π=.故答案为：34π.9.若函数()sin 2cos f x x x =+取最小值时x θ=，则sin θ=___________.【答案】55-【解析】【分析】利用三角函数的恒等变换，再利用诱导公式即可求解.【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=+=+，其中sin ϕϕ==x θ= 时取最小值，()22k k Z πθϕπ∴+=-+∈，()22k k Z πθϕπ∴=--+∈sin sin 2sin 225k cos ππθϕπϕϕ⎛⎫⎛⎫∴=--+=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：55-.10.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．【答案】13【解析】【分析】根据()f x 的对称轴，以及其单调性，初步求得ω的取值范围，再对取值进行验证，即可求得结果.【详解】由题意可得362k ωππππ+=+，Z k ∈，则31k ω=+，Z k ∈．因为()f x 在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以34162T ππ-≤，所以8T π≥，即28ππω≥，解得16ω≤，则3116k +≤，即5k ≤．当5k =时，()2sin 166f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以5k =，即16ω=不符合题意；当4k =，即13ω=时，()2sin 136f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以4k =，即13ω=符合题意，故ω的最大值是13．故答案为：13.【点睛】本题考察三角函数中的参数范围问题，解决问题的关键是充分挖掘函数对称性和单调性，属困难题.二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号的空格内填写代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】结合函数的奇偶性和特殊点的处的函数值的符号可得正确的选项.【详解】因为()()2tan 11f x x x x =⋅-<<，故()()()()2tan f x x x f x -=-⋅-=，故()f x 为偶函数，故排除AC.而()12tan10f =>，故排除D ，故选：B.12.已知向量()2,0a =，1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2a b += （）A.B.C. D.5【答案】A 【解析】【分析】先求2a b +的坐标，再用平面向量模长的坐标运算求解即可.【详解】()21,2a b += ，所以2a b +== .故选：A.13.已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈，且112uλ+=，则下列说法正确的是,A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C 、D 可能同时在线段AB 上D.C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D 【解析】【分析】根据向量共线定理得到,,,A B C D 四点共线，再根据反证法求证，问题可逐一解决.【详解】解：由()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈，可得：,,,A B C D 四点共线，对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则12AC AB = ，则1,02λμ==，不满足112u λ+=，即选项A 错误；对于选项B ，若D 是线段AB 的中点，则12AD AB = ，则10,2λμ==，不满足112uλ+=，即选B 错误；对于选项C ，若C 、D 同时在线段AB 上，则01,01λμ<<<<，则112u λ+>，不满足112uλ+=，即选项C 错误；对于选项D ，假设C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则1,1λμ>>，则112u λ+<，则不满足112uλ+=，即假设不成立，即C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，即选项D 正确；故选：D.【点睛】本题考查了向量共线定理，重点考查了反证法，属中档题.14.在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（）A.43310 B.43310+ C.33410- D.43310±【答案】A【解析】【分析】由三角函数的定义知x 0=cos α，因为cos α=cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，所以利用两角差的余弦公式可求.【详解】解：由题意，x 0=cos α.α∈,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，6πα+∈,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又cos(6πα+)=4532<，∴6πα+∈,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，∴sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=35-，∴x 0=cos α=cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 6π+sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 6π=43315252⨯-⨯=43310-.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是根据cos(6πα+)=452<，缩小角的范围，从而确定sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负.三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知函数()f x x =，()22sin 2x g x =.（1）若α是第一象限角，且()335f α=，求()g α的值；（2）求使()()f x g x =成立的x 的取值集合.【答案】（1）15（2）11{2π,x x k k Z =∈或222π2π,}3x k k Z =+∈.【解析】【分析】（1）先求出3sin 5α=，结合α所在象限求得cos α，进而利用半角公式进行求解；（2）利用半角公式，辅助角公式求得π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求出使()()f x g x =成立的x 的取值集合.【小问1详解】()5f αα==，解得：3sin 5α=，因为α是第一象限角，所以4cos 5α==()212sin 1cos 25g ααα==-=；【小问2详解】()()f x g x =，22sin 1cos 2x x x ==-，cos 1+=x x ，利用辅助角公式得：2πsin 16x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以11ππ2π,66x k k Z +=+∈，或22π5π2π,66x k k Z +=+∈，解得：112π,x k k Z =∈，或222π2π,3x k k Z =+∈，故使()()f x g x =成立的x 的取值集合为11{2π,x x k k Z =∈或222π2π,}3x k k Z =+∈16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 22cos 02A C B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.【答案】（1）23B π=；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出B 的值．（2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果，进一步求出三角形的周长．22cos (1cos())2A CB B AC +-=-++∵A B C π++=(1cos())(1cos )B AC B B -++=--cos 12sin 106B B B π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵(0,)B π∈，∴7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴566B ππ+=，23B π=解法2：∵A BC π++=，2222cos 2cos 2sin 222A CB B B B B π+--=-=-2cos 2sin 2sin sin 0222222B B B B B B ⎫=-=-=⎪⎭∵(0,)B π∈，∴sin02B ≠sin 022B B -=∴tan 2B =，∵0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴23B π=，∴23B π=（2）由（1）知23B π=，所以ABC 的面积为12sin 234ac ac π==16ac =因为2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理可得2232b ac ==，b =由余弦定理222222cos ()323b ac ac a c ac π=+-⋅=+-=∴2()3248a c ac +=+=，∴a c +=所以ABC 的周长为【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间；（2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，增区间为5πππ,π,1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）[-1,2].【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而可得函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求解()f x 的单调递增区间．（2）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，根据正弦函数的定义域和值域，即可求得m 的范围．【小问1详解】根据函数()sin()(00||2f x A x A πωϕωϕ=+>>，， 的图象，可得1A =，124312πππω⋅=-，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，由五点法作图，可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=，故()sin(2)3f x x π=+，令222232k x k πππππ-++ ，求得51212k x k ππππ-++ ，k ∈Z ，()f x 的单调递增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【小问2详解】将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线:sin 26C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin(21,26x π-∈-，所以m 的取值范围为[]1,2-．18.探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O ､A ､B ，对平面上任意一点P ，都有实数λ与μ，使得OP OA OB λμ=+ ，且A ､B ､P 三点共线的充要条件是1λμ+=.已知ABC 中，过重心G 的直线交线段AB 于P ，交线段AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB = ，AQ qQC = .根据阅读材料的内容，解决以下问题：（1）求证：111p q+=；（2）求12S S 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）41[,)92．【解析】【分析】(1)将AG 表示为xAP y AQ + 形式，根据题意可知当P 、G 、Q 三点共线时，x ＋y ＝1，据此即可证明；(2)利用三角形面积公式及(2)中结论可得1221119()24S S p =--+，由p 的范围及二次函数的性质即可求得12S S 的取值范围．【小问1详解】AP pPB = ，AQ qQC = ，∴1p AB AP p += ，1q AC AQ q+= ，∵G 是△ABC 重心，∴()21113233p q AG AB AC AP AQ p q ++=⨯⨯+=+ 由材料可知，∵P 、G 、Q 三点共线，∴11133p q p q+++=，化简即为111p q +=；【小问2详解】由(1)1p AP AB p=+uu u ruu u r ，1q AQ AC q =+ ，∴121||||sin ||||2111||||||||sin 2AP AQ BAC S AP AQ p q S p q AB AC AB AC BAC ⋅⋅∠⋅===⋅++⋅⋅⋅∠ ， 111p q +=，1p q p =-，可知1p >，∴112111p q p p p q p p -==+-+-，∴212222111111911121212()24S p q p p p S p q p p p p p p p =⋅=⋅===+++-+--++--+，1p > ，∴101p<<，则当112p =时，12S S 取得最小值49，当11p =或0时，12S S 取得最大值12， 11p≠或0，故12S S 的取值范围是41[,)92．19.定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()sin cos f x x =为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：（1）求“余正弦”函数的定义域；（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.【答案】（1）R（2）偶函数，理由见解析（3）()()sin cos f x x =在[]()2π,2ππZ k k k +∈是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上严格增函数；最小正周期为2π；理由见解析.值域为[]sin1,sin1-.【解析】【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得()()sin cos f x x =的定义域.（2）根据函数奇偶性的定义，求得()()sin cos f x x =的奇偶性.（3）结合题目所给的解题思路，求得()()sin cos f x x =的单调区间、最小正周期、值域.【小问1详解】()()sin cos f x x =的定义域为R .【小问2详解】对于函数()()sin cos f x x =，()()()()sin cos sin cos f x x x f x -=-==⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是偶函数.【小问3详解】()()()()2πsin cos 2πsin cos f x x x f x +=+==⎡⎤⎣⎦，cos y x =在区间[]0,π上递减，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递减.cos y x =在区间[]π,2π上递增，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递增.所以()f x 的最小正周期为2π，()f x 在[]()2π,2ππZ k k k +∈上是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上是严格增函数.结合()()sin cos f x x =的单调性可知，()f x 的值域为[]sin1,sin1-.。

2024-2025学年上海市闵行区六校联考高一(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年上海市闵行区六校联考高一(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年上海市闵行区六校联考高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥m且l⊥n”是“l⊥α”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.如图所示，平面四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A−BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是( )①平面ACD⊥平面ABD②AB⊥AC③平面ABC⊥平面ACDA. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③3.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=22，点E为AB上的动点，则D1E+CE的最小值为( )A. 5B. 15C. 2+22D. 174.如图，设P为正四面体A−BCD表面(含棱)上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有( )A. 4个B. 6个C. 10个D. 14个二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是______．6.若平面α⋂β=l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b=M，则点M与l的位置关系为______．7.正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AB与DC1所成角的大小为______．8.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，则直线AB到平面CDD1C1的距离为______．9.△AOB的斜二测直观图△A′O′B′如图所示，则△AOB的面积是______．10.以下四个命题中，真命题是______(只填真命题的序号)．①若a，b是两条直线，且a//b，则a平行于经过b的任何平面；②若直线a和平面α满足a//α，则a与α内的任何直线平行；③若直线a，b和平面α满足a//α，b//α，则a//b；④若直线a，b和平面α满足a//b，a//α，b⊄α，则b//α．11.一个圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为______．12.已知圆锥的表面积为12π，其侧面展开图是一个半圆.则圆锥的高为______．13.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E是棱DD1的中点，则平面AC1E截该正方体所得的截面面积为______．14.如图所示，求一个棱长为2的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体切去四个角后得到，类比这种分法，一个相对棱长都相等的四面体A−BCD，其三组棱长分别为AB=CD=5，AD=BC= 13，AC=BD=10，则此四面体的体积为______．15.某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为63的正方体的六个面所截后剩余的部分，(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的表面积是______．16.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A−BCD中，AB⊥平面BCD，且有BD⊥CD，AB=BD=2，CD=1，点P是AC上的一个动点，则三角形PBD的面积的最小值为．三、解答题：本题共5小题，共78分。

人教版数学高一下册期末测试精选(含答案)7

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人教版高一下册期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线l 过点A (3,4)，且与点B (－3,2)的距离最远，则直线l 的方程为( ) ． A ．3x －y －5＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．3x ＋y ＋13＝0D ．3x ＋y －13＝0【来源】吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试题 【答案】D2．已知点()()0,2,2,0A B ．若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC V 的面积为2的点C 的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【来源】2011年普通高中招生考试北京市高考文科数学 【答案】A3．如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．AC SB ⊥ B ．//AB 平面SCDC ．平面SDB ⊥平面SACD ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角【来源】陕西省西安中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷 【答案】D4．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a ，b ，c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c共面；④若直线l 上有一点在平面α外，则l 在平面α外.其中错误命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【来源】2016届上海市嘉定区高考一模（理科)数学试题 【答案】C5．在平面直角坐标系内，已知()1,0A -，()2,0B ，动点M 满足12MA MB =，且M 在直线20ax y a --=上.若满足条件的点M 是唯一的，则a =（ ）A ．B ．CD 【来源】浙江省温州市共美联盟2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】A6．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷带解析) 【答案】B7．已知AB 、CD 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的短轴和长轴，点E 是椭圆弧CBD上异于B 的任意一点，将坐标平面沿x 轴折叠成大小为α（02πα<<）的二面角，记AOE ϕ∠=，则（ ） A ．αϕ≥B ．αϕ>C ．αϕ<D ．αϕ≤【来源】浙江省温州市共美联盟2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】C8．已知圆()22:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是（ ）A ．()0,22⎡⋃+∞⎣ B ．[2,2]C ．(),0-∞D ．[0∞+，） 【来源】北京市朝阳区2019年高三年级第一次综合练习数学（文)试题 【答案】D9．已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积是（ ） A ．8πB ．12πC ．15πD ．36π【来源】广东省华南师大附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B10．已知正三棱锥P ABC -，点P ，A ，B ，C 若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为（ ）A ．2B C D 【来源】广东省华南师大附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B11．已知直线l 经过点()2,5P -，且斜率为34-，则直线l 的方程为（ ） A ．34140x y +-= B ．34140x y --= C ．43140x y +-=D ．43140x y --=【来源】广东省华南师大附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A12．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出下列四个命题： ①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行； ②若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线； ④若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 其中真命题的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【来源】2016届上海市闸北区高三上学期期末（文)数学试题 【答案】D13．某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A ．43B ．4C D ．【来源】北京市朝阳区2018届高三第一学期期末文科数学试题 【答案】B14．已知圆M ：221x y +=与圆N ：()2229x y -+=，则两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切【来源】北京市西城区2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题 【答案】C15．已知空间两条直线,m n 两个平面,αβ，给出下面四个命题： ①//m n ，m n αα⊥⇒⊥； ②//αβ，m α⊂，//n m n β⊂⇒； ③//m n ，////m n αα⇒；④//αβ，//m n ，m n αβ⊥⇒⊥． 其中正确的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④【来源】2017年上海市青浦区高考一模数学试题 【答案】A16．已知空间中两点(2,1,4),(4,1,2)A B --,则AB 长为( )A ．B ．C ．D ．【来源】天津市六校2018-2019高一下学期期末联考数学试题 【答案】C17．边长为6的两个等边ABC ∆，CBD ∆所在的平面互相垂直，则四面体ABCD 的外接球表面积为（ ）A ．B ．60πC ．203πD ．【来源】湖南省娄底市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B18．过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于 ( ) A ．1B ．5C ．-1D ．-5【来源】人教A 版高中数学必修二3.1.1 倾斜角与斜率 【答案】D19．直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为( )A B ．C D ．【来源】2.3.3直线与圆的位置关系 【答案】D20．在底面为正方形的四棱锥P-ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥A D ，P A =AD ，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ） A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o【来源】河南省汝州市实验中学2018-2019学年度高一上学期期末模拟数学试题 【答案】C21．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ）A ．4B ．9C ．7D ．2【来源】2015-2016学年吉林毓文中学高一上期末数学试卷（带解析) 【答案】B二、填空题22．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ .【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题【答案】3Rπ 23．如图所示，AC ，BD 分别在平面α和平面β内，在α与β的交线l 上取线段1AB =，AC l ⊥，BD l ⊥，1AC =，1BD =，2CD =，则AB 与CD 所成的角为______：二面角l αβ--的大小为______.【来源】浙江省温州市共美联盟2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】60︒ 120︒24．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -，()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最小值为______.【来源】浙江省温州市共美联盟2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】25．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为____________． 【来源】2011年上海市普通高中招生考试理科数学【答案】326．若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷带解析) 【答案】27．如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_______________．【来源】北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试(理科)试题 【答案】8328．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【来源】天津市和平区2018届高三上学期期末考试数学（文)试题 【答案】4233π+ 29．不论a 为何实数，直线()()32170a x a y ++-+=恒过定点______.（请写出该定点坐标）【来源】广东省华南师大附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】()2,1-；30．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作_________条.【来源】上海市奉贤中学2018-2019学年高二上学期月考数学试题 【答案】431．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是【来源】2015届河南省实验中学高三上学期期中考试文科数学试卷（带解析) 【答案】32．若C 为半圆直径AB 延长线上的一点，且2AB BC ==，过动点P 作半圆的切线，切点为Q ，若PC =，则PAC ∆面积的最大值为____．【来源】江苏省南京市溧水区第二高级中学、南渡中学联考2019-2020学年高三上学期12月月考数学（理)试题三、解答题33．设直线l 的方程为12())0(a R a x y a +++-∈=. （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程 （2）若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求a .【来源】安徽省淮北师范大学附中2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】（1）3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. （2）a ＝2或a ＝－234．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面； （2）平面EFA 1∥平面BCHG ．【来源】2014-2015学年四川省中江县龙台中学高二上学期期中文科数学试卷（带解析) 【答案】（1）见解析（2）见解析35．（1）如图，对于任一给定的四面体1234A A A A ，找出依次排列的四个相互平行的平面1α，2α，3α，4α，使得()1,2,3,4i i A i α∈=，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面1α，2α，3α，4α，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体1234A A A A 的四个顶点满足：()1,2,3,4i i A i α∈=，求该正四面体1234A A A A 的体积．【来源】上海市实验学校2015-2016学年高二下学期期末数学试题【答案】（1）见解析； （2. 36．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且2PD =．（1）若点E 、F 分别在棱PB 、AD 上，且4PE EB =，4DF FA =，求证：EF ⊥平面PBC ；（2）若点G 在线段PA 上，且三棱锥G PBC -的体积为14，试求线段PG 的长． 【来源】上海市实验学校2015-2016学年高二下学期期末数学试题【答案】（1）见解析； （237．如图，PA ⊥正方形ABCD 所在平面，M 是PC 的中点，二面角P DC A --的大小为45︒.（1）设l 是平面PAB 与平面PCD 的交线，证明CD l ∥；（2）在棱AB 是否存在一点N ，使M DN C --为60︒的二面角.若不存在，说明理由：若存在，求AN 长.【来源】浙江省温州市共美联盟2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】（1）见解析（2）存在，3AN =38．已知直线:1l y kx =+，圆22:(1)(1)12C x y -++=. （1）试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； （2）求直线l 被圆C 截得的最短弦长.【来源】2015届河南省郑州盛同学校高三12月月考文科数学试卷（带解析)【答案】（1）见解析；（2） 39．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷) 【答案】(1) 22(1)4x y ++=. (2) 423y x =-+. 40．已知直线l ：2y x =+，过点()1,2A -且圆心在x 轴上的圆C 与y 轴相切. （1）求圆C 的方程；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长.【来源】广东省华南师大附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】（1）2252524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（2）2 41．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA PD =，E 、F 为AD ，PB 的中点.（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求证：PE AB ⊥.【来源】广东省华南师大附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析42．如图，三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 是菱形，四边形11BCC B 是矩形，AB BC ⊥，1CB =，2AB =，160A AB ∠=︒.（1）求证：平面1CA B ⊥平面11A ABB ；（2）求直线1A C 与平面11BCC B 所成角的正切值.【来源】广东省华南师大附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析；（243．已知22120C x y Dx Ey +++-=⊙：关于直线240x y +-=对称，且圆心在y 轴上.（1）求C e 的标准方程；（2）已知动点M 在直线10y =上，过点M 引C e 的两条切线MA 、MB ，切点分别为,A B .①记四边形MACB 的面积为S ，求S 的最小值；②证明直线AB 恒过定点.【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】（1）()22216x y +-=（2）①min S ②证明见解析44．如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=．,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且22CD DE CE EB ====．(1)证明：DE ⊥平面PCD ；(2)求二面角A PD C --的余弦值．【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷带解析)【答案】（1）见解析；（2）645．如图，在四棱柱中，底面，90BAD ∠=o ，，且122A A AD BC ===，1AB =. 点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F.（Ⅰ）求证：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）求证：AC ⊥平面11CDD C ；（Ⅲ）写出三棱锥11B A EF -体积的取值范围. （结论不要求证明）【来源】2015届北京市西城区高三上学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）详见解析;（Ⅲ）12[,]33.46．如图，已知点()()2,3,4,1A B ，ABC ∆是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l :220x y -+=上．（1）求AB 边上的高CE 所在直线的方程；（2）求ABC ∆的面积．【来源】2011—2012学年浙江省海宁中学高二期中理科数学试卷【答案】解：（Ⅰ） x －y －1＝0；（Ⅱ）247．如图,点B 是以AC 为直径的圆周上的一点， ,4PA AB BC AC ===,PA ⊥平面ABC ，点E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PAC 所成角的大小.【来源】浙江省安吉，德清，长兴三县2015-2016学年高二下学期期中考试数学试题【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）6π 48．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形E ，F 分别为PC ，BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD ==.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求三棱锥C PBD -的体积.【来源】湖南省娄底市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）11249．已知圆C 经过1(1,0)M -，2(3,0)M ，3(0,1)M 三点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若过点N 1)-的直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为4，求直线l 的倾斜角．【来源】2019年广东省海珠区高一下学期期末考试数学试题【答案】(1) 22(1)(1)5x y -++= (2) 30°或90°．50．如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC＝90°，AB＝AC，∠CBD＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6．⑴求证：平面ABD⊥平面ACD；--的平面角的正切值；⑵求二面角A CD B⑶设过直线AD且与BC平行的平面为α，求点B到平面α的距离．【来源】黑龙江省双鸭山市第一中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学（理)试题【答案】（1）见解析；（2）2；（3。

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期中数学试卷

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2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期中数学试卷试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）2019°角是第___ 象限角．2.（填空题.4分）已知角α的终边经过点P（2.-3）.则sinα=___3.（填空题.4分）已知tanα=2.则3sinα+cosα5sinα+2cosα=___ ．4.（填空题.4分）函数y= √cosx的定义域为___ ．5.（填空题.4分）已知cos(π−α)=13，α∈(π，3π2) .则cot(α−π2) =___ ．6.（填空题.4分）已知sinα=45，α在第二象限.则tanα2=___ ．7.（填空题.4分）方程5sinx=4+2cos2x的解集为___ ．8.（填空题.4分）已知2sinα=sin(α−π4) .则tan(α−π8) =___ ．9.（填空题.4分）将函数y=sin2x的图象先沿x轴向左平移π6个单位.再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数y=f（x）图象.对于函数y=f（x）有以下四个判断：① 该函数的解析式为y=sin(x+π6)；② 该函数图象关于点(π3，0)对称；③ 该函数在[0，π6]上是增函数；④ 若函数y=f（x）+a在[0，π2]上的最小值为1.则a=12．其中正确判断的序号是___ （写出所有正确判断的序号）．10.（填空题.4分）已知△ABC中.7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sinAsinBsinC.则cos(A−π4) =___ ．11.（单选题.4分）如果α是第三象限的角.那么α3必然不是下列哪个象限的角（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12.（单选题.4分）函数y=π2+arcsin3x(x∈[−13，13])的反函数是（）A. y=13sinx(x∈[0，π])B. y=13cosx(x∈[0，π])C. y=−13sinx(x∈[0，π])D. y=−13cosx(x∈[0，π])13.（单选题.4分）在△ABC中.三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知2acosB=c.且满足sinAsinB（2-cosC）=sin2C2 + 12.则△ABC为（）A.锐角非等边三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形14.（单选题.4分）已知函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立.则（）A.函数f（x-1）一定是奇函数B.函数f（x+1）一定是奇函数C.函数f（x-1）一定是偶函数D.函数f（x+1）一定是偶函数15.（问答题.8分）已知sinα+cosα=23．（1）求sinαcosα的值；（2）若α为第二象限的角.求1sin(π−α)−1cos(2π−α)的值．16.（问答题.12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的相邻对称轴之间的距离为π2 .且该函数图象的一个最高点为(π12，2)．（1）求函数f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若x∈[0，π4] .求函数f（x）的最大值和最小值．17.（问答题.12分）如图.甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t（单位：小时）的关系y=f（t）均近似地满足函数f（t）=Asin（ωt+φ）+b（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）．（1）根据图象.求函数f（t）的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9.现采用错峰用电的方式.让企业乙比企业甲推迟m（m＞0）小时投产.求m的最小值．18.（问答题.12分）在锐角△ABC中.已知cosA=5，S△ABC=6 .若点D是线段BC上一点13（不含端点）.过D作DE⊥AB于E.DF⊥AC于F．.求EF的值；（1）若△AEF外接圆的直径长为134（2）求BC的取值范围；（3）问点D在何处时.△DEF的面积最大？最大值为多少？2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）2019°角是第___ 象限角．【正确答案】：[1]三【解析】：根据终边相同的角化为k•360°+α.k∈Z.α∈[0°.360°）即可．【解答】：解：2019°=360°×5+219°.是第三象限角．故答案为：三．【点评】：本题考查了终边相同的角的定义与应用问题.是基础题．2.（填空题.4分）已知角α的终边经过点P（2.-3）.则sinα=___【正确答案】：[1] −3√1313【解析】：由题意利用任意角的三角函数的定义.求得sinα的值．【解答】：解：∵角α的终边经过点P（2.-3）.则 x=2.y=-3.r=|OP|= √4+9 = √13 .∴sinα= yr = 3√1313.故答案为：- 3√1313．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义.属于基础题．3.（填空题.4分）已知tanα=2.则3sinα+cosα5sinα+2cosα=___ ．【正确答案】：[1] 712【解析】：直接利用同角三角函数基本关系式化简所求的表达式为正切函数的形式.代入求解即可．【解答】：解：tanα=2.则 3sinα+cosα5sinα+2cosα = 3tanα+15tanα+2 = 3×2+15×2+2 = 712．故答案为： 712【点评】：本题考查同角三角函数基本关系式以及三角函数化简求值.考查计算能力． 4.（填空题.4分）函数y= √cosx 的定义域为___ ． 【正确答案】：[1][2kπ- π2 .2kπ+ π2 ].k∈Z【解析】：根据函数y= √cosx .可得cosx≥0.再结合余弦函数的图象.求得x 的范围．【解答】：解：根据函数y= √cosx .可得cosx≥0.可得 2kπ- π2 ≤x≤2kπ+ π2 （k∈Z ）. 故函数的定义域为[2kπ- π2 .2kπ+ π2 ].k∈Z . 故答案为：[2kπ- π2 .2kπ+ π2 ].k∈Z ．【点评】：本题主要考查余弦函数的图象的特征.解三角不等式.属于基础题． 5.（填空题.4分）已知 cos (π−α)=13，α∈(π，3π2) .则 cot (α−π2) =___ ．【正确答案】：[1] −2√2【解析】：由已知求得cosα.进一步得到tanα.再由诱导公式求 cot (α−π2) ．【解答】：解：由 cos (π−α)=13，α∈(π，3π2) . 得-cos α=13.即cos α=−13. ∴sinα= −2√23 .则tanα= sinαcosα = 2√2 ．∴ cot (α−π2) =-cot （ π2−α ）=-tanα= −2√2 ． 故答案为： −2√2 ．【点评】：本题考查三角函数的化简求值.考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用.是基础题．6.（填空题.4分）已知 sinα=45，α 在第二象限.则 tan α2 =___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：根据同角三角函数关系以及三角函数的倍角公式进行化简即可．【解答】：解：若sinα=45，α在第二象限.∴cosα=- 35.则tanα2 = sinα2cosα2= 2sinα2cosα22cos2α2= sinα1+cosα=451−35=2.故答案为：2【点评】：本题主要考查三角函数的化简和求值.利用同角三角函数关系以及三角函数倍角公式是解决本题的关键．7.（填空题.4分）方程5sinx=4+2cos2x的解集为___ ．【正确答案】：[1]{x|x=arcsin 34+2kπ.或x=π-arcsin 34+2kπ.k∈Z}【解析】：方程化为关于sinx的一元二次方程.求出sinx的值.再写出方程的解集．【解答】：解：方程5sinx=4+2cos2x可化为5sinx=4+2（1-2sin2x）.即4sin2x+5sinx-6=0.解得sinx= 34.或sinx=-2（不合题意.舍去）；所以该方程的解集为{x|x=arcsin 34+2kπ.或x=π-arcsin 34+2kπ.k∈Z}．故答案为：{x|x=arcsin 34+2kπ.或x=π-arcsin 34+2kπ.k∈Z}．【点评】：本题考查了三角函数方程的求解与应用问题.是基础题．8.（填空题.4分）已知2sinα=sin(α−π4) .则tan(α−π8) =___ ．【正确答案】：[1] 3−3√2【解析】：由已知等式求得tanα.展开二倍角的正切求得tan π8.再由两角差的正切求解．【解答】：解：由2sinα=sin(α−π4) .得2sinα= √22sinα−√22cosα .∴ 4−√22sinα=−√22cosα .则tanα= −2√2+17．由tan π4 = 2tanπ81−tan2π8=1.解得tan π8= −1−√2（舍）或tanπ8=−1+√2．∴ tan(α−π8) = tanα−tanπ81+tanαtanπ8= −2√2+17−(−1+√2)1+(−√7)×(−1+3−3√2．故答案为：3−3√2．【点评】：本题考查三角函数的化简求值.考查两角和与差的三角函数.考查计算能力.是中档题．9.（填空题.4分）将函数y=sin2x的图象先沿x轴向左平移π6个单位.再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数y=f（x）图象.对于函数y=f（x）有以下四个判断：① 该函数的解析式为y=sin(x+π6)；② 该函数图象关于点(π3，0)对称；③ 该函数在[0，π6]上是增函数；④ 若函数y=f（x）+a在[0，π2]上的最小值为1.则a=12．其中正确判断的序号是___ （写出所有正确判断的序号）．【正确答案】：[1] ③ ④【解析】：运用三角函数图象的平移变化及三角函数的性质可解决此问题．【解答】：解：根据题意知.f（x）=sin（x +π3）.令x= π3则.y= √32≠0∴ ① ② 错误；由三角函数的性质知③ ④ 正确；故答案为③ ④ ．【点评】：本题考查图象的变换及三角函数的性质的简单应用．10.（填空题.4分）已知△ABC中.7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sinAsinBsinC.则cos(A−π4) =___ ．【正确答案】：[1] −√1010【解析】：由已知结合正弦定理可得：7b2+3c2=2a2+2bcsinA.由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA.化为：2（sinA-2cosA）= 5b2+c2bc = 5bc+cb≥2 √5bc•cb=2 √5 .进一步得到sin（A-θ）≥1.又sin（A-θ）≤1.可得sin（A-θ）=1．得到A=θ+ π2+2kπ.k∈N*．求出sin（A+ π4）.再由诱导公式得答案．【解答】：解：7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sinAsinBsinC. 由正弦定理可得：7b2+3c2=2a2+2bcsinA.∴a2= 7b2+3c2−2bcsinA2.又a2=b2+c2-2bccosA.∴ 7b2+3c2−2bcsinA2=b2+c2-2bccosA.化为：2（sinA-2cosA）= 5b 2+c2bc= 5bc+cb≥2 √5bc•cb=2 √5 .当且仅当√5 b=c时取等号．即2 √5 sin （A-θ）≥2 √5 .其中tanθ=2.sinθ= √5 .cosθ= √5即sin （A-θ）≥1.又sin （A-θ）≤1. ∴sin （A-θ）=1．∴A -θ= π2 +2kπ.即A=θ+ π2 +2kπ.k∈N *．∴sin （A+ π4 ）=sin （θ+ π4 + π2 +2kπ）=cos （θ+ π4 ） = √22 （cosθ-sinθ）= √22 ×（ √5 - √5 ）=- √1010 ．∴ cos (A −π4) =cos （ π4−A ）=sin （A+ π4 ）= −√1010． 故答案为：- √1010．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式.考查了推理能力与计算能力.属于难题．11.（单选题.4分）如果α是第三象限的角.那么 α3 必然不是下列哪个象限的角（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【正确答案】：B【解析】：先写出角α的范围.再除以3.从而求出 α3 角的范围.看出是第几象限角．【解答】：解：α是第三象限的角.则α∈（2kπ+π.2kπ+ 3π2 ）.k∈Z . 所以 α3∈（ 23kπ+ π3 . 23kπ+ π2）.k∈Z ； 所以 α3 可以是第一、第三、或第四象限角． 故选：B ．【点评】：本题考查了角的范围与象限角的判断问题.是基础题．12.（单选题.4分）函数 y =π2+arcsin3x (x ∈[−13，13]) 的反函数是（ ） A. y =13sinx(x ∈[0，π]) B. y =13cosx(x ∈[0，π]) C. y =−13sinx(x ∈[0，π])D. y=−13cosx(x∈[0，π])【正确答案】：D【解析】：根据反三角函数的定义即可求出【解答】：解：函数y=π2+arcsin3x(x∈[−13，13])的反函数是y=- 13cosx.x∈[0.π].故选：D．【点评】：本题主要考查反正弦函数的定义和性质.属于基础题．13.（单选题.4分）在△ABC中.三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知2acosB=c.且满足sinAsinB（2-cosC）=sin2C2 + 12.则△ABC为（）A.锐角非等边三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【正确答案】：C【解析】：已知第一个等式利用正弦定理化简.再利用诱导公式及内角和定理表示.根据两角和与差的正弦函数公式化简.得到A=B.第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形.右边利用二倍角的余弦函数公式化简.将A+B=C.A-B=0代入计算求出cosC的值为0.进而确定出C为直角.即可确定出三角形形状．【解答】：解：将已知等式2acosB=c.利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinC.∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0.∵A与B都为△ABC的内角.∴A-B=0.即A=B.已知第二个等式变形得：sinAsinB（2-cosC）= 12（1-cosC）+ 12=1- 12cosC.- 1 2 [cos（A+B）-cos（A-B）]（2-cosC）=1- 12cosC.∴- 12（-cosC-1）（2-cosC）=1- 12cosC.即（cosC+1）（2-cosC）=2-cosC.整理得：cos2C-2cosC=0.即cosC（cosC-2）=0. ∴cosC=0或cosC=2（舍去）.∴C=90°.则△ABC为等腰直角三角形．故选：C．【点评】：此题考查了正弦定理.两角和与差的正弦函数公式.积化和差公式.二倍角的余弦函数公式.熟练掌握正弦定理是解本题的关键.属于中档题．14.（单选题.4分）已知函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立.则（）A.函数f（x-1）一定是奇函数B.函数f（x+1）一定是奇函数C.函数f（x-1）一定是偶函数D.函数f（x+1）一定是偶函数【正确答案】：D【解析】：由三角函数图象的性质及函数图象的平移得：函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立.得函数f（x）的图象关于直线x=1对称.即函数f（x+1）一定为偶函数.得解．【解答】：解：由函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立.得函数f（x）的图象关于直线x=1对称.即函数f（x+1）一定为偶函数.故选：D．【点评】：本题考查了三角函数图象的性质及函数图象的平移.属中档题．15.（问答题.8分）已知sinα+cosα=23．（1）求sinαcosα的值；（2）若α为第二象限的角.求1sin(π−α)−1cos(2π−α)的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用同角三角函数关系.利用平方进行计算即可（2）利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可【解答】：解：（1）∵ sinα+cosα=23 .∴平方得sin 2α+2sinαcosα+cos 2α= 49 . 得2sinαcosα= 49 -1=- 59 . 得sinαcosα=- 518 ．（2）若α为第二象限的角.sinα＞0.cosα＜0. 则 1sin (π−α)−1cos (2π−α) = 1sinα - 1cosα = cosα−sinαsinαcosα . ∵（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=1+ 59 = 149 . ∴cosα-sinα=-√143. 则 cosα−sinαsinαcosα = −√143−518=6√145．【点评】：本题主要考查三角函数值的化简和求值.利用同角三角函数关系以及三角函数的诱导公式是解决本题的关键．16.（问答题.12分）已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中 A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 ）的相邻对称轴之间的距离为 π2 .且该函数图象的一个最高点为 (π12，2) ． （1）求函数f （x ）的解析式和单调递增区间； （2）若 x ∈[0，π4] .求函数f （x ）的最大值和最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由三角函数解析式的求法得：由题意有：A=2.T=π.即ω= 2πT =2.由当x= π12 时.函数f （x ）取最大值.即2× π12 +φ=2k π+π2 .解得φ=2kπ +π3 .又0＜φ ＜π2 .所以φ= π3 .即f （x ）=2sin （2x+ π3）.（2）由三角函数的值域的求法得：当 x ∈[0，π4] .则2x+ π3 ∈[ π3 . 5π6 ].所以2sin （2x+ π3 ）∈[1.2].得解．【解答】：解：（1）由题意有：A=2.T=π.即ω= 2πT =2.由当x= π12 时.函数f （x ）取最大值.即2× π12 +φ=2k π+π2 .解得φ=2kπ +π3 .又0＜φ ＜π2 .所以φ= π3.即f（x）=2sin（2x+ π3）.令2kπ −π2≤2x+ π3≤2kπ+π2.得：k π−5π12≤x≤kπ+π12.（k∈Z）故函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+ π3）．函数f（x）的单调递增区间为：[kπ −5π12 .k π+π12]（k∈Z）．（2）当x∈[0，π4] .则2x+ π3∈[ π3. 5π6].所以2sin（2x+ π3）∈[1.2].故函数f（x）的最大值为2.最小值为1．【点评】：本题考查了三角函数解析式的求法及三角函数的值域.属中档题．17.（问答题.12分）如图.甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t（单位：小时）的关系y=f（t）均近似地满足函数f（t）=Asin（ωt+φ）+b（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）．（1）根据图象.求函数f（t）的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9.现采用错峰用电的方式.让企业乙比企业甲推迟m（m＞0）小时投产.求m的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）根据图象最值求A.b.根据周期求出ω.利用特殊点求出φ的值.可求函数f（t）的解析式．（2）设乙投产持续时间为t小时.则甲的投产持续时间为（t+m）小时.依题意.有f（t+m）+f（t）=cos π6（t+m）+cos π6t+8≤9恒成立.展开由三角函数恒等变换化简整理可得：cos π6m≤- 12 .依据余弦函数图象得：2π3+2kπ≤ π6m≤ 4π3+2kπ.（k∈Z）.取k=0得m的范围.从而可求m的最小值．【解答】：（本题满分为14分）解：（1）由图知T=12= 2πω .∴ω= π6.…（1分）A+b=5.b-A=3.可得：A=1.b=4.…（3分）∴f（t）=sin（π6t+φ）+4.代入（0.5）.得φ= π2+2kπ.又0＜φ＜π.∴φ= π2…（5分）即f（t）=sin（π6 t+ π2）+4.…（6分）（2）设乙投产持续时间为t小时.则甲的投产持续时间为（t+m）小时.由诱导公式.企业乙用电负荷量随持续时间t变化的关系式为：f（t）=cos π6t+4；同理.企业甲用电负荷量变化关系式为：f（t+m）=cos π6（t+m）+4；两企业用电负荷量之和f（t+m）+f（t）=cos π6（t+m）+cos π6t+8（t≥0）；------（8分）依题意.有f（t+m）+f（t）=cos π6（t+m）+cos π6t+8≤9恒成立.即cos π6（t+m）+cos π6t≤1恒成立.展开有：（cos π6 m+1）cos π6t-sin π6msin π6t≤1恒成立.------（10分）∵（cos π6 m+1）cos π6t-sin π6msin π6t=Acos（π6t+ϕ）.（其中.A= √(cosπ6m+1)2+sin2π6m .cosϕ= cosπ6m+1A；sinϕ= sinπ6mA）；∴A= √(cosπ6m+1)2+sin2π6m≤1.-----------------------（11分）整理得到：cos π6m≤- 12.------------------------（12分）依据余弦函数图象得：2π3+2kπ≤ π6m≤ 4π3+2kπ.（k∈Z）.即12k+4≤m≤12k+8.取k=0得：4≤m≤8∴m的最小值为4．-----------------------（14分）【点评】：本题考查三角函数图象和性质及其应用、恒等变换等知识.考查建立三角函数模型.数据处理能力、运算求解能力和抽象概括能力.考查函数与方程的思想、转化与化归的思想.属于中档题．18.（问答题.12分）在锐角△ABC 中.已知 cosA =513，S △ABC =6 .若点D 是线段BC 上一点（不含端点）.过D 作DE⊥AB 于E.DF⊥AC 于F ．（1）若△AEF 外接圆的直径长为 134 .求EF 的值； （2）求BC 的取值范围；（3）问点D 在何处时.△DEF 的面积最大？最大值为多少？【正确答案】：【解析】：（1）根据面积为6可得bc.然后由正弦定理可得EF ；（2）用余弦定理得到BC 2=b 2+c 2-2bccosA.然后用重要不等式可得BC 的范围；（3）设S △ABD =x.然后根据面积关系将△DEF 的面积用x 表示出来.再用一元二次函数求其最大值即可．【解答】：解：（1）∵在锐角△ABC 中. cosA =513 .∴sinA= 1213. ∵ S △ABC =12 bc• 1213=6 . ∴bc=13.∵△AEF 外接圆的直径长为 134. 由正弦定理可得. EF sinA = EF 1213= 134 .∴EF=3；（2）在△ABC 中.由余弦定理得. BC 2=b 2+c 2-2bccosA =b 2+c 2-10≥2bc -10=16. 当且仅当b=c= √13 时取等号. ∴BC≥4；BC 的取值范围：[4.+ ∞ ）；（3）设S△ABD=x.则S△ADC=6-x. ∵ S△ABC=12AB•AC•sinA=6 .∴AB•AC= 12sinA=13 .∵DE⊥AB于E.DF⊥AC于F.∴ S△ABD=12AB•DE=x . S△ADC=12AC•DF=6−x .∴ DE=2xAB . DF=12−2xAC.∵ S△EDF=12DE•DF•sin(π−A)= 12•2xAB•12−2xAC•sinA= 24(−x2+6x)169=- 24169[(x−3)2−9] .∴当x=3时.S△EDF的最大值为. 216169．∴当x=3时.三角形ABD与三角形ADC面积相等∴D为BC的中点.∴当D为BC的中点时.△DEF的面积最大.最大值为216169．△【点评】：本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．。

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终边相同的最小正角是
．
4．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）已知 sin﹣cos﹣＜0，则 ﹣ 是第 5．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）已知 log32=a，则 log3218 用 a 表示为
6．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）若
，则 a 的取值范围是
象限角． ．
．
7．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）函数 f（x）=x2+2ax+1 在[﹣1，2]上不存在反函数，则
13．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）“
”是“
”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）若函数
的定义域为 R，则
k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）将 a2b=N（a＞0，a≠1）转化为对数形式，其中错误 的是（ ）
三、解答题（本大题共 5 小题，满分 52 分） 17．（8 分）（2013 春•浦东新区期中）解方程：log2（9x﹣5）=log2（3x﹣2）+2． 18．（8 分）（2013 春•浦东新区期中）已知 tan﹣=﹣2，求下列各式的值．
（1）
（2）4sin2﹣+3cos2﹣ 19．（10 分）（2013 春•浦东新区期中）已知
（1）求 m 的值； （2）求 f（x）的反函数 f﹣1（x）； （3）讨论 f（x）的单调性，并用定义证明； （4）当 f（x）定义域区间为（1，a﹣2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求 a 的值．
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2012-2013 学年上海市浦东新区高一（下）期中数学试 卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）
1．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）求值：
= 75 ．
【分析】利用指数恒等式以及对数的运算法则进行求值．
【解答】解：
=
，
故答案为：75． 【点评】本题主要考查指数的运算法则和指数恒等式，要求熟练掌握相应的公式：
．
2．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）已知函数 f（x）=x2﹣1（x≤﹣2），则 f﹣1 （4）=
．
11．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）已知函数 y=loga（3﹣ax），（a＞0，a≠1）在[0，1]上单
调递减，则实数 a 的取值范围为
．
12．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）已知角 ﹣ 终边上一点 P（t，﹣4），若
，则
tan﹣=
．
二、选择题（本大题 4 小题，每小题 3 分，共 12 分）
第 3 页（共 13 页）
∴
或
．
因此 ﹣ 是第 二或四象限角． 故答案为：二或四． 【点评】本题考查了角所在的象限符号问题，属于基础题．
5．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）已知 log32=a，则 log3218 用 a 表示为
．
【分析】利用对数的换底公式和对数的运算法则进行化简即可． 【解答】解：利用对数的换底公式可得 log3218=
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A．
B．
C．
D．
16．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）已知函数
，若存在正整数 k 满足：f（1）•f（2）•f（3）•…•f（n）=k，那么我们把 k 叫做关于 n 的 “对整数”，则当 n∈[1，10]时，“对整数”共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．4 个 D．8 个
，
若 a＞1，此时函数 y=log ax 单调递增，则有
，解得 a＞1．
若 0＜a＜1，此时函数 y=log ax 单调递减，则有
，解得
．
综上：a＞1 或
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查对数的基本运算以及对数不等式的解法，要注意对底数 a 进行分类 讨论，利用对数函数的单调性进行解决．
7．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）函数 f（x）=x2+2ax+1 在[﹣1，2]上不存在反函数，则 实数 a 的取值范围为 （﹣2，1） ．
．
【分析】根据互为反函数的性质：由 x2﹣1=4（x≤﹣2），解得即可．
【解答】解：根据互为反函数的性质：由 x2﹣1=4（x≤﹣2），解得
．
∴Leabharlann ．故答案为：．
【点评】本题考查了互为反函数的性质，属于基础题．
3．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）与
终边相同的最小正角是
．
【分析】利用终边相同的角的集合定理即可得出．
实数 a 的取值范围为
．
8．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）若
，则
=
．
9．（3 分）（2008•上海）设函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，若当 x∈（0，+∞）时，f
（x）=lg x，则满足 f（x）＞0 的 x 的取值范围是
．
10．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）若
，
则 a=
，
∵log32=a，∴log3218=
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查对数的换底公式以及对数的运算法则的应用，要求熟练掌握相应的 运算公式．
6．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）若
，则 a 的取值范围是
．
【分析】利用对数的运算性质，解对数不等式即可，要对 a 进行分类讨论．
【解答】解：∵
，∴
2012-2013 学年上海市浦东新区高一（下）期中数学试卷
一、填空题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）
1．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）求值：
=
．
2．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）已知函数 f（x）=x2﹣1（x≤﹣2），则 f﹣1 （4）
=
．
3．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）与
【解答】解：∵
=
，．
∴与
．
【点评】本终题边考相查同了的终最边小相正同角的是角的集合定理，属于基础题．
4．（3 分）（2013 春•浦东新区期中）已知 sin﹣cos﹣＜0，则 ﹣ 是第 二或四 象限角． 故答案为：
【分析】由 sin﹣cos﹣＜0，可得
或
．进而判断出 ﹣ 所在的象限．
【解答】解：∵sin﹣cos﹣＜0，
，且 π＜
﹣＜2π，求 tan（2π﹣﹣）． 20．（10 分）（2013 春•浦东新区期中）扇形 AOB 的周长为 8cm． （1）若这个扇形的面积为 3cm2，求圆心角的大小； （2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB．
21．（16 分）（2013 春•浦东新区期中）已知函数
是奇函数．
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