2017年江苏徐州中考数学解析版

2017年江苏省徐州中考数学试卷
满分：140分版本：苏教版 第I 卷（选择题，共24分）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（2017江苏徐州，1，3分）5-的倒数是（ ）
A ． 5-
B ．5
C ．
1
5
D ．15
-
2．（2017江苏徐州，2，3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（2017江苏徐州，3，3分）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（ ）
A ． 7
7.110⨯
B ．6
0.7110-⨯
C ．7
7.110-⨯
D ．8
7110-⨯
4．（2017江苏徐州，4，3分）下列运算正确的是（ ）
A ．()a b c a b c -+=-+
B ．2
3
5
236a a a ⋅=
C . 530
2a a a += D ．()2
211x x +=+
5．（2017江苏徐州，5，3分）在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书话动，为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
A ．中位数是2
B ．众数是17
C . 平均数是2
D ．方差是2
6．（2017江苏徐州，6，3分）如图，点,,A B C ，在⊙O 上，72AOB ∠=o
，则ACB ∠= （ ）
A ．28o
B ．54o
C .18o
D ．36o
7．（2017江苏徐州，7，3分）.如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠与
()0m
y m x =
≠的图象相交于点()()2,3,6,1A B --，则不等式m kx b x
+>的解集为 （ ）
A ．6x <-
B ．60x -<<或2x >
C . 2x >
D ．6x <-或02x <<
8．（2017江苏徐州，8，3分）若函数2
2y x x b =-+的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是（ ）
A ．1b <且0b ≠
B ．1b >
C .01b <<
D ．1b < 二、填空题（每小题3分，共30分）．
9．（2017江苏徐州，9，3分）4的算术平方根是 ．
10．（2017江苏徐州，10，3分）如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为 ．
11．
（2017江苏徐州，11，3分）x 的取值范围是 ．
12．（2017江苏徐州，12，3分）．反比倒函数k
y x
=
的图象经过点()2,1M -，则k = ． 13．（2017江苏徐州，13，3分）．ABC ∆中，点,D E 分别是,AB AC 的中点，7DE =，则BC = ．
14．（2017江苏徐州，14，3分）．已知10,8a b a b +=-=，则22
a b -= ．
15．（2017江苏徐州，15，3分）．正六边形的每个内角等于 °．
16．（2017江苏徐州，16，3分）．如图，AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直，垂足为
,2D AB BC ==，则AOB ∠= °．
17．（2017江苏徐州，17，3分）如图，矩形ABCD 中，4,3AB AD ==，点Q 在对角线AC 上，且AQ ＝AD ，连接DQ 并延长，与边BC 交于点P ，则线段AP ＝ ．
B
18．（2017江苏徐州，18，3分）如图，已知1OB =，以OB 为直角边作等腰直角三角形1A BO .再以1OA 为直角边作等腰直角三角形21
A AO ，如此下去，则线段n OA 的长度为 ．
A4
A3
A2A1
B
O
三、解答题(本大题共10个小题，，第21、22小题各7分，第23、24、25小题各8分，第26、27小题各,9分，第19、20、28小题各10分，共86分)．
19．（2017江苏徐州，19，10分）（1）1
201(2)20172-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭
； （2）2
421244x x x x +⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭ 20．（2017江苏徐州，20，10分）（1）解方程：231x x =+； （2）解不等式组：20
1212
3x x x >⎧⎪
+-⎨>⎪⎩.
21．（2017江苏徐州，21，7分）某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，
随机抽取部分学生做了一次问卷调查，要求学生选出自己喜欢的一个版面，将调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下：
各版面选择人数的扇形统计图 各版面选择人数的条形统计图
第三版
第二版 10%
第一版 a 第四版 a
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为 ，a 00，“第一版”对应扇形的圆心角为 o ； （2）请你补全条形统计图；
（3）若该校有1000名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第一版”的人数.
22．（2017江苏徐州，22，7分）一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分別标有数字1,3,5,7--，
这些卡片除数字外都相同，小芳从口袋中随机抽取一张卡片，小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张.请你用画树状图或列表的方法，求两人抽到的数字符号相同的概率.
思路分析：首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小芳两人均抽到
符号相同的情况,再利用概率公式求解即可求得答案． 23．（2017江苏徐州，23，8分）如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是边BC 的中点，连接DO 并延长，交AB 延长线于点E 连接ED ,E C .
A
C
（1）求证：四边形BECD 是平行四边形；
（2）若50A ∠=o
，则当BOD ∠= o 时，四边形BECD 是矩形.
24．（2017江苏徐州，24，8分）4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
：我和哥哥的年龄和是16岁
：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于
爸爸的年龄
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
25．（2017江苏徐州，25，8分）如图，已知AC BC ⊥，
垂足为,4,C AC BC ==将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60o
，得到线段AD ，连接,DC DB .
B
（1）线段DC = ； （2）求线段DB 的长度.
26．（2017江苏徐州，26，9分）如图① ，菱形ABCD 中，5AB =cm ，动点P 从点B 出发，沿折线BC CD DA --运动到点A 停止，动点Q 从点A 出发，沿线段AB 运动到点B 停止，它们运动的速度相同.设点P 出发xs 时，BPQ ∆的面积为y 2
cm .已知y 与x 之间的函数关系.如图②所示，其中,OM MN 为线段，曲线NK 为抛物线的一部分，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）当12x <<时，BPQ ∆的面积 （填“变”或“不变”）； （2）分别求出线段OM ，曲线NK 所对应的函数表达式； （3）当x 为何值时，BPQ ∆的面积是52
cm ？
D
s ）
27．（2017江苏徐州，27，9分）如图，将边长为6的正三角形纸片ABC 按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕,AD BE （如图①），点O 为其交点. （1）探求AO 与OD 的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若,P N 分别为,BE BC 上的动点. ①当PN PD +的长度取得最小值时，求BP 的长度；
②如图③，若点Q 在线段BO 上，1BQ =，则QN NP PD ++的最小值＝ .
图① 图② 图③
28．（2017江苏徐州，28，10分）28.如图，已知二次函数2
449
y x =-的图象与x 轴交于,A B 两点与y 轴交于点C ，⊙C 5,P 为⊙C 上一动点. （1）点,B C 的坐标分别为B （ ），C （ ）；
（2）是否存在点P ，使得PBC ∆为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接PB ，若E 为PB 的中点，连接OE ，则OE 的最大值＝ .
x
y
B
C A O
x
y
B
C
A O
（备用图）
2017年江苏省徐州中考数学试卷
满分：140分版本：苏教版 第I 卷（选择题，共24分）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（2017江苏徐州，1，3分）5-的倒数是（ ）
A ． 5-
B ．5
C ．
1
5
D ．15
-
答案：D
解析：－5的倒数为5
1-
． 2．（2017江苏徐州，2，3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：C
解析：A 是中心对称图形，但不是轴对称图形；B 既是轴对称图形，但不是中心对称图形；C 是轴对称图形也是中心对称图形；D 不是轴对称图形，是中心对称图形．
3．（2017江苏徐州，3，3分）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（ ）
A ． 7
7.110⨯ B ．6
0.7110-⨯
C ．7
7.110-⨯
D ．8
7110-⨯
答案：C
解析：原数为0.00000071，∴a 取7.1；∵原数为小于1的正数，左起第一个非零数字以前有7个0，∴n 取－7.故答案为7.1×10
7
-.
4．（2017江苏徐州，4，3分）下列运算正确的是（ ）
A ．()a b c a b c -+=-+
B ．2
3
5
236a a a ⋅=
C . 530
2a a a += D ．()2
211x x +=+
答案：B
解析：A 中，a －(b ＋c )＝a －b －c ,错误；B 中，2a 2·3a 3＝6a 5,正确；C 中，a 5与a 3不是同类项，无法合并，错误；D 中，（x ＋1）2＝x 2＋2x ＋1,错误．
5．（2017江苏徐州，5，3分）在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书话动，为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
A ．中位数是2
B ．众数是17
C . 平均数是2
D ．方差是2 答案：A
解析：A 中，在这组数据中，第25,26个数均为2，故中位数为2，正确；在这组数据中，3出现的次数最多，故众数是3,错误；C 中，50
1
4173162121⨯+⨯+⨯+⨯=x ＝1.98，错误；D 中，S 2
＝
50
1
[12×(1－1.98)2＋16×(2－1.98)2＋17×(3－1.98)2＋(4－
1.98)2]≈0.67，错误． 6．（2017江苏徐州，6，3分）如图，点,,A B C ，在⊙O 上，72AOB ∠=o
，则ACB ∠= （ ）
A ．28o
B ．54o
C .18o
D ．36o
答案：D
解析：根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB ＝
21∠AOB ＝2
1
×72°＝36°． 7．（2017江苏徐州，7，3分）.如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠与
()0
m
y m x =
≠的图象相交于点()()2,3,6,1A B --，则不等式m kx b x
+>的解集为 （ ）
A ．6x <-
B ．60x -<<或2x >
C . 2x >
D ．6x <-或02x <<
答案：B
解析：观察函数图象，发现：当－6＜x ＜0或x ＞2时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，∴当kx ＋b ＞
x
m
时，x 的取值范围是－6＜x ＜0或x ＞2． 8．（2017江苏徐州，8，3分）若函数2
2y x x b =-+的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是（ ）
A ．1b <且0b ≠
B ．1b >
C .01b <<
D ．1b < 答案：A
解析：令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；
令y ＝0,则x 2－2x ＋b ＝0，由题意得：b ≠0且b 2－4ac ＞0，即4－4b ＞0，解得：b ＜1且b ≠0． 第II 卷（非选择题，共116分） 二、填空题（每小题3分，共30分）． 9．（2017江苏徐州，9，3分）4的算术平方根是 ．
答案：2
解析：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．
10．（2017江苏徐州，10，3分）如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为 ．
答案：2
3
解析：转盘转动一次，出现6种等可能情况，小于5的情况共出现4次，故指针指向的数小于5的概率为：
64＝3
2． 11．
（2017江苏徐州，11，3分）x 的取值范围是 ．
答案：x ≥6
解析：根据被开方数≥0，得关于x 的不等式x －6≥0,解得x ≥6.
12．（2017江苏徐州，12，3分）．反比倒函数k
y x
=的图象经过点()2,1M -，则k = ．
答案：－2
解析：∵点M (－2，1)在反比例函数k
y x
=
的图象上，∴k ＝xy ＝－2×1＝－2． 13．（2017江苏徐州，13，3分）．ABC ∆中，点,D E 分别是,AB AC 的中点，7DE =，则
BC = ．
答案： 14
解析：∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE ＝
1
2
BC ，∵DE ＝7，∴BC ＝2DE ＝2×7＝14． 14．（2017江苏徐州，14，3分）．已知10,8a b a b +=-=，则22
a b -= ．
答案：80
解析：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝10×8＝80. 15．（2017江苏徐州，15，3分）．正六边形的每个内角等于 °．
答案：120
解析：∵多边形的外角和为360°，∴正六边形的每一个外角为60°，∴正六边形的每个内角的度数为：180°－60°＝120°． 16．（2017江苏徐州，16，3分）．如图，AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直，垂足为
,2D AB BC ==，则AOB ∠= °．
答案：60 °
解析：∵线段OA 与弦BC 垂直，∴BD ＝
1
2
BC ＝1.在Rt △ABD 中，sin A ＝12BD AB =,∴∠1＝30°.
∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴∠ABO ＝90°，∴∠AOB ＝90°－∠A ＝60°.
17．（2017江苏徐州，17，3分）如图，矩形ABCD 中，4,3AB AD ==，点Q 在对角线AC 上，且AQ ＝AD ，连接DQ 并延长，与边BC 交于点P ，则线段AP ＝ ．
B
答案：17
解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝3，CD ＝AB ＝4，∠ADC ＝90°,AD ∥B C.在Rt △
ACD 中，AC ＝222234AD CD +=+＝5,∵AQ ＝AD ，AD ＝3,∴CQ ＝AC －AQ ＝2..∵AD ∥BC ，∴∠ADQ ＝∠QP C.∵AQ ＝AD ，∴∠ADQ ＝∠AQ D.∵∠PQC ＝∠AQD ,∴∠PQC ＝∠QP C.∴PC ＝CQ ＝2.∴BP ＝BC －PC ＝3－2＝1.在Rt △ABP 中，AP ＝
222241AB BP +=+＝17.
1
2
3
3
4
Q
A
B
D
． 18．（2017江苏徐州，18，3分）如图，已知1OB =，以OB 为直角边作等腰直角三角形1A BO .再以1OA 为直角边作等腰直角三角形21
A AO ，如此下去，则线段n OA 的长度为 ． A4
A2
A1
2n
2n
、2
2n
2n
算对）
解析：在Rt △AOB 中，OA 1＝
sin 45OB ︒2，OA 2＝2452
OA
sib =︒
＝2
2)，……，∴OA n
＝2)n
.
三、解答题(本大题共10个小题，，第21、22小题各7分，第23、24、25小题各8分，第26、27小题各,9分，第19、20、28小题各10分，共86分)．
19．（2017江苏徐州，19，10分）（1）1
201(2)20172-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭
； （2）2
421244x x x x +⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭ 思路分析：（1）先分别计算（－2）2，1
1()2
-，20170的值，然后按有理数的运算法则进行计算；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解：．（1）原式＝4－2＋1＝3 （2）原式＝()()22
222
422222
22x x x x x x x x x x ---+⎛⎫+⨯=⨯=- ⎪
--+-+⎝⎭ 20．（2017江苏徐州，20，10分）（1）解方程：231x x =+； （2）解不等式组：20
1212
3x x x >⎧⎪
+-⎨>⎪⎩.
思路分析：（1）本题考查了分式方程的解法．观察得最简公分母为x (x ＋1)．去分母将分式方程转化
为整式方程求解,结果要检验．（2）先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集即可 （1）解：去分母得：2（x ＋1）－3x ＝0, 去括号得：2x ＋2－3x ＝0, 解得：x ＝2,
经检验x ＝2是原方程的解． ∴原方程的解为x ＝2．
（2）解：201212
3x x x ⎧⎪
+-⎨⎪⎩＞（1）＞（2）
∵解不等式（1）得：x ＞0,
解不等式（2）得：x ＜5,
∴不等式组的解集为：0＜x ＜5． 21．（2017江苏徐州，21，7分）某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，随机抽取部分学生做了一次问卷调查，要求学生选出自己喜欢的一个版面，将调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下：
各版面选择人数的扇形统计图 各版面选择人数的条形统计图
第三版
第二版 10%
第一版 a 第四版 a
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为 ，a 00，“第一版”对应扇形的圆心角为 o ； （2）请你补全条形统计图；
（3）若该校有1000名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第一版”的人数.
思路分析：（1）用条形图中最喜欢乒乓球的人数除以扇形图中最喜欢乒乓球的人数所占的百分比
40%，得到样本容量. 抽取的学生数为：5÷10%＝50；a %＝频数总数×100°，即a %＝18
50×100°＝36%；
“第一版”对应扇形的圆心角＝第一版所占百分比×360°＝
15
50
×360°＝108°. （2）第一版的人数＝数据总数－第一版、第二版、第四版的人数，补全条形图即可； （3）用1000乘以最喜欢“第一版”人数的百分比即可. 解：．（1）50，36，108 （2）注意：第三版为12人（3）36%×1000＝360（人） 22．（2017江苏徐州，22，7分）一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分別标有数字1,3,5,7--，
这些卡片除数字外都相同，小芳从口袋中随机抽取一张卡片，小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张.请你用画树状图或列表的方法，求两人抽到的数字符号相同的概率.
思路分析：首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小芳两人均抽到符号相同的情况,再利用概率公式求解即可求得答案．
解：画树状图如下：．
小明
小芳
1 -5 7
1 -3 7
1 -5 7
-3 -5 7
开始
1 -3 -5 7
∵共有12种机会均等的结果,其中两人均抽到符号相同的情况有5种；
∴P(两人抽到的数字符号相同)＝
5
12．
23．（2017江苏徐州，23，8分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E连接ED,E C.
A
C
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若50
A
∠=o，则当BOD
∠=o时，四边形BECD是矩形.
思路分析：（1）先根据AAS证明△EBO≌△DCO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定；
（2）若四边形BECD为矩形，则BC＝DE，BD⊥AE，又AD＝BC，∴AD＝DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB＝∠EDB＝40°，故∠BOD＝180°－∠ADE＝100°.
解：（1）证：∵平行四边形ABCD
∴AE∥DC
∴∠EBO＝∠DCO,∠BEO＝∠CDO
∵点O是边BC的中点
∴BO＝CO
∴△EBO≌△DCO（AAS）
∴EO＝DE
∴四边形BECD是平行四边形
（2）100
24．（2017江苏徐州，24，8分）4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
：我和哥哥的年龄和是16岁
：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于
爸爸的年龄
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
思路分析：根据我的年龄＋哥哥的年龄＝16，两年后我的年龄的3倍＋两年后哥哥的年龄＝34，列出方程组并解得即可.
解：设今年妹妹x 岁，哥哥y 岁． ⎩⎨⎧x ＋y ＝163（x ＋2）＋（y ＋2）＝34＋2解得：⎩⎨⎧x ＝6y ＝10 答：妹妹6岁，哥哥10岁
25．（2017江苏徐州，25，8分）如图，已知AC BC ⊥，垂足为,4,C AC BC ==将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60o
，得到线段AD ，连接,DC DB .
B
（1）线段DC = ； （2）求线段DB 的长度.
思路分析：（1）根据旋转的性质，判定△ACD 为等边三角形，则DC 的长度易求； （2）D 作DE ⊥BC ，分别解Rt △CDE ，Rt △BDE 即可.
解：（1）4
（2）∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°，∴△CAD 是等边三角形 ∴CD ＝AC ＝4，∠ACD ＝60°，过点D 作DE ⊥BC 于E .
4
∵AC ⊥BC ，∠ACD ＝60°，∴∠BCD ＝30° 在RT △CDE 中，CD ＝4，∠BCD ＝30°
∴DE ＝1
2
CD ＝2，CE ＝2 3
∴BE ＝ 3
在RT △DEB 中，由勾股定理得DB ＝7
26．（2017江苏徐州，26，9分）如图① ，菱形ABCD 中，5AB =cm ，动点P 从点B 出发，沿折线BC CD DA --运动到点A 停止，动点Q 从点A 出发，沿线段AB 运动到点B 停止，它们运动的速度相同.设点P 出发xs 时，BPQ ∆的面积为y 2
cm .已知y 与x 之间的函数关系.如图②所示，其中,OM MN 为线段，曲线NK 为抛物线的一部分，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）当12x <<时，BPQ ∆的面积 （填“变”或“不变”）； （2）分别求出线段OM ，曲线NK 所对应的函数表达式； （3）当x 为何值时，BPQ ∆的面积是52
cm ？
D
s ）
图① 图②
思路分析：（1）观察图象②可知，当1＜x ＜2时，y ＝10,故△BPQ 的面积不变； （2）用待定系数法求其解析式即可；
（3）把y ＝5分别代入（2）中的一次函数及二次函数解析式，求出x 的值即可，对x 的值注意取舍. 解：（1）不变
（2）设OM 所在直线的函数表达式为y ＝kx ，把M （1，10）代入，得k ＝10. ∴线段OM 的函数表达式为y ＝10x （0＜x ＜1）
在曲线NK 上取一点G ，使它的横坐标52，由题意可得其纵坐标为5
2.
∴曲线NK 过三点N （2，10），G （52，5
2
），K （3,0）
∵曲线NK 为抛物线的一部分，设其表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，
可得4210
25554
22930
a b c a b c a b c ++=⎧⎪⎪
++=⎨⎪++=⎪⎩解得106090a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩
∴曲线NK 的函数表达式为y ＝10x 2－60x ＋90（2＜x ＜3）
（3）把y ＝5代入y ＝10x ，解得x ＝
1
2，
把y ＝5代入y ＝10x
2－60x ＋90，解得x 1＝3
－2，x 2＝3＋2
（舍去） ∴当x ＝3－
2
或x ＝12时，BPQ ∆的面积是52
cm
27．（2017江苏徐州，27，9分）如图，将边长为6的正三角形纸片ABC 按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕,AD BE （如图①），点O 为其交点. （1）探求AO 与OD 的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若,P N 分别为,BE BC 上的动点. ①当PN PD +的长度取得最小值时，求BP 的长度；
②如图③，若点Q 在线段BO 上，1BQ =，则QN NP PD ++的最小值＝ .
图① 图② 图③
思路分析：（1）先判定△AOB 为等腰三角形，再利用直角三角形的性质——30°角所对的直角边是斜边的一半，得到OB ＝2OD ，进而得到AO ＝2OD ；
（2）取点N 关于BO 的对称点N ′，根据垂线段最短，当D N ′⊥AB 时，PN ＋PD 取得最小值，进而求出BP 的长；
（3）作BE 关于BC 对称的线段BF ，截取BQ ′＝BQ ，作点D 关于BE 对称的点D ′,连接D ′Q ′,则D ′Q ′的长就是QN NP PD ++的最小值.根据题意，知∠D ′BQ ′＝90°，B Q ′＝1，B D ′＝3，勾股勾股定理，得D ′Q ′2
2
2
2
''1310BQ BD +=+=.
D'
N Q'
O
C
A
B
Q P
解：（1）AO ＝2OD
证：由折叠可知，∠BAO ＝∠ABO ＝30°， ∴OA ＝OB
在Rt △BDO 中，∠OBD ＝30°，∴OD ＝1
2
OB ，∴AO ＝2OD 得BO ＝2OD
∵OA ＝OB ∴AO ＝2OD
（2）①如图，N ′是N 关于BO 的对称点，连接PN ′则PN ′＝PN ,∴PN ＋PD ＝PN ′＋PD ≥DN ′
C
A
B
∴当DN ′⊥AB 时，PN ＋PD 取得最小值，此时，BO 与DN ′的交点为P .
在Rt △N ′DB 中，BD ＝3，∠ABC ＝60°，∴BN ′＝3
2
.
在Rt △
B N ′P 中，cos30°＝BN BP '
，∴2＝32BP
，BP ＝ 3.
②10
28．（2017江苏徐州，28，10分）28.如图，已知二次函数2
449
y x =-
的图象与x 轴交于,A B 两点与y 轴交于点C ，⊙C P 为⊙C 上一动点. （1）点,B C 的坐标分别为B （ ），C （ ）；
（2）是否存在点P ，使得PBC ∆为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接PB ，若E 为PB 的中点，连接OE ，则OE 的最大值＝ .
（备用图） 思路分析：（1）令y ＝0，可求得点B 的坐标，令x ＝0,求出点C 的坐标；
（2）分两种情况，若∠BPC ＝90°，若∠BCP ＝90°时，分别求出点P 的坐标； （3）取BC 中点T ，连OT ，TE ，CP
∵E 为BP 的中点
∴TE ∥CP ，TE ＝1
2CP ＝52
∴点E 在以T 为圆心，TE ＝
5
2
当O 、T 、E 三点共线时，OE 最小值＝OT － TE ＝52
－52
解：．（1）B （3，0），C （0，－4）
（2）设P （a ，b ）
若∠BPC ＝90°，则()()2
2
22
3525
45a b a b ⎧-++=⎪⎨++=⎪⎩解得1112a b =-⎧⎨=-⎩ 22
115225a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴P 1（－1，－2）或P 2（115，－22
5
）
若∠BCP ＝90°，则()()2
222
325545a b a b ⎧-+=+⎪⎨++=⎪⎩解得33453545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
4445
3545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴P 345，354-）或P 4（4535
4-） 综上所述：符合条件的P 共有4个：
P 1（－1，－2）或P 2（115，－22
5）或P 3（55，3545--）或P 4（55-，
3545
-） （3）552
+。