求反函数练习

4 反函数·基础练习

(一)选择题

1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是[ ]

A y (x 0)

B y (x 0)

C y (x 0)

D y |x|

．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --

2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是[ ] A ．[0，＋∞) B ．[－∞，1] C ．(0，1] D ．(－∞，0]

3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2[ ]

A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2)

B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2)

C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1)

D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1)

4．下列各组函数中互为反函数的是[ ]

A y y x

B y y 2．＝和＝．＝和＝

x x x

11 C y y (x 1)D y x (x 1)y (x 0)

2．＝

和＝≠．＝≥和＝≥313131

1x x x x x +-+-

5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ] A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数 B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数 C ．若y ＝f(x)是偶函数，则y ＝f -1(x)也是偶函数

D ．若f(x)的图像与y 轴有交点，则f -1(x)的图像与y 轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是

y ＝－，那么另一个函数是x -1[ ]

A ．y ＝x 2＋1(x ≤0)

B ．y ＝x 2＋1(x ≥1)

C ．y ＝x 2－1(x ≤0)

D ．y ＝x 2－1(x ≥1)

7．设点(a ，b)在函数y ＝f(x)的图像上，那么y ＝f -1(x)的图像上一定有点[ ] A ．(a ，f -1(a)) B ．(f -1(b)，b) C ．(f -1(a)，a)

D ．(b ，f -1(b))

8．设函数y ＝f(x)的反函数是y ＝g(x)，则函数y ＝f(－x)的反函数是[ ] A ．y ＝g(－x) B ．y ＝－g(x) C ．y ＝－g(－x)

D ．y ＝－g -1(x)

9．若f(x －1)＝x 2－2x ＋3(x ≤1)，则函数f -1(x)的草图是[ ]

10y g(x)．函数＝的反函数是，则1

3

x

[ ] A ．g(2)＞g(－1)＞g(－3) B ．g(2)＞g(－3)＞g(－1) C ．g(－1)＞g(－3)＞g(2) D ．g(－3)＞g(－1)＞g(2)

(二)填空题

1y 32y (x 0)y f(x)y x ．函数＝＋的反函数是．

．函数＝＞与函数＝的图像关于直线＝对称，

x x ++21

21

解f(x)＝________．

3．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________，b ＝________．

4y (1x 0)．函数＝－＜＜的反函数是

，反函数的定92-x

义域是________．

5．已知函数y ＝f(x)存在反函数，a 是它的定义域内的任意一个值，则f -1(f(a))＝________．

6y 7y (x 1)

(x 1)8f(x)(x 1)f ()1

．函数＝

的反函数的值域是

．

．函数＝≥－＜的反函数是：

．．函数＝＜－，则－＝

．

1

2

1121232

x x x x ---⎧⎨⎪⎩

⎪--

(三)解答题

1y 12f(x)．求函数＝＋的反函数，并作出反函数的图像．．已知函数＝．

x ax x +++25

2

(1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y ＝f -1(x)的图像上一点，求函数y ＝f(x)的值域．

3．已知函数y ＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)在它的定义域内也是增函数．

4f(x)y g(x)y f (x 1)．设函数＝

，函数＝的图像是＝＋的图像23

1

1x x +-- 关于y ＝x 对称，求g(2)的值．

参考答案

(一)选择题

1．(C)．解：函数y=－x 2(x ≤0)的值域是y ≤0，由y=－x 2得x=

－－，∴反函数－－≤．y x f (x)=(x 0)1-

2．(D)．解：∵y=－x 2－2x=－(x ＋1)2，x ≥0，∴函数值域y ≤0，即其反函数的定义域为x ≤0．

3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2．．解：∵－＋，≥，∴函数值域≥，由－

＋1，得反函数f －1(x)=(x －1)2＋1，(x ≥1)．

4．(B)．解：(A)错．∵y=x 2没有反函数．(B)中如两个函数互为反

函数．中函数＋－≠的反函数是＋－≠而不是＋－．中函数≥的值域为≥．应是其反函数的定义域≥．但中的定义域≥，故中两函数不是互为反函数．

(C)y =

3x 1x (x 1)y =x 1

x 3

(x 3)y =3x 1

3x 1

(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f -1(x)在[f(1)，f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x 2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x 2＋1(x ≥0)的图像与y 轴有

交点，但其反函数－≥的图像与轴没有交点．∴错．f -(x)=x 1(x 1)y (D)1

6(A)y =y 0f (x)=x 12．．解：∵函数－－的值域≤；其反函数＋x 1-

＋1(x ≤0)．选(A)．

7．(D)．解：∵点(a ，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b ，a)必在其反函数y=f -1(x)的图像上，而a=f -1(b)，故点(b ，f －1(b))在y=f -1(x)的图像上．选(D)．

8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f -1(x)即g(x)=f -1(x)，而y=f(－x)的反函数是y=－f -1(x)=－g(x)，∴选(B)．

9．(C)．解：令t=x －1．∵x ≤1，∴t ≤0，f(t)=t 2＋2(t ≤0)，即f(x)=x 2＋2(x ≤0)，值域为f(x)≥2，∴反函数f -1(x)的定义域是x ≥2，值域y ≤0，故选(C)．

10(B)g(x)=

1

x (0)33

．．解：∵在－∞，上是减函数，又－＜－＜1