集合专题复习讲义

高一数学讲义

一、集合的含义与表示

（Ⅰ）、基本概念：

1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、∉关系；元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素 之间用逗号隔开。集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；

2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：｛y=x 2+1｝；

｛x 2-x-2=0｝，｛x| x 2-x-2=0｝,｛x|y=x 2+1｝；｛t|y=t 2+1｝；｛y|y=x 2+1｝；｛(x,y)|y=x 2+1｝； ∅；｛∅｝,｛0｝

3、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；

（Ⅱ）、典例剖析：

一、集合的概念以及元素与集合的关系：

1、 元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。

集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；元素与集合的关系：∈、∉

②、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；

③、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：

【例题1】、已知集合A=｛a-2,2a 2+5a,10｝,又-3∈A ，求出a 之值。

变式练习：

1、已知集合A=｛1，0，x ｝,又x 2∈A ，求出x 之值。

2、已知集合A=｛a+2,（a+1）2，a 2+3a+3｝,又1∈A ，求出a 之值。

二、集合的表示---------列举法和描述法

【例题2】、已知某数集A 满足条件：若1,≠∈a A a ，则A a

∈+11. ①、若2A ∈，则在A 中还有两个元素是什么；②、若A 为单元素集，求出A 和a 之值.

变式练习：

1、已知集合B=｛x|ax 2-3x+2=0,a ∈R ｝,若B 中的元素至多只有一个，求出a 的取值围。

2、已知集合M=｛x ∈N|61+x

∈Z ｝，求出集合M 。

3、已知集合N=｛61+x

∈Z | x ∈N ｝，求出集合N 。

4、设集合M=｛x|x= 4m+2,m ∈Z ｝,N=｛y|y= 4n+3,n ∈Z ｝，若x 0∈M,y 0∈N ，则x 0·y 0与集合M 、N 的关系是（ ）：

A 、x 0·y 0∈M

B 、x 0·y 0∉M

C 、x 0·y 0∈N

D 、无法确定

四、提高练习：

【题1】、设⊕是R 上的一个运算,A 是R 上的非空子集,若对任意的a 、b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运 算⊕封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于0）四则运算都封闭的是（ C ）

A 自然数集

B 整数集

C 有理数集

D 无理数集

【题2】定义集合运算：A ⊙B=｛z ︳z= xy(x+y)，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则 集合A ⊙B 的所有元素之和为（ D ）

（A ）0 （B ）6 （C ）12 （D ）18

【题3】设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（ B ）

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6

集合之间的基本关系

（Ⅰ）、基本概念及知识体系：

1、集合之间的基本关系：包含关系------子集⊆、真子集、空集∅；集合的相

等。

2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。

（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：

（一）、集合之间的基本关系：子集⊆、真子集、空集∅（如方程x 2+1=0的根）；集合的相等。

（二）、含有n 个元素的集合A 的子集个数是_____,真子集个数是___,非空真子集_____,

★【例题1】、已知集合P=｛x|x 2-5x+4≤0｝,Q=｛x|x 2-(b+2)x+2b ≤0｝且有P ⊇Q ，数b 的取值围。

★【例题2】、设集合{1

23456}M =，，，，，， 12k S S S ，，...，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈L 、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭

，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ）

A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

★【例题3】、（2007年文科·15题·12分）记关于x 的不等式

01

x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （I ）若3a =，求P ； （II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值围．

变式练习：

1、已知集合A=｛2，8，a ｝, B=｛2，a 2-3a+4｝,又A B ，求出a 之值。

2、已知集合A=｛x|-3≤x ≤4｝B=｛x|2m-1≤x ≤m+1｝,当B ⊆A 时，求出m 之取值围。

3、已知集合M=｛x|-2≤x ≤5},N={x|m+1≤x ≤2m-1}

①、若N ⊆M ，数m 的取值围；（解：m ≤3，注意N 为∅的情况！)

②、若x ∈Z ，则M 的非空真子集的个数是多少个？（解：28-2=254个）

③、（选做）当x ∈R 时，没有元素使得x ∈M 与x ∈N 同时成立，数m 的取值围

（四）、提高练习：

★【题1】、设集合S=｛a,b,c,d,e ｝,则包含｛a,b ｝的S 的子集共有（ ）个

A 2

B 3

C 5

D 8

★【题2】、集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x ∈N,y ∈N ｝,则A 的非空真子集的个数为（ ）

Ａ ４ Ｂ ５ Ｃ ６ Ｄ ７

★【题3】、对于两个非空数集A 、B ，定义点集如下：A ×B=｛(x,y)|x ∈A, y ∈B ｝,若A=｛1，3｝，B=｛2，4｝，则点集A ×B 的非空真子集的个数是____个

★【题4】、集合{|03}A x x x N =≤<∈且的真子集个数是（ ）

（A ）16 （B ）8 （C ）7 （D ）4

★【题5】、（2004）已知集合P=｛m|-1

A P=Q

B P Q

C P Q

D P ∩Q=Q