高一数学必修4课件：1-1-1任意角

第一章
1.1 1.1.1
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2．锐角、0° ～90° 的角、小于90° 的角、第一象限角的区 别 [剖析] (1)锐角、0° ～90° 的角，小于90° 的角、第一象限
角的范围，如下表所示. 角 锐角 0° ～90° 小于90° 的角 第一象限角 集合表示 {α|0° <α<90° } {α|0° ≤α<90° } {α|α<90° } {α|k· <α<k· ＋90° 360° 360° ，k∈Z}
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课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第一章
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课前自主预习
第一章
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温故知新 1．初中我们已经学习过角，那么初中对角的定义是什么 呢？所谓角就是________________．
[答案]
{β|β＝210° 360° ＋k· ，k∈Z}
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[拓展]1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表 示 (1)象限角： 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 集合表示 {α|k· <α<k· ＋90° 360° 360° ，k∈Z} {α|k· ＋90° 360° <α<k· ＋180° 360° ，k∈Z} {α|k· ＋180° 360° <α<k· ＋270° 360° ，k∈Z} {α|k· ＋270° 360° <α<k· ＋360° 360° ，k∈Z}
第一章
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[分析]
弄清角的始边与终边，并结合图形明确这个角从
始边到终边转过了多少度．注意逆时针旋转的一个周角是 360° ，顺时针旋转的一个周角是－360° .
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[解析]
图(1)中，α＝360° －30° ＝330° ；
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自主预习 认真阅读教材P2－4，回答下列问题： 1．角
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(1)定义：平面内一条射线绕着 端点 从一个位置旋转到另一 个位置所成的图形称为角，所旋转射线的端点叫做角的 顶点 ， 开始位置的射线叫做角的 始边，终止位置的射线叫做角的 终边 如图所示．
第一章
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(2)分类：如下表. 任意角 正角 负角 零角 定义 按逆时针方向旋转形成的角 按顺时针方向旋转形成的角 一条射线没有作任何 旋转 形成的角
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(3)记法：用一个希腊字母表示，如α，β，γ，„；也可用 3个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”)，其中中间字 母表示角的顶点，如∠AOB，∠DEF，„.
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新课引入
在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原 地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．
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运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几 圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险． 我们利用以前学的角的范围是0° ≤α≤180° ，你还能算出 他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？
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(2)轴线角： 角的终边的位置 终边落在x轴的非负半轴上 集合表示 {α|α＝k· ，k∈Z} 360°
终边落在x轴的非正半轴上 {α|α＝k· ＋180° 360° ，k∈Z} 终边落在y轴的非负半轴上 {α|α＝k· ＋90° 360° ，k∈Z}
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下列说法中，正确的是________． (1)终边落在第一象限的角为锐角； (2)锐角是第一象限角； (3)第二象限角为钝角； (4)小于90° 的角一定为锐角．
[答案] (2)
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[解析]
终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400° 的
角是第一象限角，但不是锐角，故(1)的说法是错误的；同理 第二象限角也不一定是钝角，故(3)的说法也是错误的；小于 90° 的角不一定为锐角，如负角，故(4)的说法是错误的；综 上，只有(2)的说法是正确的．
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[分析]
解答本题(1)用α除以360° ，使余数为正，且使余
数在[0° ，360° )即可；(2)根据终边相同角的定义，用公式α＋ k· 列不等式求解． 360°
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[解析]
(1)∵－1910° 360° ÷ ＝－6余250° ，
合．那么，角的 终边 (除原点外)在第几象限，就说这个角是 第几 象限角 ，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象 限内，不与 坐标轴 重合． 如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象 限．
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－30° 是(
) B．第二象限角 D．第四象限角
图(2)中，β＝－360° ＋60° ＋150° ＝－150° ； γ＝360° ＋60° ＋(－β)＝360° ＋60° ＋150° ＝570° .
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在坐标系中画出下列各角： (1)210° ；(2)－230° . [分析] 先确定旋转的方向，再确定旋转量．
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(2)锐角、0° ～90° 的角、小于90° 的角、第一象限角的关系 用Venn图表示，如图所示．
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由(1)(2)可知锐角是0° ～90° 的角，是小于90° 的角，是第 一象限角；0° ～90° 的角是小于90的角，不一定是第一象限 角；小于90° 的角不一定是第一象限角，第一象限角不一定是 小于90° 的角、锐角、0° ～90° 的角．例如390° 是第一象限角， 但390° 不是小于90° 的角、锐角或0～90° 的角．
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命题方向
终边相同的角及象限角
[例2]
已知α＝－1910° ，(1)把α写成β＋k· (k∈ 360°
Z,0° ≤β<360° )的形式，指出它是第几象限角，(2)求θ，使θ 与α的终边相同，且－720° ≤θ<0° .
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
三角函数
第一章 三角函数
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第一章
1．1 任意角和弧度制
第一章 三角函数
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1．1.1 任意角
第一章 三角函数
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(1)与95° 角终边相同的角是( A．－5° C．395° B．85° D．－265°
)
[答案]
D
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(2)与210° 角的终边相同的角连同210° 角在内组成的角的 集合是________．
[答案]
由两条具有公共端点的射线组成的图形
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2．角按大小进行分类，可分为锐角、钝角和直角．锐角 的范围为________，钝角的范围为________，直角的度数为 ________．
[答案] 0° <α<90° 90° <α<180° 90°
α是第二象限角，180° －α是第几象限角( A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角
)
[答案]
A第一章1.1 1 Nhomakorabea1.1成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
方法1：特例淘汰法：α＝120° ，180° －α＝60° ，
否定B、C、D，故选A. 方法2：α为第二象限角，－α为第三象限角，180° ＋α为 第一象限角，故选A.
[警误区]注意锐角、钝角、直角、平角、周角的概念与象 限角、正角、负角、零角等概念的区别以及它们之间的关 系．
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思路方法技巧
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命题方向
[例1]
任意角
写出图(1)(2)中的角α、β、γ的度数．
97 25 即－ ≤k<－ 36 36 ∵k∈Z，∴k＝－1或－2. 即250° ＋(－1)· ＝－110° 360° ， 250° ＋(－2)· ＝－470° 360° .
第一章
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[破疑点](1)确定任意角的大小要明确其旋转方向和旋转 量；(2)零角的始边和终边重合，但始边和终边重合的角不一 定是零角，如周角等；(3)角的范围由0° ～360° 推广到任意角 后，角的加减运算类似于实数的加减运算．(4)画图表示角 时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负．
∴－1910° ＝－6×360° ＋250° ， ∴β＝250° ，从而α＝－6×360° ＋250° 是第三象限角． (2)令θ＝250° 360° ＋k· (k∈Z)， ∵－720° ≤θ<0° ， ∴－720° ≤250° 360° ， ＋k· <0°
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将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120° 所得的角为 ( ) A．120° C．60° B．－120° D．240°
[答案]
A
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2．象限角 使角的顶点与 原点 重合，角的始边与x轴的非负半轴重
终边落在y轴的非正半轴上 {α|α＝k· ＋270° 360° ，k∈Z} 终边落在y轴上 终边落在x轴上 终边落在坐标轴上 {α|α＝k· ＋90° 180° ，k∈Z} {α|α＝k· ，k∈Z} 180° {α|α＝k· ，k∈Z} 90°
第一章
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一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的 和．
第一章
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[破疑点]理解集合S＝{β|β＝α＋k· ，k∈Z}要注意以下 360° 几点： (1)式中角α为任意角； (2)k∈Z这一条件必不可少； (3)k· 与α之间是“＋”，如k· －30° 360° 360° 应看成k· ＋ 360° (－30° )，即与－30° 角终边相同； (4)当α与β的终边相同时，α－β＝k· (k∈Z)．反之亦 360° 然．
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[解析]
在坐标系中画出各角如图所示．
第一章
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[反思]
在坐标系中画出任意角α：(1)当α>0° 时，将x轴的
非负半轴绕原点按逆时针方向旋转α；(2)当α<0° 时，将x轴的 非负半轴绕原点按顺时针方向旋转|α|；(3)当α＝0° 时，将x轴 的非负半轴绕原点不作任何旋转.
A．第一象限角 C．第三象限角
[答案]
D
第一章
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3．终边相同的角 (1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重 合，角的始边与x轴的非负半轴重合． (2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同
360° ，k∈Z}，即任 角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝ α＋k·