第17章勾股定理全章导学案
八年级数学下册 第17章 勾股定理复习导学案(新版)新人教版
学
习
目
标
1.进一步理解勾股 定理及其逆定理，弄清两定理之间的关系。
2.复习直角三角形的有关知识，形成知识体系。
3.运用勾股定理及其逆定理解决问题．
重点：复习直角三角形的有关知识，形成知识体系.
难点：运用勾股定理及其逆定理解决问题。
时间
分配
导入3分钟新课5分钟、练习巩固30分、课堂小结2分
活动二：
1、勾股定理 及其逆定理阐述的是哪种图形的性质及判定？
2、它们阐述的是直角三角形的哪方面（边、角）的性质？
3、你还知道直角三角形的哪些性质？
4、用框图总结直角三角形的性质及判定。
三、课堂练习：
1、在直角三角形ABC中,∠C=90°，
（１）已知ａ：ｂ＝３：４，ｃ＝２５，求ａ和ｂ
（２）已知∠Ａ＝３０°ａ＝３， 求ｂ和ｃ
（３）已知∠Ａ＝４５°，ｃ＝８，求ａ和ｂ
２、直角△的两边长为８和１０，求第三边的长度．
3.已知三角形的三边长为9 ,12 ,15 ,则这个三角形的最大角是＿＿＿＿度
4 、△ABC的三边长为9 ,40 ,41 ,则△ABC的面积为＿＿＿＿
5、在△ＡＢ Ｃ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＣＢ＝４．
（１）求△ＡＢＣ的面积
学案（学习过程）
导案（学法指导）
学
习
过
程
一、导入新课：
在课前自主阅读课本22-33的内容，然后把本章的知识点用框图总结出来。
二、教学新课
活动一：
1、小组内展示自己总结的知识框图，相互交流完善知识框图。
2、每个小组选取一名代表，出示本组的知识框图。
设计意图：通过学生阅读，相互交流，整理知识框图复习本章知识点，自觉内化 到自身的知识体系中。
八年级数学第十七章勾股定理导学案
八年级数学第十七章勾股定理导学案学习课题：勾股定理（第一课时）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程：（一）、温故互查：1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语 言表示） （1）两锐角之间的关系：（2）若D 为斜边中点，则斜边中线（3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2学生操作： （1）、同学们画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用 刻度尺量出AB 的长。
（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长问题：你是否发现23+24与25，25+212和213的关系，即23+24 25，25+212 213，3命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。
（二）、设问导读：1、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证： 222a b c +=证明：4S △+S 小正=S 大正根据的等量关系：（学生独立完成）由此我们得出：勾股定理的内容是： 。
（三）自我检测：1、在Rt △ABC 中，90C ∠=︒ ，（1）如果a=3，b=4，则c=________； （2）如果a=6，b=8，则c=________；ABA B（3）如果a=5，b=12，则c=________； (4) 如果a=15，b=20，则c=________. 2、下列说法正确的是（ ）A.若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则222a b c += B.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则222a b c +=C.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90A ∠=︒， 则222a b c += D.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90C ∠=︒ ，则222a b c +=3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为204、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．5、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为 。
第十七章勾股定理导学案
数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 25 -第十七章 勾股定理第1学时 17.1.1勾股定理(1)【明确目标】1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理;2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力;3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发爱国热情,勤奋学习. 【自主学习】阅读教科书第22页到24页的内容,思考并回答下面的问题；1.如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ,斜边为c ,那么 ,即直角三角形中两直角边的平方和等于 .2.在R t △ABC 中,∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 所对应的边分别是a 、b 、c . (1) 若a =3cm, b=4cm, 则c = ; (2) 若a =8cm, c=17cm, 则b = ;(3) 若a : b .=3:4, c=10cm, 则a = , b = .3. 在R t △ABC 中,斜边AB=2cm,则AB 2+BC 2+CA 2= cm .4.教科书P24练习第1、2题. 【合作探究】1.如图,可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形,借助这个图形,你能用面积法来验证勾股定理吗?2.如图,在直角△ABC 中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,DE 是AB 边的垂直平分线,垂足为D,交BC 于点E,连接AE,则△ACE 的周长是多少？数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 26 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生【巩固提升】 1.如果线段a 、b 、c 能组成直角三角形,则它们的比可以是 ( ) A.3:2:4 B.3:3:5 C.3:4:7 D.5:12:132.一直角三角形的两边长分别是3和4, 则第三边的长为 ( ) A. 5D.53.在直角三角形ABC 中,∠C=90°,BC=12,AC=9,则AB= .4.在直角三角形中,若两直角边满足17,60a b ab +==,则斜边的长为 .5.等腰三角形的腰是5,底是8,这个三角形的面积是 .6.如图,在四边形ABCD 中,AB=AD=8,∠A=60°,∠ADC=150°,已知四边形ABCD 的周长为 32,求四边形ABCD 的面积.7.教科书P28习题17.1第1、2、3题.1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？【达标检测】1.在R t △ABC 中,两直角边长分别为10和24,则斜边长等于 ( ) A.25 B.26 C.27 D.282.如图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落 在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是 ( ) A.12米 B.8米 C.5米 D.5米或7米3.若直角三角形的两直角边长为a 、b,|4|0b -=,则该直角三角形的斜边长为 .第2学时 17.1.2 勾股定理(2)【明确目标】1.会用勾股定理解决简单的实际问题；2.树立数形结合的思想；3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,感受勾股定理的应用方法；4.培养思维意识,发展数学理念,体会勾股定理的应用价值.数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 27 -【自主学习】阅读教科书第25页到26页的内容,思考并回答下面的问题；1.等腰三角形腰长是10cm,底边上的高为8cm,则该三角形面积是 cm2. 2.已知直角三角形中30°所对的直角边长为32cm,则该三角形面积是 cm 2.3.教科书P26练习第1、2题.注：1.勾股定理把直角三角形的”形”转化为三边“ ”的关系是数形结合的典例.2.运用勾股定理的关键是运用转化思想,把实际问题转化为 ,再运用方程或方程组来解. 【合作探究】 1.如图,铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄,D A ⊥AB 于A,CB ⊥AB 于B,已知DA=15km,CB=10km.现在要在铁路AB 上建一个特产品收购站E,使得C 、D 两村到E 站的距离相等,则E 站应建在离A 站多少千米处?【巩固提升】1.如图,有两棵树,一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行 ( ) A.8m B.10m C.12m D.14m2.一圆柱体的底面周长为24cm,高AB 为5cm,BC 是直径,一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的侧面爬行到点C 的最短路程大约是 ( ) A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm3.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AB 的垂直平分线交BC 于D,垂足为E,ED=4cm,则AC= cm.4.如图,A C ⊥CE,AD=BE=13,BC=5,DE=7,则AC= .1题图 2题图 3题图 4题图5.教科书P28习题17.1第4、5题. 【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 28 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生【达标检测】1.如图,一段楼梯高BC 是3m,斜边AC 长5m,在楼梯上铺地毯,地毯至少要 ( ) A.5m B.7m C.4m D.12m2.边长为a 的等边三角形的面积等于 ( ) A.a 43 B.a 23C.243a D.233a 3.如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为6m 和8m,按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道,则O 到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O 为点)是 ( ) A.2m B.3m C.6m D.9m1题图 3题图4.一轮船以16海里/时的速度离开A 港向东北方向航行,另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A 港向西北方向航行,经过2小时后它们相距多少海里?第3学时 17.1.3勾股定理(3)【明确目标】1.能利用勾股定理,根据已知直角三角形的两边长求第三条边长,并能在数轴上表示无理数;2.体会数与形的密切联系,增强应用意识,提高运用勾股定理解决问题的能力;3.培养数形结合的数学思想,并积极参与交流,并积极发表意见. 【自主学习】阅读教科书第26页到27页的内容,思考并回答下面的问题；1.利用勾股定理,可以发现,的线段是两直角边分别为正整数 、 的直角三角形的斜边.在数轴上,找到点A,使OA= ,过点A 作直线l 垂直于OA,在l 上取点B,使AB= .以原点O 为圆心,以OB 为半径作弧,弧与数轴的交点C 即为表.2.教科书P27练习第1、2题.数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 29 -【合作探究】1.如图,△ABC 中,∠C=90°,AM 是△ABC 的中线,MN ⊥AB 于N,求证:AN 2=BN 2+AC 2.2.如图,折叠长方形一边AD,点D 落在BC 边的F 处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EC 的长.【巩固提升】1.如图,数轴上的点A 所表示的数为x ,则x 的值为 ( ) A. 3B .－3C.D.2.如图,直线l 上有三个正方形a 、b 、c ,若a 、c 的面积分别为5和11,则b 的面积为 ( )3.如图,在边长为2 的正方形ABCD 中,M 为边AD 的中点,延长MD 至点E,使ME=MC,以DE 为边作正方一菜DEFG ,点G 在CD 上,则DG 的长为 ( )1B.3111题图 2题图 3题图 4.若等腰三角形的两边长分别为4和6,则底边上的高等于 ( ) A.7B.7或41C. 42D. 42或7数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 30 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生DCBA5.细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题. (1)2+1=2S 1=21 (2)2+1=3S 2=22 (3)2+1=4 S 3=23 ……(1) 请用含有n(n 为正整数)的等式表示上述变化规律. (2) 推算出OA 10的长.(3) 求出210232221S S S S +⋅⋅⋅+++的值.6.教科书P28习题17.1第10、11、12题. 【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？【达标检测】1.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是 ( ) A.4cm B.34cm C.6cm D.36cm2.△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为 ( ) A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或3.如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷 径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路 （假设2步为1米），却踩伤了花草．4.已知:如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC,AD ⊥DC,AB ⊥AC,∠B=60°数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 31 -DCBA第4学时 勾股定理习题课1.直角三角形有一直角边的长为11,另两条边的长是两个连续自然数,则周长是 ( ) A.132 B. 121 C. 120 D. 1232.在△ABC 中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC 的长是 ( ) A.14 B.14或4 C.8 D.4或83.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动 ( ) A.9分米 B.15分米 C.5分米 D.8分米4.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．5.等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm,底边BC=16cm,则底边上的高为 ,面积为 .6.如图, R t △ABC 的面积为20cm 2,在AB 的同侧,分别以AB 、BC 、AC 为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为 .7.如图,一只蚂蚁沿着棱长a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为 .8.如图,将一根长24cm 的筷子,置于底面直径为5cm 高12cm 的圆柱形水杯中,筷子露在杯子外面的长为hcm,则h 取值范围是 .9.如图,将一个长、宽分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠,使C 点与A 点重合,则EB 的长是 .6题图 7题图 8题图10.如右图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m 的 楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元,请你帮助计算一下,铺 完这个楼道至少需要 元钱.11.一个零件的形状如图所示,已知AC=3cm ,AB=4cm ,BD=12cm . 求CD 的长.数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 32 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生DC BANM PA 12.如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB 的长.13.如图A 、B 两个村子在河CD 的同侧,A 、B 两个村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km, CD=3km, 现要在河边CD 上建一个水厂,为A 、B 两村输送自来水,铺设水管的费用为每千米2000元,请你在CD 上选择水塔位置O 点,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用.14.如图,公路MN 上有一拖拉机由点P 向点N 行驶,在公路一侧点A 有一所中学,已知PA=160m,且∠NPA=30°.假设接拉机在行驶时,周围100m 以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到噪音影响?请说明理由;如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间是多少秒?15.教科书P28习题17.1第14题.数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华 - 33 -第5学时 17.2.1勾股定理的逆定理(1)【明确目标】1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理;2.探究勾股定理的逆定理的证明方法;3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系. 【自主学习】阅读教科书第31页到32页的内容,思考并回答下面的问题；1.如果三角形的三边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是 . 2.如果一个命题的题设和结论与另一个命题的题设和结论正好相反,这两个命题叫做 命题.3.教科书P33练习第1、2、3题.【合作探究】1.△ABC 中,AB=10,BC=12,BC 边上的中线AD=8,试说明△ABC 是等腰三角形.2.在△ABC 中22n m a -=,mn b 2=,22n m c +=,其中m,n 是正整数,且m>n ,试判断△ABC是否是直角三角形.【巩固提升】1.若1>a ,在下列四组数中,能组成直角三角形的是 ( ) A.1,1,12++-a a aB.)1(5),1(4),1(3---a a aC.1,,1+-a a aD.42,,22++a a a2.三角形的三边长a ,b ,c 满足ab c b a 2)(22=-+,则此三角形是 ( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形3.下列各组数中,是勾股数的是 ( ) A.14,36,39 B.8,24,25 C.8,15,17 D.10,20,264.△ABC 中,AB=7,AC=24,BC=25,则∠A= .数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 34 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生5.“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是 .6.把命题“如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式: . 7.如图, △ABC 中,CD 是AB 边上的中线,AC=8,BC=6,CD=5,求证:△ABC 为直角三角形.8.能够成为直角三边长的三个正整数,我们称之为一组勾股数,观察下列表格所给出的三个(1)试找出它们的共同点; (2)写出当a =17时, b ,c 的值.【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？【达标检测】1.分别以下列四组数为一个三角形的边长:①3,4,5；②5,12,13；③8,15,17；④4,5,6,其中能构成直角三角形的有 ( ) A.4组 B.3组 C.2组 D.1组2.△ABC 的三边分别为下列各组值,其中不是直角三角形三边的是 ( )A.9,40,41===c b a B.2,6.1,2.1===c b a C.41,31,21===c b a D.1,54,53===c b a数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 35 -3.下列说法正确的是 ( ) A.真命题的逆命题是真命题 B.原命题是假命题,则它的逆命题也是假命题 C.命题一定有逆命题 D.定理一定有逆定理4.下列命题中,其逆命题成立的是 .(只填写序号)①同旁内角互补,两直线平行;②如果两个角是直角,那么它们相等; ③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;④如果三角形的三边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形.5.若△ABC 的三边长a ,b ,c 满足c b a c b a 201612200222++=+++,试说明△ABC 的形状.第6学时 17.2.2勾股定理的逆定理(2)【明确目标】1.进一步掌握勾股定理的逆定理,并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形,能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围；2.培养逻辑推理能力,体会“形”与“数”的结合；3.在不同条件、不同环境中反复运用定理,达到熟练使用,灵活运用的程度；4.培养数学思维以及合情推理意识,感悟勾股定理和逆定理的应用价值. 【自主学习】阅读教科书第32页到第33页的内容,思考并回答下面的问题；1.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,它也是一个定理,称这两个定理互为 .2.三角形的三边长a ,b ,c 满足ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是 ( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D.直角一角形3. △ABC 的三边长分别为5,12,13,则S △ABC = ( ) A.30 B.60 C.78 D.不能确定4. 如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC 是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 36 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生CBA 35°N M CB A 【合作探究】1.甲乙两船队从港口A 同时出发,甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行,乙船以40海里/时的速度向另一方向航行,2小时后,甲船到达C 岛,乙船到达B 岛,若C,B 两岛相距100海里,问乙船航行的方向是南偏东多少度?2.如图,在等腰直角三角形ABC 的斜边上取两点M,N,使∠MCN=45°,设AM=a ,MN=x ,BN=b ,试判定以x 、a 、b 为边长的三角形的形状.【巩固提升】1.等边三角形的高是3,那么这个三角形的面积是 ( ) A.3B. 23C.1D.22.在下列各组数中:①9,12,15; ② 32, 42, 52; ③)0(5,4,3>a a a a ④)1(2,1,122>-+a a a a ⑤7,24,25;⑥)0(,2,2222>>+-m m n m mn n m 可作直角三角形三边长的有 组 ( ) A. 6 B. 5 C.4 D.33.如图,分别以三角形三边为直径向外作三个半圆,如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积,则这个三角形为 ( ) A.直角一角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形4.如图, △ABC 中,AB=AC=5,BC=6,点M 为BC 的中点,MN ⊥AC 于点N,则MN 等于 ( ) A.56 B.59 C.512 D.516 5.小明将一幅三角板如图所示摆放在一起,发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长,若已知CD=2,则AC= .3题图 4题图 5题图数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华 - 37 -6.教科书P34习题17.2第6题. 【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？ 【达标检测】1.△ABC 在下列条件下,不是直角三角形的是 ( ) A .∠C=∠A-∠BB.∠A:∠B:∠C=1:2:3C. 222c a b -=D.5,3,2===c b a2.在△ABC 中,AC=BC=2,AB=22,则△ABC 中的最小角为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对3.下列说法中,错误的是 ( ) A.在△ABC 中,∠C=∠A-∠B,则△ABC 是直角三角形B.在△ABC 中,,∠A:∠B:∠C=1:2:3, 则△ABC 是直角三角形C.在△ABC 中,若c b c a 54,53==,则△ABC 是直角三角形 D.在△ABC 中,a :b:c=2:3:4, 则△ABC 是直角三角形4.一个三角形三边的长度之比是5:12:13,且周长是120cm,则它的面积是多少？第7学时 勾股定理逆定理习题课1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是 ( ) A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶52.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为 ( ) A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对3.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正 确的是 ( )A B C D数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 38 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生4.若三角形三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n= 时,此三角形为直角三角形.5.若一个三角形的周长为122cm,一边长为32cm,另两边之差为2,则这个三角形是 .6.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A （3，1），B （2，4），△OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论7.已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.8.已知:如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求四边形ABCD 的面积.9. (1)如图①是一个重要公式的几何解释,请你写出这个公式;(2)如图②,Rt △ABC ≌Rt △CDE,∠B=∠D=900,且B,C,D 三点共线,试证明∠ACE=900.数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华 - 39 -(3)伽菲尔德(Garfield,1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图②证明了勾股定理(1976年4月1日,发表在《新英格兰教育日志》上),现请你尝试该证明过程.10.教科书P34习题17.2第1-5、7题.第8学时 《勾股定理》复习（1）【明确目标】1.理解勾股定理的内容,已知直角三角形的两边,会运用勾股定理求第三边；2.勾股定理的应用；3.会运用勾股定理的逆定理,判断直角三角形. 【自主学习】在本章中,我们探索了直角三角形的三边关系,并在此基础上得到了勾股定理,并学习了如何利用拼图验证勾股定理,介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用.其知识结构如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方.就是说,对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a 、b,斜边为c,那么一定有：————————————.这就是勾股定理.(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系,是解决有关线段计算问题的重要依据.22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=.勾股定理的探索与验证,一般采用“构造法”.通过构造几何图形,并计算图形面积得出一个等式,从而得出或验证勾股定理. 2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2),先构造一个直角边为a,b 的直角三角形,由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS ”证明两个三角形全等,证明定理成立.数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 40 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生3.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边,求第三边；(2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点.勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,它不仅可以判定三角形是否为直角三角形,还可以判定哪一个角是直角,从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理,通过计算来证明,体现了数形结合的思想.(3)三角形的三边分别为a 、b 、c,其中c 为最大边,若222c b a =+,则三角形是直角三角形；若222c b a >+,则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22,则三角形是钝角三角形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边. 【合作探究】1.如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm,那么这个三角形的周长和面积分别是多少?2.如图,在四边形ABCD 中,∠C=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12,求证:AD ⊥BD.【巩固提升】1.如果下列各组数是三角形的三边,那么不能组成直角三角形的一组数是 ( ) A.7,24,25 B.321,421,521 C.3,4,5 D.4,721,821 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的 ( ) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍3.三个正方形的面积如右图,正方形A 的面积为 ( ) A. 6 B. 36 C. 64 D. 84.直角三角形的两直角边分别为5cm,12cm,其中斜边上的高为 ( ) A.6cm B.8.5cm C.1330cm D.1360cm 3题图数学八（下）勾股定理编著：李普洪5.如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8m处,已知旗杆原长16m,你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？【达标检测】1.两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距( )A.50cmB.100cmC.140cmD.80cm2.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当它把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为( ) A.8cm B.10cm C.12cm D.14cm3.在△ABC中,∠C＝90°,若a＝5,b＝12,则c＝.4.等腰△ABC的面积为12cm2,底上的高AD＝3cm,则它的周长为.5.等边△ABC的高为3cm,以AB为边的正方形面积为.6.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是.7.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高.生命在教育中流淌生命在学习中升华- 41 -数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 42 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生第9学时 《勾股定理》复习（2）【明确目标】1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系,熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题；2.经历反思本单元知识结构的过程,理解和领会勾股定理和逆定理；3.熟悉勾股定理的历史,进一步了解我国古代数学的伟大成就,激发爱国主义思想,培养良好的学习态度. 【自主学习】1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm ,则斜边长为 .2.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5;（2）5、12、13;（3）8、15、17; （4）4、5、6,其中能够成直角三角形的有 .3.在Rt △ABC 中, a,b,c 分别是三条边,∠B=90°, 已知a=6,b=10,则边长c= .4.一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点,那么它所爬行的最短路线的长是 . 4题图 5题图 5.如图：在一个高6米,长10米的楼梯表面铺地毯,则该地毯的长度至少 米. 6.在数轴上作出表示10的点.7.已知,如图在ΔABC 中,AB=BC=CA=2cm,AD 是边BC 上的高.求:①AD 的长；②ΔABC 的面积.8.如图,铁路上A,B 两点相距25km,C,D 为两村庄,DA ⊥AB 于A,CB ⊥AB 于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E,使得C,D 两村到E 站的距离相等,则E 站应建在离A 站多少km 处?A D EB C数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 43 -【合作探究】1.已知:如图,△ABC 中,AB ＞AC,AD 是BC 边上的高.求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC).2.如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？【巩固提升】1.已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是 .2.若一个三角形的周长12c m,一边长为3c m,其他两边之差为c m,则这个三角形是 .3.直角三角形中,以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ,82cm ,则以斜边为边长的正方形的面积为 2cm .4.如图,某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米,又与公路车站（D 点）的距离为500米,现要在公路上建一个小商店（C 点）,使之与该校A 及车站D 的距离相等,求商店与车站之间的距离.数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 44 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生5.如图，点P 是等边△ABC 内一点,PA=4,PB=3,PC=5, 1PB PB =，160PBP ︒∠=，求1BPC ∠的度数.【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？【达标检测】1.已知△ABC 中,∠A= ∠B= ∠C,则它的三条边之比为 ( ) A.1：1：1 B.1：1 ：2 C.1：2 ：3 D.1：4：12.下列各组线段中,能够组成直角三角形的是 ( ) A.6,7,8 B.5,6,7 C.4,5,6 D.3,4,53.若等边△ABC 的边长为2cm,那么△ABC 的面积为 ( ) A.3 cm 2B.2 cm 2C.3 cm 2D.4cm24.直角三角形的两直角边分别为5cm,12cm,其中斜边上的高为 ( ) A.6cm B.8.5cm C.3013cm D.6013cm 5.有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了 米.6.一座桥横跨一江,桥长12m,一般小船自桥北头出发,向正南方驶去,因水流原因到达南岸以后,发现已偏离桥南头5m,则小船实际行驶 m.7.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是 . 8.已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是 . 9.已知:如图△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,点D 在BC 上,DA ⊥CA 于A.求BD 的长.1。
17章《勾股定理导学案
探索勾股定理-（1）（第1课时）学生姓名：学习目标：会探索勾股定理，会初步利用勾股定理解决实际问题。
重难点：会用勾股定理求直角三角形的边长学习过程：一、课前预习：1、三角形按角的大小可分为：、、。
2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。
3、直角三角形的两个锐角；直角三角形中最长边是。
4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。
二、自主探究：探究一：探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边关系为。
探究二：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。
勾股定理：直角三角形 等于 ；几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， 则： ； 若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 。
三、课堂练习：1、求下图中字母所代表的正方形的面积12米处。
旗4、如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90°， AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是多少？四、课后反思第4题BC A探索勾股定理-（2）（第2课时）学生姓名：学习目标：掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。
能运用勾股定理解决一些实际问题。
重难点：勾股定理的应用。
学习过程： 一、知识回顾：1、直角三角形的勾股定理：2、求下列直角三角形的未知边的长二、自主探究：利用拼图验证勾股定理活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。
2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。
3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？分析：大正方形的面积＝ 边长的平方 ＝小正方形的面积＋ 个直角三角形的面积得： ( ＋ )2＝ 2＋ ×12ab . 化简可得：活动二：用四个全等的直角三角形拼出图2验证勾股定理。
第17章勾股定理全章导学案
第十七章勾股定理第一课时17.1勾股定理（1）学习目标：1 •了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2 .培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程: 、自主学习画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ ABC 用刻度尺量出AB 的长。
（勾3,股4,弦5）。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺 折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直 角三角形较短直角边（勾）的长是 3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）5。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗?勾股定理内容 文字表述: 几何表述:⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达 300余种。
这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
的长是那么就有再画一个两直角边为5和12的直角△ ABC 用刻度尺量 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即 ；+ ____ 2= _____ 。
（用勾、股、弦填空）AB 的长。
^2 2 3 +42 2 25，5+12.132,、交流展示例1、 已知：在^ ABC 中,/ C=9ff ，/ A 、/ B 、/ C 的对边为、b 、C 。
求证：a 2+ b 2=c 2。
分析: ⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S 4+S 小正=S 大正 即 4X- X2+〔= c 2,化简可证。
写出当a=19时，b , c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来。
3、4、5 32+42=525、12、13 52+122=1327、24、25 72+242=252 9、 40、 41 92+402=412... .. 19, b 、c192+b 2=c 2四、达标测试1.一个直角三角形，两直角边长分别为 3和4,下列说法正确的是（）2. 斜边长为25 B .三角形的周长为25 C .斜边长为5 D .三角形面积为203.一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2,另一直角边长为6,则斜边长为（）例2已知：在^ ABC 中,/ C=90，/ A 、/ B 、/ C 的对边为 求证：a 2+b 2=c 。
17章勾股定理单元整体(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题，如如何计算一个不确定的直角三角形的边长。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如使用尺子和绳子构建一个直角三角形，并验证勾股定理的正确性。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-举例：通过具体的直角三角形图形，让学生直观感受勾股定理的应用，如3-4-5勾股数在直角三角形中的体现。
2.教学难点
-难点一：勾股定理的理解深度，特别是斜边c的平方等于两条直角边a和b的平方和的概念。
-难点二：勾股数的扩展应用，如何从给定的条件中识别出勾股数，以及如何通过整数倍关系推导出新的勾股数。
5.探索勾股定理在生活中的应用，如建筑、工程等领域。
6.通过勾股定理的学习，培养逻辑维能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，特别是在几何领域中对勾股定理的应用。
2.强化学生的逻辑推理和数学思维能力，通过勾股定理的证明过程，提升学生分析问题和归纳总结的能力。
五、教学反思
今天在讲解勾股定理这一章节时，我发现学生们对直角三角形的概念已经有了初步的了解，但在理解勾股定理的本质和应用上还存在一些困难。在教学过程中，我尽量用生动的例子和实际的操作来帮助他们理解这个几何学中的重要原理。
最新课标RJ人教版 八年级数学 下册第二学期(导学案)第十七章 勾股定理 (第17章全单元 导学案)
第十七章勾股定理一、要点探究探究点1：勾股定理的认识及验证想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A ，B 和C 面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？2.右图中正方形A 、B 、C 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A 、B 、C是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1) 4.正方形A 、B 、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？思考 你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ,b ，斜边长为c ,那么________.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想. 证法 利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”要点归纳： 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2.公式变形： a b c探究点2：利用勾股定理进行计算 例1如图，在Rt △ABC 中， ∠C =90°. （1）若a =b =5,求c ; （2）若a =1,c =2,求b .ABC C （1）若a =15，b =8，则c =_______. （2）若c =13，b =12，则a =_______.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.5.求斜边长17cm 、一条直角边长15cm 的直角三角形的面积.6.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，∠B =45°，∠C =30°，AD =1，求△ABC 的周长．能力提升：7.如图，以Rt △ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，求△ABE 及阴影部分的面积.第十七章勾股定理2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL ”思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？证明:如图,在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中,∠C =∠C ’=90°, AB =A ’ B ’,AC =A ’ C ’．求证：△ABC ≌△A ’ B ’ C ’ ．证明：在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中，∠C=∠C ’=90°，根据勾股定理得BC =_______________,B ’ C ’=_________________. ∵AB=A ’ B ’，AC=A ’ C ’，∴_______=________. ∴____________≌____________ (________)．例2 如图，在平面直角坐标系中有两点A (-3,5),B (1,2)求A ,B 两点间的距离.探究点3：利用勾股定理求最短距离想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，蚂蚁怎么走最近(在以下四条路线中选择一条)？2.若已知圆柱体高为12 c m ，底面半径为3 c m ，π取3，请求出最短路线的长度.要点归纳:立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.例3 有一个圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好建在A 点的正上方点B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m ，高AB 是5 m ，π取3）?变式题 小明拿出牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A 处，并在点B 处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？例4 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？杆底部B 的距离是（ ） A .24m B .12m C m2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm ，内壁高12cm ，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm 3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？5. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm ，10cm 和6cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？能力提升6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm ，其横截面周长为36cm ，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？第十七章勾股定理...你能在数以下是在数轴上表示出13的点的作图过程，请你把它补充完整.(1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.为线段,形成如图所示的数学海螺.例1如图，数轴上点A所表示的数为a ，求a 的值.1.如图，点A 表示的实数是 （ ）2.A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴于点M ，则点M 表示的数为（ ）3.你能在数轴上画出表示17的点吗？探究点2：勾股定理与网格综合求线段长例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.再用面积法求高.的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.求四边形ABCD的面积．1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.252.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_ ______.4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．分△AFC的面积.图①图②______=_______,∴∠C____∠C′_____90°，即△ABC是__________三角形.要点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.例1(教材P32例1变式题)若△ABC的三边a,b,c满足a:b: c=3:4:5，是判断△ABC的形状.方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.例2(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=14，试说明△ABC是直角三角形.(2)若△ABC的三边a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.例3如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝14CB，试判断AF 与EF的位置关系，并说明理由.1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．3，4，6C．5，12，13 D．4，6，72.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则该三角形最长边上的高是( ）A．4 B．3 C．2.5 D．2.43.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.探究点2：勾股数要点归纳：勾股数：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.例4 下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 探究点3：互逆命题与互逆定理想一想 1.前面我们学习了两个命题，分别为：命题1，如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a 2+b 2=c 2；命题2，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么？2.两个命题的条件和结论有何联系？要点归纳：原命题、逆命题与互逆命题：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.；标注有用信息,明确已反偷渡巡逻101号艇在A 处发现其正西方向的C 处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ 上B 处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD ，然后再利用勾股定理便可求CD.例2一个零件的形状如图①所示,按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图②所示,这个零件符合要求吗？1.A、B 、C 三地的两两距离如图所示，A 地在B 地的正东方向，C 在B 地的什么方向？2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB ＝DC＝8m ，AD＝BC ＝6m ，AC ＝9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？探究点2：勾股定理及其逆定理的综合应用例3 如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13,求四边形ABCD 的面积.分析：连接AC ，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD 是直角三角形.方法总结:四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用. 变式题1 如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，已知AD=3cm ，AB=4cm ，CD=12cm ，BC=13cm ，求四边形ABCD 的面积.变式题2如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥DC ，△ADC 的面积为30 cm 2，DC ＝12 cm ，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，求△ABC 的面积.东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东______的方向.2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（）A B C D3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O 出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.4. 如图，在△ABC 中，AB=17，BC=16，BC 边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.5. 在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A 、B ．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O （如图）沿北偏东40°的方向向目标A 的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O 出发，以12海里/时的速度向着目标B 出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A 、B ．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？6. 如图，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向 点以每秒2cm 的速度移动，点Q 从点C 沿CB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求PQ 的长．。
第17章勾股定理全章导学案
17.1勾股定理学习目标：了解勾股定理的发现过程，会用面积法证明勾股定理并会计算重点：勾股定理的内容及证明。
难点：勾股定理的证明一、自学导航（阅读课本内容，完成下面内容）1、知识回顾（用学过的知识完成下列填空）①含有一个的三角形叫做直角三角形。
②已知RtA ABC中的两条直角边长分别为a、b，则S ABC二。
③已知梯形上下两底分别为a和b，高为（a+ b），则该梯形的面积为④在RtA ABC中，已知/ A=30°, / C=90°,直角边BO1,则斜边A吐二、互动冲浪（一）、勾股定理的发现1.在古代，人们将直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.2. （1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗?结论1： _______________________________A的面积B的面积C的面积左图右图（2）填表：（3 ）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.3.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么4、在RtA ABC 中、/ C=90①若a=6, b=8厕c= ;②若a=15, c=25,贝ij b=；③若c=61, b=60厕a=°（二八勾股定理的验证1 ,已知：在A ABC 中，Z C=90。
，/ A、/ B、/ C 的对边为a、b、c。
求证：a2 b2 c2证明：4SA +S小正= S 大正二根据的等量关系：由此我们得出：2.归纳定理：直角三角形两条平方.的平方和等于的如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么三、当堂检测注意：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形.1、下列说法正确的是（）A.若a、b、c 是Z A ABC 的三边，贝U a2 b2 c2B.若a、b、c 是Rt △ ABC 的三边，贝ij a2 b2 c2C.若a、b、c 是Rt △ ABC 的三边，A 90，则a2b2 c2D.若a、b、c 是Rt △ ABC 的三边，C 90，则a2b2 c22、在RtA ABC / C=90°(1)已知a=b=5,求c(2)已知a=1,c=2,求b (3)已知c=17,b=8,求a3、（1）若一个直角三角形的两直角边分别为3和4,则第三边的长为多少？（2 ）若一个直角三角形的两条边长分别为3和4,则第三边的长为多少?四、课后练习1、直角三角形的一直角边长6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为_2、 _____________________________________________________________________________ 一个直向三赢丽函k布而百"花1 万4而南三函白勺吊3、已知，如图在△ ABC中，AB=BC=CA=2，AD是边BC上的高.求①AD的长；②A ABC的面积.4、如图，已知在Z A ABC中，CDLAB于D, AO20, BO 15, D吐9。
精品：第十七章《勾股定理》导学案
八年级下数学NO ：1 主备人：银 波 审核人： 授课人： 第 周 星期 第 组 学生 预习评价： 整理评价17.1 勾股定理（1）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程：一、自主学习画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。
（勾3，股4，弦5）。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。
你是否发现2243+与25的关系，22125+和213的关系，即2243+_____25，22125+_____213，那么就有_____2+_____2=_____2。
(用勾、股、弦填空)对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述： 几何表述：二、交流展示例1、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：222c b a =+。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正即4×21× ＋﹝ ﹞2＝c 2,化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
第17章勾股定理导学案
八年级数学（下）教学案第1课时班级姓名课题：17.1勾股定理（1）课型新授【学习目标】：1 . 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
学习重点：勾股定理的内容及证明，学习难点：勾股定理的证明。
学习过程一、自学导航（课前预习）1、直角AABC的主要性质是：乙C=90。
（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若D为斜边中点，则斜边中线—（3）若匕B=30。
，则乙B的对边和斜边：2、勾股定理证明：方法一；如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用而积证明’S正方形= 方法二；已知：在AABC中，乙890°,厶A、乙B、乙C的对边为a、求证:a~ + b~=c~o分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S二右边S= ___________左边和右边面积相等，即化简可得。
二、合作交流（小组互助）思考：（1）观察图l-lo A的面积是个单位面积；B的面积是个单位面积；（图中每个小方格代表一个单位面积）（2）你能发现图1-1中三个正方形A, B, C的面积之间有什么关系吗？图1-2中的呢？由此我们可以得出什么结论？可猜想:如果直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,那么（三）展示提升（质疑点拨）1.在RtAABC 中，ZC = 90°(1)如果*3, b=4.则c=(2)如果a=6, b=8.则c=,（3）如果a二5, b二12,则c二；（4）如果a二15, b二20,则c二・2、下列说法正确的是（）A.若“、b、c,是△ABC 的三边，则＜r +b2 =c2B.若〃、b w c 是RtAABC 的三边，则«:+/r =c2第4題图C.若“、b s c,是RtAABC 的三边，匕4 = 90。
则a2+b2=c2D.若b . c是RtAABC的三边, ZC = 90° ,则a2+b2=c23、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是（）A .斜边长为25B .三角形周长为25C .斜边长为5D .三角形面积为204、如图,三个正方形中的两个的面积Sl=25, S2 = 144,则另一个的面积S3为5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为3（四）达标检测1.在RtAABC 中.ZC 二90。
人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》导学案
新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》导教学设计一、基础知识点： １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：若是直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么 a 2b 2c 2勾股定理的由来： 勾股定理也叫商高定理， 在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦． 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 “勾三，股四， 弦五 ”形式的勾股定理，此后代们进一步发现并证了然直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２ .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常有的是拼图的方法用拼图的方法考据勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②依照同一种图形的面积不相同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常有方法以下：方法一： 4SS 正方形 EFGH S 正方形 ABCD ， 4 1 ab (b a)2 c 2 ，化简可证．2方法二：DCHEG F b aAcBb aacbccbcaab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三AaD4 1ab角形的面积与小正方形面积的和为S c 22ab c 2大正方形面b2c22a 2 a b2b所 以 a 2b 2 2cEa积 为 S ( a b)c 方 法 三 ：111BbCS 梯形( a b) (a b) ，S 梯形 2S ADE S ABE2 ab c 2 ，化简得证22 2３ .勾股定理的适用范围勾股定理揭穿了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， 关于锐角三角形和钝角三角形的三边就不拥有这一特色， 所以在应用勾股定理时， 必定了然所察看的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C 90 ，则ca 2b 2 ， bc 2 a 2 ， ac 2 b 2 ②知道直角三角形一边，可得别的两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实责问题５ .勾股定理的逆定理若是三角形三边长 a ， b ， c 满足 a 2 b 2c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它经过“数转化为形 ”来确定三角形的可能形状，在运用这必然理时，可用两小边的平方和 a 2 b 2 与较长边的平方 c 2 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若a 2b2c2，时，以 a ，b， c 为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以 a ，b，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中 a ，b， c 及 a2b2c2可是一种表现形式，不能认为是唯一的，如若三角形三边长 a ，b， c 满足 a2c2 b 2，那么以 a ，b， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能够说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６ .勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a 2b2c2中， a ，b，c 为正整数时，称 a ，b， c 为一组勾股数②记住常有的勾股数能够提高解题速度，如3,4,5； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25 等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：n21,2n,n 2 1 （ n2,n 为正整数）；2n1,2n22n,2 n22n1n为正整数）m2n2 ,2mn, m2n2（ m n,m，n为正整数）（７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必定掌握直角三角形的前提条件，认识直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应想法增加辅助线（平时作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们经过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在详细计算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不能不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而获得错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实责问题或详细的几何问题中，是密不能分的一个整体．平时既要经过逆定理判断一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常CA B D见图形：C CC30°A B A D B B D A10、互抗命题的看法若是一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互抗命题。
第十七章 勾股定理(17.1第三课时导学案)
第十七章 勾股定理 课题：17.1 勾股定理（3）一、自主学习阅读教材P26-27，完成P27练习T1，T2 二、问题思考，交流展示利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
1. 你能在数轴上画出表示13的点吗？探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，分析：(1)若能画出长为13的线段，就能在数轴上画出表示13的点.(2)由勾股定理知，直角边为1的等腰Rt△，斜边为2．因此在数轴上能表示2的点．那么长为13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？在数轴上画出表示17的点？（尺规作图）2、如右图：螺旋状图形由若干个直角三角形所组成，其中①是直角边长为1的等腰直角三角形。
那么OA 1＝ ,OA 2＝ ,OA 3＝ ,OA 4＝ , OA 5＝ ,OA 6＝ ,OA 7＝ ,…,OA 14＝ , …,OA n ＝ . 三、学以致用，小试牛刀1.在数轴上画出表示22,13--的点2.已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°， CD=3，求线段AB 的长。
分析：本题是“双垂图”的计算题， “双垂图”需要掌握的知识点有：3个直5●●●●●●O1234 5●●●●●●O1234角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
四、达标测试1.填空: 在Rt △ABC ，∠C=90°， ⑴如果a=7，c=25，则b= 。
⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。
⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。
⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。
⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则a+b+c= 。
⑹如果b=8，a ：c=3：5，则c= 。
2．△ABC 中，AB=AC=25cm ，高AD=20cm,则BC= ，S △ABC = 。
第十七章 勾股定理导学案(勾股定理、勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、章末复习、教学活动 共5课时)
第十七章勾股定理17.1勾股定理第1课时勾股定理一、导学1.导入课题在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦，并探索出了勾、股、弦之间的关系（即直角三角形三边之间的关系），这种关系是怎样的关系呢？又把这种关系叫做什么呢？2.学习目标（1）了解勾股定理的文化背景，了解常见的利用拼图验证勾股定理的方法.（2）知道勾股定理的内容.3.学习重、难点重点：勾股定理内容的条件与结论.难点：勾股定理的几何验证方法.4.自学指导（1）自学内容：探究：直角三角形三边之间存在怎样的等量关系.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：结合探究提纲动手拼图，思考面积关系.（4）探究提纲：①投影家中地板砖铺成的地面图案，并框定某一个直角三角形.a.右图中正方形ABFG 、正方形ACDE 和正方形BMNC 的面积之间有何关系？b.如果设AB=a ，AC=b ，BC=c,那么由a.可得到a 2+b 2=c 2.c.猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.②根据下面拼图，验证猜想的正确性.拼成的正方形面积等于4个直角三角形面积+小正方形面积，即()22142c ab a b =⨯+-，化简得222c a b =+.二、自学结合探究提纲进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：了解学生探究中存在的问题.(2)差异指导：指导学生运用面积法找到等量关系.2.生助生：同桌之间相互研讨，帮助解决疑难.四、强化1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.五、评价1.学生的自我评价：小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生在课堂学习中的态度、合作探究的成绩和不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思).本节课通过向学生介绍勾股定理的悠久历史，让学生了解古代劳动人民在数学方面的成就，感受数学文化是人类文化的重要组成部分.本节课教学应把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流；另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（60分）1.(15分)在Rt△ABC中，两直角边长分别为32.(15分)在Rt△ABC，一条直角边的长为2，则另一条直角边的长为1.3.(10分)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b=8.4.(20分)在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)已知c=25，b=15，求a；(2)已知，∠A=60°，求b，c.()()222120260,90,2,22a A C c b a b c b c b ==∠=︒∠=︒∴=+==== 解：；，代入得：二、综合运用(20分)5.已知直角三角形的两边长分别为3，2，求另一条边长.解：当斜边的长为3时，另一条边长==；当两条直角边长分别为3、2时，斜边长2232=+=.三、拓展延伸(20分)6.如图，已知长方形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于E ，AD=8，AB=4，求DE 的长.解：∵∠A=∠C ′=∠C=90°,∠AEB=∠C ′ED,AB=C ′D,∴△AEB ≌△C ′ED.∴AE=C ′E,∴C ′E=AD-ED=8-ED.又在Rt EC D ' 中，222ED C E C D ='+'∴()222845ED ED ED =-+=，解得.17.1勾股定理第2课时勾股定理的应用一、新课导入1.导入课题前面我们学习了勾股定理的意义，它具有广泛的实际应用，下面我们试用它来解决几个问题.2.学习目标（1）能应用勾股定理计算直角三角形的边长.（2）能应用勾股定理解决简单的实际问题.3.学习重、难点重点：运用勾股定理求直角三角形的边长.难点：从实际问题中构造直角三角形解决生产、生活中的有关问题.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P25例1.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：思考木板通过门框的方式有几种，并对照数据分析木板能否通过.（4）自学参考提纲：①因为木板的宽为2.2m，长为3m，都大于1m，所以木板横着不能从门框内通过.因为木板的宽为2.2m，长为3m，都大于2m，所以木板竖着也不能从门框内通过.所以试试斜着能否通过，对角线AC是斜着通过的最大长度，因此必须先求出AC长，再与木板的宽比较.②在Rt△ABC中，根据勾股定理：AC2=AB2+BC2=12+22=5，AC=≈.因此 2.24因为AC≈2.24(>)2.2，所以木板能斜着从门框内通过.2.自学：学生结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否分析出木板穿过门框的途径有哪些.②差异指导：指导寻找木板通过门框的途径；木板斜着通过需要怎样斜放时间隙是最大的.（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.4.强化（1）归纳解题思路：把实际问题转化成长方形ABCD 的问题，再把长方形ABCD 转化成Rt △ABC ，运用勾股定理计算，求解.（2）练习：在上述问题中，若薄木板长3m ，宽1.5m ，木板能否从门框内通过？为什么？1.自学指导（1）自学内容：教材P 25例2.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：思考图中的实际问题实质是直角三角形的问题，所以应从直角三角形来分析解决问题的办法.（4）自学提纲：①由梯子的原来位置构成的Rt △AOB ，可求得OB=1.②由梯子顶端下滑至C 的位置时，又构成Rt △COD ，且CD 长不变，OC=1.9，由勾股定理可求得OD ≈1.77.③可以看出，BD=OD-OB ，求BD ，必先求出OB 、OD ，在Rt △AOB 中，222222.6 2.41.OB AB OA OB =-=-=，在Rt △COD 中，()222222.6 2.40.5 1.77OD CD OC OD =-=--≈，.BD=OD-OB ≈0.77.梯子的顶端A 沿墙下滑0.5米，梯子的底端B 外移0.77米.2.自学：学生结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否理解题意，梯子位置变化前后，什么不变，什么在变，学生是否清楚.②差异指导：由线段和差关系如何表示BD ；梯子与墙面、地面构成什么图形.（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.4.强化：学会将实际问题转化为数学问题，建立几何模型求解.1.自学指导（1）自学内容：教材P26到P27练习以上的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：动手尝试作直角三角形中，由已知两边长去求第三边长.（4）自学提纲：①教材P26思考中的证明：先用勾股定理证得BC=B′C′，再用SSS公理判定△ABC≌△A′B′C′.的线段是直角边为正整数3，2的直角三角形的斜边长.③在数轴上画出表示13的点，方法如下：在数轴上找到点A，使OA=3，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，OB为半径画弧与数轴的正半轴的交点C，点C.④完成P27练习题.2.自学：请同学们结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生看书、动手中存在的问题障碍.②差异指导：指导学生分析作图方法及依据.(2)生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化(1)尺规作图方法.(2)总结在数轴上作出表示无理数的点的步骤.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：小组代表介绍自己在学习中的探索方法、收获和疑惑..2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生课堂学习的积极态度、成果及不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时的教学内容是用勾股定理解决简单的实际问题，运用到的思想是数形结合的思想.在实际生活中，很多问题需要用到勾股定理去解决.因此在解决此类问题时，先要将它转化为数学问题，就本课时而言，关键是要通过构造直角三角形来完成，所以教师在教学时，应注意教学生如何构造直角三角形，找出已知的两个量，并让学生动手画出图形，教师再给予适时点拨.此处，教师还应关注学生所用语句的规范性，尽量让学生用数学语言来描述.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（50分）1.(20分)求出下列直角三角形中未知的边.答案：AC=8AB=17BC=1,AC=3BC=2,AC=22.(10分)直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8，则以斜边为边长的正方形的面积为15.3.(10分)如图，池塘边有两点A,B ，点C 是与BA 方向成直角的AC 方向上的一点，现测得CB=60m,AC=20m.求A ，B 两点间的距离(结果取整数).()2222602040257AB BC AC m =-=-=≈解：第3题图第4题图4.(10分)如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4)，求这两点间的距离.22225441AB OA OB =+=+=解：二、综合运用（20分）5.(10分)如图，∠BAC=90°,AD ⊥BC,BC=4cm,∠B=60°,求AD,BD 的长.解：∵在Rt △ABC 中∠B=60°，∴AB=12BC=2(cm).在Rt △ABD 中，∠ADB=90°,∠B=60,∴BD=12AB=1(cm),223AD AB BD =-=6.(10分)在数轴上作出表示20的点.点A 的点.三、拓展延伸（30分）7.(15分)印度数学家什迦罗(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可见，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；诸君帮忙算一算，湖水如何知深浅？”请用学过的知识回答这个问题.(如图)解：设水深为h 尺.由题意得：AC=12,BC=2,OC=h,∴OB=OA=OC+AC=h+12.由勾股定理得：OB 2=OC 2+BC 2,即(h+12)2=h 2+22,解得h=154.∴水深154尺8.(15分)有5个边长为1的正方形，排列成如下图形式，请把它适当分割后拼接成一个大正方形.(用虚线标示分割线，并简要写出分割拼接法).将五个小正方形按图1中虚线剪切为四个全等的直角三角形和一个小正方形，按图2的摆法拼接，则可得到一个面积为5的大正方形.17.2勾股定理的逆定理一、新课导入1.课题导入前面我们学过命题1:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.反过来，在一个以a、b、c为边长的三角形中，如果a2+b2=c2,那么这个三角形一定是直角三角形吗？2.学习目标(1)了解命题、逆命题等概念，并会写一个命题的逆命题.(2)会判断一个命题的逆命题的真假，知道定理与逆定理的关系.(3)了解勾股定理的逆定理的条件与结论与原命题的条件与结论的关系.(4)学会运用勾股定理的逆定理判别一个三角形是不是直角三角形.3.学习重、难点重点：会分清一个命题的题设和结论，正确把握勾股定理与其逆定理的关系.难点：勾股定理的逆定理的应用.二、分层学习1.自学指导(1)自学内容：P31倒数第3行以上内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：认真阅读课文内容，重点、疑点做上记号，并与同桌交流.(4)自学参考提纲：①你通过尝试课文中介绍的绳子打结后围成的三角形的试验，并不断变换三角形各边的结数，你能得出什么结论吗？②如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么以a、b、c为边的三角形是直角三角形.从而得出命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.③前面我们学过的命题1和命题2的题设与结论是什么关系？我们把像命题1和命题2这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题.④写出下列命题的逆命题.a.内错角相等，两直线平行.b.对顶角相等.c.若a=b，则|a|=|b|.⑤一个真命题的逆命题一定是真命题吗？试举例说明.2.自学：同学们结合自学提纲进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：深入课堂了解学生自学中的疑点及存在的问题.②差异指导：对学生中在题设与结论分析不清的地方进行点拨引导.(2)生助生：小组内相互交流帮助.4.强化(1)互逆命题的意义.(2)原命题成立，它的逆命题不一定成立.1.自学指导(1)自学内容：P32的内容.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：阅读教材内容，体会课本中证明命题2的方法和依据，并与同桌交流疑点.(4)自学参考提纲：①在探究中证明△ABC≌△A′B′C′运用了判定两个三角形全等的哪种方法？②在△A′B′C′中，为何A′B′=c?③∠C=90°是根据什么理由得到的？④具有什么特征的三个数是勾股数，举一、二例交流一下.⑤判断以下列三条线长为边的三角形是不是直角三角形？13,,4,5,6；；.22答案：是；是；不是.2.自学：同学们可结合自学指导进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生自学中的疑点和难点，特别是看能否正确运用逆定理来找对应的直角.②差异指导：指导学生在运用逆定理时，先找最大(边)数，再计算出较小两个数的平方和与最大数的平方，然后再进行比较.(2)生助生：同桌之间，小组之间相互交流研讨.4.强化（1）判别一个三角形是不是直角三角形的方法：①由角判别；②由边来判别.(2)三个数为勾股数必须满足的两个条件：①勾股数必须是正整数；②两个数的平方和等于第三个数的平方.(3)强调本节课学习中注意的问题及运用的思想方法.1.自学指导(1)自学内容：P 33例2.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：阅读时，仔细领会题意和作图，体会例题中如何将实际问题转化为数学问题.(4)自学参考提纲：①在平面内，对于某一个确定的点O ，它所在的方位是上北，下南，左西，右东(填“东”、“南”、“西”、“北”).②“东北方向”指的是北偏东45度，“西南方向”是指南偏西45度.③由例题2的题意可知：一个半小时后，“远航”号离港口的距离PQ=24海里，“海天”号离港口的距离PR=18海里，“远航”号与“海天”号之间的距离QR=30海里；因为()()()222241830+=，所以∠RPQ=90°,于是有：PR 方向是北偏西45度，即“海天”号沿西北方向航行.④A 、B 、C 三地的两两距离如图所示，A 地在B 地的正东方向，那么C 地在B 地的什么方向？为什么？解：∵52+122=132,即AB 2+BC 2=AC 2,∴△ABC 为直角三角形.∴C 地在B 地的正北方向.2.自学：同学们可结合自学指导进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对方位图的理解，了解存在的困难在哪里？②差异指导：图形中反映的方位确定;寻求PR 、PQ 、QR 之间满足的关系的引导.(2)生助生：小组内相互交流帮助.4.强化(1)结合画图，认识方位角.(2)点评例题的解题思路、方法及易混易错点.(3)总结勾股定理的逆定理在解决实际问题的作用及表达方法.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学习方法，收获及困惑.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生在课堂学习中的态度、方法、收获及存在的不足.(2)纸笔评价：课堂评价检测3.教师的自我评价（教学反思）.本课时的教学目标是在掌握了勾股定理的基础上，让学生从三边的关系来判定一个三角形是否为直角三角形，即“勾股定理的逆定理.”让学生了解互逆命题，互逆定理的概念以及它们之间的联系与区别，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.让学生通过合作、交流、反思感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索，合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)下列各组数能否作为一个直角三角形的三边长?为什么？(1)5，12，13(2)6，8，10(3)15，20，25答案：(1)√(2)√(3)√2.(10分)写出下列命题的逆命题，并断定其逆命题的真假性.(1)如果两个角是直角，那么它们相等.(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(3)如果2=,那么a≥0.解：(1)如果两个角相等，那么这两个角是直角.假命题.(2)在角的内部，角的平分线上的点到两边的距离相等.真命题.(3)如果a≥0，那么()2a=.真命题.3.(10分)△ABC的三边长之比为1∶1∶2，那么△ABC是等腰直角三角形.4.(10分)小明向东走80m后，沿另一个方向又走了60m,再沿第三个方向走100m刚好回到原地，则小明向东走80m后是向正北或正南方向走的.5.(20分)如果m 是表示大于1的整数，a=2m ，b=m 2-1,c=m 2+1,那么以a 、b 、c 为边长的三角形是直角三角形吗?为什么？解：是直角三角形.∵a 2+b 2=4m 2+m 4-2m 2+1=m 4+2m 2+1=c 2,又∵m 为大于1的整数，∴a,b ，c 是正整数，以a 、b 、c 为边长的三角形是直角三角形.6.(10分)若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC 是(D)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形二、综合运用（15分）7.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足224422a cb a bc +=+,试判断△ABC 的形状.解：由题意得：(a+b)(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，∴a-b=0或a 2+b 2-c 2=0.当a=b 时,△ABC 为等腰三角形;当a ≠b 时，△ABC 为直角三角形.三、拓展延伸（15分）8.一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3,AD=4,BC=12,CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？解：如图，连接BD.在Rt △ABD 中，2222345BD AB AD =+=+=.在△BCD 中，BD 2+BC 2=52+122=132=CD 2.∴△BCD 为直角三角形，∠DBC=90°.∴()21111····4351236.2222Rt ABD Rt BCD ABCD S S S AD AB BD BC dm =+=+=⨯⨯+⨯⨯= 四边形勾股定理章末复习一、复习导入1.导入课题前面我们学习了勾股定理及其逆定理，大家对定理的内容及应用掌握得如何呢？这节课我们一起来作一个回顾总结，检阅学习成果.2.复习目标（1）复习与回顾本章的重要知识点和知识结构.（2）总结本章的重要思想方法及其应用.3.复习重、难点重点：勾股定理及其逆定理的用途和相互关系.难点：勾股定理及逆定理的综合运用.二、分层复习1.复习指导（1）复习内容：P22到P39.（2）复习时间：8分钟.（3）复习要：通过阅读课本和笔记梳理本章的重要知识点及典型应用.（4）复习参考提纲：①如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有a2+b2=c2.②如果三角形的三边长a，b，c满足关系式a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.③如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n是不小于1的整数.④两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题称为互逆命题.原命题正确，逆命题不一定正确.⑤一个命题一定有逆命题，一个定理的逆命题不一定正确，所以它不一定有逆定理(填“一定”或“不一定”).2.自主复习：学生可参考复习参考提纲进行自学.3.互助复习（1）师助生：①明了学情：了解学生对本章重要知识点的整理和识记是否完整，知识应用是否熟练.②差异指导：对定理的应用方面进行指导总结，共性问题集中指导，个性问题个别指导.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化：（1）勾股定理及其逆定理的内容.（2）强调本章的数学思想方法：①建立数学模型；②定理求边、逆定理求直角.1.复习指导（1）复习内容：典例剖析，疑点跟踪.（2）复习时间：15分钟.（3）复习要求：完成所给例题，也可查阅资料或和其他同学研讨.（4）复习参考提纲：【例1】下列各组数中，不是勾股数的是(C)A.4,3,5B.5,12,13C.10,15,18D.8,15,17【例2】如图直角三角形中，边长x等于5的三角形有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个【例3】一束光线从y轴上点A(0，1)出发，经过x轴上点C反射后经过点B(3，3)，则光线从A点到B点经过的路线长是5.【例4】我国古代数学家赵爽的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么(a＋b)2的值是25.【例5】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点.求证：CE⊥BE.证明：如图，过点C作CF⊥AB交AB于F.∵CF⊥AB,AB∥CD,∠A=90°,∴四边形ADCF为矩形.∴AF=DC,AD=CF,∴FB=AB-AF=2-1=1.==.∴12ED AE AD ===.在Rt △CDE 中，21CE ===，同理：.在△BCE 中，222369CE BE BC +=+==.∴△BCE 为直角三角形，∠CEB=90°,∴CE ⊥BE.【例6】如图，一个圆柱形油罐，要从A 点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B 点，请你算一算梯子最短需多少米？(已知油罐的底面周长是12米，高是5米)解：如图，将油罐侧面展开，此时13AB ==(米).2.自主复习：学生尝试完成复习参考提纲中的例题.3.互助复习：（1）师助生：①明了学情：注意学生在自主学习解答例题时，存在的障碍和问题在哪里？②差异指导：例5中证CE ⊥BE 的思路指导：勾股定理的逆定理；例6中引导学生将曲面转化成平面考虑.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化（1）点两位学生口答例1、例2的解答依据和过程、结果.点三位学生板演例3、例4、例5.（2）点评其中的易错点及思想方法.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生复习的方法、收获和存在的问题.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本节课是复习课，师生共同完成本章知识框图的建立，教师帮助学生进行知识梳理，让学生更好地回顾本章的知识点，理解本章的知识体系.牢牢抓住勾股定理及其逆定理，并会运用这两个定理解决实际问题.教师精选部分例题，让学生试着解答；教师再予以点拨，以达到复习效果.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，为求出湖两岸的A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使△ABC 恰好为直角三角形，且∠B=90°，再测得AC 长160米，BC 长128米，则A 、B 之间的距离为(A )A.96米B.100米C.86米D.90米第1题图第3题图2.(10分)下列命题中，逆命题仍然成立的是(B)A.全等三角形的面积相等B.到角两边距离相等的点在这个角的平分线上C.同一个角的余角相等D.等腰三角形是轴对称图形3.(10分)如图，正方形的面积是74.4.(10分)有长为3cm,6cm,9cm,12cm,15cm 的五根木棒，要从中选出3根，搭成直角三角形，则选出的3根木棒的长应分别为9cm 、12cm 、15cm.5.(15分)在如图所示的数轴上作出表示-10的点.点A 即为表示-10的点.6.(15分)如图，身高1.6m 的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m ，那么这棵树高大约为多少？(结果精确到0.1m ，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高)解：由题意知：DE=1.6,AD=6,在△ACD 中，∠A=30°,∠C=60°，∴∠ADC=90°，2222.AC CD AC CD AD==+,即()22226CD CD =+,解得CD=,∴这棵树高大约为：CE=CD+DE=≈5.1(m).二、综合运用(15分)7.如图所示，一只蚂蚁在A 处往东爬8格后，又向北爬2格，遇到干扰后又向西爬3格，再折向北爬6格，这时发现B 处有食物，于是便又向东爬1格到B 处找到食物，如果图中每一个方格都是边长为1cm 的正方形，问此时蚂蚁爬行的路程是多少？如果蚂蚁从A 处沿直线AB 到达B 处，则可少爬多远的路程？解：此时蚂蚁爬行的路程是：8+2+3+6+1=20(cm)，若蚂蚁从A 处沿直线AB 到达B 处;设由A 向东6格处的点为C(如图所示)，易知△ABC 为直角三角形，则10AB ==(cm),20-10=10(cm).则可少爬10cm.三、拓展延伸(15分)8.如图，已知B 、C 两个乡镇相距25千米，有一个自然保护区A 与B 相距15千米，A 与C 相距20千米，以点A 为圆心，10千米为半径是自然保护区的范围，现在要在B 、C 两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：这条公路是否会穿过自然保护区？试通过计算加以说明.解：如图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D.在△ABC 中，AB 2+AC 2=152+202=252=BC 2.∴△ABC 为直角三角形，∠BAC=90°.又∵AB ·AC=AD ·BC.∴()1520121025AD km km ⨯==>.∴这条公路不会穿过自然保护区.数学活动——勾股定理的应用及其证明方法的探究一、导学1.活动导入给你一根较长的绳子和刻度尺，你能测量学校旗杆的高度吗？给你4个全等的直角三角形，你能拼出不同课本介绍的其他图案，并能证明勾股定理吗？本节活动课，我们就这两个问题一起探讨，看能否攻克这两个问题.2.活动目标（1）通过测旗杆的高度，培养学生动手测量能力，亲身感受学习数学知识是为实践服务的意识.（2）通过拼图活动，培养学生的动手操作能力和空间想象能力，发展形象思维.同时了解勾股定理的历史，感受数学文化，增强对我国悠久历史文化的热爱情感.3.活动重、难点重点：旗杆的高度测量以及用4张全等的直角三角形纸片，拼出一些与教科书上不同的图案，并用自己拼出的图案证明勾股定理.难点：寻求应用勾股定理测量旗杆的高度和利用拼图验证勾股定理的方法.二、活动过程活动1测量旗杆的高度1.活动指导（1）活动内容：P36活动1：测量旗杆的高度.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①回忆勾股定理的内容及功能：其内容为：如果直角三角形的两条直角边长为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，其功能为求直角三角形的三边长.②测旗杆的高度方案的原理是构造直角三角形，利用勾股定理，求出旗杆的高度.③如图，将绳子拉直并拉到如图1所示的位置，先测BC之长为a米，再将绳子AB放下并测得其多出的一段长为h,则设AC=x,可列式为22 222(),AC=.2a hx h x ah-+=+则旗杆的高度米2.自学：学生参考活动指导进行活动性操作学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：老师随时出现在小组活动中间，对测量的方法和结果作明确了解.。
八年级下(初二下)数学第17章勾股定理 导学案
八年级数学（下）教学案 第1课时班级_______ 姓名______课题：17.1勾股定理 （1） 课型:新授【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程一、自学导航（课前预习） 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若D 为斜边中点，则斜边中线（3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：2、勾股定理证明： 方法一；如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。
S 正方形＝_______________＝____________________方法二； 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=______________右边S=_______________ 左边和右边面积相等，即化简可得。
二、合作交流（小组互助）思考：A Bb b b（图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ 由此我们可以得出什么结论？可猜想：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么__________________ _____________________________________________________________________。
（三）展示提升（质疑点拨） 1.在Rt △ABC 中，90C ∠=︒ ，（1）如果a=3，b=4，则c=________； （2）如果a=6，b=8，则c=________； （3）如果a=5，b=12，则c=________； (4) 如果a=15，b=20，则c=________. 2、下列说法正确的是（ ）A.若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则222a b c += B.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则222a b c +=C.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90A ∠=︒， 则22a b +D.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90C ∠=︒ ，则222a b c +=3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20 4、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________． 5、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为 。
八年级数学下册17勾股定理复习导学案新人教版
第17章勾股定理一、知识梳理1。
勾股定理：直角三角形中的平方和等于的平方．即：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么．2。
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形．3。
如果一个命题的题设和结论与另一个命题的题设正好相反，那么把这样的两个命题叫做 ,如果把其中叫做原命题,另一个叫做它的_________.4。
一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个__________,我们称这两个定理为 .5、应用勾股定理和它的逆定理来解决实际问题,在应用定理时,应注意：（1）没有图的要按题意画好图并标上字母；(2)不要用错定理（3）求有关线段长问题,通常要引入未知数,根据有关的定理建立方程，从而解决问题;(4）空间问题要通过它的展开图转化为平面图形来解决二、题型、技巧归纳考点一勾股定理及逆定理例1、下列说法正确的是（）A。
若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边,则a2＋b2＝c2C。
若 a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2＋b2＝c2D。
若 a、b、c是Rt△ABC的三边,∠C=90° ，则a2＋b2＝c2例2、(1）已知三角形的三边长为 9 ,12 ,15 ,则这个三角形的最大角是＿＿度；(2)△ABC的三边长为 9 ,40 ,41 ,则△ABC的面积为＿＿＿＿.考点二互逆命题【例3】下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若a＝b，则|a｜＝|b｜ B．全等三角形的周长相等C．若a＝0，则ab＝0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形考点三勾股定理的应用【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点,请用学过的知识说明:AB2－AP2=PB·PC。
三、随堂检测1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或252．下列各组数中，以a,b，c为边的三角形不是Rt△的是（）A、a=1。
第十七章勾股定理复习导学案
一、第十七章: 《勾股定理》复习学案勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为, 斜边为, 那么。
直角三角形 b c a2+b2=c2 (数)（形） aa1、变形为: a= ；b= 。
设直角三角形的斜边为c, 两直角边为a和b, 求:（1）已知a=6, b=8, 则c= ;(2) 已知a=3, c=8, 则b= ;(3)已知b=4, c=8, 则a= ;二、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a, b, c满足 , 那么这个三角形是 . 2（1）已知三条线段长分别是8, 15, 17, 那么这三条线段能围成一个（）A.直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定（2）下列各组数不是股数的是（）A.5.12.13B.3.4.5C.8、6.17D.15.20、25三、勾股定理与正方形面积3.已知图中所有四边形都是正方形, 且A与C.B与D所成的角都是直角, 其最大正方形的边长为5, 则A, B, C, D四个小正方形的面积之和为4、是一株美丽勾股树, 其四边形正方形, ．若正方形A, B, C, D边长分别是3, 5, 2, 3, 则最大正方形E面积是5.在直线l上依次摆放着七个正方形(如上图所示). 已知斜放置的三个正方形的面积分别是1.2.3, 正放置的四个正方形的面积依次是S1.S2.S3.S4, 则S1＋S2＋S3＋S4＝_______.四、木板能否通过门框6, 如图, 长4m, 宽3m薄木板（能或不能）从门内通过.7、门高2米, 宽1米, 现有为3米, 宽为2.2米薄木板能否从门框内通过？为什么？五、梯子移动问题8、一个5米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上, 这时OB=3米, 如果底端B沿直线OB向右滑动1米到点D, 同时顶端A沿直线向下滑动到点C（如图所示）. 求AC.9、如图, 一个2.5米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上, 这时梯子顶端A距离墙角O的高度为2米.①求底端B距墙角O多少米？②如果顶端A沿角下滑0.5米至C, 底端也滑动0.5米吗？六、折断问题10、如图, 一棵大树在离地面3m处折断, 树顶端离树底部4m, 则这棵树折断之前的高度是.11.如图, 一木杆在离地某处断裂, 木杆顶部落在离木杆底部8米处, 已知木杆原长16米, 求木杆断裂处离地面多少米？七、飞鸟问题12.如图, 有两棵树, 一棵高10m, 另一棵高4m, 两树相距8m. 一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖, 那么这只小鸟至少要飞行m13.有两棵树, 如图, 一颗高13米, 另一颗高8米, 两树相距12米, 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一颗树的树梢, 至少飞了米。
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17.1勾股定理学习目标：了解勾股定理的发现过程，会用面积法证明勾股定理并会计算 重点：勾股定理的内容及证明。
难点：勾股定理的证明一、 自学导航（阅读课本内容，完成下面内容）1、知识回顾（用学过的知识完成下列填空）① 含有一个 ______________ 的三角形叫做直角三角形。
② 已知Rt △ ABC 中的两条直角边长分别为a 、b ,则 S ABC = __________ 。
③ 已知梯形上下两底分别为a 和b ,高为（a + b ）,则该梯形的面积为 ______________ ④ 在Rt △ ABC 中,已知/ A = 30°, / C = 90°,直角边BO 1,则斜边A 吐 __________ 二、 互动冲浪（一）、勾股定理的发现1. 在古代，人们将直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.2. （1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗?结论1: ______________________________（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流.3. 猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为 a 、b ,斜边为c ,那么 ______________ 4、 在 Rt △ ABC 中，/ C=90① ________________________ 若 a=6, b=8,则 c= ___________ ;②若 a=15, c=25,则 b= _______________ ; ③若 c=61, b=60,则 a= _____ 。
（二八勾股定理的验证1. 已知：在厶 ABC 中, Z C=90°，/ A 、/ B 、/ C 的对边为 a 、b 、c 。
求证：a 2 b 2 c 2 证明：4S A +S 小正= S根据的等量关系： 由此我们得出：i1A 的面 积B 的面 积C 的面 积左图右图大正=（2）观察下面两幅图:2. _____________________________ 归纳定理：直角三角形两条的平方和等于的平方.如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么________________三、当堂检测注意：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形.1、下列说法正确的是( )A. 若a、b、c是厶ABC的三边，贝U a2 b2 c2B. 若a、b、c 是Rt △ ABC的三边，则a2 b2 c2C. 若a、b、c 是Rt △ ABC的三边， A 90，则a2b2c2D. 若a、b、c 是Rt △ ABC的三边， C 90 ，则a2b2c22、在Rt△ ABC / C=90°(1)已知a=b=5,求c (2)已知a=1,c=2,求b (3)已知c=17,b=8,求a3、(1)若一个直角三角形的两直角边分别为3和4,则第三边的长为多少？(2 )若一个直角三角形的两条边长分别为3和4,则第三边的长为多少?四、课后练习1、直角三角形的一直角边长6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为_2、______________________________________________________________________ 一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的为 ______________________3、已知，如图在△ ABC中, AB=BC=CA=2，AD是边BC上的高.求①AD的长；②厶ABC的面积.4、如图，已知在厶ABC中, CDLAB于D, AO20, BO 15, D吐9。
(1)求DC的长。
(2)求AB的长。
C5、已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。
17.1勾股定理（2）学习目标：1 •会用勾股定理解决简单的实际问题。
2 •树立数形结合的思想。
3•经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。
4 •培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。
重点：勾股定理的应用。
难点：实际问题向数学问题的转化。
一.预习新知1. ①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？②直角三角形中哪条边最长？2. 在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长.问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？（2）一个门框的尺寸如图1所示.①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？课堂展示例：如图2, 一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO 的距离为2.5米.①求梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）.OO BD B D图2O图1三•随堂练习1.书上P26练习1、22 •小明和爸爸妈妈^一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是____________ 米'3.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 3米, 则这两株树之间的垂直距离是_________ 米，水平距离是米。
C四.课堂检测1.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是_________________________ 。
2 .如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？B3 .如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点, 在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米, / B=60°,则江面的宽度为____________________________ 。
4.有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为________________米。
5.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、两点，PQ=16厘米，且RP丄PQ贝U RQ ______ 厘米。
6.如图3,分别以Rt △ ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S「勺、S3表示，容易得出S「S2、S3之间有的关系式变式：如图4.图3 图4原因是17.1勾股定理（3）学习目标：1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数。
2、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力一、忆一忆勾股定理的内容___________________________________________________________ 二、互动冲浪（一）、探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？分析：（1）如果能画出长为______ 的线段，就能在数轴上画出表示413的点（2）由勾股定理知，长为42的线段是两条直角边都为_________ 的直角三角形的斜边。
长为,13的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗?由勾股定理，可以发现，长为吊的线段是直角边为正整数___________ 、_______ 的直角三角形的斜边。
作法：在数轴上找到点A，使OA=_______ ，作直线I垂直于OA在I上取点B，使AB= ____ ，以原点0为圆心，以0B为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示.13的点。
2. 在数轴上画出表示.17的点？（尺规作图）（二八想一想1. 如图：螺旋状图形是由若干个直角三角形所组成的，其中①是直角边长为1的等腰直角三角形。
那么0A= 0A=0A= , 0A= , 0A= , 0A= , 0A= , …,0A4 =一…,0A= . 思考：利用课本上的方法能找出表示.6和' 280的点吗？我的回答是：、当堂检测1 •已知直角三角形中30°角所对的直角边长是23 cm则另一条直角边的长是A. 4cmB. 4 .. 3 cmC. 6cmD. 6,3 cm2. ^ ABC 中，A吐15, AC= 13,高AD= 12,则厶ABC的周长为( )A . 42B . 32C . 42 或32D . 37 或333. 一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（）A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米4. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路” •他们仅仅少走了________ 步路（假设2步为1 米），却踩伤了花草.5. __________________________________________________________ 等腰△ ABC勺腰长A吐10cm底BC为16cm则底边上的高为____________________ ，面积为.原因是17.2 勾股定理的逆定理（1）学习目标：1 •体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2 •理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
学习重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。
学习难点：勾股定理的逆定理的证明。
一、互动冲浪（一）、合作探究1、怎样判定一个三角形是直角三角形？2. 画厶ABC 使a= 3, b= 4, c= 5,量出/ C的度数；若改a= 2.5 , b= 6, c= 6.5，再量出/ C的度数.猜想：如果三角形的三边长a、b、c,满足a2 b2 c2，那么这个三角形是______ 三角形这个猜想的题设是：________________________ ___________ ___________________ 结论是：__________________________________________________________________ 该猜想的—.'3、如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做命题，若把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的________________ 命题.譬如：①原命题：若a= b,则a2= b2；•逆命题：______ . ________ （正确吗？答 _）②原命题：对顶角相等；逆命题：___________ . ___________ （正确吗？答）由此可见：原命题正确，它的逆命可能命题，不正确的命题叫假命题验证猜想•…已知：△ ABC中, BC + AC= AW;求证：/ C= 90° .证明：作Rt△ A B' C',使/ C = 90B' C'= BO a, A ' C = AO b.通过证明，我发现勾股定理的逆命题是___________ 的，它也是一个__________ ,我们把它叫做勾股定理的_____________ . __________（二八回顾与归纳1、勾股定理是直角三角形的________ 定理；勾股定理的逆定理是直角三角形的定理.2、已知三角形的三边长，判断该三角形是不是直角三角形的步骤是：①先算两条短边的_____________ 再算最长边的___________ ；②把__________________________________ 作比较；③作出_____ 」3、勾股数的特征：①是______ 个_________ 数；②满足条件___________________ . _______________二、当堂检测1、任何一个命题都有_____________ ，但任何一个定理未必都有_________________2、“两直线平行，内错角相等。