定积分练习题
定积分练习题(打印版)
定积分练习题（打印版）一、基础计算题1. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
2. 计算定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。
3. 计算定积分 \(\int_{0}^{2} (3x - 2) dx\)。
二、换元积分题1. 计算定积分 \(\int e^{2x} dx\)，其中上下限为 \(0\) 到 \(\ln 2\)。
2. 计算定积分 \(\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx\)，其中上下限为 \(0\) 到 \(1\)。
三、分部积分题1. 计算定积分 \(\int x e^x dx\)，上下限为 \(0\) 到 \(1\)。
2. 计算定积分 \(\int \sin x \cos x dx\)，上下限为 \(0\) 到\(\pi\)。
四、几何应用题1. 利用定积分计算圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 在第一象限内围成的面积。
2. 利用定积分计算抛物线 \(y = x^2\) 与直线 \(y = 4\) 所围成的面积。
五、物理应用题1. 假设一物体的加速度 \(a(t) = 2t\)，计算从 \(0\) 到 \(1\) 秒内物体的位移。
2. 假设一物体的力 \(F(x) = 3x + 1\)，计算从 \(0\) 到 \(2\) 米内物体所做的功。
六、综合题1. 利用定积分计算函数 \(y = \sqrt{x}\) 与 \(x\) 轴，以及直线\(x = 1\) 所围成的面积。
2. 利用定积分计算函数 \(y = \ln x\) 与 \(x\) 轴，以及直线 \(x = e\) 所围成的面积。
七、挑战题1. 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx\)。
2. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x} dx\)。
答案提示：- 对于基础计算题，可以直接应用定积分的基本公式进行计算。
专升本定积分练习题
专升本定积分练习题### 专升本定积分练习题#### 一、基础练习题1. 题目一：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
- 解答：首先找出原函数，即 \(F(x) = \frac{x^3}{3}\)。
然后计算 \(F(1) - F(0)\) 得到 \(\frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}\)。
2. 题目二：求定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。
- 解答：原函数是 \(F(x) = \ln|x|\)。
计算 \(F(2) - F(1)\) 得到 \(\ln 2 - \ln 1 = \ln 2\)。
3. 题目三：计算定积分 \(\int_{0}^{1} e^x dx\)。
- 解答：原函数为 \(F(x) = e^x\)。
计算 \(F(1) - F(0)\) 得到\(e - 1\)。
#### 二、中等难度练习题4. 题目四：求定积分 \(\int_{0}^{2\pi} \sin(x) dx\)。
- 解答：原函数为 \(F(x) = -\cos(x)\)。
计算 \(F(2\pi) -F(0)\) 得到 \(-1 - (-1) = 0\)。
5. 题目五：计算定积分 \(\int_{0}^{1} (2x + 1) dx\)。
- 解答：原函数为 \(F(x) = x^2 + x\)。
计算 \(F(1) - F(0)\) 得到 \(1 + 1 - 0 = 2\)。
6. 题目六：求定积分 \(\int_{-1}^{1} x^3 dx\)。
- 解答：原函数为 \(F(x) = \frac{x^4}{4}\)。
计算 \(F(1) -F(-1)\) 得到 \(\frac{1}{4} - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}\)。
#### 三、高难度练习题7. 题目七：计算定积分 \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)。
定积分练习题
第九章 定 积 分练 习 题§1定积分概念习 题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）⎰∑=+=1012233)1(41:;ni n n i dx x 提示 （2）⎰10;dx e x （3）⎰ba x dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=⎰提示取§2 牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）⎰+10)32(dx x ； （2）⎰+-102211dx x x ； （3）⎰2ln e e x x dx ；（4）⎰--102dx e e xx ； （5）⎰302tan πxdx （6）⎰+94;)1(dx xx（7）⎰+40;1x dx（8）⎰eedx x x12)(ln 1 2．利用定积分求极限： （1）);21(1334lim n nn +++∞→ （2）;)(1)2(1)1(1222lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n （3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim nn n n n n -+++∞→ ππ3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。
证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。
定积分求面积专升本练习题
定积分求面积专升本练习题### 定积分求面积专升本练习题#### 练习题一：计算曲线下的面积设函数 \( f(x) = 2x - x^2 \)，求该函数在区间 \([0, 2]\) 上的面积。
解题步骤：1. 确定积分区间：\([0, 2]\)。
2. 写出积分表达式：\(\int_{0}^{2} (2x - x^2) dx\)。
3. 计算积分：\(\int (2x - x^2) dx = x^2 - \frac{1}{3}x^3 +C\)。
4. 代入积分区间的上下限：\(\left[ x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2} = (4 - \frac{8}{3}) - (0 - 0) = \frac{4}{3}\)。
5. 得出结果：面积为 \(\frac{4}{3}\) 平方单位。
#### 练习题二：计算曲线与x轴围成的面积设函数 \( g(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求该函数在区间 \([0, 3]\) 上与x轴围成的面积。
解题步骤：1. 确定积分区间：\([0, 3]\)。
2. 写出积分表达式：\(\int_{0}^{3} (x^3 - 3x^2 + 2) dx\)。
3. 计算积分：\(\int (x^3 - 3x^2 + 2) dx = \frac{1}{4}x^4 -x^3 + 2x + C\)。
4. 代入积分区间的上下限：\(\left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 2x\right]_{0}^{3} = (20.25 - 27 + 6) - (0 - 0 + 0) = 1.25\)。
5. 得出结果：面积为 \(1.25\) 平方单位。
#### 练习题三：计算曲线与y轴围成的面积设函数 \( h(x) = \sqrt{4 - x^2} \)，求该函数在区间 \([-2, 2]\) 上与y轴围成的面积。
解题步骤：1. 确定积分区间：\([-2, 2]\)。
常用积分练习题
常用积分练习题积分是微积分中重要的概念，它在求取函数面积、曲线长度、物理量等方面有广泛的应用。
为了帮助大家更好地理解和掌握积分运算，以下是一些常见的积分练习题，希望对大家的学习能有所帮助。
【题目一】计算下列定积分：(1) $\int_0^1 (2x^2+3x+1)dx$(2) $\int_1^2 \frac{1}{x}dx$【解答一】(1)$$\int_0^1 (2x^2+3x+1)dx =\left.\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+x\right|_0^1 =\frac{2}{3}+\frac{3}{2}+1 - (0) = \frac{13}{6}$$(2)$$\int_1^2 \frac{1}{x}dx = \left.\ln|x|\right |_1^2 = \ln|2| - \ln|1| = \ln 2$$【题目二】计算下列定积分：(1) $\int_0^{\pi} \sin xdx$(2) $\int_0^{\pi} \cos^2 xdx$【解答二】(1)$$\int_0^{\pi} \sin xdx = \left. -\cos x\right |_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2$$(2)$$\int_0^{\pi} \cos^2 xdx = \left. \frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)\right|_0^{\pi} = \frac{1}{2}(\pi+\sin(\pi)\cos(\pi)) - (0+\sin(0)\cos(0)) =\frac{\pi}{2}$$【题目三】利用积分计算长度，计算曲线$y=x^3$在区间$[0, 1]$上的长度。
【解答三】曲线$y=x^3$在区间$[0, 1]$上的长度可以用积分来表示：$$\text{长度} = \int_0^1 \sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$其中$f'(x)$表示曲线对应的导数。
定积分练习题
定积分 练习题一、填空题1.由定积分的几何意义可知，定积分⎰-102d 1x x 的值是 .2.由定积分的几何意义知a x -=⎰_ _______.3.由定积分的几何意义知21d x x -=⎰__ ______. 4.由定积分的几何意义知sin d x x ππ-=⎰__ ______.5.一物体以速度23()v t t m s =+做直线运动，则物体在0t =到3t =这段时间内行进的路程为__ ______.6.比较大小，120d x x ⎰ _______130d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空）7.比较大小，1x ⎰ ______1x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 8.比较大小，20sin d x x π⎰____320sin d x x π⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 9.比较大小，53ln d x x ⎰ _____523(ln )d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空）10.120d sin d d x x x =⎰ .11.2dsin d d x x x =⎰ .12.20d sin d d xt t x =⎰ .13.02d sin d d x x x x =⎰ .14.220d sin d d x t t x =⎰ .15.()2de d x t t -=⎰________________________.16.1sin d d x t t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰_________________________.17.20d d t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰_________________________.18.求极限211e d limln x t x tx→=⎰____________________.19.求极限203sin d limx x t t x→=⎰____________________.20.求极限203arctan d limxx t t x→=⎰.21.若11(2+)d 3ln 2a x x x=+⎰，则a 的值等于____________________.22.若(21)d 4a ax x --=⎰，则a =___________________.23.已知20()d 3f x x =⎰，则2[()+3]d f x x =⎰______________.24.由不等式222x y a +≤所确定区域的面积A = .25.由椭圆22221x y a b+=所围成图形的面积A = .26.由圆y =与直线0y =所围成图形的面积A = . 27.由圆x =0x =所围成图形的面积A = . 28.由曲线y x =，0x =，与直线2y =所围成图形的面积A = . 29.由曲线sin y x =与直线0y =,0,x x π==所围成图形的面积A = . 30.由曲线cos y x =与直线0y =,0,2x x π==所围成图形的面积A = .31.由不等式2214x y ≤+≤所确定区域的面积A = .二、单项选择题1.定积分1212ln d x x x ⎰值的符号为（ ）.（A ）大于零； （B ）小于零； （C ）等于零； （D ）不能确定.2.下列等于1的积分是（ ）.（A ）10d x x ⎰； （B ）10(1)d x x +⎰； （C ）11d x ⎰； （D ）101d 2x ⎰.3.1(+)d x x e e x -=⎰（ ）.（A ）1e e +； （B ）2e ； （C ）2e ； （D ）1e e -.4.220(sin +cos )d 22x xx π=⎰（ ）.（A ）2π； （B ）12π+； （C ）2π-； （D ）0,5.1(2+)d 2x k x =⎰，则k =（ ）.（A ）0； （B ）-1； （C ）1； （D ）2.6.10d x m e x =⎰与11d en x x=⎰的大小关系是（ ）. （A ）m n >； （B ）m n <； （C ）m n =； （D ）无法确定.7.下列式子中，正确的是（ ）.（A ）11230d d x x x x ≤⎰⎰； （B ）22211ln d ln d x x x x ≤⎰⎰；（C ）22211d d x x x x ≤⎰⎰； （D ）11d d xx e x e x -≤⎰⎰.8.已知自由落体运动的速度v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路成为（ ）.（A ）203gt ； （B ）20gt ； （C ）202gt ； （D ）206gt .9.积分中值定理()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰，其中（ ）.（A ）ξ是[,]a b 内任一点； （B ）ξ是[,]a b 内必定存在的某一点； （C ）ξ是[,]a b 内唯一的某一点； （D ）ξ是[,]a b 的中点. 10.设()f x 在[,]a b 连续，()()d xa x f t t ϕ=⎰，则（ ）.（A ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上的一个原函数；（B ）()f x 是()x ϕ的一个原函数；（C ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上唯一的原函数； （D ）()f x 是()x ϕ在[,]a b 上唯一的原函数. 11.设()d 0ba f x x =⎰且()f x 在[,]ab 连续，则（ ）.（A ）()0f x ≡；（B ）必存在x 使()0f x =； （C ）存在唯一的一点x 使()0f x =； （D ）不一定存在点x 使()0f x =.12.函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的（ ）.（A ）必要条件； （B ）充分条件； （C ）充要条件； （D ）无关条件.13.下列各积分中能够直接应用牛顿—莱布尼茨公式的是（ ）.（A ）311d 2x x-⎰； （B ）30ln d x x ⎰；（C ）04tan d x x π⎰； （D ）22cot d x x ππ-⎰.14.极限0sin d limd xx x t tt t→=⎰⎰（ ）.（A ）-1； （B ）0； （C ）1； （D ）2.15.02sin xd t dt dx =⎰（ ）.（A ）2sin x ； （B ）2sin x -； （C ）22sin x x -； （D ）2sin t -. 16.定积分()()d ba x a xb x --=⎰（ ）.（A ）3()6b a -； （B ）3()6a b -；（C ）3()3b a -； （D ）336b a -.17.设函数()f x 在[,]a a -上的连续，则()d aa f x x -=⎰ （ ）.（A ）02()d af x x ⎰； （B ）0；（C ）0[()()]d a f x f x x +-⎰； （D ）0[()()]d af x f x x --⎰.18.已知()f x 为偶函数且60()d 8f x x =⎰，则66()d f x x -=⎰ （ ）.（A ）0； （B ）4； （C ）8； （D ）16. 19.222d x e x --=⎰（ ）.（A ）4222d u eu --⎰； （B ）22d te t --⎰；（C ）222d x e x -⎰； （D ）222d x e x --⎰. 20.由椭圆22194x y +=所围成图形的面积A =（ ）. (A) 6π； (B) 9π； (C) 12π； (D) 36π.21.由圆y =与直线0y =所围成图形的面积A =（ ）.(A) π； (B) 2π； (C) 3π； (D) 4π.22.由圆x =与直线0x =所围成图形的面积A =（ ）.(A)212a π； (B) 213a π； (C) 214a π； (D) 2a π. 23.由曲线sin y x =与x 轴，直线0x =，2x π=所围成图形的面积A =（ ）.(A)12； (B) 1； (C) 2； (D) 3． 24.由不等式22224a x y a ≤+≤所确定区域的面积A =（ ）.(A) 2a π； (B) 22a π； (C) 23a π； (D) 24a π. 25.设ln 1()()xx F x f t dt =⎰，其中()f x 为连续函数，则()F x '=（ ）.（A ）2111(ln )()f x f x x x +； （B ）1(ln )()f x f x +； （C ）2111(ln )()f x f x x x -； （D ）1(ln )()f x f x -.26.下面命题中错误的是（ ）.（A ）若()f x 在(,)a b 上连续，则()d ba f x x ⎰存在；（B ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必有界； （C ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必可积； （D ）若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上必可积.27.下列积分值为零的是（ ）.（A ）222cos d x x x ππ-⎰； （B ）220cos d x x x π⎰；．（C ）222sin d x x x ππ-⎰； （D ）022cos d x x x π-⎰.28.下列反常积分收敛的是（ ）.（A ）1x +∞⎰； （B ）211d x x +∞⎰； （C ）11d x x+∞⎰； （D ）1d x e x +∞⎰.29.下列反常积分收敛的是（ ）.（A ）ln d e x x x +∞⎰； （B ）1d lne x x x+∞⎰；（C ）21d (ln )ex x x +∞⎰； （D ）e x +∞⎰. 30.1211dx x -=⎰（ ）. （A ）2； （B ）-1； （C ）； （D ）不存在.三、判断题1.定积分的定义()()01lim nbi i a i f x dx f x λξ→==∆∑⎰中要求[,]a b 是任意分割，但i ξ必须是1[,]i i x x -的中点. （ ）2.定积分的几何意义是相对应的各曲边梯形面积之和. （ ）3.220sin 22sin 2xxdx x xdx πππ-=⎰⎰. （ ）4.定积分的值是一个确定的常数. （ ）5.若函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上可积，且()()f x g x <，则()()bbaaf x dxg x dx <⎰⎰.（ ）6.若[,][,]c d a b ⊂，则()()d bcaf x dx f x dx <⎰⎰. （ ）7.若函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则函数()f x 在区间[,]a b 上有界.（ ）8. 11211112dx x x --=-=-⎰. （ ）9.2200xdx ππ==⎰⎰. （ ）10.若被积函数是连续的奇函数，积分区间关于原点对称，则定积分必等于零.（ ）四、计算题1.10(23)d x x +⎰． 2.2211()d x x x x-+⎰． 3.0(cos )d x x e x π-+⎰．4.x x x d )123(1024⎰-+．5.x a x a x a d ))((0⎰+-．6.x xx d )11(94+⎰．7.x x d 1123⎰--+． 8.3sin()d 3x x πππ+⎰． 9.(sin cos )d x x x π-⎰．10.3(sin sin 2)d x x x π-⎰． 11.x x d )sin 21(0⎰-π． 12.222cos d x x ππ-⎰．13.2(1cos )d πθθ-⎰． 14．π220cosd 2θθ⎰． 15.40sec tan d x x x π⎰．16.⎰+33/121d x x ． 17.⎰-21021d x x ．18.10⎰．19.221d 4x x +⎰． 20.2120d 1x x x +⎰．21.322d x ⎰． 22.x x x d 12134⎰-． 23.4120d 1x x x +⎰．24.212212d (1)x x x x ++． 25.11d (21)ex x x +⎰．26.221d (1)xx x + 27.251(1)d x x -⎰． 28.⎰-324)28(d x x． 29.x x x d 1sin /3/22⎰ππ．30.41x ⎰． 31.120arctan d 1xx x +⎰． 32.1d e x x⎰． 33.ln30 d 1xx e x e +⎰．34.2d x xe x ． 35.⎰+302d 1x x x ． 36.20sin cos d t t t π⎰．37.x x x d sin cos 04⎰π．38.20x π⎰． 39.102d x x e x ⎰．40.51x ⎰．41.41x ⎰． 42.x x xd 191⎰+．43.x xx d 4511⎰--． 44.x x d tan 302⎰π． 45.224cot d x x ππ⎰．五、证明题1．证明下列不等式：x x x x d cos d sin 4040⎰⎰≤ππ． 2．证明下列不等式：x x x x d )1(d e 11⎰⎰+≥．3．证明：当0=x 时，函数t t x I xt d e )(02⎰-=取得最小值.4.求证：1212141≤+≤⎰dx x. 5．证明不等式4/1022e 2d e e 22---≤≤-⎰x xx．6.设()f x 是以l 为周期的连续函数，证明：()d a l af x x +⎰的值与a 无关.7.设n 4 0()tan f n xdx π=⎰（n 为正整数），证明：1(3)(5)4f f +=． 8．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰-=aa x x a f x x f 0d )(d )(.9．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰=2020d )(cos d )(sin ππx x f x x f10．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰+=+x x x x x x/112121d 1d )0(>x .11．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰-=-110d )1(d )1(x x x x x x m n n m .12．证明等式0()d [()()]d a aaf x x f x f x x -=-+⎰⎰13．⎰⎰=πππd )(sin 2d )(sin x x f x x xf ．14．设函数)(x f 在闭区间]10[，连续，且1)(<x f ，证明方程-x 21d )(0=⎰x t t f 在开区间)10(，有且仅有一个实根. 15.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0f x '≤，1()()d xa F x f t t x a=-⎰，证明在(,)a b 内()0F x '≤. 16.已知()f x 是连续函数，证明：20()d [()(2)]d a af x x f x f a x x =+-⎰⎰．17.设连续函数()f x 是奇函数，证明： 0() d x f t t ⎰是偶函数．18.若()x f ''在[]π,0连续，()20=f ，()1=πf ，证明：()()0sin d 3f x f x x x π''+=⎡⎤⎣⎦⎰．19.设01()0()0xt f t dtx F x xx ⎧>⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中()f x 在[)0,+∞上连续，单调递增，且(0)0f ≥，证明：()F x 在[)0,+∞上连续且单调递增。
定积分计算平均数练习题
定积分计算平均数练习题一、基础题1. 计算函数 $ f(x) = x^2 $ 在区间 [1, 3] 上的平均数。
2. 计算函数 $ f(x) = \sqrt{x} $ 在区间 [0, 4] 上的平均数。
3. 计算函数 $ f(x) = \sin x $ 在区间 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上的平均数。
4. 计算函数 $ f(x) = e^x $ 在区间 [0, 1] 上的平均数。
5. 计算函数 $ f(x) = \ln x $ 在区间 [1, e] 上的平均数。
二、提高题1. 计算函数 $ f(x) = x^3 3x $ 在区间 [1, 2] 上的平均数。
2. 计算函数 $ f(x) = 2x^2 + 4x + 1 $ 在区间 [2, 3] 上的平均数。
3. 计算函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在区间 [1, 3] 上的平均数。
4. 计算函数 $ f(x) = \cos x $ 在区间 $[0,\frac{\pi}{3}]$ 上的平均数。
5. 计算函数 $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $ 在区间 [0,1] 上的平均数。
三、综合题1. 计算函数 $ f(x) = \sin^2 x $ 在区间 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上的平均数。
2. 计算函数 $ f(x) = e^{x^2} $ 在区间 [1, 1] 上的平均数。
均数。
4. 计算函数 $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 4} $ 在区间 [0, 3] 上的平均数。
5. 计算函数 $ f(x) = \sqrt{x^3 + 2x} $ 在区间 [1, 4] 上的平均数。
四、应用题1. 计算速度函数 $ v(t) = 3t^2 2t + 1 $ 在时间区间 [0, 2] 内的平均速度。
2. 计算密度函数 $ \rho(x) = \frac{1}{x+1} $ 在区间 [1, 4] 内的平均密度。
积分练习题
积分练习题一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分是：A. 0.33B. 0.5C. 1D. 22. 如果∫(0到π)sin(x)dx=2，那么∫(π到2π)sin(x)dx的值是：A. -2B. 0C. -1D. 13. 函数F(x)=∫(1到x)t^2dt的原函数是：A. x^3/3+CB. x^3+CC. (x^3)/3+CD. x^3/34. ∫(0到1)e^(-x)dx的值在以下哪个区间内：A. (0,1)B. (1,2)C. (0.3,0.7)D. (0.7,1)5. 以下哪个函数是∫(0到1)x^2dx的反导数：A. x^3/3B. x^3C. 3x^2D. 3x二、计算题（每题10分，共30分）1. 计算定积分∫(0到1)(2x+3)dx。
2. 求函数F(x)=∫(0到x)t^2e^t dt的原函数。
3. 计算∫(0到π/2)cos^2(x)dx，并证明其结果。
三、证明题（每题15分，共30分）1. 使用分部积分法证明∫(0到1)xln(x)dx=-1/4-1/4ln(1)。
2. 证明定积分∫(0到π)xsin(x)dx=2-π。
四、应用题（每题20分，共20分）1. 一个物体的位移函数为s(t)=t^3-t，t∈[0,2]，求物体在时间t=0到t=2这段时间内的平均速度。
答案：一、1. C2. B3. C4. C5. A二、1. ∫(0到1)(2x+3)dx = [x^2+3x]_0^1 = (1+3) - (0+0) = 42. F(x) = ∫(0到x)t^2e^t dt = [t^3e^t/3]_0^x = x^3e^x/3 - 1/33. ∫(0到π/2)cos^2(x)dx = ∫(0到π/2)(1+cos(2x))/2 dx = [x/2 + sin(2x)/4]_0^π/2 = π/4 + 1/4三、1. 设u=ln(x), dv=x dx, 则du=1/x dx, v=x^2/2∫(0到1)xln(x)dx = uv|_0^1 - ∫(0到1)vdu = (1/2)ln(1) - [x^2ln(x)/2]_0^1 = -1/4 - 1/4ln(1)2. ∫(0到π)xsin(x)dx = ∫(0到π)d(-cos(x)) = -xcos(x)|_0^π = -πcos(π) + 0 = 2-π四、物体的平均速度为位移的定积分除以时间，即：∫(0到2)(t^3-t)dt / 2 = [t^4/4 - t^2/2]_0^2 = (16-4)/4 = 3 物体在时间t=0到t=2这段时间内的平均速度为3。
定积分练习题
定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。
2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。
3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。
4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。
5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。
二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。
7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。
8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。
9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。
三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。
11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。
12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。
13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。
14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。
四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。
定积分练习题
1． a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14C.13D.7123.设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169B.⎝⎛⎭⎫45，169 C.⎝⎛⎭⎫43，157D.⎝⎛⎭⎫45，1374．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．65． ⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos16．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π7．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值8．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)9.如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π410.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( ) A.32B ．1C ．4D.1211.设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7612．已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题13．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．一、选择题1．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：由题意可得a ＝⎠⎛01x －13d x ＝| 1＝32x 23| 10＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－| 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44| 10＝14，综上a >b >c ，故选A. 答案：A 2．函数y ＝ (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确解析：y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin t ＋t 33＋2t ＝2sin x ＋2x 33＋4x ，为奇函数．答案：A3．若函数f (x )＝，则f (2 012)＝( )A ．1B ．2 C.43D.53解析：依题意得，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋13sin 3t＝2x ＋13，故f (2 012)＝f (4×503)＝f (0)＝20＋13＝43，选C.答案：C4．由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.143 B.53 C.103 D .163解析：所求的封闭图形的面积为S ＝⎠⎛14x d x ＝23x 32| 41＝143. 答案：A5.设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈，2]，则⎠⎛2f (x )d x ＝( )A.34 B.45 C.56D ．不存在解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2| 21.＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.答案：C7．曲线y ＝1x＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：由题意得，所求面积为∫e 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x ＝∫e 11x d x ＋∫e 12x d x ＋∫e 12e 2x d x ＝ln x | e1＋x 2| e1＋e 2x | e1＝(1－0)＋(e 2－1)＋(e 2e －e 2)＝e 2e .答案：e 2e8.图中阴影部分的面积等于________．解析：所求面积为⎠⎛13x 2d x ＝x 3| 10＝1.答案：19.如图，矩形ABCD 内的阴影部分是由曲线f (x )＝2x 2－2x 与直线y ＝2x 围成的，现向矩形ABCD 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为________．解析：因为曲线f (x )＝2x 2－2x 与直线y ＝2x 的交点为(0,0)和(2,4)，曲线f (x )＝2x 2－2x 与x 轴的交点为(0,0)和(1,0)，其顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，所以矩形ABCD的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12×2＝9，阴影部分的面积为⎠⎛02(2x －2x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－23x 3| 20＝83，所以该点落在阴影部分的概率为839＝827. 答案：82710．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解析：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎨⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31＝23＋16＋43＝136. 11.(2014年大庆模拟)如图求由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．解析：⎩⎨⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎨⎧y ＝－14x 2，y ＝－1，得交点C (－2，－1)，D (2，－1)．∴所求面积 S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤∫1－14x 2＋x 2x ＋⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫－14x 2＋1d x ＝43.12．(能力提升)如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解析：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3| 10＝16.又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x＝⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 3| 1－k0＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－312＝1－342.2．由曲线y ＝3－x 2与直线2x ＋y ＝0所围成的图形的面积为________． 解析：由⎩⎨⎧y ＝3－x22x ＋y ＝0，消去y 得：x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.所以曲线y ＝3－x 2与直线2x ＋y ＝0的交点为A (3，－6)，B (－1,2)．故围成的图形即为图中的阴影部分，其面积为[(3－x 2)－(－2x )]d x＝(－x 2＋2x ＋3)d x ＝(－13x 3＋x 2＋3x )| 3－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×33＋32＋3×3－ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－3＋－2＋－＝9＋53＝323.答案：323高二数学微积分练习题一、选择题：1．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（ ）A ．320gtB ．20gtC ．220gtD ．620gt[解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功2、如图，阴影部分的面积是A ．32B ．329-C ．332D ．335[解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积 3、 若11(2)3ln 2ax dx x+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为（ ）A ．6B 。
定积分练习题及答案
第五章 定积分(A 层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1；10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ；13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。
(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。
2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。
4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。
5．()1lim22+⎰+∞→x dt arctgt xx 。
6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ。
7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x，求()⎰-21dx x f 。
积分问题练习题
积分问题练习题一、基础练习1. 求下列定积分的值：a) ∫(2x - 3)dxb) ∫(3x^2 + 2x - 1)dxc) ∫(4sinx + 5cosx)dx2. 求下列不定积分：a) ∫(3x^2 + 2x - 1)dxb) ∫(6x^3 + cosx)dxc) ∫(e^x + ln x)dx3. 求下列定积分：a) ∫[a, b] (x^3 - 2x^2 + 3x - 4)dxb) ∫[0, 2π] sin2xdxc) ∫[-1, 1] |x|dx二、进阶练习1. 求下列带参数的积分：a) ∫[m, n] (mx^2 - 1)dx （其中m和n为常数）b) ∫[a, b] (ax^2 + bx + c)dx （其中a、b、c为常数）c) ∫[0, π/2] sin^kxdx （其中k为正整数）2. 求下列定积分：a) ∫[0, 1] x^ndx （其中n为正整数）b) ∫[0, π/4] tanxdxc) ∫[-∞, ∞] e^(-x^2)dx3. 已知函数f(x)在区间[0, π]上连续且单调递增，且f(0) = 0，f(π) = 1。
证明函数g(x) = ∫[0, x] f(t)dt在[0, π]上为单调递增函数。
三、挑战练习1. 计算下列积分：a) ∫[0, 1] e^x(x - 1)dxb) ∫[0, π/2] sin^3xdxc) ∫[1, e] lnxdx2. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且单调递增。
证明在该区间上存在唯一的实数c，使得∫[a, b] f(x)dx = f(c)(b - a)。
3. 求函数f(x) = ∫[0, x] (x - t)f(t)dt的表达式。
结束语：以上就是一些关于积分的问题练习，通过这些练习，相信您对积分的求解有了更深入的理解。
希望您能够灵活运用所学知识，解决更加复杂的积分问题。
如果有任何疑问，请随时向我提问。
祝您学业进步！。
定积分练习题
定积分练习题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$。
解：首先，我们可以使用不定积分的方式计算该定积分。
对函数$f(x) = x^2$ 进行不定积分，得到原函数 $F(x) = \frac{1}{3}x^3 + C$，其中 $C$ 为常数。
然后，我们可以应用定积分的性质，即 $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$。
将 $F(x)$ 代入上述公式，我们得到：$\int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{3} \cdot 1^3 + C -\frac{1}{3} \cdot 0^3 - C$可简化为：$\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}$因此，定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$ 的结果为 $\frac{1}{3}$。
2. 计算定积分 $\int_{1}^{4} (2x+1) dx$。
解：我们可以先将被积函数 $2x+1$ 展开，并应用定积分的性质进行计算：$\int_{1}^{4} (2x+1) dx = \int_{1}^{4} 2x dx + \int_{1}^{4} 1 dx$对于第一项，我们可以使用不定积分的方式进行计算。
对函数 $f(x) = 2x$ 进行不定积分，得到原函数 $F(x) = x^2 + C$，其中 $C$ 为常数。
因此，第一项可以表示为：$\int_{1}^{4} 2x dx = [x^2]_{1}^{4} = 4^2 - 1^2 = 15$对于第二项，我们可以应用定积分的性质，即 $\int_{a}^{b} 1 dx =x \Big|_{a}^{b} = b - a$。
因此，第二项可以表示为：$\int_{1}^{4} 1 dx = 4 - 1 = 3$将两项结果相加，我们得到：$\int_{1}^{4} (2x+1) dx = 15 + 3 = 18$因此，定积分 $\int_{1}^{4} (2x+1) dx$ 的结果为 18。
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一、选择题1. 设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的符号( )A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．以上结论都不对 解析： 由⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义及f (x )>0，可知⎠⎛a bf (x )d x 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积．∴⎠⎛a bf (x )d x >0. 答案：A2. 若22223000,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．c <b <a D ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4，c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b . 答案：D3. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x C ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y [答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x . 4. 11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2B.0C.22cos1+D. 22cos1-【答案】A【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 （ ） A ．16 B ．13 C ．56 D ．23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0），利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:二、填空题6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为________． 解析： f (x )＝⎠⎛0x (2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x 0＝x 2－4x ＝(x －2)2－4(－1≤x ≤3)， ∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4.答案： －47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________．解析：由定积分的物理意义有：s ＝3020(38)t t dt -+⎰＝(13t 3－32t 2＋8t )|300 ＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)． 答案：263 m/s三、解答题8.求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2) 0(cos e )d xx x π-⎰＋； (3)⎠⎛49x (1＋x )d x ；(4)⎠⎛0πcos 2x 2d x . 解析： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22| 21－x 33| 21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)0(cos e )d x x x π-⎰＋＝00cosxd e d x x x ππ--+⎰⎰＝sin x ||0－π＋e x 0－π＝1－1e π. (3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x 12＋x )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516. (4)⎠⎛0πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |0π＋12sin x |0π＝π2. 9. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )． 解：由f (0)＝0得c ＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由f ′(0)＝0得b ＝0，∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎨⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎨⎧ c ＝2－a b ＝0. ∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x ＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋?2－a ?x | 10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，∴c ＝－4.从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.B 卷：5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且601(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( ) A ．2B ．4C ．1D ．-1解析：∵f (x )为偶函数，∴60061()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰ 答案：C 2. (改编题)已知()2f x x =-，则21()f x dx -=⎰( ) A ． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( ) A ．2B ．1C ．3D ．4答案：C 解析：由⎩⎨⎧y ＝x 2y ＝kx消去y 得x 2－kx ＝0， 所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92.即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 ?0≤x ≤2?3x ＋4 ?x >2?(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44B ．46C ．48D ．50解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42＝46. 答案：B5. 函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的A ．31B ．34C ．2D ．38 【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+，则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为0232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 二、填空题6.（改编题）设20lg ,0(),3,0a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为 。
【答案】1【解析】23300(1)lg10,((1))(0)03|1, 1.aa f f f f t dt t a a ==∴==+===∴=⎰ 7. 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R)的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________． [答案] －1[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－⎠⎛a 0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1. 三．解答题8.（改编题）画出曲线2y x =与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形，并且其面积.解析:如图所示，封闭图形的区域为ABC.由2y x=与1y x =-联立可得C(2,1), 由2y x =与=4x 联立可得B(4,12), 由1y x =-与=4x 联立可得A(4,3).所求封闭图形ABC 的面积：84222ln 42ln 242ln 2=--+-+=-.9. 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112. (1)求切点A 的坐标．(2)求过切点A 的切线方程．解析：设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 02.令y ＝0，得x ＝x 02.即C (x 02，0)． 设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形面积为S ，S 曲边△AOB ＝0023001|3x x x dx x ==⎰13x 03， S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12(x 0－x 02)·x 02＝14x 03. ∴S ＝13x 03－14x 03＝112.∴x 0＝1， 从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.C 卷：2+2+1一、选择题1.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是A ．21 B. 61 C. 41 D. 31 【答案】D【解析】312312002111)()|,=1.3333OBCA OBCA S S x dx x x S P S ==-=∴==⎰阴阴正方形正方形， 2. 设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x 3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( ) A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A [解析] 由题意可得，当0<x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ，当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f (x )有一个零点，由函数f (x )与g (x )的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g (x )d x ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3d x ＝ ⎪⎪－x 2614＝－52. 二．填空题3.20)x dx =⎰_______________．【答案】2π-【解析】20dx ⎰等于圆224x y +=在第一象限的面积π，则2222200001)22x dx dx xdx x ππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 4．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________．解析：设直线OP 的方程为y ＝kx ，P 点的坐标为(x ，y )，则⎠⎛0x (kx －x 2)d x ＝⎠⎛x 2(x 2－kx )d x ，即⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 3| x 0＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2| 2x ，解得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2， 解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ， 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169.答案： ⎝⎛⎭⎫43，169三．解答题5.如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．[解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3，S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13， 所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)． 又S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12， 令S ′(t )＝0，得t ＝12或t ＝0. 因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t ≤1时，S ′(t )>0. 所以S (t )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增． 所以，当t ＝12时，S min ＝14.。