10 APT与风险收益多因素模型
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n
eP wi ei
2 2 2 则组合风险： P P F 2 ( eP )
1 2 1 2 又： (eP ) (ei ) (ei ) n i 1 n 2 (ei ) 2 其中， (ei ) , 又E (ei ) 0 n 于是有：rP E (rP ) P F , 且： P P F
考虑不同贝塔的充分分散组合的收益决定? 例：假设无风险利率为4%，两个充分分散投资 组合A与C ßA=1；ßC=0.5；E(rA)=10%；E(rC)=6% C的收益是均衡收益吗? C的均衡收益与A的 均衡收益有什么关系? 答：运用相同ß的两个分散组合的收益决定 关系
由组合A与无风险资产按等权重构成新组合 D ，则D的期望收益率？贝塔？ E(rD) = 0.5*10%+0.5*4% = 7% ßD = 0.5*1+0.5*0 = 0.5； 市场均衡吗？
E(ri ) rf i
10.3 单项资产与套利定价理论
套利定价理论与CAPM：
作用相同
不需要太严格的假设 不需要市场组合 APT的推导以无套利为核心，CAPM则以均值－
方差模型为核心 APT也有缺点
28
10.4 多因素套利定价理论
因素资产组合(factor portfolio)，亦为跟踪投资 组合(tracking portfolio) 双因素模型：
2
套利
利用证券定价之间的不一致来赚取无风险利润
的行为
资本市场均衡：不存在套利机会 套利定价理论：用无套利原则来简化风险收益关系
3
10.1 多因素模型概述 （Multi-Factor model）
指数模型：用一个市场指数替代所有的宏 观经济风险 改进思路：将注意力直接放在风险的根本 来源上比间接地运用市场替代更有效
2
2
市场组合 的β为多 少？
16
充分分散投资组合A；单个证券S。 且ßA = ßS =1； E(rA) = E(rS) =10%
图10.1 Returns as a Function of the Systematic Factor
17
10.2.3 贝塔与期望收益
套利准则一：如果两个充分分散化的投资组 合具有相同的β值，则它们在市场中必有相同 的预期收益。 套利准则二：如果两个充分分散化的投资组 合β值不同，则其风险溢价应正比例于β。
15
10.2.2 充分分散的投资组合
W ell- diversifie d port folio 考虑n个证券的等权重资产组 合， 其中每个证券的收益为 ：ri E (ri ) i F ei 组合P的收益：rP E (rP ) P F eP 其中， P wi i ,
12
3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金
额为1000万元。 4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元 （等于1000e0.12×1），并用1110万元 （等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务 后，交易者净赚17万元（1127万元1110万元）。
13
存在套利机会表明市场是非均衡的，而套利者的 行为会改变市场供求关系，最终导致套利机会的 消失，此时，达到市场均衡状态。 套利理论与风险-收益主导观点在支持均衡价格关 系方面的区ห้องสมุดไป่ตู้：传统理论是所有人调整（大量投 资者，少量资金），这里是少数人调整（少量投 资者，大量资金）。 APT与CAPM的比较
数学描述： 准则一：若有充分分散 化的投资组合 P、Q， 且 P Q , 则必有：E (rP ) E (rQ ) 准则二：若有充分分散 化的投资组合 P、Q， E (rP ) rf P 且 P Q , 则必有： E (rQ ) rf Q
如果以上准 则不满足呢？ 风险（不确 定性）如何 消除？
图 10.3 An Arbitrage Opportunity
23
套利组合及套利过程
做D多头： （0.07+0.5F）×100万 做C空头：-（0.06+0.5F）×100万 0.01 ×100万=1万 结果是：套利组合的收益为正；收益无风险， 即套利组合对因素的敏感度为零；净投资为零 结果：均衡下CD必然重叠，而D点是直线组合 点，则C必然在直线上.
6
10.1.2 多因素证券市场线
CAPM： E (r ) rf [ E (rM ) rf ]
令RPM E (rM ) rf E (r ) rf RPM 双因素SML：E (r ) rf GDP RP GDP IR RP IR 概念：因素组合
7
10.2 套利定价理论 (Arbitrage Pricing Theory)
最早由美国学者斯蒂芬·罗斯于1976年提 出，这一理论的结论与CAPM模型一样，也 表明证券的风险与收益之间存在着线性关 系. 三个基本假设
证券收益能用因素模型表示
有足够多的证券来分散特有风险 有效的证券市场不允许持续性的套利机会
ri E (ri ) i1 F1 i 2 F2 ei 由因素组合构建一个和 目标资产组合相同 的资产组合， 以判断有无套利机会。 组合构建方法： 按比例 i1、 i 2、 (1 i1 i 2 )投资于 因素组合 1、因素组合2、无风险资产
29
10.5 因素的确定
31
本章小结
多因素模型有更好的解释能力 无套利原则 充分分散化的投资组合 多因素套利定价理论 多因素资本资产定价模型
32
8
10.2.1 套利、风险套利与均衡
套利 套利指一个通过零投资可以获得无风险 利润的交易策略 资本市场均衡：不存在套利机会（无套利 均衡） 一价定律(the law of one price)：两种 资产未来所有现金流均相等，那么二者的 市场价格应该相等。
9
10.2.1 套利、风险套利与均衡
无风险套利使用零投资组合(zeroinvestment portfolio) 无风险套利组合的重要性质：任何投资者， 不管其风险态度如何，都愿意更多地拥有 该项组合头寸
10
套利基本形式
空间套利或称地理套利，是指在一个市场上低价 买进某种商品，而在另一市场上高价卖出同种商 品，从而赚取两个市场间差价的交易行为。 工具套利是利用同一标的资产的现货及各种衍生 证券的价格差异，通过低买高卖来赚取无风险利 润的行为。在这种套利形式中，多种资产或金融 工具组合在一起，形成一种或多种与原来有着截 然不同性质的金融工具，这就是创造复合金融工 具的过程。 时间套利是指同时买卖在不同时点交割的同种资 产，包括现在对未来的套利和未来对未来的套利 。
E(rC ) rf C [E(rA ) rf ]
11.2.4 单因素证券市场线
证明：市场组合 M也是充分分散化的组合 ， 若有任一充分分散化的 投资组合P， E (rP ) rf P 且 P M 1, 则有： E (rM ) rf M E (rP ) rf P [ E (rM ) rf ]
投资学
第10章
APT与风险收益多因素模型
引言
资本资产定价模型刻画了均衡状态下资产的期望 收益和相对市场风险测度（ß值）之间的关系。 不同资产的ß值决定它们不同的期望收益。 资本资产定价模型要求大量的假设，其中包括马 柯维茨在最初建立均值—方差模型时所作的一系 列假设，如每个投资者都是根据期望收益率和标 准差，并使用无差异曲线来选择他的最佳组合。 而1976年由罗斯发展的套利定价理论比CAPM所要 求的假设要少的多，逻辑上也更加简单。该模型 以收益率生成的因素模型为基础，用套利的概念 来定义均衡。
没用到CAPM严格的假设，得到了与 CAPM差不多的结论
25
Figure 10.4 The Security Market Line
26
10.3 单项资产与套利定价理论
充分分散投资组合的单因素套利定价模型
E(r P ) rf P
它描述了市场均衡状态下，任意充分分散投资组合 期望收益率与其风险（ ß ）的关系。 其中λ为直线斜率，代表单位风险的报酬，也称为风 险因素的报酬。 套利定价同样是否适用于单个资产（证券）定价！
APT对资产的评价不是基于马克维茨模型，而是基于
无套利原则和因素模型。 不要求“同质期望”假设，并不要求人人一致行动。 只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会。 不要求投资者是风险规避的
14
10.2.2
充分分散的投资组合
问题：假设证券收益可用因素模型 生成，有足够多证券分散风险，那 么一个充分分散组合的风险具有什 么特征？
4
10.1.1 证券收益的因素模型
单因素模型： ri E (ri ) i F ei 单因素模型暗含一个不 正确的假设： 股票对每种风险因素的 敏感程度相同。
5
10.1.1 证券收益的因素模型
扩展：双因素模型 ri E (ri ) iGDP GDP iIR IR ei 其中的 又称为因素敏感度、因子载荷、因子 多因素模型的好处： (1)寻找均衡价格 (2)风险管理
确定思路：
利用系统风险因素
如Chen, Roll, Ross(1986)
利用公司特征经验来代替系统风险
如Fama & French(1996)
30
10.6 多因素资本资产定价模型与 套利定价理论
E(ri ) rf iM [ E(rM ) rf ] ie[E(re ) rf ]
图10.2 Returns as a Function of the Systematic Factor: An Arbitrage Opportunity
ßA =1； ßB = 1；E(rA) =10% ； E(rB) =8%
A和B是否可以在图 中的条件下共存呢？
19
套利组合及套利过程
在资产组合， A上做多头： (0.10+1.0F) ×100万 B上做空头：-（0.08+1.0F）×100万 0.02 ×100=2万（净收益） A、B组合收益差距消失,两条收益线重叠。市场均 衡下不可能出现这个图形。 若市场全部的套利机会消失时证券市场必将处于 均衡状态.
11
套利举例： 假设现在6个月即期年利率为10%（连续复 利，下同），1年期的即期利率是12%。如 果有人把今后6个月到1年期的远期利率定 为11%，则有套利机会。 套利过程是：
1. 交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假
设1000万元） 2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定 该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借 入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
eP wi ei
2 2 2 则组合风险： P P F 2 ( eP )
1 2 1 2 又： (eP ) (ei ) (ei ) n i 1 n 2 (ei ) 2 其中， (ei ) , 又E (ei ) 0 n 于是有：rP E (rP ) P F , 且： P P F
考虑不同贝塔的充分分散组合的收益决定? 例：假设无风险利率为4%，两个充分分散投资 组合A与C ßA=1；ßC=0.5；E(rA)=10%；E(rC)=6% C的收益是均衡收益吗? C的均衡收益与A的 均衡收益有什么关系? 答：运用相同ß的两个分散组合的收益决定 关系
由组合A与无风险资产按等权重构成新组合 D ，则D的期望收益率？贝塔？ E(rD) = 0.5*10%+0.5*4% = 7% ßD = 0.5*1+0.5*0 = 0.5； 市场均衡吗？
E(ri ) rf i
10.3 单项资产与套利定价理论
套利定价理论与CAPM：
作用相同
不需要太严格的假设 不需要市场组合 APT的推导以无套利为核心，CAPM则以均值－
方差模型为核心 APT也有缺点
28
10.4 多因素套利定价理论
因素资产组合(factor portfolio)，亦为跟踪投资 组合(tracking portfolio) 双因素模型：
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套利
利用证券定价之间的不一致来赚取无风险利润
的行为
资本市场均衡：不存在套利机会 套利定价理论：用无套利原则来简化风险收益关系
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10.1 多因素模型概述 （Multi-Factor model）
指数模型：用一个市场指数替代所有的宏 观经济风险 改进思路：将注意力直接放在风险的根本 来源上比间接地运用市场替代更有效
2
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市场组合 的β为多 少？
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充分分散投资组合A；单个证券S。 且ßA = ßS =1； E(rA) = E(rS) =10%
图10.1 Returns as a Function of the Systematic Factor
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10.2.3 贝塔与期望收益
套利准则一：如果两个充分分散化的投资组 合具有相同的β值，则它们在市场中必有相同 的预期收益。 套利准则二：如果两个充分分散化的投资组 合β值不同，则其风险溢价应正比例于β。
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10.2.2 充分分散的投资组合
W ell- diversifie d port folio 考虑n个证券的等权重资产组 合， 其中每个证券的收益为 ：ri E (ri ) i F ei 组合P的收益：rP E (rP ) P F eP 其中， P wi i ,
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3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金
额为1000万元。 4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元 （等于1000e0.12×1），并用1110万元 （等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务 后，交易者净赚17万元（1127万元1110万元）。
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存在套利机会表明市场是非均衡的，而套利者的 行为会改变市场供求关系，最终导致套利机会的 消失，此时，达到市场均衡状态。 套利理论与风险-收益主导观点在支持均衡价格关 系方面的区ห้องสมุดไป่ตู้：传统理论是所有人调整（大量投 资者，少量资金），这里是少数人调整（少量投 资者，大量资金）。 APT与CAPM的比较
数学描述： 准则一：若有充分分散 化的投资组合 P、Q， 且 P Q , 则必有：E (rP ) E (rQ ) 准则二：若有充分分散 化的投资组合 P、Q， E (rP ) rf P 且 P Q , 则必有： E (rQ ) rf Q
如果以上准 则不满足呢？ 风险（不确 定性）如何 消除？
图 10.3 An Arbitrage Opportunity
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套利组合及套利过程
做D多头： （0.07+0.5F）×100万 做C空头：-（0.06+0.5F）×100万 0.01 ×100万=1万 结果是：套利组合的收益为正；收益无风险， 即套利组合对因素的敏感度为零；净投资为零 结果：均衡下CD必然重叠，而D点是直线组合 点，则C必然在直线上.
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10.1.2 多因素证券市场线
CAPM： E (r ) rf [ E (rM ) rf ]
令RPM E (rM ) rf E (r ) rf RPM 双因素SML：E (r ) rf GDP RP GDP IR RP IR 概念：因素组合
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10.2 套利定价理论 (Arbitrage Pricing Theory)
最早由美国学者斯蒂芬·罗斯于1976年提 出，这一理论的结论与CAPM模型一样，也 表明证券的风险与收益之间存在着线性关 系. 三个基本假设
证券收益能用因素模型表示
有足够多的证券来分散特有风险 有效的证券市场不允许持续性的套利机会
ri E (ri ) i1 F1 i 2 F2 ei 由因素组合构建一个和 目标资产组合相同 的资产组合， 以判断有无套利机会。 组合构建方法： 按比例 i1、 i 2、 (1 i1 i 2 )投资于 因素组合 1、因素组合2、无风险资产
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10.5 因素的确定
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本章小结
多因素模型有更好的解释能力 无套利原则 充分分散化的投资组合 多因素套利定价理论 多因素资本资产定价模型
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10.2.1 套利、风险套利与均衡
套利 套利指一个通过零投资可以获得无风险 利润的交易策略 资本市场均衡：不存在套利机会（无套利 均衡） 一价定律(the law of one price)：两种 资产未来所有现金流均相等，那么二者的 市场价格应该相等。
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10.2.1 套利、风险套利与均衡
无风险套利使用零投资组合(zeroinvestment portfolio) 无风险套利组合的重要性质：任何投资者， 不管其风险态度如何，都愿意更多地拥有 该项组合头寸
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套利基本形式
空间套利或称地理套利，是指在一个市场上低价 买进某种商品，而在另一市场上高价卖出同种商 品，从而赚取两个市场间差价的交易行为。 工具套利是利用同一标的资产的现货及各种衍生 证券的价格差异，通过低买高卖来赚取无风险利 润的行为。在这种套利形式中，多种资产或金融 工具组合在一起，形成一种或多种与原来有着截 然不同性质的金融工具，这就是创造复合金融工 具的过程。 时间套利是指同时买卖在不同时点交割的同种资 产，包括现在对未来的套利和未来对未来的套利 。
E(rC ) rf C [E(rA ) rf ]
11.2.4 单因素证券市场线
证明：市场组合 M也是充分分散化的组合 ， 若有任一充分分散化的 投资组合P， E (rP ) rf P 且 P M 1, 则有： E (rM ) rf M E (rP ) rf P [ E (rM ) rf ]
投资学
第10章
APT与风险收益多因素模型
引言
资本资产定价模型刻画了均衡状态下资产的期望 收益和相对市场风险测度（ß值）之间的关系。 不同资产的ß值决定它们不同的期望收益。 资本资产定价模型要求大量的假设，其中包括马 柯维茨在最初建立均值—方差模型时所作的一系 列假设，如每个投资者都是根据期望收益率和标 准差，并使用无差异曲线来选择他的最佳组合。 而1976年由罗斯发展的套利定价理论比CAPM所要 求的假设要少的多，逻辑上也更加简单。该模型 以收益率生成的因素模型为基础，用套利的概念 来定义均衡。
没用到CAPM严格的假设，得到了与 CAPM差不多的结论
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Figure 10.4 The Security Market Line
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10.3 单项资产与套利定价理论
充分分散投资组合的单因素套利定价模型
E(r P ) rf P
它描述了市场均衡状态下，任意充分分散投资组合 期望收益率与其风险（ ß ）的关系。 其中λ为直线斜率，代表单位风险的报酬，也称为风 险因素的报酬。 套利定价同样是否适用于单个资产（证券）定价！
APT对资产的评价不是基于马克维茨模型，而是基于
无套利原则和因素模型。 不要求“同质期望”假设，并不要求人人一致行动。 只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会。 不要求投资者是风险规避的
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10.2.2
充分分散的投资组合
问题：假设证券收益可用因素模型 生成，有足够多证券分散风险，那 么一个充分分散组合的风险具有什 么特征？
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10.1.1 证券收益的因素模型
单因素模型： ri E (ri ) i F ei 单因素模型暗含一个不 正确的假设： 股票对每种风险因素的 敏感程度相同。
5
10.1.1 证券收益的因素模型
扩展：双因素模型 ri E (ri ) iGDP GDP iIR IR ei 其中的 又称为因素敏感度、因子载荷、因子 多因素模型的好处： (1)寻找均衡价格 (2)风险管理
确定思路：
利用系统风险因素
如Chen, Roll, Ross(1986)
利用公司特征经验来代替系统风险
如Fama & French(1996)
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10.6 多因素资本资产定价模型与 套利定价理论
E(ri ) rf iM [ E(rM ) rf ] ie[E(re ) rf ]
图10.2 Returns as a Function of the Systematic Factor: An Arbitrage Opportunity
ßA =1； ßB = 1；E(rA) =10% ； E(rB) =8%
A和B是否可以在图 中的条件下共存呢？
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套利组合及套利过程
在资产组合， A上做多头： (0.10+1.0F) ×100万 B上做空头：-（0.08+1.0F）×100万 0.02 ×100=2万（净收益） A、B组合收益差距消失,两条收益线重叠。市场均 衡下不可能出现这个图形。 若市场全部的套利机会消失时证券市场必将处于 均衡状态.
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套利举例： 假设现在6个月即期年利率为10%（连续复 利，下同），1年期的即期利率是12%。如 果有人把今后6个月到1年期的远期利率定 为11%，则有套利机会。 套利过程是：
1. 交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假
设1000万元） 2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定 该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借 入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。