高等数学不定积分的概念与性质

n
推论: 若 f (x) = ∑ ki fi (x) , 则
i=1
n
∫ f (x)dx = ∑ ki ∫ fi (x)dx i =1
2009年7月3日星期五
14
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∫ 例3 （补充题）求 2x (ex − 5)dx . ∫ 解: 原式 = [(2e)x − 5 ⋅ 2x )dx
= (2e)x − 5 2x + C ln(2e) ln 2
2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 .
分项积分 常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
2009年7月3日星期五
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课后练习
习题4-1 1（偶数题）；3
思考与练习
1. 若 e−x 是 f (x)的原函数 , 则
∫ x2 f (ln x) d x =
提示: 已知 f ′(x) = sin x
求 ( ? )′ = f (x) 即 ( ? )′′ = sin x
或由题意 f (x) = − cos x + C1 , 其原函数为
∫ f (x) d x = − sin x + C1x + C2
2009年7月3日星期五
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4. 求下列积分:
例如, − sin t 的原函数有 cos t, cos t + 3,
问 题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
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定理1（原函数存在定理）若函数 f (x) 在区间 I 上连续,
则 f (x) 在 I 上 存在原函数 .
2009年7月3日星期五
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定义 2 f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x) 在 I
∫ 上的不定积分, 记作 f (x) dx , 其中 ∫ — 积分号; f (x) — 被积函数;
x — 积分变量; f (x)dx — 被积表达式. 若 F ′(x) = f (x) , 则
2) 设 Φ(x) 是 f (x)的任一原函数，即
Φ′(x) = f (x)
又知
F ′(x) = f (x)
∴ [Φ(x) − F (x)]′= Φ′(x) − F ′(x) = f (x) − f (x) = 0
故
Φ(x) = F (x) + C0 (C0 为某个常数)
即 Φ(x) = F (x) + C0 属于函数族 F (x) + C .
.（课本
例 8）
∫ ( x +1)dx,
解：∫ f (x)dx =
∫ (2x)dx,
x
≤ 1,
=
⎧ x2 ⎪ ⎨2
+
x + C1,
x > 1 ⎩⎪x2 + C2 ,
x ≤1 x > 1,
又因为 f (x) 的原函数在 R 上可导，从而必连续，所以
( ) ⎛
lim
x →1−
⎜ ⎝
x2 2
+
⎞ x + C1 ⎟
二、 基本积分表
利用逆向思维
(1) ∫ kdx = k x + C
( k 为常数)
∫ (2)
xμ dx =
1
μ +1
x
μ
+1
+
C
(μ ≠ −1)
(3)
∫
dx x
=
ln
x
+C
x < 0时 ( ln x )′ = [ ln(−x) ]′ = 1
x
2009年7月3日星期五
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∫ (4)
dx 1+ x2
例如,
∫ f (x)dx = F (x) + C ∫ exdx = ex + C
∫ x2dx =
1 3
x3
+
C
( C 为任意常数 )
C 称为积分常数 不可丢 !
∫ sin xdx = − cos x + C
2009年7月3日星期五
8
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不定积分的几何意义:
f (x) 的原函数的图形称为 f (x) 的积分曲线 .
−
4 3
+1
+C
= −3x−13 + C
∫ 例2 （补充题） 求
sin
x 2
cos
x 2
dx
.
∫ 解: 原式=
1 2
sin
x
dx
=
−
1 2
cos
x
+
C
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三、不定积分的性质
(Properties of the Indefinite Integral)
1. ∫ k f (x) dx = k∫ f (x)dx (k≠ 0) 2. ∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x) d x
(9)
∫
d sin
x
2
x
=
∫ csc2
xdx
=
− cot x + C
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(10) ∫ sec x tan xdx = sec x + C
(11) ∫ csc x cot xdx = − csc x + C
∫ (12) ex dx = ex + C ∫ (13) a xdx = a x + C
x (1+ x2
2
)
dx
.
∫ 解: 原式 =
(1+ x2 ) − x x (1+ x2 ) dx
=
∫
1 x
dx
−∫
1 1+ x2
dx
= ln x − arctan x + C
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例6
设
f
(x)
=
⎧x + 1, ⎨⎩2x,
x x
≤ >
1, 1,
求
∫
f
(x)
d
x
一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 四、小结与思考题
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一、原函数与不定积分的概念
(Primitive Function and the Indefinite Integral) 定义 1 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 F ′(x) = f (x) 或 dF (x) = f (x) dx, 则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的一个原函数 .
∫ f (x) dx 的图形
y
f (x) 的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
o
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x0
x
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从不定积分定义可知:
(1)
d dx
[
∫
f (x)d x ] =
f (x)
或 d[ ∫
f (x)dx ] =
f (x)dx
(2) ∫F′(x) dx = F (x) + C 或 ∫ d F (x) = F (x)+ C
高等数学多媒体课件
华南农业大学理学院数学系
牛顿（Newton）
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1
莱布尼兹（Leibniz）
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第四章 不定积分
（Indefinite Integrals）
微分法: F ′(x) = ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? )′ = f (x)
2009年7月3日星期五
ex +1
ex
+ 1)
dx
∫= (e2x − ex +1) dx
= 1 e2x − ex + x + C 2
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∫ ∫ 6. 已知 x2 dx = A x 1− x2 + B dx
1− x2
1− x2
求A,B.
解: 等式两边对 x 求导, 得
x2 = A 1− x2 − Ax2 + B
=
arctan
x
+
C
或 − arc cot x + C
∫ (5)
dx = arcsin x + C 或 − arc cos x + C
1− x2
(6) ∫ cos xdx = sin x + C
(7) ∫ sin xdx = − cos x + C
(8)
∫
源自文库
dx cos2
x
=
∫
sec2
xdx
=
tan x + C
= sec2 x + csc2 x
(3)
(
x4 1
− +
1) + x2
1=
(x2 −1)(x2 +1) +1 1+ x2
=
x2
−1+
1 1+ x2
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∫ 5. 求不定积分
e3x ex
+1d +1
x
.
∫ 解：
e3x ex
+1dx +1
∫=
(e x
+1) (e2x −
⎠
=
lim
x →1+
x2 + C2
∫ 记 C1 = C ，则
f
( x)dx
=
⎧ x2
⎪⎪ ⎨
2
+
x
+ C,
⎪ ⎪⎩
x
2
+
1 2
+
C,
1 2
+
C1
=
C2
,
x ≤ 1,
x > 1.
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内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数
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定理 2 若 F (x) 是 f (x)的一个原函数 , 则 f (x)的所有
原函数都在函数族 F (x) + C ( C 为任意常数 ) 内 .
证: 1) ∵ (F (x) + C)′ = F ′(x) = f (x) ∴ F (x) + C 是 f (x)的原函数
∫ ∫ ∫ (1)
x
2
dx (1 +
x2
)
;
(2)
sin 2
dx x cos2
x
;
(3)
x4 1+ x2
dx
.
提示:
(1)
1 x2 (1+
x2)
=
(1 + x2) − x2 x2 (1+ x2 )
=
1 x2
−
1
1 +x
2
(2)
sin
2
1 x cos2
x
=
sin 2 x + cos2 x sin 2 x cos2 x
− 1 x2 + C 2
提示: f (x) = (e−x )′ = −e−x f (ln x) = −e−ln x = − 1 x
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2. 若 f (x) 是 e−x 的原函数 , 则
∫ f (ln x) d x = x
1 x
+
C0
ln
x
+C
提示: 已知 f ′(x) = e−x
2
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主要内容
第一节 不定积分的概念与性质 第二节 换元积分法 第三节 分部积分法 第四节 几种特殊类型函数的积分 第五节 积分表的使用
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3
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第四章
第一节 不定积分的概念与性质
（Conceptions and properties of Indefinite Integrals）
∴ f (x) = −e−x + C0
f
(ln
x)
=
−
1 x
+
C0
f
(ln x
x)
=
−
1 x2
+
C0 x
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3. 若 f (x) 的导函数为 sin x , 则 f (x) 的一个原函数
是( B ).
( A) 1+ sin x; (B) 1− sin x; (C) 1+ cos x; (D) 1− cos x .
=
2
x
⎡ ⎢⎣ln
ex 2+
1
−
5 ln 2
⎤ ⎥ ⎦
+
C
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∫ 例4 （补充题） 求 tan2xdx . ∫ 解: 原式 = (sec2x −1)dx
= ∫ sec2xdx − ∫ dx = tan x − x + C
例5 （课本 例8） 求
∫1− x+ x
ln a
(14) ∫ sh xdx = ch x + C
sh x = ex − e−x 2
ch x = ex + e−x 2
(15) ∫ ch xdx = sh x + C
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例1（课本 例5）求
∫
dx x3 x
.
∫ 解: 原式 =
x
−
4 3
dx
=
x − 34 +1
1− x2
1− x2 1− x2
= ( A+ B) − 2Ax2 1− x2
∴
⎩⎨⎧
A+ −2
B A
=0 =1
⎧ ⎨ ⎩
A B
= =
−
1 2
1 2
2009年7月3日星期五
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