10-5弯扭组合变形

2
4(
T
2
Wt
)
1 W
T M
2
2
157.26 [ ]
-
例题2 直径d=40mm的实心钢圆轴，在某一横截面上的内力分 量为N=100KN，Mx=0.5KN.m，My=0.3KN.m。已知此轴的许 用应力[]=150MPa。试按第四强度理论校核轴的强度。
z
Mx
My
y
N
x
N产生轴向拉伸

C1

危险截面上的最大弯曲正应力
发生在铅垂直径的上、下
两端点 C1 、C2 处（图e示）。
C3
C4
C3

T
C4

C2

C2
最大扭转剪应力 发生在截面 (e) 周边上的各点处（图 f示）。
(f)
危险点为 C1 和 C2
对于许用拉、压应力相等
的塑性材料制成的杆,这 两点的危险程度是相同的。 可取任一点C1 来研究。
T Wt
σ max σ M σ N 243MPa
最大扭转剪应力为
τ max
31MPa
σ r 4 σ 3τ 249 MPa σ
2 2
强度合适。
练习题1：圆柱杆的直径为2R，弯成U型，位于水平 面内，尺寸如图。已知材料的屈服极限为σs，屈服 安全系数取ｎ。用第三强度理论确定系统的许可载 荷P。
Pz
{
Pz
(xz平面弯曲 )
M0 = 0.391 (扭转）
Py
C
Pz
y x B z D
Px
A
40
Pz '
150
84
Py '
Py '
D
Py '
Py '
(xy平面弯曲）
Py
Px Mo
C
Mz
A B
Mo Pz '
PZ '
{
PZ ' (xz平面弯曲）
M0 = 0.391 (扭转）
Pz
Py
Px Mo
C
Mz
A B
A q B
P
C
小结
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握斜弯曲和拉（压）弯组合变形杆件
的应力和强度计算
3、了解平面应力状态应力分析的主要结论 4、掌握弯拉扭组合变形情况下的强度计算
C1


(g)

C1 点处于平面应力状态
三、强度分析
C1
1、主应力计算
1 1 2 4 3 2 2 2 0
2、 相当应力计算

2

(g)

第三强度理论,计算相当力
σ r 3 σ1 σ 3 σ 2 4τ 2
第四强度理论,计算相当应力
C1



r 4 2 3 2
AB为扭转和平面
C
P
A m B
弯曲的组合变形。
P=25KN
P
A m B
m 15 1.4 10 0.6 15KN.m
画扭矩图和弯矩图 固定端截面为危险截面 T=15KN.m
15KN.m
+
M max 20KN.m
3 D W (1 4)
20KN.m
32

r3

M ( ) W
My产生xz平面弯曲 Mx产生扭转 A点为危险点
Mx
z
My
y
A
N
x
由N引起拉伸正应力为
N 1 A 79.6 MPa
z
Mx
My
y
A
N
x
由My引起最大弯曲正应力为

2
M W
y y
47.7 MPa
最大正应力为
1 2 127.3MPa

由Mx引起最大剪应力为
M W
是由扭转变形引起
2 对于圆形截面杆有
πd W t 2W 16
3
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弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为
r3
M ( ) W
2
4(
T
2
Wt
)
2

M
2
T
2
W
T M σ r 4 ( ) 3( ) W Wt
2
2 2 M 0.75T W
式中W为杆的抗弯截面系数。 M、T分别为危险截面的弯矩和扭矩。
例题1：空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构。受力如图。 AB杆的外径D=140mm，内，外径之比d/D=0.8，材料的 许用应力[]=160MPa。试用第三强度理论校核AB杆的强度。
0.8m
10KN D
A 15KN
B
C
解：将力向B截面 形心简化得
0.8m
10KN
D
P=25KN
A 15KN
B
m 15 1.4 10 0.6 15KN.m
A
B
Px
M0
T
16.5
N
M0 A
B
0.391
MA MB
2 2 M Ay M Az 1.436 0.182 1.447
2 2 2 2 M By M Bz 0.441 1.217 1.294
A截面是危险截面 最大弯曲正应力为 拉伸正应力为
σM σN MA 230 MPa W N 13 MPa A
P y ' 5.25KN ，Pz ' 14.49KN ，σ 300 MPa 。 试按第四强度理论校核轴的强度。
工程实例
Py
C
Pz
y x B z D
Px
A
将力向轴简化
40
Pz '
150
Py
84
P y （xy平面弯曲）
Py '
Py
Px
Pz
Px Mo
C
Mz
A B
D
{
Px （拉伸）
MZ = 1.42 (xy平面弯曲）
§10-5弯曲扭转与
研究对象：圆截面杆 受力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用。 变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。 研究内容：杆件发生扭转和弯曲组合变形时的强度计算。
l
S
FP
a
P
一、 内力分析 设一直径为 d 的等直圆杆 AB ,
A
L
B
B 端具有与 AB 成直角的刚臂。
( a)
研究AB杆的内力。
上两式只适用于弯、扭组合变形下的圆截面杆。
扭转和弯曲组合变形
应用：弯拉扭组合
危险截面－截面A
危 险 点－ a
FN M a M N W A a T T T Wp 2W
应力状态－单向＋纯剪切
强度条件（塑性材料）
2 r3 M N 4 T [ ] 2 2 r4 M N 3 T [ ] 2
T 5 103 25.5MPa Wt 0.13 16
（5） 强度分析
r3 2 4 2 137MPa
该杆件强度足够。
[ ]
例题 4，传动机构如图所示。齿轮C,D的直径分别为 dC=172mm,dD=54mm,轴的直径d=40mm。传动机构上 Pz 4.55KN ， P y 0.414KN ， 作用的力 Px 16.5KN ，
（3）危险截面上内力
Ｔ=5KN
y
轴力
z
ＦＮ= 100KN（拉）；
My=5 KN.m ; Mz=10 KN.m
Ｆ
Mz My=5KN
弯矩
x
合成弯矩
2 M My M z2 102 5 2 11.2KNm
扭矩
Ｔ=5 KN.m
（4）危险截面上危险点处应力计算 采用哪一组公式计算相 当应力？ FN M 127MPa A Wz
将力 P 向 AB 杆右端截面的 P 形心B简化得 横向力 力偶矩 P （引起平面弯曲） m = Pa （引起扭转）
(b)
A
m
B
AB杆为弯扭组合变形
P
A
横向力
P （引起平面弯曲） m = Pa （引起扭转）
m
B
力偶矩
画内力图确定危险截面
PL
㈠
M图
固定端为危险截面
㈠
Pa
T图
二、 应力分析
C1
A截面

(g)
3、 强 度计算
r
1
σ r 3 σ1 σ 3 σ 2 4τ 2
C1


r 4 2 3 2
该公式适用于图示的平面应力状态。是危险点的正应力， 是危险点的剪应力。且横截面不限于圆形截面。
可以是由弯曲，拉（压）或弯曲与拉（压）组合变形引起。
x t
39.8MPa
z
Mx Wt
My
Mx
y
A
N
x
1 2
由第四强度条件

r4

3
2
2
144.6 MPa [ ]
故轴满足强度要求
例题 3 某圆轴受力如图所示。已知圆轴的直径 D= 100mm ，杆长 L=1m ,材料的许用应力[]=160MPa。 试按第三强度理论进行强度较核。
Mo Pz '
Py '
D
z
y
x
Pz
Py
Py ' Mz
产生 xy 平面内的弯曲变形。（z为中性轴） 产生 xz 平面内的弯曲变形。（y为中性轴) 产生扭转变形
Pz
Pz ' Mo
Px
产生拉伸变形
1.436
Py
P y ' 1.42
Mz
z
y
x
Mz
A
B
0.441
Pz
A B
Pz '
My
0.182
1.217
Px
3L P 4L
练习2：AB、CD的直径均为ｄ，在同一平面内。 受力如图所示，指出危险面，并写出强度理论的相 当应力的表达式。
Py
L
a Pz
b Px
练习3：直角拐的直径为ｄ，杆长为AB＝BC＝L＝ 10ｄ，承受的均布载荷为ｑ＝2.5πKN/m，集中力P ＝qL，构件的许用应力为[σ]＝160MPａ，设计AB 段的直径ｄ。
y z
S=90KN P=100KN
0
x
m=100KN
（1）外力简化，判基本变形 轴向拉伸；
y z T=5KN
0
S=90KN
My=5KNm 100KN x
100KN
双向弯曲； 扭转； （2）作内力图 ， 判断危险截面 My 危险截面 固定端截面 Mz T FN
100KN 5KNm
10KNm 5KNm