考点43独立性检验

统计案例

了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用，并能解决一些实际问题.

1．22⨯列联表

设X ，Y 为两个变量，它们的取值分别为12{}x x ,和12{}y y ,，其样本频数列联表(22⨯列联表)如下：

1

y

2

y

总计

1

x a b a ＋b 2

x

c d

c ＋d

总计

a ＋c

b ＋d

a b c d +++

2．独立性检验

利用随机变量2K (也可表示为2

χ)2

()

()()()()

n ad bc a b c d a c b d -=++++(其中n a b c d =+++为样本容量)来

判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 3．独立性检验的一般步骤

(1)根据样本数据列出22⨯列联表；

(2)计算随机变量2K 的观测值k ，查下表确定临界值k 0：

20()P K k ≥

0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001

0k

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

(3)如果0k k ≥，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过()

2

0P K k ≥；否则，就认为

在犯错误的概率不超过(

)

2

0P K k ≥的前提下不能推断“X 与Y 有关系”．

【注意】(1)通常认为 2.706k ≤时，样本数据就没有充分的证据显示“X 与Y 有关系”．

(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可

能对统计计算的结果作出错误的解释．

(3)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．

考向一两类变量相关性的判断

已知分类变量的数据，判断两类变量的相关性．可依据数据及公式计算2

K，然后作出判断．

典例 1 利用独立性检验来考查两个分类变量X和Y是否有关系时,通过查阅下表来确定“X和Y有关k>,那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为

系”的可信度.如果 5.024

()

2

>0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 P K k

K0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.6357.87910.828 A．25%B．75%

C．2.5%D．97.5%

【答案】D

【名师点睛】本题考查独立性检验的应用，属于基础题，根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，从而得到结果．

典例2 有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果：

附表：

()

2

>0.050.0250.0100.0050.001

P K k

K 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828

则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为 A ．99.9%

B ．97.5%

C ．95%

D ．90%

【答案】A

【名师点睛】本题主要考查独立性检验，意在考查学生对该知识的掌握水平和解决实际问题的能力.把所给的数据代入求独立性检验的观测值的公式，求出观测值，把观测值同独立性检验的临界值表进行比较，得到所求的值大于10.828，得到有99.9%的把握认为看电视与人变冷漠有关系．

1．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以下数据：

作文成绩优秀 作文成绩一般 总计

课外阅读量较大 22 10 32 课外阅读量一般

8 20 28 总计

30

30

60

由以上数据，计算得到2

K 的观测值9.643k ，根据临界值表，以下说法正确的是 附：

P (K 2≥k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.05 0.010 0.005

k 0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

A ．在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”

B ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关

C ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关

D ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关

考向二 独立性检验与概率统计的综合

独立性检验是一种统计案例，是高考命题的一个热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为中档题，高考中经常是将独立性检验与概率统计相综合进行命题，解题关键是根据独立性检验的一般步骤，作出判断，再根据概率统计的相关知识求解问题.

典例3 某中学对高三甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：

现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀. （1）试分别估计两个班级的优秀率;

（2）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助？

参考公式及数据：

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++，其中n a b c d =+++. 20()P K k ≥

0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 0.010

0k

0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635

【答案】（1）甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%；（2）列联表见解析，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.