离散数学期末考试试题及答案

冑散数学试题(B卷篆亲U
一、证明题(10分)
1)(「P/\ J Q/\R) ) V (Q/\R) V (PAR)oR
iW：左端n(-P/\-QAR) V((QVP) AR)
<^>((_PA-fi)AR))V( (QVP) AR)
o(-1(PVQ)AR)V((QVP)AR)
o(-WQ)V(QVP))AR
oJGVQ)\/(P\/Q))AR
oTAR(l^)6
2)3x (A(X)T B(X))O V X A(X)^3X B(X)
:3X(A(X)T B(X))U3X(-A(X) VB(x))
<^x-A(x) V2xB(x)
<^=>-iVxA(x) \/3}£(x)
oVxA (x)—>3xB (x)
二、求命题公式(PV(QAR))^(PAQAR)的主析取范式和主合取范式(10分)。

证明：(PV(QAR))^(PAQAR)<»-(PV(QAR))V(PAQAR))
O (^PA(-nQV^R)) V(PAQAR)
o JP/\「Q)v (-PA^R)) V (PAQAR)
o(「P/\「QAR)v (-nPA-QA^R) V (-nP AQ A-R)) V (-.PA-nQ A^R)) V (PAQAR)
<=>moVmi VmzVmT
^M O VM^VM B VM G
三、推理证明题(10分)
1) CVD, (CVD)T「E, 「E T(A/\「B), (AA-nB)-^(RVS)=>RVS
证明：(1) (CVD)T「E P
(2)「E T(A/UB) P
(3) (CVD)^(AA-nB) T(l)(2), I
(4) (AA^B)^(RVS) p
(5) (CVD)T(RVS) T⑶⑷，I
(6) CVD p
(7) RVS T(5), I
2) Vx(P(x)TQ(y) AR(x)), 3xP (x) =>Q (y) A 3x (P (x) A R (x))
证明(l)3xP(x) P
(2)P(a)
(3)Vx(P(x)TQ(y)AR(x))
(4)P(a)^Q(y) AR(a)
(5)Q(y) AR(a)
(6)Q(y)
(7)R(a)
(8)P(a) AR(a)
(9)3x(P(x)AR(x))
(10)Q(y) A3x(P(x) AR(x)) T ⑴,ES
P
T(3), US
T⑵⑷，I
T(5), I
T(5), I
T(2) (7), I
T(8), EG
T(6) (9), I
四、某班有25需学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5 人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数(10分九
解：A, B, C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。

则山二12, B二6, C：二14, AAC =6, BAC =5, AQBC1C 二2。

先求|AAB|o
•••6二(AUC) AB =1 (AOB) U (BAC) h (AAB) !+ (BAC) - AABC1C 二(AQB) ：+5-2, ••• (ACB)二3。

于是AUBUC =12+6+14-6-5-3+2=20.不会打这三种球的人数25-20=5o
五、已知A、B. C是三个集合，证明A-(BUC) = (A-B)n(A-C) (10分)。

证明：Vxe A- (BUC) o xe AAxg (BUC)
0 xe AA (xgBAxgC)
0 (xe AAxgB) A (xe AAxgC)
0 xe (A-B) Axe (A-C)
0 xe (A-B) n (A-C)
A A- (BUC) = (A-B) A (A-C)
六、已知R. S是N上的关系，其定义如下:R={<x» y>| x> yeNAy=x2}» S={<x» y〉| x, yeNAy=x+l}o 求R*S、S*R、R「{1, 2}、S[{1, 2}] (10 分)。

解：R'-{<y> x> x, yeNAy=x3}
R*S={<x, y> x, yeNAy=x：+l}
S*R={<x, y>j x, yeNAy= (x+1) 2}, R「{1, 2}={<1, 1>, <2, 4>}, S[{1, 2}J={1, 4}。

七、设R={<a, b>, <b, c>, <c, a>},求r(R). s(R)和t(R) (15 分)。

解：r(R) = {<at b>, <b, c>, <c, a>» <a> a>> <b»b>, <c> c>}
s(R) = {<a> b>t <b, c>t <c> a>, <b» a>> <c, b>, <a> c>}
R3= R={<a, c>, <b, a>, <c, b>}
R：={<at a>, <b t b>, <Ct b>}
R-{<at b>, <b> c>, <c» c>}
t(R)二：〈a, b〉，〈b, c>,〈c, a〉，〈a, c>, <b> 〈a, 〈b, bz>〈c, b》，〈c,
c>}
八、证明整数集I上的模m同余关系R二{<x, y>|xmy(modm)}是等价关系。

其中,x^yCmod m)的含义是x-y可以被m整除(15分)。

证明：1) VxG L 因为(x-x) /m=0t 所以x=x(mod m),即xRx。

2)Vx, yWl,若xRy,贝lj x=y(mod m),即(x-y) /m=kGI,所以(y - x) /m=-k WI,所以y=x (mod m) •即yRx o
3)Vx, y, z£ I> 若xRy, yRz,贝lj (x-y ) /m^uGI» (y-z) /m=vGI, p是(x-z) /m= (x-y+y-z)
/m=u+v Gl,因此xRz。

九、若f:A-B和g：B-C是双射，则(gf) TV (10分)。

证明：因为f、g是双射，所以gf： A-C是双射，所以gf有逆函数(gf) _1： C-*Ao 同理可推f'T： C-A是双射。

因为〈x, y〉Wf 存在z (<x, z>Eg x A<z> y>Gf x) O存在z (<y> z>GfA<z> x>Gg) O〈y, x>WgfO〈x, y>E (gf)二所以(gf)上广八。

南俶赦禽试軀3歎备嚓2)
一、证明题(10分)
1)((PVQ) A^(-PA (-nQV-nR))) V JP/\「Q) V JP/UR)oT
证明:左端0((PVQ) A (PV (QAR)))V-n((PVQ)A(PVR))(摩根律)
o ((PVQ) A (PVQ) A (PVR)) V「((PVQ) A (PVR))(分配律)
o ((PVQ) A (PVR)) V-n((PVQ) A (PVR))(等幕律)
0T (代入)
2)VxX/y(P&)T0(y))0 0 GxP Cr) TVyQ (y))
证明:VxVy (P(x)T0(y))(「P(x) V03))
(-.PG) VVyC(y))
<=>Vx-.PG) VVy0(y)
O-3xP(x) VVyC(y)
0 (BxP(X)TVyQ (y))
二、求命题公式(「P T Q)T(PV「Q)的主析取范式和主合取范式(10分)
解：(「P T Q)T(PV「Q)O「(「P T Q)V(P\/「Q)
^(PVQ) V(PV-nQ)
<^>(_PA-nQ) V(PV-nQ)
oJPX/P—Q) A (-QVPV-.Q)
0(PV「Q)
OH]
<^>mOVm2 Vm3
三、推理证明题(10分)
1)(P T(Q T S)) A JRVP) AQnRTS
证明：(1)R
⑵「RVP
⑶p
⑷ P T(Q T S)
(5)Q->S
(6)Q
(7)S
(8)R T S
2)Iv (A (x) T VyB (y)), Vx(B (x) ^ByC (y))卜V.M G) -^3yC (y) 0
证明：(l)3AUG)^VyB(y)) P
(2)A(“)TVyB(y) T(l), ES
(3)V.Y(BG)^3yC(y)) P
(4)力(B(X)T C(C)) T(3), ES
⑸B(b)TC(c)T(4), US
(6)A(G)T B(〃)T(2), US
(7)A(“)TC(e) T(5) (6), I
(8)V.vAG)->C(c) T(7), UG
(9)V.vA G) ->3yC (y) T ⑻，EG
四、只要今天天气不好，就一左有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。

所以，如果考试准时进行，那么天气就好(15分)。

解设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A(e)： e提前进入考场，个体域：考生的集合，则命题可符号化为：^.P^Bx-A G), 卜
⑴「P
(9)—,P—(Y)
⑶ V.M(X)T P T(2), E
⑷ V.M (x) O0 P
⑸(V.rA (x) T0 A (Q T V.M (x)) 7X4), E
⑹ Q T V.V U X) 7X5), I
⑺Q T P T(6)(3), I
五、已知A. B、C是三个集合，证明An(BUC) = (AAB)U(AnC) (10分)
证明：Vxe AO (BUC) o xe AAxe (BUC) 0 xe AA (xeBVxeC) o ( xw A AxeB) V (xe AAxeC) <=> xe (AAB) Vxe Anc<=> xe (AAB) U (ACC) AAA (B UC) = (AAB) U (AAC)
六、A={ x：, x：, x3 }, B={ yi, y2} > R={<x u yi>, <x：, y3>, <x3, y：>} ♦求其关系矩阵及关系
图(10分)。

七、设R={<2,1>, <2, 5>, <2,4>, <3,4>, <4,4>, <5, 2>},求r(R). s(R)和t (R),并作岀它们及R的关系图(15分)。

解：r(R) = {<2, 1>, <2, 5>, <2, 4>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 2>, <1, 1>, <2, 2>,
<3, 3>, <4,4>, <5, 5>}
s (R) = {<2,1>, <2, 5>, <2, 4>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 2>, <1, 2>, <4, 2>, <4, 3>}
R==R5={<2, 2>, <2, 4>, <3, 4>, <4, 4>, <5,1>, <5, 5>, <5, 4>}
R5={<2,1>, <2, 5>,〈2, 4>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 2>, <5, 4>}
R;={<2, 2>, <2, 4>,〈3, 4>, <4, 4>, <5, 1>, <5, 5>, <5, 4>}
t (R) = {<2, 1>, <2, 5>, <2, 4>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 2>, <2, 2>, <5, 1>, <5, 4>, <5, 5>}
八、设/?：是A上的等价关系，凡是B上的等价关系，AH0且BH0。

关系/?满足：«A-4,
5, y2»G/?<=><Alt QW凡且y z>ER29明R 是AXB 上的等价关系(10 分)。

证明对任意的y>^AXB,由凡是A上的等价关系可得<“ QW凡，由凡是B 上的等价关系可得<y, y>e/?;o再由R的左义，有<<v, y>, <x, y»G/?,所以/?是自反的。

对任意的〈兀，y>、<//> 若5 y>R<Ut v>,贝lj<x»且〈y, v〉WR：°由凡对称得〈心x>G/?:,由凡对称得3, y>G/?c。

再由/?的立义，有<<«, v>, 5 y»丘乩即<//, v>/?<x, y>,所以R是对称的。

对任意的y>、<i/t v>x t>EAXBt 若<A> y>/?<w»且<z/> v>R<.St F>,贝I J<L Y,I QWR：且Q, v>G/?3, <//, 5>G/?:且3, t〉WR“由<¥, u>ER^ <u. 5>G/?:及凡的传递性得a, 5>e/?u由<y, V>G/?S. <V,t〉WR：及凡的传递性得®f〉WR・・。

再由R的泄义, 有〈5 y九<5, r»e/?,即a, y>R<S9 />,所以/?是传递的。

综上可得，R是AXB上的等价关系。

九、设A T B, g：B T C, h： C—>A> 证明:如果hogof=l“ .河2g=/〃，g护h=Ic，则人g、力均为双射，并求出广、g-'和胪'(10分)。

解因n恒等函数，由hogoff可得/是单射，力是满射：因％恒等函数，由冋。

& =%可得g是单射，•/•是满射：因％恒等函数，由&。

何1=人可得力是单射，g是满射。

从而八&、力均为双射。

由hog寸=I A,得厂=lzg；由fohog=Ii“得g、=例；由gofoh=Ic,得h 壮=耐。

离傲赦禽试軀3衆备案耳
一、(10分)判断下列公式的类型(永真式、永假式、可满足式)？(写过程)
1)P->(PVQVR) 2)-,((Q T P) V「P) A (PVR) 3) ((「PVQ)T R)T((P/\Q) VR)
解：1)重言式；2)矛盾式：3)可满足式
二、(10分)求命题公式(PV(QAR))^(PVQVR)的主析取范式，并求成真赋值。

解：(PV(QAR))-»(PVQVR)<=>-n(PV(QAR))VPVQVR
0「P/\ (」QV「R) VPVQVR
O(「P/\「Q) v (「PA「R) V (PVQ) VR
o(「(P\/Q) V (PVQ)) V JP/\「R) VR
olV((「PA「R)VR)ol
<^nhVm： Vm^Vms Vmi VmaVnuVniT
该式为重言式，全部赋值都是成真赋值。

三、(10 分)证明((P/\QAA)->C)/\(AT(P\/Q\/C))o(AA(Pn))TC
证明：((PAQAA)->C) A (A^(PVQVC))«>(^(PAQAA) VC) A (-AV (PVQVC)) o((「PV 「QgA) VC) A ((-I AVPVQ) VC)
o((「PV「QgA) A (-AVPVQ)) VC
o「((「PV「QV j) A (^AVPVQ))->C
o(「(「PV「QV』V^(^AVPVQ))->C
<^>((PAQAA) V (A/\「PA「Q))T C
<^>(AA((PAQ) V(-nPA-Q))) TC
o(A/\ ((PV「Q) A(-nPVQ))) TC
o (A/\ ( (Q T P) A (P T Q))) T C
O(A/\(P O Q))T C
四、(10分)个体域为{1, 2},求X/xmy (x+y=4)的真值。

解：Vx3y (x+y=4) <=>Vx ((x+1 二4) V (x+2=4))
o ((1+1=4) V (1+2=4)) A ((2+1二4) V (2+2=4))
o (0V0) A (0V1) oOAloO
五、(10分)对于任意集合A, B,试证明：P(A)nP(B)=P(AAB)
解：VxeP(A) C1P(B), xeP(A)且xwP(B),有x^A 且xqB,从而xcAAB, xeP(An
B),由于上述过程可逆，故P(A)np(B)=P(AAB)
六、(10 分)已知A二{1, 2, 3, 4, 5}和R={<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 4>, <5, 4», 求r(R)、s(R)和t(R)o
解：r(R) = {<l, 2>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 4>, <5, 4>, <1, 1>, <2, 2>, <3, 3>,
<4, 4>, <5, 5>}
S(R)={<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 4〉, <5, 4>, <3, 2>, <4, 3>, <4, 5>} t(R)=«l, 2>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 4>, <5, 4>, <1, 1>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 4>, <b 4>}
七、(10 分)设函数f： RXR T RXR, R 为实数集，f 定义为：f(<x, y»=<x+y, x-y>。

1)证明f是双射。

解:1) V<Xi» y x>, <x：» y；>GRXR,若f(<x” yi>) =f (<x2, y3>),即<x)+y“ Xi-yRg+y釘x:-y->,则Xi+yFXs+y.且xi-yi=x:-yc得XFX：, yLy：从而f 是单射。

2) V<p> q>GRXR,由f (<x, y>)=<p, q>> 通过计算可得x=(p+q)/2： y=(p-q)/2；从而<p, q>的原象存在，f是满射。

八、(10分)<G, *>是个群.UGG,定义G中的运算“△”为aAb=a*u^*b,对任意s b
GG,求证：<G»△>也是个群。

证明：1) Va> bGG,迪b"*f*bWG,运算是封闭的。

2)Va, b, cWG, (aAb) Ac= (a*if'*b) *u_1*c=a*u n* (b*u_1*c) =aA (bAc),运算是可结合的。

3)VaGG>设E为△的单位元，则aAE=a*u'：*E=a,得E二u,存在单位元u。

4)VaGG> aAx=a*u":*x=E> x=u*a'x*u> 则xAa=u*a':*u*u'1*a=u=E,每个元素都有逆兀O
所以〈G, △>也是个群。

九、 (10 分)已知：D=<V, E>, V={1, 2, 3, 4, 5}, E={<1, 2>, <1, 4>, <2, 3>, <3, 4>, <3, 5>, <5,
1>},求D的邻接距阵A和可达距阵P。

解：1) D的邻接距阵A和可达距阵P如下：
0 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 P 二 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 1 1 1 1
十、（10分）求叶的权分别为2、4、6、8. 10. 12. 14的最优二叉树及其权。

解：最优二叉树为
权=(2+4) X4+6X3+12X2+(8+10) X3+14X2 = 148
离徽赦禽试题3衆各嚓4)
一、证明题(10分)
1)((PVQ) A^(-PA (-nQV-nR))) V JP/\「Q) V JP/UR)oT
证明：左端^((PVQ) A (PV (QAR))) V->((PVQ) A (PVR))(摩根律)o ((PVQ)
A (PVQ) A (PVR)) V^((PVQ) A (PVR))(分配律)o ((PVQ) A (PVR)) ((PVQ) A (PVR))(等幕律)OT (代入)
2)Vx(P(x)T Q(X))AV X P(X)<=>V X(P(X)AQ(X))
证明:V X(P(X)T Q(X)) A V X P (x)<=>Vx ((P (x) -»Q (x) AP (x))<=>Vx ((-»P (x) VQ(x) A
P(x))<=>Vx (P (x) AQ (x)) <=>VxP (x) A VxQ (x) <=>Vx (P (x) AQ(x))
二、求命题公式(「P T Q)T(PV「Q)的主析取范式和主合取范式(10分)
解：(「P T Q)T(PV「Q)0「(「P T Q) V (PV-nQ)^(PVQ) V (PV「Q)0(「P/UQ) V
(PV^Q) o(「PVPV「Q) A (-.QVPV-nQ)(PV-nQ)<=>Ml<»mOVm2Vm3
三、推理证明题(10分)
1) (P T (Q T S) ) A JR VP) /\Q=>R T S
证明：(1) R 附加前提
⑵「RVP P
⑶p T(1)(2),I
⑷ P T (Q T S) p
(5)Q->S T ⑶(4),
⑹Q p
⑺s ⑻R T S
2) Vx (P (x) VQ(x)) ♦ Vx —P(x)=>3x Q(x)
证明：(l)Vx 「P(x)
⑵「P(c)
(3) Vx(P(x) VQ(x)) (4) P(c) VQ(c) (5) Q(c) (6) 3x Q(x)
P T(1),US P T(3),US T(2)(4),1 T(5),EG
四、 例5在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们 组成的三角形（可能是退化的）而积不超过1/8 （10分）。

证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有 三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）而积不超过小正方形的一半，即1/8。

五、 已知A 、B 、C 是三个集合，证明An （BUC ） = （AAB ）U （AAC ） （10分）
证明：Vx6 AH (BUC) o xe AAxe (BUC) o xe AA (xeBVxeC) o ( xw A AxeB) V (xe AAxeC) xe (APB) Vxe AHto xe (AAB) U (AAC) A AH (B UC ） = （AAB ） U （AAC ） 六、
A ：,…，扎｝是集合A 的一个划分，泄义R 二｛</ b>|a. bGA t , 1=1, 2,…， n ｝,
则R 是A 上的等价关系（15分）。

证明：0aGA 必有i 使得aWA ：,由立义知aRa,故R 自反。

Va,bGA,若 aRb ,则 a,bEAu 即 b,aGAi,所以 bRr 故 R 对称。

Va,b,cGA,若 aRb 且 bRc,则 及 b,cGA“ 因为 iHj 时 A,CA 尸①，故 i 二j,
即a, b, cGAi ，所以aRc,故R 传递。

总之R 是A 上的等价关系。

七、 若f:A-B 是双射，则广:B-A 是双射（15分）。

证明:对任意的xGA,因为f 是从A 到B 的函数，故存在yWB,使<x,y>Gf, <y, x> 丘广。

所以，广是满射。

对任意的xWA,若存在y u y :EB,使得<y t ,x>Gf'1且5, x>^广，则有<x, y 4>Gf 且 <x,y=>ef.因为f 是函数,则yFy=o 所以，广是单射。

T(5) (6),1 CP
因此广是双射。

八、设＜6, *＞是群，＜A, *＞和〈瓦*＞是9, *＞的子群，证明：若AUB=G,则A=G或B=G
(10 分)。

证明假设AHG且BHG,则存在咗B,且存在bwB,臨A (否则对任意的aeA, aeB,从而
即AUB=B,得B=G,矛盾。

)
对于元素a*beG,若a*beA,因A是子群,a'&A,从而(厂* (a*b) =b eA,所以矛盾,故
u*beA a同理可证a*heB,综合有“*族AUB=G°综上所述，假设不成立，得证A=G或3=6。

九、若无向图G是不连通的，证明G的补图心是连通的(10分)。

证明设无向图G是不连通的，其k个连通分支为q、G"…、G-任取结点“、vGG,若“和V不在图G的同一个连通分支中，则［“，'，］不是图G的边，因而［“，门是图6的边：若“和v在图G的同一个连通分支中，不妨设其在连通分支q (lWiWk) 中，在不同于G”的另一连通分支上取一结点“•，则［“，⑷］和［»•, v］都不是图G的边，，因而［“，“■］和［“，，门都是乙的边。

综上可知，不管那种情况，“和v都是可达的。

由“ 和v的任意性可知，G是连通的。

离散数学试题(B卷答案5)
一、(10分)求命题公式「(PAQ)H「(「P T R)的主合取范式。

解：」(p/\Q)a「(「PTR)o (「(P/\Q)T「(「P T R)) A J JP T R)T「(P/\Q))
0 ((PAQ) V(^PA^R)) A ((PVR)V(^PV^Q))
o(P/\Q) V(「P/\「R)
o(PV「R)/\ (QV-nP) A (QV-nR)
＜=＞(PVQV^R) A (PV-nQV-nR) A (-.PVQVR) A (-.PVQV-.R)
二、(8分)叙述并证明苏格拉底三段论
解：所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。

符号化：F (x)： x是一个人。

G(X)： x要死的。

A：苏格拉底。

命题符号化为\/x (F (x) TG (x)), F (a) =＞G (a)
证明：
(1) V x(F (x) ―>G (x)) P
(2) F(a)^G(a) T(1),US
(3) F(a) P
(4) G(a) T(2) (3),1
三、 (8分)已知A、B. C是三个集合，证明ACl(BUC) = (AnB)U(AnC)
证明：VX6 An (BUC) o X6 AAxe (BUC)
0 xe AA (xeBVxeC)
<=> (xe AAxeB) V (xe AAxeC)
0 xe (AAB) Vxe AAC
0 xe (AAB) U (ACC)
A AH (BUC) = (AOB) U (ACC)
四、(10分)已知R和S是非空集合A上的等价关系，试证：1)RAS是A上的等价关系；2)对aGA> -&]和s二[ahQ [aJs。

解：VxGA,因为R和S是自反关系，所以<x,x>GR、<x, x>GS,因而<x, x>eRAS, 故RCS是自反的。

Vx. yGA,若<X,y>ERnS,贝IJ<x,y>eR. <x,y>eS,因为R 和S 是对称关系，所以因<y,x>WR、<y, x>GS,因而<y, x>eRClS,故RAS 是对称的。

Vx、y、zGA,若<x, y>GROS 且<几z>GRCS,则〈x, y>WR、<x, y>ES 且<* z>GR、<y, z>WS,因为R和S是传递的，所以因<x, z>GR. <x, z>GS,因而〈x, z>WRCS,故R ns是传递的。

总之RAS是等价关系。

2 )因为x e [a] a> e R n s<=>
<x, a>GRA<x, a>ES<=> xW [alxAxG [a]s0 xW [aJsCl La]s
所以[a]B ns=[a]tt n [also
五、(10 分)设A={dt h9 c, d}, R 是 A 上的二元关系，且R=(S b〉$ <b, a>9 <b, c>, <c, J>},求r(R)、HR)和r(/?)o
解r(R)=RU &={<“, b>9 <b, a>9 <b, c>, <c, J>, S d>, <b9 b〉, <c, c>, <d, d〉}
s(R)=RUF={S b>9 <b, a>9 <b, c>, <c, d>, <c, b〉, <d. c>}
F={3 d>,S c>, <b9b>,<b, d>]
R z={<a, b>, <a9d>, <b9d>, <b9c»
H={S Q, <E C>, <b, b〉, <b, d>}=R2
t(R) = \jR i ={<a, b〉, <b, <b, c>, <c, d>, <u, a>. <a9 c>, <b. b>9 <b, i・i
d>, <G d>}
六、(15分)设A、B、C、D是集合，f是A到B的双射，g是C到D的双射，令h：AX
C T BXD且Vgc>GAXC, h«a,c»=<f(a),g(c)>o 证明h 是双射。

证明：1)先证h是满射。

V<b, d>GBXD>则beB, dGD,因为f是A到B的双射，g是C到D的双射，所以存在aGA, cGC,使得f(a)=b, f(c)=d,亦即存在<a, c>EAXC,使得h«a, c» = <f(a),g(c)>=<b, d>,所以h 是满射。

2)再证h是单射。

V<al, cl>. <a2,c2>GAXC,若h«al,cl» =h«a2, c2» ,贝lj<f (al), g(cl)> = <f(a2),g(c2)> ,所以 f (al)=f(a2), g(cl)=g(c2),因为 f 是 A 到 B 的双射,g 是 C 到D的双射，所以al=a2, cl=c2,所以<al,cl>=<a2, c2>,所以h是单射。

综合1)和2), h是双射。

七、(12分)设“，*>是群，H是G的非空子集，证明〈H, *>是"，*>的子群的充要条件是若/ beH,则有a*b"x eHo
证明：=> Va,bEH Wb'GH.所以a*b-1eHo
uVaWH,则e=a*a-1GH
aFa"H
Va,beH 及b，H, Aa*b=a* (bJ 隹H
VHcG且HH® .・.*在H上满足结合律
*>是匕*>的子群°
八、(10分)设G=<V, E>是简单的无向平面图，证明G至少有一个结点的度数小于等于5。

解：设G的每个结点的度数都大于等于6,则2|E =Id(v)>6|V，即|E|M3 V|,与
简单无向平面图的E|W3 V -6矛盾，所以G至少有一个结点的度数小于等于5。

九.G=<A, *>,A={a,b,c}, *的运算表为：(写过程，7分)
* a b c
a a
b c
b b
c a
c cab
(1)G是否为阿贝尔群？
(2)找出G的单位元：(3)找出G的幕等元(4)求b的逆元和c的逆元解：(1) (a*c) * (a*c) =c*c=b=a*b= (a*a) * (c*c)
(a*b)*(a*b)=b*b=c=a*c=(a*a)*(b*b)
(b*c)* (b*c)=a*a=a=c*b=(b*b)*(c*c)
所以G是阿贝尔群
(2)因为a*a=a a*b=b*a=b a*c=c*a=c 所以G 的单位元是a
(3)因为a*a二a所以G的幕等元是a
(4)因为b*c=c*b=a,所以b的逆元是c且c的逆元是b 十、(10分)求叶的权分别为2. 4、6、& 10、12、14的最优二叉树及其权。

解：最优二叉树为
权= 148
离散数学试题CB卷答案6)
一、(20分)用公式法判断下列公式的类型：
(1—
(2)(P 如)T(PA「(QW)
解：(1)因为(「PV「0T(P0「04(「PV「0\/(P/\「Q)\/(「PA0
o(PA 0V(PA-n0V(^PAQ)
o加］V m2 V m3
oM()
所以，公式0)为可满足式。

(2)因为(P/Q)T(P/\「(0\Z「R)Q「(「(PV0)V(PA^(2A/?))
<=>(PV0V(PA-CA/?))
<=>(PV0VP)A(PV(?V-,0A(PVeV/?) <=>(PV0A(PV0V/?)
<=>(PV0V(/?A^))A(PV(?V/?)
<=>(PV0V/?)A(PV0V^/?)A(PVCV/?)
o〃“ V m3 V m4 V 叫 V /n6 V m7
所以，公式(PJ0)T(P/\「(0W))为可满足式。

二、(15分)在谓词逻辑中构造下面推理的i正明：每个科学家都是勤奋的，每个勒奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。

存在着身体健康的科学家。

所以，存在着事业获得成功的人或事业半途而废的人。

解：论域：所有人的集合。

0( X): X是勒奋的：H(X): X是身体健康的；5(% )：X是科学家；C(X)： x是事业获得成功的人；F(x )： x是事业半途而废的人：则推理化形式为：
0 X ( S ( X )T Q ( X )) , 0 X ( Q g) A H ( X )T C ( X )), 3 X ( s ( X ) A H (X))\-3x(C(X)\J F(X))
下而给出证明：
(1)3x(s(x)A W(X))P
(2)S(a)/\H (a)T(l), ES
word ・・
⑶ Vx(5(xWC(x)) P
⑷S(“)TQ(a)T(l), US
(5)S(d) T(2), I
⑹ g) T(4)(5), I
(7)〃(d) T(2), I
⑻Q(a)/\H(a)T(6)(7), I
⑼V x(Q(x)/\H (x)^C(x))P
(10)0(“)/\H(“)TC(d)T(9), Us
(H)C(«) T(8)(10), I
(12) 3 x C(x)T(ll), EG
(13) 3 X(C(X)VF(A )) T(12), I
三、(10 分)设A = {0, 1, {1}}, B={0, {0}},求P(A)、P(B)_{0}、P(B)@B O 解P(A)={0, {0},
{I}, {{1}}, {0,1}, {0, {1}}, {[, {1}}, {0,1, {1}}} P(B)-{O} = {0, {0}, {{0}}, {0, {0}} — {O} = {0, {0}, {{0}}, {0, {0}}
P(B)@B={0, {0}, {{0}}, (0, {0}}©{0, {O}} = {0, 0, {{0}}, {0, {0}}
四、(15分)设/?和S是集合A上的任意关系，判断下列命题是否成立？
(1)若/?和S是自反的，则R*S也是自反的。

(2)若R和S是反自反的,则R*S也是反自反的。

⑶若R和S是对称的，则也是对称的。

(4)若R和S是传递的，则R*S也是传递的。

(5)若R和S是自反的,则RCIS是自反的。

(6)若R和S是传递的，则RUS是传递的。

解(1)成立。

对任意的"丘4,因为R和S是自反的，贝ij<d , a>WR, <a, a> WS,于是a>ER*S,故R*S也是自反的。

(2)不成立。

例如，令A={\, 2}, R={<1, 2>), S={<2, 1>},则/?和S是反自反的，但R*S={<\, 1>}不是反自反的。

(3)不成立。

例如，令A={\, 2, 3}, 2>, <2, 1>, <3, 3>}, S={<2, 3>,
<3, 2>},则R和S是对称的，但R*S={<1, 3>, <3, 2>}不是对称的。

(4)不成立。

例如，令A={\, 2, 3}, R={<\, 2>, <2, 3>, <1, 3>}, 5={<2, 3>, <3, 1>, <2, 1>},则R 和S 是传递的,但/?*S={<1, 3>, <1, 1>, <2, 1>}不是传递的。

(5)成立。

对任意的a^A,因为R和S是自反的，贝a>^R, , ">GS,
于是<“，所以RCiS是自反的。

五、(15 分)令X={xi，疋，…，心}, Y= {>'i, >'2»…，曲。

问
(1)有多少个不同的由X到F的函数？
(2)当”、用满足什么条件时，存在单射，且有多少个不同的单射？
(3)当”、川满足什么条件时，存在双射，且有多少个不同的双射？
解(1)由于对X中每个元素可以取丫中任一元素与其对应，每个元素有"种取法，所以不同的函数共卅个。

(2)显然当时，存在单射。

由于在丫中任选加个元素的任一全排列都形成X到Y的不同的单射，故不同的单射有C'" m\=n(n—V)(n—m—V)个。

(3)显然当b“l=l皿时，才存在双射。

此时丫中元素的任一不同的全排列都形成X到Y 的不同的双射，故不同的双射有加个。

六、(5分)集合X上有加个元素，集合丫上有“个元素，问X到Y的二元关系总共有多少个？
解X到Y的不同的二元关系对应XXY的不同的子集，而XX K的不同的子集共有个2""',所以X到Y的二元关系总共有2"”'个。

七、(10分)若<6, *>是群，则对于任意的"、bEG,必有惟一的A GG使得t/*A = be
证明设£是群vG, *>的幺元。

令则a^x=a^r l^b)=(a*a"i)^b=e*b=bo
所以，x=a~^b是“h=b的解。

若yeG也是a^x=b的解，则北=€妆=(/%)吹=4 妆)=/|粘=启所以，X
=“ i*b是a*x=b的惟一解。

八、(10分)给泄连通简单平而图G=<V, E, F>,且M=6, IEI=12。

证明：对任意、徑F,〃(/) = 3。

证明由偶拉公式得IVI — IEI+IFI=2,所以IFI=2—IW+IE1 = 8,于是工"(f) =2IE=
24c若存在/GF,使得d(f)>3,则3IFI<2IE=24,于是IFK8,与IFI=8矛盾。

故对任意、岸 F,〃(/) = 3。

亥散數学洪题(B卷篆余7)
一、(15分)设计一盏电灯的开关电路，要求受3个开关A、B、C的控制：当且仅当A^C同时关闭或B和C同时关闭时灯亮。

设F表示灯亮。

(1)写出F在全功能联结词组｛T｝中的命题公式。

(2)写岀F的主析取范式与主合取范式。

解(1)设A：开关A关闭：B：开关B关闭：C：开关C关闭；F=(AAC)V(BAC)O 在全功能联结词组｛T｝中：
-v4<=>-,(A AA QAT A
A A A A c)o「( A T CQ(A T C)T(A T C)
AVBO—/\「B)O「(( A?A)A(BtB))O( A T A)T(B T B)所以
FO((A T C)T(A T C))V((B T C)T(B T C))
O(((A T C)T(A T C))T((A T C)T(A T C)))T(((B T C)T(B T C))T
((B T C)T(B T C)))
(2)F<=>(AAC)V(BAC)
<=>(AA(fiV-^)AC)V((AV-^)ABAC) <=>(AABAC)V(AA-^AC)V(AAfiAC)V(-^ABAC) V m s V w7主析取范式
oM小M\!\M+M小M,主合取范式
二、(10分)判断下列公式是否是永真式？
(1 )G X4(X)T办B(x))Tlr(A(x)TB(x))。

(2)(Wl(x)TVxB ⑴)T V X(A(X)T B(;V)))。

解(1 )(m.S(x)TlrB(x))T%G4(x)TB(x))
O(-3.U(x) V H X B(X))T3X(A(J0T B(X))
Cv)V %B(x)) V 3x(-iA(x)VB(x))
<=>(lvA(x) AV 3x-u4(x) V 3A B(X)
O(3xA(x) V 3A-^(X) V IvB(x)) A (^3.vB(x) V 3A7(X) V 3A B(.¥))
o3x(A(x) V -A(x)) V 3xB(x)
oT
所以，(mx4(x)TmABa))Tlr(A(x)TB(.Y))为永真式。

(2)设论域为{1, 2},令A(1)=T： A(2)=F：B(1)=F； B(2)=T.
则V.t4(x)为假，V.\B(x)也为假，从而\/A A(X)->V.\B(X)为真：而由于A(1)->B(1)为假，所以X7X(A(X)T B(X))也为假，因此公式(V X4(X)T V X B(X))TD X(A(X)T B(X))为假。

该公式不是永真式。

三、(15 分)设X 为集合，A = P(X) — {0} — {X}且AH0,若1X1=",问
(1)偏序集<A，匸>是否有最大元？
(2)偏序集<A,匸>是否有最小元？
(3)偏序集<A,匸>中极大元和极小元的一般形式是什么？并说明理由。

解偏序集<4,匸〉不存在最大元和最小元，因为心2。

考察P(X)的哈斯图，最底层的顶点是空集，记作第0层，由底向上，第一层是单元集，第二层是二元集，…，由1X1=/n则第“一1层是X的"一1元子集，第”层是X。

偏序集<4,。

与偏序集<P(X),匸>相比，恰好缺少第0层和第"层。

因此<4,。

的极小元就是X的所有单元集，即{x}, xGX；而极大元恰好是比X少一个元素，即X —{»•}, xG X
四、(10 分)设A = {1, 2, 3, 4, 5}, /?是人上的二元关系，且/?={<2, 1>, <2, 5>, <2> 4>, <3» 4>, <4, 4>, <5, 2>}> 求r(R)、$(/?)和
解r(R)=RUI A = {<2, 1>, <2, 5>, <2, 4>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 2>, <1, 1>, <2, 2>, v3, 3>t v4, 4>, v5, 5>)
s(R)=RUR } = {<2. I>, <2, 5>, <2, 4>, <3, 4>, <4, 4>, v5, 2>, vl, 2>, v4, 2>, <4, 3>}
/?2={<2, 2>, <2, 4>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 1>, <5, 5>t <5, 4>}
用={<2, 1>, v2, 5>, <2, 4>, <3, 4>i <4, 4>, <5, 2>» <5, 4>}
用={<2, 2>, <2, 4>, <3, 4>, <4, 4>, <5, !>♦ <5, 5>> <5, 4>}=R2
t(R)= U R i={<29 1>, <2» 5>, <2, 4>, <3, 4>, <4, 4>, v5, 2>, <2» 2>, <5, i-i
1>, <5> 4>, <5» 5>)o
五、(10 分)设函数g： A—/： B—>C,
(1)若少g是满射，则/是满射。

(2)若鳶是单射,则g是单射。

证明因为g：/：B-C,由泄理5.5知，户g为A到C的函数。

(1)对任意的zWG因用是满射，则存在使,Mx)=z.即・/(g(x))=z。

由g：A-^B 可知g(x)GB,于是有y=g(x)WB,使得f(y)=z<.因此,/是满射。

(2)对任意的X\> X2^A,若X\^X2,则由闷是单射得于是/(g(Q))
HJlg(X2))，必有g(xi)Hg(X2)。

所以，g 是单射。

六、(10分)有幺元且满足消去律的有限半群一定是群。

证明设<G, b是一个有幺元且满足消去律的有限半群，要证<G, *>是群，只需证明G的任一元素“可逆。

考虑“，0,…，小，…。

因为G只有有限个元素，所以存在k>l,使得泸=/。

令m=k—b有其中e是幺元。

由消去率得严=e°
于是，当m=\时，a=e9而a是可逆的：当m>\时，(产於'=旷从而“ 是可逆的，其逆元是W总之，“是可逆的。

七、(20分)有向图G如图所示，试求:
(1)求6的邻接矩阵儿」
(2)求出"、"和”,刃到内长度为1、2、3和4的路有多少?
(3)求出北4和W 说明A少和AA丁中的第⑵2)元素和第(2, 3)元素的意义。

⑷求出可达矩阵
(5)求出强分图。

解(1)求0的邻接矩阵为：
0 10 1
0 0 11 /1 =
0 10 1
,0 1 0 0;
(2)由于
z
0 1 1 1
0 2 0 1 =
0 1 1 1 0 0 11
所以刃到内长度为1. 2、3和4的路的个数分别为1、1. 2、3。

G)由于
再由左理10.19可知，所以的第(2, 2)元素为3,表明那些边以呛为终结点且具
有不同始结点的数目为3,英第(2, 3)元素为0,表明那些边既以乜为终结点又以与为终 结点，并且具有相同始结点的数目为0。

A/T 中的第(2, 2)元素为2,表明那些边以呛为 始结点且具有不同终结点的数目为2,其第(2, 3)元素为1,表明那些边既以乜为始结点 又以鸟为始结点，并且具有相同终结点的数目为―
构成G 的强分图。

离散数学试题(B 卷答案8)
一、(10 分)证明(PVC)A (P^R)A (Q^S)I-SV/?
0 3 2 3 0 4 1 3 0 3 2 3 0 1 2 2
z
0 0 0 0 A T
A =
0 3 1 2 0 0 1 1
2 1 3
」
4 1 2 r
・T 1 2 1 0 AA J = 2 1 2 1
1 0
2 1
0 2 1
0 2 0
\
因
血=人+屮+爪+
(5)因为"声=
> 所以{ n }» {呛，, v 4}
证明因为SVR O Y T S,所以，即要证(PV0)/\(P T R)/\(Q T S)I-「R T S。

附加前提
⑵P T R p
⑶" 丁(1)(2), /
(4)PV0 p
(5)。

T(3)⑷,I
⑹Q T S p
(7)S ”5)(6), /
⑻"T S CP
⑼SVR 7X8), E
二、(15分)根据推理理论证明：每个考生或者勤奋或者聪明，所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有考生都将有所作为，所以，一泄有些考生是聪明的。

设P(e)： e是考生，Q(e)： e将有所作为，A(e)： e是勤奋的，B(e)： e是聪明的，个体域：人的集合，则命题可符号化为:Vx(P(.rW(A(x)V%•))), Vx(A⑴Tg)),
「W(P(x)TQ(x))卜取 P(x) A B(x))。

(l)「Vx(P(x)TQ(x)) P
(2)^V X(^P(X)V(2M)^l), E
(3)3x(P(x)/\^Q(x))TO), E
(4)P(“)心0(“)T(3), ES
(5)P(“)W), I
(6)「0(“)W), I
(7)V A(P(A-W(A(X)VB(A)) p
(8)P(")T(A(“)\/B(“))717 ), US
(9)A(")VB(“)T(8)(5), I
(1O)WU X)T0(Q) p
(11)A(“)TQ(“)T(10), US
(⑵—3) 1(H)(6), I
(⑶ B(“)T( 12)(9), I
(14)P(a)AB(a)r(5)(i3), i
（1 5）3A（P（X） A B（.V））7（14）, EG
三、（10分）某班有25划学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数。

解设A、B、C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。

贝叽
141=12, IBI=6, ICI=14, L4CCI=6, IBCCI=5, L4nBACI=2, l（AUC）nBI = 6o 因为i（Auc）nBi=（AnB）u（Bnc）i=i（An^）i4-i（Bnc）i-iAn5nci=i（AnB）i+5-2 =6,所以l（Anfi）l = 3o 于是L4UBUCI=12+6+14 — 6 — 5 — 3 + 2=20, \ =25 -20=5o故，不会打这三种球的共5人。

四、（io分）设儿、出和如是全集“的子集，则形如n AiW为戌或可）的集合称为由旳、出和如产生的小项。

试证由加、A2和和所产生的所有非空小项的集合构成全集U的一个划分。

证明小项共8个,设有『个非空小项力、52 ................ MW8）。

对任意的dWU,则aEAi或忑，两者必有一个成立，取为包含元素a的Ai 或石，则"W A
A/,即有“W U 于是t/cU Si。

又显然有U s,^U,所以U= U s,»
i-i r-1 i-l i-1 i-l
任取两个非空小项引和％,若Sp^Sq,则必存在某个凡和瓦分别岀现在为和％中，于是SpC\Sq = 0o
综上可知，｛Si，S2, ...» S r｝是〃的一个划分。

五、（15分）设/?是A上的二元关系，贝I］：/?是传递的OR*RUR。

证明（5）若R是传递的，则<x, y> G R^R^3z（xRz A zSy）^.\Rc A eSy,由R是传递的得
x心，即有y>^R,所以R*RjR°
反之，若R*RuR，则对任意的x、y、Z",如果且则5 y>£/?*/?,于是有<「y>G/?,即有xRy,
所以R是传递的。

六、（15分）若G为连通平面图，贝ljn-/n + r=2,其中，小”八r分别为G的结点数、边数和面数。

证明对G的边数加作归纳法。

当加=0时，由于G是连通图，所以G为平凡图，此时n=l, r=l,结论自然成立。

word ・・
假设对边数小于m的连通平而图结论成立。

下而考虑连通平而图G的边数为加的情
况。

设e是G的一条边，从G中删去e后得到的图记为G,并设英结点数、边数和而数分别
为讥祢和人对e分为下列情况来讨论:
若e为割边，则G，有两个连通分支Gi和G" G的结点数、边数和而数分别为厲、 ""和八。

显然”|+“2=”'=", 〃?|+加2=川'=丿”一1, n + r2=/+l=r+lo由归纳假设有”1—"“ +门=2, "2一”〕2+门=2,从而("i+"2)—(〃?1+加2)+(门 + 门)=4,"一(用―l) + (r+ 1)=4,即n—m -\-r=2o 若e不为割边,则n'=n, m,=/n—1, /=r—1,由归纳假设有卅—”/+r*=2,从而”一(加一
l)+r—1=2, 即”一皿+尸=2。

由数学归纳法知，结论成立。

七、(10 分)设函数g： A—B, f： BY,贝ij：
(1加£是A到C的函数；
⑵对任意的x G A,有-
证明(1)对任意的xWA,因为g： A—是函数，则存在yWB使<「y>Wg。

对于y WB,因/：B-C是函数，则存在zGC使<y, 根拯复合关系的定义，由5 y>G
g 和<.y, z>^/W<v, z>Wg*f，即《, 7>丘何。

所以Df^=A o
对任意的xWA,若存在y】、y2^C,使得<「》>、<x, yi>Efog=g*f,则存在“使得a /i>Wg 且Vi, yi>e/,存在门使得<x, 且"，yi>^f a因为g：A^B是函
数，则ri=/2o又因/：B-C是函数，则门=力。

所以A中的每个元素对应C中惟一的元素。

综上可知，力g是A到C的函数。

(2)对任意的A GA,由g：A^B是函数，有a, g(x)>Wg且g(x)WB,又由.f：B-C 是函数，得<g(x),总0))>今,于是<x, Jtgay)>Wg*f=f>g。

又因户g是A到C的函数, 则可写为.蘇(x)=Ag(x))。

八、(15分)设vH, *>是vG, 的子群，定义R={<a9 b>\a. bWG且/旳疋丹}, 则R是G中的一个等价关系，且[a]R=aH.
证明对于任意“GG,必有a ^G使得a ^a=e^H.所以vg a>^R.
若V", b>GR,则QWH。

因为H是G的子群，故(“-忤尸所以<4 a> W R、
若va b>WR, <b, c>WR、则afbWH, b^c^H.因为H是G 的子群，所以(“
1 */?)*(/? !*c)=t/ 故o^R.
综上可得，R是G中的一个等价关系。

对于任意的h^[a]R,有v“，/?>G/?, u、bEH,则存在hWH使得/i#b=n b=(刊, 于是bGaH,⑷心H。

对任意的bWaH,存在hWH使得b=u*d Q#b=hWH, s b>WR,故aHQ[a]R.所以，[U]R=U H.
富散数学试题(B卷篆余9)
一.(10 分)证明(P/\Q/\ATC)/\(ATPV0\/C)O(A/\(P00)TG
证明：(P/\(2/\A^C)/\(A^PVQVC)<^(^PV^V-AVC)/\(-AVPVQVC) ^(..PV^V-vlVOAC-
vlVPVCVC) <=>((-.PV-n(?V^4)A(-v4VPV0)VC
<=>-.((PAQAA)V(AA-r/\-.()))VC
o「( AA((PA0V (V A^)))VC
<=>-,(A A(Po0) VC <=>(AA(Po(2)WCo
二、(10分)举例说明下而推理不正确：\/Ty(P(x)T0S), Vy3z (R (y) T Q(Z))卜3xVz (P G) T R (z))。

解：设论域为{1, 2},令P(1)=P(2)=T： Q(1)=Q(2)=T； R(l)=&2)=F°则:
VTy(P(x)T0(y))O0x((P(x)T0( 1 ))V(P(A)^0(2)))
O((P( 1 )T0( 1)) V(P(1 )TQ(2))) A ((P(2)T0( 1 ))V(P(2 )T0(2))) O((T T T)
V (T T T)) A ((T T T) V (T T T))oT
Vy 玉(R(y)TQ(z))O 叭((R(y)TQ( 1 ))V(/?(j)->(?(2))) O((R( 1 )T0( 1)) V (/?(1 )TQ(2))) A ((R ⑵ TQ( 1)) V (R(2) T0(2))) O((F T T) V (F T T)) A ((F T T) V (F T T))
oT
但
办Vz(P(x)TR ⑵)0 玉((P ⑴T/?( 1 ))A(P(A)->/?(2)))
O((P( 1 )TR( 1))A(P(1 )T R(2))) V((P(2)->/?( 1))A (P ⑵ T R⑵))
O((T T F) A (T T F)) V((T->F) A (T T F))
OF
所以，％my(P(x)TQ(y)), Vy玉(R(y)T0⑵)T X X/Z(P(X)T R⑵)不正确。

三、(15分)在谓词逻辑中构造下而推理的证明：所有牛都有角，有些动物是牛，所以，有些动物有角。

解：令P(x )： x是牛；Q(x)： x有角：/?(x )：x是动物：则推理化形式为：
V X(P(X)T0(X)), 3 x(p(x)/\R(x))\-Bx(Q(x)j\R(x))
下而给出证明：
⑴3X(P(X)/\R(X))P
⑵P(a)/\R(a)T(l), ES
⑶ VX(P(X)TQ(X)) P
⑷P(a)TQ(“)T(3), US
(5)P(a) T(2), I
⑹ g ) T(4)(5), I
(7)/?(d) T(2), I
⑻Q(a)/\R(a)T(6)(7), I
⑼3X(Q(X)/\R(X))T(8), EG
四、(10 分)证明(AnB)X(CAD)=(AXC)n(BXD).
证明：因为y>G(AAB)X(CnD)<=>xE(AnB)AyG(CnD)<=>.veAAxGBAyGC
/\yWDo(xWA/\yGC)/\(xGB/\〉€D)o<「y>GAXCA<v»y>^BXD<=><x. y>^(AX C)n(BXD),所以(AnB)X(CnD)=(AXC)n(BXD)o
五、(15 分)设 A = {1, 2, 3, 4, 5}, R 是 A 上的二元关系，且/?={<2, 1>, <2,
5>, <2> 4>, v3. 4>, <4> 4>> v5, 2>}> 求r(/?)x s(R)和KR)。

解r(R)=RUI A={<2, 1>, <2» 5>, v2, 4>, <3, 4>, <4t 4>» v5, 2>, <1, !>♦
<2, 2>, <3, 3>> <4, 4>> <5, 5>}
s(R)=RUR =={<2, 1>, <2, 5>i <2, 4>, <3, 4>, <4, 4>> <5 ,2>, <1, 2>>
<4, 2>, <4, 3>}
R2={V2,2>, v2, 4>, <3> 4>, v4, 4>, <5, 1>, v5, 5>» v5, 4>}
R3={<2,1>, <2, 5>t v2, 4>t <3, 4>, <4, 4>, <5, 2>» v5, 4>}
用={<2, 2>, v2, 4>i <3, 4>t v4, 4>i v5, 1>, <5, 5>, <5, 4>}=R2
t（R）= U /?,= {<2, 1>, <2» 5>, <2> 4>, <3t 4>, <4, 4>, <5> 2>, <2> 2>, <5» i-i
1>, <5> 4>, <5t 5>}o
六、（10分）若函数_/：A^B是双射，则对任意XWA,有,f >（A X））=A O
证明对任意的xGA,因为.f：A-B是函数，则5心）>今，于是勺々），x）G.fL
由f"是B到A的函数，于是可写为f ,（/l.r））=x o
七、（10分）若G为有限群，则IGI=IHI・ [G:H]。

证明设[G.H]=k,⑵、⑴....... 做分别为片的R个左陪集的代表元，由定理&38得
k k
G = = U ® H
/=1 /=!
又因为对H中任意不同的元素x.y^H及“WG,必有所以k/iWl=... = kuHI
=IHIo因此
IG 1=1 fj a t H 1=为I a t H \ = klHl=\H\ • [G：H],
I f-]
八、（20分）（1）画岀3阶2条边的所有非同构有向简单图。

解：由握手左理可知，所画的有向简单图％结点度数之和为4,且最大出度和最大入度均小于或等于2。

度数列与入度列、岀度列为：
1. 2. 1：入度列为0、1、1或0、2. 0或1、0、1：出度列为1. 1、0或1. 0、1
或0、2、0
2、2、0：入度列为1、1、0：出度列为1、1、0。