4参数Logistic拟合算法

4参数Logistic 拟合算法详解

1. 方程形式：

00101A p x x A A y +⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=

曲线形状：S 型递增或递减。

A1：x 趋近于无穷大或无穷小时，y 的最大值；

A0：x 趋近于无穷大或无穷小时，y 的最小值；

X ：曲线拐点；

P ：与拐点处曲线斜率相关 2. 拟合算法：高斯牛顿迭代法

第一步：做Logit-Ln 线性回归，求A1, A0, x 和p 的初值。此时x 不能为0值，若输入的x 有0值，则将其设为一小值（例如：0.00001）。

首选将原方程变形为如下线性形式：

x p x p y A A y ln ln ln 010-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+- 将A0的初值设为输入的y 值的最大值加1，A1的初值设为输入的y 值的最小值减0.1。通过简单的直线拟合即可求出p 和x0的初值。

第二步：对Logistic 方程四个参数求偏微分，得到y 对给定系数的增量（△A1, △A2, △x, △p ）的泰勒级数展开式。

p x x A y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂0111

p x x A y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂02111

p

p x x x x A A x p x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂02001001

2001001ln ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂p p

x x A A x x x x p y 泰勒级数展开式为： )(0000110p p

y x x y A A y A A y y y ∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+= 由此，将曲线回归转化为多元线性回归，通过迭代计算，得到四个参数的变量△A1, △A2, △x, △p ，逐步修正四参数的值。多元线性回归与多项式拟合方法相同，具体步骤如附录流程图所示。

每一次迭代可计算出参数变量值，新的参数值为原参数值与变量值的叠加。

第三步：为保证迭代收敛，在计算相关系数时，引入一系数a ，初值设为2，将a 与参数的变量矩阵相乘，计算相关系数。a=a/2，循环10次，每次a 的值减半。取循环中得到的相关系数最大的变量矩阵[△A1, △A2, △x, △p ]。

第四步：默认总的迭代次数为1000次，或者当相关系数不再减小时，则迭代停止。返回得到的四参数值。

附录：直线拟合和多项式拟合计算流程。