人教版高中数学必修41.4.3 正切函数的性质与图象

1．函数y ＝tan(π4

－x )的定义域是( ) A ．{x |x ≠π4

，x ∈R } B ．{x |x ≠－π4

，x ∈R } C ．{x |x ≠π4

＋k π，k ∈Z ，x ∈R } D ．{x |x ≠3π4

＋k π，k ∈Z ，x ∈R } 解析：选D.由题意，得π4－x ≠π2＋k π，解得x ≠－π4－k π(k ∈Z )，即x ≠34

π＋k π(k ∈Z )． 2．函数y ＝tan x (－π4≤x ≤π4

且x ≠0)的值域是( ) A ．[－1,1]

B ．[－1,0)∪(0,1]

C ．(－∞，1]

D ．[－1，＋∞)

解析：选B.根据函数的单调性可得．

3．函数y ＝|tan 2x |是( )

A ．周期为π的奇函数

B ．周期为π的偶函数

C ．周期为π2

的奇函数 D ．周期为π2

的偶函数 解析：选D.f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2

. 4．y ＝tan(2x ＋π3

)的一个对称中心是( ) A ．(π6

，0) B ．(23π，－33) C ．(23

π，0) D ．(－π6

，0) 解析：选D.令2x ＋π3＝k 2

π(k ∈Z )， ∴x ＝－π6＋k 4

π(k ∈Z )． k ＝0时，对称中心为(－π6，0)．

5．函数f(x)＝

sin x

|cos x|在区间[－π，π]内的大致图象是如图所示的()

解析：选B.f(x)＝

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧tan x，x∈[0，π2)，

－tan x，x∈(

π

2，π]，

tan x，x∈(－

π

2，0)，

－tan x，x∈[－π，－

π

2).

6．－tan

6π

5与tan(－

13π

5)的大小关系是________．

解析：－tan

6π

5＝－tan

π

5，

tan(－

13π

5)＝－tan

13π

5＝－tan

3π

5.

∵0<

π

5<

3π

5

<π，又y＝tan x在(0，π)上单调递增，

∴tan

π

5

3π

5，则－tan

6π

5>tan(－

13π

5)．

答案：－tan

6π

5>tan(－

13π

5)

7．在(0,2π)内，使tan x>1成立的x的取值范围为__________．

解析：利用图象y＝tan x位于y＝1上方的部分对应的x的取值范围可知．

答案：(

π

4，

π

2)∪(

5

4

π，

3

2

π)

8．已知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝

π

4所得线段长为

π

4，则f(

π

4)的值为________．

解析：∵f (x )的图象的相邻两支与y ＝π4

所截得线段的长度即为f (x )＝tan ωx 的一个周期，∴πω＝π4，ω＝4，因此f (π4)＝tan(4×π4

)＝tan π＝0. 答案：0

9．求函数y ＝tan x －1tan (x ＋π6

)的定义域． 解：根据题意，得

⎩⎪⎨

⎪⎧ tan x ≥1，tan (x ＋π6)≠0，x ＋π6≠π2＋k π.

解得⎩⎪⎨⎪⎧ π4＋k π≤x <π2＋k π，x ≠－π6＋k π，x ≠π3＋k π.

所以函数的定义域为[π4＋k π，π3＋k π)∪(π3＋k π，π2

＋k π)(k ∈Z )． 10．求函数y ＝3tan(π6－x 4

)的周期和单调区间． 解：∵y ＝3tan(π6－x 4)＝－3tan(x 4－π6)， ∴T ＝πω＝π1

4

＝4π. 由－π2＋k π

＋k π(k ∈Z )，得 －4π3＋4k π

＋4k π(k ∈Z )． ∵y ＝3tan(x 4－π6)在(－4π3＋4k π，8π3

＋4k π)(k ∈Z )内单调递增， ∴y ＝－3tan(x 4－π6)在(－4π3＋4k π，8π3

＋4k π)(k ∈Z )内单调递减． 故原函数的周期为4π，单调递减区间为(－4π3＋4k π，8π3

＋4k π)(k ∈Z )．