初中代数几何综合题(一)

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代数几何综合题（一）

代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。

例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。

解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,

∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO

9090, A （2，0）

，C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90

∴∆∆BOP PAC ~

∴

=PO AC BO PA ，∴=

+||||||x y x 2

2

， x y x y x

<<∴

=

-0022，，∴=-+y x x 1

2

2

（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,

当x =-1时，y =-32，∴=CA 3

2

BO a BOQ CAQ OQ AQ BO

CA

//~,，∴∴

=

∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2

∴

-=∴=m m m 2232

8

7

， y

B

a

O Q A

P x

C

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Q 点坐标为(

)8

7

0，

说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。

练习

1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.

(1)求证：CD ∥AO ；（3分）

(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。（4分）

2．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m -3=O 的两根，且x 1<0

(2)设点C 在y 轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m 的值；

(3)在上述条件下，若点D 在第二象限，△DAB ≌△CBA ，求出直线AD 的函数解析式.

A B C D O

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3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。

① 如图，将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，求点D 的坐标；

② 在①中，设BD 与CE 的交点为P ，若点P ，B 在抛物线2

y x bx c =++上，求b ，c 的值； ③ 若将纸片沿直线l 对折，点B 落在坐标轴上的点F 处，l 与BF 的交点为Q ，

若点Q 在②的抛物线上，求l 的解析式。 4、（2005年绍兴）一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。 ①求直线AC 的解析式；

②若M 为AC 与BO 的交点，点M 在抛物线2

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y x kx =-

+上，求k 的值； ③将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，试判断点D 是否在②的抛物线上，并说明理由。

5．已知：在矩形ABCD 中，AB=2，E 为BC 边上的一点，沿直线DE 将矩形折叠，使C 点落

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在AB 边上的C 点处。过C ′作C ′H ⊥DC ，C ′H 分别交DE 、DC 于点G 、H ，连结CG 、CC ′，CC ′交GE 于点F 。

（1） 求证：四边形CGC ′’E 为菱形； （2）

设x CDE =∠sin ，并设DE

DG

E C y +='，试将y 表示成x 的函数；

（3） 当（2）中所求得的函数的图象达到最高点时，求BC 的长

能力训练

1、已知抛物线)0(22

>--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。

（1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）；

（2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。

2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于

F

G

D

A

C

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A （－1，0）、

B （3，0）、

C （0，3）三点，其顶点为

D ．注：抛物线)0(2≠++=a c bx ax y

的顶点坐标为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--a

b a

c a b 44,22． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积；

（3）试判断△BCD 与△COA 是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．

3、如图，Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P 是AC 上的动点（P 不与A 、C 重合）设PC=x ，点P 到AB 的距离为y 。 （1）求y 与x 的函数关系式；

（2）试讨论以P 为圆心，半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 的取值范围。

4、如图，在正方形ABCD 中，AB=2，E 是AD 边上一点(点E 与点A ，D 不重合)．BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 于N ．

(1)设AE=x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式；

A

B

D C

o x

y

A B P