数列通项公式的求法(较全)-精选.

常见数列通项公式的求法
公式：
1、
定义法
若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 中即可.
例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式.
练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有
1234127
,0,,,,6954
n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.
2、
累加法
形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，()11n n a a f n --=-，
()122n n a a f n ---=-，
L
()322a a f -=，
()
211a a f -=，
以上()1n -个等式累加得
()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+++L
1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+++L
（3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和；
③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.
练习1：已知数列{}n a 满足11322,.n n n a a n a a +=++=且求
练习2：已知数列{}n a 中，111,32n n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.
练习3：已知数列{}n a 满足11211,,2n n a a a n n
+==++求求{}n a 的通项公式.
3、
累乘法
形如()
1
n n a f n a +=()1a 已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.
给递推公式()()1
,n n
a f n n N a ++=∈中的n 依次取1,2,3，……，1n -,可得到下面1n -个
式子：
()()()()2341231
1,2,3,,1.n n a a a a
f f f f n a a a a -====-L 利用公式()23411231
,0,n n n n a a a a
a a a n N a a a a +-=⨯
⨯⨯⨯⨯≠∈L 可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-L
例3、已知数列{}n a 满足11,2,31
n n n n
a a a a n +==+求.
练习1：数列{}n a 中已知112
1,n n a n a a n
++==, 求{}n a 的通项公式.
练习2:设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，求{}n a 的通项公式. 4、 奇偶分析法
(1)
对于形如()1n n a a f n ++=型的递推公式求通项公式
①当()1n n a a d d ++=为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.
②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n ++=，()11n n a a f n -+=-两式相减，得到
()()+111n n a a f n f n --=--，分奇偶项来求通项.
例4、数列{}n a 满足111,4n n a a a +=+=，求{}n a 的通项公式. 练习：数列{}n a 满足116,6n n a a a +=+=-，求{}n a 的通项公式.
例5、数列{}n a 满足110,2n n a a a n +=+=，求{}n a 的通项公式.
练习1: 数列{}n a 满足111,1n n a a a n +=-+=-，求{}n a 的通项公式.
练习2：数列{}n a 满足112,31n n a a a n +=+=-，求{}n a 的通项公式. (2)
对于形如()1n n a a f n +⋅=型的递推公式求通项公式
①当()1n n a a d d +⋅=为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为
2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.
②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n +⋅=，()11n n a a f n -⋅=-两式相除，得到
()()
+1
11n n f n a a f n -=
-，分奇偶项来求通项. 例6、已知数列{}n a 满足112,4n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.
练习：已知数列{}n a 满足112
,23
n n a a a +=⋅=-，求{}n a 的通项公式. 例7、已知数列{}n a 满足1113,2n
n n a a a +⎛⎫
=⋅= ⎪
⎝⎭
，求{}n a 的通项公式.
练习1: 数列{}n a 满足112,3n n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.
练习2：数列{}n a 满足111,2n n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式. 5、
待定系数法（构造法）
若给出条件直接求n a 较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,
从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有: (1)()1,n n a pa q p q +=+为常数(){}1,n n n a t p a t a t +⇒+=++构造为等比数列. (2)()1
1111
,n p
n n n
n n n n a a a pa tp t p t p p
+++++=+−−−−−−→
=+两边同时除以为常数 (3)
()()1
1111,,,1n p
n n n
n n n n
a a p a pa tq t p q t q q q +++++=+−−−−−−→
=+两边同时除以为常数再参考类型
(4)()1,,n n a pa qn r p q r +=++是常数⇒ ()()11n n a n p a n λμλμ++++=++ (5)21+n n n a pa qa ++=(){}2111t ,t n n n n n n a ta p a a a a ++++⇒-=--构造等比数列 例8、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
练习：已数列{}n a 中，11a =且111,____.2
n n n a a a +=+=则
例9、已知数列{}n a 中，1113,33n n n a a a ++==+, 求{}n a 的通项公式.
练习1：已知数列{}n a 中，113,22n n n a a a -=-=+，则=n a ．
练习2：已知数列{}n a 中，112,3433
n n n a a a +==+⋅, 求{}n a 的通项公式.
例10、已知数列{}n a 满足11162,1,n n n a a a ++=+=求.n a
练习1：设数列{n a }满足n n n a a a 23,111+==+，则=n a ． 练习2：已知数列{}n a 中，1
11511,632n n n a a a ++⎛⎫
==+ ⎪
⎝⎭
，求n a .
练习3：已知数列{}n a ()n N *∈的满足：111113,432,,7
n n n a k a a n k k R --⎛⎫
=-=-≥≠∈ ⎪⎝
⎭
（1）判断数列47n n a ⎧⎫
-⎨⎬⎩
⎭是否成等比数列；
（2）求数列{}n a 的通项公式.
例11、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +==+, 求{}n a 的通项公式.
练习1：数列{}n a 中已知112,32n n a a a n +==-+, 求{}n a 的通项公式.
练习2：数列{}n a 中已知2112,322n n a a a n n +==+-+, 求{}n a 的通项公式.
例12、已知数列{}n a 中，()12125,2,2+33n n n a a a a a n --===≥，求求{}n a 的通项公式.
练习1：已知数列{}n a 中，12+2+121
1,2,+33
n n n a a a a a ===，求求{}n a 的通项公式.
练习2：在数列{}n a 中，11a =，235
a =，2n a +=
135n a ++2
3
n a ，令1n n n b a a +=- 。

(1) 求证:数列{}n b 是等比数列，并求n b 。

(2)求数列{}n a 的通项公式 。

6、利用n a 与n S 的关系
如果给出条件是n a 与n S 的关系式,可利用1
11,2n n
n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.
例13、已知数列{}n a 的前n 项和为322+-=n n S n ，求{}n a 的通项公式.
练习1：已知数列{}n a 的前n 项和为2134
n S n n =-+，求{}n a 的通项公式.
练习2：若数列{}n a 的前n 项和为33,2
n n S a =-求{}n a 的通项公式.
练习3：已知数列{}n a 前n 项和2
142
n n n S a -=--,求{}n a 的通项公式.
7、
倒数法
（1）111
11=,n n n n n n n n pa qa p q a qa p a pa a p a ++⎧⎫+=⇒=+⎨⎬+⎩⎭
构造是等差数列 (2) 111
1=n n n n n n n pa qa t t q a qa t a pa p a p
+++=
⇒=++
例14、已知数列{}n a 满足1=1a ，1232
n
n n a a a +=+，求{}n a 的通项公式.
练习：已知数列{}n a 中，113,,12n
n n
a a a a +==
+则n a ________.=
例15、已知数列{}n a 满足1=1a ，1
1234
n n n a a a --=+，求{}n a 的通项公式.
练习：已知数列{}n a 中，1122
,,31n n n
a a a a +=
=+则n a ________.=
8、()1110,0lg lg lg ,r
n n n n n n n a pa p a a p r a a pa q +++=>>−−−−
→=+=+两边取对数转化为型 例16、已知数列{}n a 中，211100,10,n n a a a +==⋅求n a
练习：已知数列{}n a 中，3112,2,n n a a a +==⋅求n a
9、其他
例17、已数列{}n a 中，11a =-，11n n n n a a a a ++⋅=-，则数列通项n a =. 例18、在数列{}n a 中，1a ＝1，n ≥2时，n a 、n S 、n S －12
成等比数列.
（1）求234,,a a a ； （2）求数列{}n a 的通项公式.
例19、已知在等比数列{}中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()12323n n b b b nb a n N *++++=∈L ，求数列{}n b 的通项公式
例20、已知等差数列{}的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{}的第二项，第三项，第四项． （1）求数列{}与{}的通项公式；
（2）设数列{}对任意正整数n ，均有31211
2
3
n n n
c c c c a b b b b ++++⋯⋯+=，求.
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